Este documento trata sobre funciones y su representación gráfica y algebraica. Explica conceptos como dominio, recorrido, pendiente, función lineal y afín. Incluye ejemplos de funciones que modelan situaciones reales como la recaudación de una exhibición o el costo de arrendar videos. También aborda la proporcionalidad directa y cómo esta se representa mediante funciones lineales.

1. Función
Patricia Sanz

2. Funciones
• Objetivos
• Interpretar gráficos de funciones.
• Calcular el dominio y la imagen de una función.
• Representación gráfica.
• Función lineal y proporcionalidad directa
• Encontrar pendiente e interpretar su valor.
• Función lineal y función afín.
• Encontrar coeficiente de posición e interpretarlo.
• Evaluar una función.
• Encontrar un modelo matemático para resolver un problema.
• Dado dos puntos determinar la ecuación de la recta
• Dado un punto y la pendiente, encontrar la ecuación de la recta

3. Concepto de función
Problema1: La recaudación por esta exhibición
dependerá de la cantidad de personas que
asistan. Esta relación entre recaudación y
cantidad es una función.
La recaudación es la variable dependiente. La
cantidad de personas la variable
independiente
Lo expresamos como un modelo matemático:
Recaudación = cantidad personas ∙ $12.000
Otras forma s de escribirse son:
Recaudación(cantidad personas) = cantidad personas ∙ $12.000
Si x= cantidad personas e y = recaudación,
y= x ∙ $12.000 o f(x) = x ∙ $12.000

4. Dada una función podemos:
A. Encontrar valores o evaluar una función :
Si tenemos un modelo matemático o función
Recaudación = cantidad personas ∙ $12.000
1. Si cantidad personas = 20
Recaudación = 20 ∙ $12.000=$ 240.000
2. Si la recaudación fue $1.800.000 ¿Cuántas personas asistieron?
1.800.000 = cantidad de personas ∙ $12.000
cantidad de personas = 150

5. B. Hacer un Gráfico
Cantidad
personas Recaudación par ordenado
0 0 (0,0)
1 12.000 (1,12.000)
2 24.000 (2,24.000)
10 120.000 (10,120.000)
Abscisa o eje x
Ordenada o eje y
0
12000
24000
36000
48000
60000
72000
84000
96000
108000
120000
132000
144000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Recaudación
Recaudación

6. C. Determinar Dominio y Recorrido
Dominio :es el conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente. Corresponde a valores eje x. En este caso:
Dominio de la función = { 0, 1, 2, 3…}= Números Enteros positivos
Recorrido: es el conjunto de valores que puede tomar la variable
dependiente. Corresponde a los valores del eje y. En este caso
Recorrido de la función: {12.000, 24.000,….} = Múltiplos de 12.000
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/dom_rec.html
Ver animación

7. D. Formas de escribir una función
Recaudación= 12.000 * cantidad personas
Recaudación (cantidad personas) = 12000 * cantidad personas
x = cantidad de personas
y = recaudación
y = 12.000*x
f(x) = 12.000 * x
Todas las formas corresponde a la misma función

8. E. Problema 2
Un video club ofrece dos opciones para arrendar videos:
Opción A: $10.000.- de abono anual más $1200.- por video
arrendado
Opción B: $15.000.- de abono anual más $1000.- por video
arrendado.
Hallar para cada opción la expresión del precio a pagar en
función del número x de videos arrendados y representarlas en
un mismo gráfico.
Si el cliente dispone de $45.000.- ¿Cuántos videos puede
arrendar con cada una de las dos opciones?

9. E. Respuesta Problema2
Respuesta:
Opción A
Cantidad de
videos (x)
Precio (y)
1 10.000+1200 * 1
2 10.000+1200 * 2
3 10.000+1200 * 3
X 10.000+1200 * x
y= 10000 + 1200* x
Cantidad de
videos (x)
Precio (y)
1 15.000+1000 * 1
2 15.000+1000 * 2
3 15.000+1000 * 3
X 15.000+1000 * x
Opción B
y= 15000 + 1000* x
Si y= $45000
45.000= 10.000+1200x
29 ,1 = x
Se pueden arrendar 29 videos
45.000=15.000+1.000x
30.0000 = x
Se pueden arrendar 30 videos

10. E. Problema3
Unos amigos se encuentran de vacaciones. Desean arrendar un
auto y disponen de dos opciones:
$35.000 por día
$15.000 dólares por día más $200 por km recorrido.
Si piensan quedarse de vacaciones durante 8 días y estiman
recorrer unos 400 km, ¿qué opción es más conveniente?
Determine a partir de qué recorrido es más conveniente la
opción a que la b para el caso en que se queden 10 días
Observación: si recorre 400 km en 8 días entonces recorre en promedio 400km: 8= 50 km.
Recorre 50 km diario.

11. E. Respuesta Problema 3
Respuesta:
Opción A
Cantidad de
días (x)
Precio (y)
1 35.000*1
2 35.0000* 2
3 35.000 * 3
X 35.000 * x
y= 35.000* x
Cantidad de
días (x)
Precio (y)
1 15.000*1 +200 * 1* 50
2 15.000*1 +200 * 2* 50
3 15.000*1 +200 * 3* 50
X 15.000*1 +200 * x* 50
Opción B
y= 15.000*x + 200 * x* 50

12. E. Respuesta Problema3
N° días Opión A Opción B
1 35.000 25.000
2 70.000 50.000
3 105.000 75.000
4 140.000 100.000
5 175.000 125.000
6 210.000 150.000
7 245.000 175.000
8 280.000 200.000
9 315.000 225.000
10 350.000 250.000
11 385.000 275.000
12 420.000 300.000
13 455.000 325.000
Hasta 13 días es más conveniente opción B

13. E. Problema 4
El consumo de gas domiciliario tenía en el año 2011 la siguiente tarifa
bimestral: cargo fijo $7300 y $220 por metro cúbico consumido. En el año
2012 hubo un aumento del 30% en el cargo fijo y de un 25% en el costo por
metro cúbico. Determinar cuanto debe abonar una familia que en el tercer
bimestre del 2012 consumió 112 metro cúbicos.
Respuesta:
Valor cargo fijo : $7.300 aumentado en 30% = 7.300 + (30/110)∙ 7300= $9490
Valor metro cúbico + 25% = 220 + (25/100) ∙ 220 = $275
Función Precio = 9490 + 275 ∙ consumo
Si consume 112 metros cúbicos paga:
Precio = 9490 + 275 ∙ 112 = $40. 290

14. E. Problema 5
Instalar en enero un sistema de seguridad con cámaras de video tenía un
costo fijo de instalación de $120.000 y $12.500 por cámara instalada. Si en
mayo estos precios se incrementaros un 40%, escribir la fórmula que
representa el gasto en función de la cantidad de cámaras instaladas. Calcular
cuantas cámaras se pueden instalar en julio si se dispone de $395.500.
Respuesta:
Valor cargo fijo : $120.000 aumentado en 40% = $ 168.000
Valor cámara = 12.500 aumentado en 40% = $ 17.500
Función Precio = 168.000 + 17.500 * cantidad cámaras
Con $ 395.500 se pueden instalar
395.500 = 168.000 + 17.500 ∙ cantidad cámaras
Despejando cantidad cámaras
Cantidad cámaras = ( 395.500 – 168.000)/ 17.500 = 12,9 Entonces se pueden poner 12 cámaras

15. F. Proporcionalidad directa y función
La siguiente tabla muestra una relación de proporcionalidad directa, entre las horas y
la distancia recorrida por un automóvil que mantiene la misma velocidad
Horas (h) Distancia recorrida
(t)
1 70 km
2 2 ∙ 70 km = 140km
3 3 ∙ 70 km = 210 km
4 4 ∙ 70 km = 280 km
X 70 ∙ x
km
km
km
km
km
km
70
3
210
70
2
140
70
1
70



Cociente constante,
la constante es 70 km
h
d
h
d



70
70 Proporcionalidad directa , cociente constante
Función lineal, la distancia que recorre depende
de la cantidad de horas .

16. F. Proporcionalidad directa y función
La siguiente tabla muestra una relación de proporcionalidad directa, entre las horas y
la distancia recorrida por un automóvil que mantiene la misma velocidad
h
d 
 70
0
50
100
150
200
250
300
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Corresponde a una recta que pasa por el origen

17. El costo de una llamada por cada 6 minutos en una compañía de teléfono es $600.
El cociente entre costo llamada y minutos de la llamada es constante.
costo llamada = 600 = 1200 = 100
tiempo 6 12
Costo llamada = 100 cada minuto cuesta $100
tiempo
Entonces: Costo llamada = 100 ∙ tiempo
Si llamamos x al tiempo e y al costo de la llamada entonces
y = 100 ∙ x
100 es la pendiente y la constante de proporcionalidad
F. Proporcionalidad directa y función

18. • Todo problema de proporcionalidad directa corresponde a una función lineal.
• Toda función lineal que pasa por el origen es una proporcionalidad directa
F. Proporcionalidad directa y función

19. G. Pendiente
• Pendiente es la inclinación de la recta respecto al eje horizontal.
• Por cada unidad horizontal varia en 12.000 las unidades en vertical
• En este caso (problema1) la pendiente es 12.000
• La pendiente = tangente del ángulo.
• Si se conoce la pendiente se puede calcular el ángulo de inclinación.
En calculadora buscar función tan-1 12.000 aprox. 89°
0
12000
24000
36000
48000
60000
72000
84000
96000
108000
120000
132000
144000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Recaudación
Recaudación
http://jmora7.com/SB/construccion3.html
http://www.roberprof.com/2012/06/17/pendiente-de-una-recta-en-geogebra/

20. G. Pendiente

21. Pendiente conocido dos puntos
• La pendiente se puede determinar cuando se conocen dos puntos de
la recta
P1(x1 , y1 ) P2(x2 , y2 )
• Pendiente (m)= y2- y1
x2 - x1
Ejemplo: A(0,0) B(1,12000)
m = 12000 - 0 = 12000 = 12.000
1-0 1
Ejemplo 2: A(1,12000) B(2,24000)
m = 24000 - 12000 = 12000 = 12.000
2-1 1

22. La función lineal y = 1.200 ∙ x
función afín y = 1.200 ∙ x + 10.000
Ambas son paralelas
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
10,000
11,000
12,000
13,000
14,000
15,000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
y= 1200*x + 10000
y=1200*x
H. Función lineal y afín
Ambas funciones tiene la misma
pendiente que es 1.200.
La función y = 1200 x + 10.000 corta
al eje y en la ordenada 10.000
En general:
Función lineal y = m x
Función afín y = m x + n
m pendiente
n ordenada del punto donde la recta corta a y

23. I. Ecuación principal
x variable independiente
y variable dependiente
Se puede escribir de dos formas similares,
1. y = mx + n
2. f(x) = mx + n
f representa a la función que depende de x
Las letras más usadas para representar de esta forma son f, g, u, v
Entonces f(x) = y
m es la pendiente o inclinación respecto a x
n es el coeficiente de posición y corresponde a la ordenada donde la
recta corta al eje y

24. ¿Cuál es la función afín, que tiene pendiente –1 y coeficiente de posición 1?
Actividades
Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,5) y (6,-2)
Grafica la función y= -3x + 4 ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente posición?
Grafica la función f(x) = 0,5 x + 1 ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente posición?
Compara estas rectas :
y= 3x
y= 3x – 4
Y= 3x + 2
¿Qué tienen igual y en qué se diferencian?

25. ¿Cuál es la función afín, que tiene pendiente –1 y coeficiente de posición 1?
Respuesta: f(x) = -1x + 1 o y = -x + 1
Respuestas
Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,5) y (6,-2)
m= -2-5 = - 3
6-2 4
Grafica la función y= -3x + 4 ¿Cuál
es la pendiente y el coeficiente
posición? Pendiente – 3 coeficiente
de posición 4

26. Grafica la función f(x) = 0,5 x
+ 1 ¿Cuál es la pendiente y el
coeficiente posición, en que
punto la recta corta al eje y?
m= 0,5
n = 1
Punto de intersección con eje
y es (0,1)
Respuestas

27. Compara estas
rectas :
y= 3x
y= 3x – 4
Y= 3x + 2
¿Qué tienen igual
y en qué se
diferencian?
Respuestas
Todas tienen igual
pendiente
El punto de
intersección con
eje y es distinto,
este es el
coeficiente de
posición.

28. Resumen
Pendiente 0
Coeficiente posición= n = 1
Dominio= Números Reales
Recorrido = { 1}
Pendiente 3
Coeficiente de posición= n = -2
Dominio= Números Reales
Recorrido =Números Reales

29. Pendiente -2
Coeficiente posición= n = 1
Dominio= Números Reales
Recorrido = Números Reales
Recta se representa como f(x) = mx + n o y= mx+n
Para dibujar se dan valores a variable independiente x , se determina el de y o f(x), esto
forma un par ordenado el que se grafica en un eje cartesiano.
y= -2x +1
x y Par ordenado
0 1 (0, 1)
1 -1 (1, -1)
2 -3 (2, 3)
Resumen

30. J. Ecuación de la recta conocido dos puntos
Si tenemos dos puntos A(1,2) B(3,8) podemos determinar la ecuación de la recta.
Para esto nos damos un tercer punto P(x,y) que está sobre la recta, entonces:
Pendiente AB = Pendiente AP = Pendiente BP
mAB = mAP
8-2 = y-8
3-1 x-3
6 = y-8
2 x-3
3 = y-8 Entonces 3(x-3) = y-8
x-3 3x – 9 = y – 8
3x - 1 = y

31. K.Ecuación de la recta conocido un punto y la pendiente
Si conocemos que la pendiente es 5 y la recta pasa por el punto A(2,3), podemos determinar
La ecuación de la recta.
Para esto nos damos un segundo punto P(x,y) que está sobre la recta, entonces:
Pendiente AP = 5
mAP = 5
y-3 = 5 entonces y-3 = 5 (x-2)
x-2 y-3 = 5x – 10
y= 5x -7

32. Problema de aplicación 1
Una prueba tiene 30 puntos, la nota 4 corresponde al 60% del puntaje total. Determina
la ecuación de la recta que permita conocer las notas entre 4 y 7 dependiendo del puntaje.
Respuesta:
60% de 30 puntos es 18 puntos, entonces con 18 puntos la nota es 4
Con 100% del puntaje la nota es 7, entonces con 30 puntos la nota es 7
Con lo anterior tenemos dos puntos A(18,4) B(30,7 ) nos damos un tercer punto P(x,y)
Entonces: mAB = mAP
7 – 4 = y – 4
30 – 18 x – 18
3 = y – 4
12 x – 18
1 = y – 4 entonces 1(x - 18) = 4 (y – 4)
4 x – 18 x – 18 = 4y – 16
x - 2 = 4 y
x – 2 = y
4
x puntaje, y nota
Pendiente ¼ por
cada punto la
nota sube ¼ =
0,25

33. Problema de aplicación 1
De acuerdo al problema anterior, qué nota se obtendría con 25 puntos.
Respuesta: Se determinó la ecuación
x – 2 = y
4
Para obtener un 6,0 ¿Qué puntaje se debe tener?
Como y es la nota, se reemplaza en la fórmula el valor de y por 6 y se despeja la variable x
X= 26
Puntaje = 26
El puntaje es x , la nota es y.
Se reemplaza la variable x por 25 y se calcula el valor de y
y = 5,75
Nota 5,75

34. En resumen
Se puede determinar la ecuación de la recta si:
1. Se conoce dos puntos A (x1,y1) , B (x2,y2)
Entonces nos damos un tercer punto P(x,y) y calculamos las pendientes.
mAB = mAP
y2 - y1 = y – y1 se despeja la variable y
x2 - x1 x – x1
2, Se conoce un punto A(x1,y1) y la pendiente m.
Nos d<mos un segundo punto p(x,y) y se calcula la pendiente y se iguala a la dada.
mAP = m
y – y1 = m se despeja la variable y
x – x1

35. • http://recursostic.educacion.es/descartes/web/mate
riales_didacticos/Funcion_lineal/index.htm
• http://recursostic.educacion.es/descartes/web/mate
riales_didacticos/Estudio_grafico_caracterisiticas_glo
bales_funcion/DOMINO_E_IMAGEN.htm
• http://recursostic.educacion.es/descartes/web/mate
riales_didacticos/Funciones_funcion_de_proporcion
alidad/index.htm
Páginas para reforzar