1. MODELADO E IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS FÍSICOS Prof. Paolo Castillo Rubio

3. MODELADO TEÓRICO. A partir de leyes físicas se encuentra la función de transferencia. Las leyes son normalmente en la forma de ecuaciones diferenciales, la relación entre las señales de entrada y salida son también una ecuación diferencial. Esta última se puede transformar con la ayuda de la Transformada de Laplace para obtener la función de transferencia. IDENTIFICACIÓN EXPERIMENTAL. A partir de diferentes experimentos prácticos se encuentra la función de transferencia para diferentes procesos.

4. MODELADO TEÓRICO El modelado teórico se utiliza sobre todo en procesos a través de los cuales, y de manera sencilla, se pueden llegar a las leyes físicas que relacionan las señales de entrada y salida . Hay muchos procesos que resultan tan complicados que es imposible poder desarrollar las ecuaciones diferenciales con un trabajo relativamente correcto. En este caso es mejor utilizar algún método de identificación experimental, o una combinación de ambos métodos.

5. 1) SISTEMAS MECÁNICOS Se les llama a los sistemas compuestos de masas , que al ser influidos por fuerzas externas o internas se ponen en movimiento . Los sistemas mecánicos son, por ejemplo, grúas, brazos robóticos, servomecanismos, sistemas mecánicos rotatorios, sistemas de posición, barcos, etc. Dada la analogía que existe entre los sistemas mecánicos de translación y los de rotación, los analizaremos por separado.

6. 1.1. Sistemas Mecánicos Translatorios Para analizar las características dinámicas de los sistemas mecánicos, en primer lugar, se dividen en sus partes básicas, es decir, masas, resortes y amortiguadores.

7. MASA La influencia de una o varias fuerzas F sobre el movimiento de una masa M se determina por la segunda ley de Newton: La resultante de fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la masa de éste por la aceleración.

8. RESORTE La fuerza de un resorte ideal es proporcional a su estiramiento x , de acuerdo con la siguiente relación: Aquí se supone que x es cero en estado estable; es decir, que el resorte no está estirado ni comprimido. La constante k es la medida de la dureza del resorte ( k mayor, dureza mayor). RESORTE

9. AMORTIGUADOR La fuerza de un amortiguador ideal es proporcional a la velocidad con la cual se comprime o descomprime. La constante de amortiguación se denomina b ( b grande, amortiguación fuerte).

10. 1.2. Sistemas Mecánicos de Translación Combinados A los sistemas mecánicos que están combinados con los elementos básicos antes mencionados, se les puede encontrar la relación entre las fuerzas y su aceleración, velocidad y espacio correspondientes sumando sus fuerzas. En la siguiente figura se tiene un sistema que consiste en una masa sólidamente conectada con un resorte y un amortiguador. A la masa, además, se le aplica una fuerza exterior. Se trata de encontrar la función de transferencia de la fuerza a la posición. Se supone que la masa está en reposo, es decir, y = 0 cuando F = 0 .

11. La ecuación diferencial de este sistema se obtiene al aplicar la segunda ley de Newton para la masa del sistema. Además de la fuerza exterior F , la masa está afectada por las fuerzas que ejercen el amortiguador y el resorte.

12. La dimensión de las fuerzas depende de la posición y velocidad actual de la masa de acuerdo con la siguiente relación: Al despejar la ecuación tenemos:

13. La Transformada de Laplace de la ecuación diferencial nos da: La función de transferencia es:

14. 1.3. Sistemas Mecánicos Rotatorios Este tipo de sistemas están constituidos por masas rotatorias, resortes de torsión y fricción; que son directamente equivalentes a los sistemas de translación considerando: el ángulo ^ a la distancia , el momento ^ a la fuerza , el momento de inercia ^ a la masa , etc. El sistema rotatorio de la figura siguiente, consiste en un rotor que está sujeto con una flecha flexible. El otro lado de la flecha está sujeto. El rotor tiene una fricción viscosa B .

15. Nomenclatura: J : Momento de inercia D : Coeficiente de la flecha B : Factor de fricción q : Ángulo de rotación M : Momento

16. La ecuación de movimiento de Newton para la rotación nos da: Si se usa la Transformada de Laplace, se obtiene: Y como función de transferencia:

17. 2) SISTEMAS ELÉCTRICOS El tipo de sistemas eléctricos que se van a estudiar son aquellos que contienen resistencias , bobinas y condensadores . Las señales de entrada y salida son el voltaje y la corriente eléctrica. La forma tradicional de construir reguladores eléctricos ha sido con ayuda de estos componentes y un amplificador de señales.

18. RESISTENCIA La ley de Ohm dice que el voltaje u a través de una resistencia es igual a la corriente i por la misma resistencia R : La Transformada de Laplace nos da la siguiente relación:

19. CONDENSADOR El voltaje u a través de un condensador es igual a su carga Q dividida por la capacitancia C . La carga es igual a la integral de la corriente i : La Transformada de Laplace nos da la siguiente relación:

20. INDUCTOR El voltaje u a través de un inductor es igual a la inductancia L por la derivada de la corriente i : La Transformada de Laplace nos da la siguiente relación:

21. Después de transformar los componentes básicos, se encuentra que la relación entre el voltaje U y la corriente I se puede escribir de forma parecida: A los parámetros R, 1/Cs y Ls se les llama elementos de impedancia compleja .

22. 2.1. Circuitos eléctricos combinados En el caso de los sistemas eléctricos combinados, el camino más fácil es el de la impedancia compleja del circuito, como se muestra en la siguiente figura. El circuito consta de una resistencia en serie con un condensador. El voltaje u 1 es la señal de entrada , mientras que el voltaje u 2 es la señal de salida .

23. La relación que existe entre el voltaje de entrada y de salida es:

24. La función de transferencia es: Asimismo, la función de transferencia para cualquier circuito eléctrico con resistencias, condensadores e inductores se encuentra mediante sus impedancias complejas.

25. 2.2. Circuitos eléctricos con componentes activos Los componentes comunes de estos circuitos eléctricos son los amplificadores operacionales . Se debe hacer funciones de transferencia de los circuitos eléctricos que los contengan. Los amplificadores operacionales son un amplificador de corriente continua con alto (negativo) factor de amplificación, los cuales normalmente se usan como se muestra en la siguiente figura.

26. La función de transferencia del voltaje de entrada U 1 al voltaje de salida U 2 es : - A(s) , en donde: | A(j w ) | >> 1 , en el campo de las frecuencias normalmente usada.

27. En el área lineal el amplificador abierto A(s) puede describirse como un sistema de primer orden con un factor alto de ganancia: Las impedancias Z 1 y Z 2 son complejas y arbitrarias. Si la corriente de entrada I 0 se desprecia, entonces con la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff se obtiene: Por ejemplo, para el amplificador operacional 741 los valores son: K = 100000 y T = 0,01 seg.

28. Al despejar resulta: Para el amplificador se tiene: Con U 1 como señal de entrada y U 2 como señal de salida, al eliminar U 0 se obtiene:

29. Con valores grandes de la ganancia del amplificador (K), esta ecuación se puede aproximar en bajas frecuencias a: En la práctica, la función de transferencia de un amplificador operacional es igual a la relación existente entre la impedancia compleja de retroalimentación Z 2 y la impedancia compleja de entrada Z 1 , con signo invertido. Esta función de transferencia no cambia con la carga (lo opuesto a circuitos con elementos pasivos).

30. 3) SISTEMAS TÉRMICOS Los sistemas térmicos cuentan con procesos que de alguna forma intercambian energía calorífica con su medio ambiente. Pueden ser procesos químicos, hornos, casas o calentadores de agua, entre otros. Las señales de entrada y salida para este tipo de sistemas son la temperatura , la energía calorífica y la potencia calorífica . La ley natural básica para los sistemas térmicos es el balance de energía . Ésta nos dice que el cambio en la energía calorífica por unidad de tiempo es igual a la potencia inferida menos la extraída.

31. En forma matemática esta relación se escribe:

32. Cuando se utiliza la relación de balance de energía para sistemas sencillos se puede usar la relación de la energía calorífica de una cierta materia con la temperatura T : Donde: E = energía calorífica de cierta materia T = temperatura de cierta materia V = volumen de cierta materia c = capacitividad térmica r = densidad

33. Si se supone que el volumen V , la capacitividad c y la densidad r son constantes, se obtiene que: Tanto la potencia inferida como la extraída pueden expresarse en función de la temperatura, ya que: Donde Q es el flujo del fluido a tratar

34. Es importante recalcar que tanto la capacitividad c como la densidad r pueden estar en función de la temperatura y que en situaciones especiales (no lineales) existe intercambio de calor entre gases, por ejemplo entre agua y vapor. La siguiente figura muestra un tanque de agua aislado con un volumen V = 4 m 3 . El flujo Q es constante y del orden de 0,1 m 3 /s . La temperatura de entrada T i varía .

35. Encuentre la función de transferencia entre la temperatura de entrada T i y la temperatura del tanque T . Se supone que en el tanque hay una buena mezcla, por lo que existe la misma temperatura en todo el líquido. La energía inferida en el tanque se extrae de él. El balance nos da: Donde: Energía calorífica del agua es: E = T V c r La potencia térmica inferida del agua es: P i = Ti Q c r La potencia térmica extraída del agua es: P e = T Q c r

36. Sustituyendo en el balance de energía nos da: Dado que el volumen V , la capacitividad c y la densidad r son constantes, nos da: Al usar la Transformada de Laplace, se obtiene:

37. Tomando T i como la entrada y T como la salida, se obtiene: Al sustituir con los valores, nos da una función de transferencia de primer grado:

38. 4) SISTEMAS DE CONCENTRACIÓN Los sistemas de concentración son comunes en la industria del proceso, son aquellos en los cuales hay que regular la concentración de sales, el pH, la concentración de diversos polvos en líquidos, etc. Tomemos como ejemplo un tanque de mezclado al cual le llega un líquido de algún tipo, y del cual sale el líquido mezclado con algún polvo. Llámese a la concentración de polvo en la entrada c 1 y a la concentración de salida c 2 . Estas variables se pueden medir, por ejemplo, en g/m 3 .

40. En la suposición de que hay una buena mezcla en el tanque (igual concentración en todo el tanque), se puede escribir la siguiente ecuación de balance. Se supone, además, que tanto el flujo Q como el volumen V son constantes. Donde: M p = cantidad total de polvo en el tanque Q = flujo de líquido en el tanque V = volumen de líquido en el tanque c 1 = concentración de polvo en la entrada c 2 = concentración de polvo en el tanque y en la salida

41. La ecuación indica que los cambios en la cantidad total de polvo en el tanque son proporcionales a la diferencia entre la cantidad de polvo a la entrada y la salida. La función de transferencia de c 1 a c 2 se puede obtener con la Transformada de Laplace:

42. 5) SISTEMAS DE NIVEL En los sistemas de nivel los cambios en el volumen del líquido en el tiempo son iguales a la entrada actual del líquido menos la salida actual del mismo.

43. En forma matemática se describe como: Donde: V = volumen del líquido A = área del tanque h = nivel del líquido u 1 = flujo de entrada u 2 = flujo de salida

44. Si se toma como señal de regulación el flujo de entrada u 1 y el flujo de salida u 2 es variable y se toma como una perturbación en el sistema, la ecuación de balance aplicando la Transformada de Laplace queda:

45. 6) SISTEMAS DE TRANSPORTE Este tipo de sistemas es aquel que tarda un tiempo en llevar el material, líquido o gas, de un punto a otro. Por ejemplo, las bandas transportadoras o los tubos. Si se tiene el tiempo de transportación L , éste se transforma al plano con la ayuda de la transformada de Laplace:

46. Tomemos como ejemplo el tanque de agua del ejemplo de sistemas térmicos, ahora el flujo de salida está conectado a un tubo aislado de forma ideal. Las dimensiones del tubo son tales que el líquido tarda en salir 12 segundos, como se muestra en la figura: Donde T 0 es la temperatura de salida del tubo

47. Como ya se ha encontrado la función de transferencia del tanque, o sea, de T i a T. Lo que queda por encontrar es la función de transferencia del tubo. La siguiente relación es válida entre T y T 0 : Al usar la Transformada de Laplace para sistemas de tiempo muerto o retardo, se obtiene:

48. Entonces, la función de transferencia del tubo es: La función de transferencia total del tanque y del tubo se encuentra aplicando las reglas algebraicas de diagramas de bloques: En forma algebraica:

49. LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES Hasta el momento se han estudiado sistemas en los que la relación entre la señal de entrada y la de salida se describen con ecuaciones diferenciales lineales (en los que se puede utilizar la Transformada de Laplace ). Los sistemas no lineales son, en general, más difíciles de analizar en forma matemática. Por ejemplo, es más complicado ver sus características. Para facilitar los cálculos debemos, en muchos casos, linealizar el sistema .

50. Sistemas hidráulicos y neumáticos En los sistemas hidráulicos y neumáticos el medio de trabajo está formado por fluidos y gases que circulan. Al igual que en los sistemas eléctricos, en los sistemas de fluidos existen ciertos elementos cuya función es la base para las características dinámicas de los sistemas compuestos.

51. El tratamiento de la relación del flujo debe mantenerse a un nivel básico. Dado un cierto fluido (gas o líquido) el flujo q está en función de la presión antes del ahorcamiento: En el caso de líquidos (Bernoulli) y gases (corriente subsónica turbulenta) se vale que bajo ciertas condiciones el flujo Q sea proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia de presión:

52. La constante K s es aproximadamente proporcional al área de ahorcamiento, la cual puede variar (por ejemplo, válvulas de regulación). Al linealizar la ecuación, se obtiene una relación del incremento de presión con respecto a la variación de flujo : En donde la resistencia del fluido R es:

53. En sistemas hidráulicos el flujo se toma como flujo volumétrico (m 3 /s). En sistemas neumáticos, como flujo de masa (kg/s, mol/s). Un tipo de ahorcamiento que se usa mucho en sistemas neumáticos es la válvula de diafragma . La distancia entre el diafragma y la boquilla x es la señal de entrada en la válvula, y una muy pequeña variación da un gran cambio en la resistencia del ahorcamiento que la válvula de diafragma representa.

54. Si la sobrepresión en la tubería es p , el flujo a través de la válvula es q y el área efectiva de ahorcamiento es proporcional a la posición del diafragma x , se obtiene la siguiente relación: Después de ser linealizada: En donde:

56. Análisis a la respuesta escalón Consiste en que a partir de un cambio conocido en forma de escalón en la señal de entrada, se obtiene una función de transferencia aproximada del proceso.

57. Análisis experimental de frecuencias Consiste en que al tener las señales sinusoidales del proceso, éstas se usan para poder analizar las características del mismo. En primer lugar, este método proporciona la curva de frecuencias, y de éste, se puede obtener, en segundo lugar, la función de transferencia.

58. Identificación de parámetros con el método de mínimos cuadrados Éste consiste en que a partir de una gran cantidad de valores de las señales de entrada y de salida como base, se decide la función de transferencia. Este método consta de mucho cálculo, por lo que normalmente se utilizan computadoras para obtener el modelo.