El documento describe las funciones y sus gráficas. Explica qué es una función, cómo se representan gráficamente, y cómo se pueden transformar funciones mediante desplazamientos, reflexiones y estiramientos. También analiza las funciones crecientes y decrecientes, y cómo encontrar máximos y mínimos en funciones cuadráticas.

1. Funciones © copywriter

6. Ilustración de una función B A f Otra forma de ilustrar una función es mediante el diágrama de flechas. Cada flecha conecta a cada elemento de A con un elemento de B. La flecha indica que se relacionan. © copywriter

8. Evaluar : Dominio y Rango: El dominio de f es el conjunto R de todos los números reales . El rango consiste en los valores de f(x) , es decir, los números de la forma x 2 . Como x 2 ≥ 0 para todos los números reales x , se puede ver que el rango de f es: Diágrama de máquina: © copywriter

10. Función definida por partes Un teléfono celular cuesta $39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos. El costo mensual es una función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como; Determine C(100), C(400), C(480). Solución: © copywriter si si

13. Ejercicios Sección 2.1 Página 155 Ejercicios: 1 – 57 En el salón: 13, 16, 18, 20, 22, 24 Aplicación: 60, 62 y 64 gráficas © copywriter

14. 2.2 Gráfica de Funciones © copywriter

16. Gráfica de funciones Trace la gráfica de las siguientes funciones. © copywriter

17. Gráfica de funciones Valor Absoluto © copywriter Traze la gráfica de

18. Funciones por parte f(x)=2x + 1 x > 1 © copywriter f(x)=x 2 x 1

19. Ecuaciones que definen funciones y = 2 y 2 = 4 Si es función NO es función GRAFICA © copywriter

20. Ejercicios Sección 2.2 Página 167 Ejercicios: 1 – 21, 27 – 50 Aplicación: 84, 86 © copywriter

21. 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio © copywriter

23. Funciones crecientes y decrecientes a b c d f es CRECIENTE f es DECRECIENTE f es CRECIENTE Solución: f es CRECIENTE en: f es DECRECIENTE en: © copywriter B A C D

24. Definición f es creciente en un intervalo l si f(x 1 ) < f(x 2 ) siempre que x 1 < x 2 en l. f es decreciente en un intervalo l f(x 1 ) > f(x 2 ) siempre que x 1 < x 2 en l. x 1 x 2 f f(x 2 ) x 1 x 2 f f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 1 ) creciente decreciente © copywriter

25. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 x (años) W (lb) 200 150 100 50 Ejemplo: La siguiente gráfica da el peso W de una persona de la edad x . Determine los intervalos en los que la función W es creciente y en los que es decreciente. Solución: f es CRECIENTE en: ; CONSTANTE: f es DECRECIENTE en: . Esto significa que la persona ganó peso hasta los 25 años, luego entre 35 y 40. Perdió entre 40 y 50. © copywriter

26. Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde crece y disminuye la función a) Traze la gráfica de la función b) Halle el dominio y el rango de la función. c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye. Solución: a) Traze la gráfica de la función: © copywriter -20 20 -1 10 X Y

27. Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde crece y disminuye la función Solución: b) Halle el dominio y el rango de la función. c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye. © copywriter

32. Ejercicio 13; Pág. 179 © copywriter

34. 2.4 Transformaciones de funciones © copywriter

35. 2.4 Transformaciones de funciones En esta sección se estudia como ciertas transformaciones de una función afectan una gráfica. Las transformaciones son desplazamiento, reflexión y estiramiento. Veamos la definición Ejemplo: Desplazamientos vérticales de gráficas Gráfica © copywriter -20 20 10

36. Desplazamientos vérticales c y = f(x) + c y = f(x) Suponga que c > 0 Para gráficar y = f(x) + c , desplace c unidades hacia arriba la gráfica de y = f(x) . Para gráficar y = f(x) – c , desplace c unidades hacia abajo la gráfica de y = f(x) . c y = f(x) y = f(x) – c © copywriter x y x y

37. Ejemplo: Desplazamientos vérticales Use la gráfica f(x) = x 3 – 9x; usando la siguiente información para bosquejar la gráfica de cada función. a) g(x) = x 3 – 9x + 10 b) h(x) = x 3 – 9x – 20 f(x) = x 3 – 9x g(x) = x 3 – 9x + 10 h(x) = x 3 – 9x – 20 -30 30 Hacer gráficas © copywriter

38. Desplazamientos horizontales y = f(x) y = f(x – c) y = f(x + c) y = f(x) c c Suponga que c > 0. Para gráficar y = f(x – c) , desplace la gráfica de y = f(x) a la derecha c unidades. Para gráficar y = f(x + c) , desplace la gráfica de y = f(x) a la izquierda c unidades. © copywriter x y x y

39. Desplazamientos horizontales g(x) = (x + 4) 2 f(x) = x 2 h(x) = (x – 2) 2 Usemos la gráfica de f(x) = x 2 para trazar la gráfica de las siguientes funciones. a) g(x) = (x + 4) 2 b) h(x) = (x – 2) 2 Hacer gráficas © copywriter - 4 0 2

40. Ejemplo: Combinación de desplazamientos Bosqueje la gráfica de: (3, 4) grafica © copywriter 0

41. Reflexión de gráficas y = f(x) y = -f(x) y = f(-x) y = f(x) Para gráficar y = -f(x) , refleje la gráfica de y = f(x) en el eje x . Para gráficar y = f(-x) , refleje la gráfica de y = f(x) en el eje y . © copywriter x y x y

42. Ejemplo: Reflexión de gráficas Trace la gráfica de cada función: Hacer gráficas © copywriter 0

43. Pág. 190; Ejercicio 11 f(x) = x 2 g(x) = (x – 2) 2 11) 12) f(x ) = x 3 g(x) = x 3 + 3 © copywriter 0 2 0 2

44. Estiramiento y acortamiento vértical Para gráficar y = cf(x) : Si c>1 , alarge verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de c . Si 0 < c < 1 , acorte verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de c . y = cf(x) y = f(x) y = f(x) y = cf(x) c > 1 0 < c < 1 © copywriter x y x y

45. Acortamiento y alargamiento horizontal La gráfica de y = f(cx) : Si c > 1, acorte la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c. Si 0 < c < 1, alargue la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c. y = f(cx) y = f(x) y = f(cx) y = f(x) © copywriter x y x y

46. Funciones par e impar f(-x) f(x) -x x Sea f una función: f es par si f(-x) = f(x) para toda x en el dominio de f . f es impar si f(-x) = -f(x) para toda x en el dominio de f . f(x) f(-x) -x x La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje x. La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. © copywriter x y x y

48. f) e) Cont… © copywriter

49. Problemas para resolver Pág. 190 1 – 55 61 – 68 © copywriter

50. 2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos © copywriter

51. 2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo. En esta sección se aprende a cómo hallar los valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas y otras. Una función cuadrática es una función f de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a , b y c son números reales y a ≠ o © copywriter

52. Forma estándar de una función cuadrática Una función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c se puede expresar en la forma estándar f(x) = a(x – h ) 2 + k completando el cuadrado. La gráfica de f es un parábola con vértice ( h, k ); la parábola se abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0 . 0 h x y k Vértice (h, k) 0 h x y k Vértice (h, k) f(x) = a(x – h) 2 + k, a > 0 f(x) = a(x – h) 2 + k, a < 0 © copywriter

54. Ejemplo: Forma estándar de una función cuadrática b) Bosqueje la gráfica 0 3 x y 5 Vértice (3, 5) f(x) = 2(x – 3) 2 + 5 © copywriter

55. Valor máximo o mínimo de una función cuadrática Se f una función cuadrática con forma estándar f(x) = a(x – h) 2 + k. El valor máximo o míinimo de f ocurre en x = h. Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = k. Si a < 0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k. 0 h x y k mínimo 0 h x y k máximo f(x) = a(x – h) 2 + k, a > 0 f(x) = a(x – h) 2 + k, a < 0 © copywriter

58. Valor máximo o mínimo de una función cuadrática El valor máximo o mínimo de una función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c ocurre en: Si a > 0, entonces el valor mínimo es Si a < 0, entonces el valor máximo es © copywriter

60. Página 200 Ejercicios 1, 7 y 8, 19 y 20 y 38 (Para resolver en el salón) Ejercicios asignados: 1 – 58 Aplicación: 59 © copywriter

61. 2.7 Combinación de Funciones © copywriter

62. Combinación de Funciones En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir otras. SUMA, DIFERENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTES Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f + g , f – g , f(g) y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplicación y divide números reales. Se define la información f + g por: (f + g)(x) = f(x) + g(x) © copywriter

63. Algebra de Funciones Sean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones f + g, f – g, fg y f/g se definen como: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f – g)(x) = f(x) – g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) © copywriter

65. Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} Solución: En el dominio de f/g se excluye 0 porque g(0) = 0. © copywriter

66. b) Cada uno de estos valores existe porque x = 4 está en el dominio de cada función. 4 4 4 4 4 Solución: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 © copywriter

67. Ejemplo: Determine la composición de funciones © copywriter

68. Solución: a) Se tiene; g(x) Definición de f compuesta con g. x – 3 Definición de g. x – 3 Definición de f. f(x) Definición de g compuesta con f. x 2 Definición de f. x 2 – 3 Definición de g. © copywriter

69. Solución: b) Se tiene: © copywriter

70. Ejemplo Determine la composición de funciones El dominio f compuesta por g es {x / 2 – x ≥ 0} = {x / x ≤ 2} = (-∞, 2). © copywriter

71. © copywriter x ≥ 0 y para esté definida se debe tener es decir o bien x ≤ 4

72. © copywriter

73. Ejemplo: Una composición de tres funciones © copywriter

74. Ejemplo: Cómo reconocer una composición de funciones © copywriter

75. 2.7 Ejercicios (Para realizar en el salón) Encuentre f + g, f – g, fg y f/g y sus dominios: © copywriter

76. 2.7 Ejercicios 1 – 10 13 – 54 © copywriter

77. 2.8 Funciones uno a uno y sus inversas © copywriter

78. La inversa de una función es una regla actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondientes. Así, la inversa “deshase” o invierte lo que ha hecho la función. No todas las funciones tienen inversas; las que sí tienen se llaman funciones uno a uno. A B A B f g f es función g NO es función © copywriter

79. Definición de una función uno a uno Una función con dominio A se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, es decir, f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) siempre que x 1 ≠ x 2 © copywriter

80. Prueba de la recta horizontal Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal cruza su gráfica de una vez; y = f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 La función no es uno a uno porque f(x 1 ) = f(x 2 ). © copywriter

81. Ejemplo: Decidir si una función es uno a uno ¿La función f(x) = x 3 es uno a uno? f(x) = x 3 Por la prueba horizontal es uno a uno. © copywriter

82. Ejemplo: Decidir si una función es uno a uno ¿La función g(x) = x 2 es uno a uno? g(x) = x 2 Por la prueba horizontal es NO uno a uno. © copywriter

83. Ejemplo: Mostrar si una función es uno a uno Muestre que la función f(x) = 3x + 4 es uno a uno. Solución: Suponga que hay números x 1 y x 2 tales que f(x 1 ) = f(x 2 ) . Entonces, 3 x 1 + 4 = 3 x 2 + 4 3 x 1 = 3 x 2 x 1 = x 2 © copywriter

84. Definición de la inversa de una función Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f -1 tiene dominio en B y rango en A y está definida por; f -1 (y) = x ↔ f(x) = y para cualquier y en B. A B f f -1 Dominio de f -1 = rango de f Rango de f -1 = dominio de f © copywriter

85. Ejemplo: Encuentre f -1 para valores específicos Si f(1) = 5, f(3) = 7 y f(8) = -10 encuentre f -1 (5), f -1 (7) y f -1 (-10). Solución: Obtenemos lo siguiente de la definición de f -1 ; f -1 (5) = 1 porque f(1) = 5 f -1 (7) = 3 porque f(3) = 7 f -1 (-10) = 8 porque f(8) = -10 1 3 8 5 7 -10 1 3 8 5 7 -10 A B C D En forma de gráfica : f f -1 © copywriter

86. Propiedad de la función inversa Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa f -1 satisface las siguientes propiedades de cancelación. f -1 (f(x)) = x para toda x en A f(f -1 (x)) = x para toda x en B A la inversa, cualquier función f -1 que satisface estas ecuaciones es la inversa de f. © copywriter

87. Ejemplo Verificar que dos funciones son inversas Muestre que f(x) = x 3 y g(x) = x 1/3 son inversas entre sí. Solución: El dominio y el rango de f y de g son todos los Reales. g(f(x)) = g( ) = ( ) = x f(g(x)) = f( ) = ( ) = x Por consiguiente, son inversas entre sí. x 3 x 1/3 x 3 1/3 x 1/3 3 f(g(x)) = f( ) = = © copywriter Ejercicio 22, página 230: f(x) = 2x – 5; g(x) = Solución: