El documento describe la diferencia entre interés simple e interés compuesto, así como fórmulas para calcular el valor futuro de una inversión en cada caso. También explica conceptos como anualidades, perpetuidades y el sistema de amortización francés para préstamos.
2. -2-
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
Prof. Andrés Koleda
Existe una importante diferencia entre interés simple e interés compuesto. Cuando se
invierte a interés compuesto, los intereses devengados son reinvertidos para obtener
más intereses por los períodos siguientes. En cambio, cuando se utiliza el interés simple,
la inversión no produce interés sobre intereses.
I. INTERÉS SIMPLE
Período Capital Interés Monto (M)
(fin periodo) (al inicio) (fin período)
1 Co Co.i Co+Co.i = Co (1+i)
2 Co(1+i) Co.i Co (1+i)+Co.i = Co (1+2i)
.
.
n Co 1+(n-1)i Co.i Co 1+(n-1)i +Co.i= Co (1+ni)
M = Co (1+ni)
ó, en términos de Valor Futuro y Valor Actual
VF = VA (1+ni)
La fórmula indica el Valor Futuro de un valor (Valor Actual) a fines del período n, aplicando
interés simple.
Ejemplo
Una deuda de $ 1.000 contraída a principios del primer año ¿a cuánto asciende la deuda
al final del tercer año, calculada a una tasa del 10% anual?
Año Deuda InterésMonto Deuda
(fin) (inicio) (fin)
1 1.000 100 1.100
2 1.100 100 1.200
3 1.200 100 1.300
El monto de los intereses es constante porque se calculan sobre el capital inicial de $
1.000.
3. -3-
+ =
Supongamos que invertimos $ 100 a interés simple:
Año Monto Intereses Monto Final
Inicial
1 100 10 110
2 110 10 120
3 120 10 130
4 130 10 140
.
.
10 190 10 200
20 290 10 300
50 590 10 600
100 1.090 10 1.100
II. INTERÉS COMPUESTO
Período Capital Interés Monto (M)
(fin periodo) (al inicio) (fin período)
1 Co Co.i Co+Co.i = Co (1+i)
2 Co(1+i) Co(1+i)i Co(1+i)+Co(1+i)i = Co(1+i)2
.
.
n Co(1+i)n-1
Co(1+i)n-1
i Co(1+i)n-1
+Co(1+i)n-1
i = Co(1+i)n
M = Co(1+i)n
ó, en términos de Valor Futuro y Valor Actual
VF = VA(1+i)n
La fórmula indica el Valor Futuro de un valor (Valor Actual) a fines del período n, aplicando
interés compuesto.
Ejemplo
Una deuda de $ 1.000 contraída a principios del primer año ¿a cuánto asciende la deuda
al final del tercer año, calculada a una tasa del 10% anual, a interés compuesto?
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
4. -4-
+ =
Año Deuda InterésMonto Deuda
(fin) (inicio) (fin)
1 1.000 100 1.100
2 1.100 110 1.210
3 1.210 121 1.331
El monto de los intereses es creciente porque se calculan sobre el capital acumulado a
principios de cada año.
Supongamos que invertimos $ 100 a interés compuesto al 10% anual:
Año Monto Intereses Monto Final
Inicial
1 100 10 1 110
2 110 11 11 121
3 121 12,1 133,1
4 133 13,3 1 146,4
.
.
10 236 24 259
20 612 61 673
50 10.672 1.067 11.739
100 1.252.783 125.278 1.378.061
Si comparamos el interés simple con el interés compuesto, podemos observar que para
una inversión de un período la diferencia entre ambos tipos de interés es nula, en cambio
para sucesivos períodos la diferencia se incrementa en forma creciente.
III. ANUALIDADES
Una anualidad es una serie de pagos/cobros periódicos constantes, durante un número
determinado de períodos.
VA1
+ VA2
+ VA3
+
+
+
+
0
+
1
+
2
+
3
+
VA VF
1/(1+i)1
=
1/(1+i)1
=
1/(1+i)2
=
1/(1+i)3
=
=
=
==
VF VF
+ =
5. -5-
VA = VA1 + VA2 + VA3 = 1/(1+i)n
Fórmula de una progresión geométrica decreciente
S = a 1 - rn
1 - r
donde: a = 1er. término ; a = 1/1+i
r = razón de la variación de los términos: r = 1/1+i
S = VA = 1 1 - 1/(1+i)n
= (1 + i)n
- 1 para valores de $ 1
1+i 1 - 1/ 1+i (1 + i)n
i
para VF valores periódicos y constantes (cuotas , por ejemplo) realizados a fin de período
VA = VF (1 + i)n
- 1
(1 + i)n
i
Bien lo podemos expresar así, o bien llamar a la anualidad A (valor constante). De allí que:
M0 M1 M2 M3
A A A A
Luego el valor actual (al momento cero) es igual a:
A A A
VA = + +
(1+i ) (1+i )2
(1+i )3
Teniendo en cuenta que lo anterior es una progresión geométrica igual a:
S = a 1 - rn
1 - r
Entonces:
A 1 - 1/(1+i)3
A 1 - 1/(1+i)3
VA = * = *
(1+i ) 1- 1/(1+i ) (1+i ) 1+ i - 1
(1+ i )
Por lo tanto:
(1+i)n
- 1
VA = A *
(1+i )n * i
6. -6-
Cuando los pagos o cobros se realizan a principio de período
VA = A (1 + i)n
- 1
(1 + i)n-1
i
Ejemplos
Para el primer caso:
. Calcular la cuota de un préstamo de $ 100.000, a una tasa del 10 % anual. otorgado a 5
años.
c = VA (1 + i)n
i = 100.000 1.10 5
x 0.10 = 100.000 x 0.2638
(1 + i)n
- 1 1.10 5
- 1
c = $ 26.380 anuales
Para el segundo caso:
. Depositamos $ 200 durante 5 períodos. ¿Cuál es el valor actual al cabo de los 5 períodos,
dada una tasa anual del 10 %?
VA = c (1 + i)n
- 1 = 200 1.10 5
- 1 = 200 x 4.1698 = 834
(1 + i)n-1
i 1.10 4
x 0.10
VA = $ 834
Desarrollo:
VA = 200 (1 + 0.909 + 0.826 + 0.751 + 0.683) = 200 x 4.1698 = 834
IV. PERPETUIDAD
Una perpetuidad es una serie de pagos/cobros periódicos constantes, durante un número
infinito de períodos.
Utilizando la fórmula de una progresión geométrica decreciente
S = a 1 - rn
1 - r
0 1 2
VA VF VF VF
..............
.
7. -7-
S = VA = 1 1 - 1/(1+i)n
= (1 + i)n
- 1 para valores de $ 1
1+i 1 - 1/ 1+i (1 + i)n
i
Bien lo podemos expresar así, o bien llamar a la perpetuidad P (valor constante). De allí
que:
M0 M1 M2 M
P P P ............ P
Luego el valor actual (al momento cero) es igual a:
P P P
VA = + +
(1+i ) (1+i )2
(1+i )
Teniendo en cuenta que lo anterior es una progresión geométrica igual a:
S = a 1 - rn
1 - r
Entonces:
P 1 - 1/(1+i) P 1 - 0 P
VA = * = * =
(1+i ) 1- 1/(1+i ) (1+i ) 1+ i - 1 i
(1+ i )
Por lo tanto:
P
VA =
i
V. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN FRANCES
Supongamos que usted desea pedir un préstamo a una entidad financiera. El monto del
préstamo sería de $ 100.000, pagadero en 12 cuotas mensuales (constantes), al 2% de
interés mensual.
Usted además desea saber cuánto pagará de interés, y cuánto amortizará de la deuda por
mes. Ello se puede determinar descomponiendo la cuota en interés y amortización.
Utilizando el concepto de anualidad:
c = VA (1 + i)n
i = 100.000 (1,02) 12
x (0,02) = 100.000 x 0,09456
(1 + i)n
- 1 (1,02) 12
- 1
8. -8-
c = 9.456
Vemos que el valor mensual de la cuota será de $ 9.456. De ello vamos a determinar qué
monto corresponde a interés y qué a amortización. En el cuadro de la página siguiente se
describe tal composición.
Nuestra deuda con el banco es de $100.000 (el préstamo). Para calcular el interés,
multiplicamos ese monto por el 2% (interés pactado), es decir, que el interés que se paga
mensualmente surge de multiplicar el valor de la deuda en cada período por la tasa de
interés. Por lo tanto el monto pagado de interés será decreciente a medida que transcurre
el tiempo.
Por el otro lado, tenemos la amortización, es decir lo que vamos pagando de la deuda
excluido los intereses. Para calcular tal valor, se toma el valor de la cuota y se resta del
mismo el monto del interés abonado en cada mes. Este procedimiento genera que a
medida que transcurren los períodos, la amortización se incremente, mientras que el
interés pagado se reduce.
Lo anterior puede observarse en el gráfico que muestra la relación entre el pago de la
amortización y del interés.
Sistema de Amortización Frances
PERIODO DEUDA
(1)
CUOTA
(2)
INTERÉS
(3)
AMORTIZACIÓN
(4)
0 100.000
1 92.544 9.456 2.000 7.456
2 84.939 9.456 1.851 7.605
3 77.182 9.456 1.699 7.757
4 69.269 9.456 1.544 7.912
5 61.199 9.456 1.385 8.071
6 52.967 9.456 1.224 8.232
7 44.570 9.456 1.059 8.397
8 36.006 9.456 891 8.565
9 27.270 9.456 720 8.736
10 18.359 9.456 545 8.911
11 9.271 9.456 367 9.089
12 0 9.456 185 9.271
TOTAL DEUDA =
100.000
