1. นายอิทธิเดช มูลมั่งมี
นักศึกษาปริญญาโท ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล
มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาธนบุรี
แนวคิดของการหาจุดตรึง (fixed point) มาจากวิธีการหาผลเฉลยโดยประมาณที่เรียกวา Successive
Approximation ซึ่งเปนวิธีการหาผลเฉลยโดยการคํานวณวนรอบซ้ํา (iteration) จากความสัมพันธ
x = T ( x ) เมื่อ n = 0 ,1, 2 ,... เมื่อการกําหนดเงื่อนไขเริ่มตน x มาให กลาวคือผลลัพธที่ไดจากการ
n +1 n 0
คํานวณในรอบกอน( n ) จะถูกสงคาไปยังรอบถัดๆไป( n + 1 ) จนกระทั่งคาของผลลัพธลูเขาสูคงที่คาหนึ่ง
เราเรียกคาคงที่นี้วา จุดตรึง
ทฤษฎีบทการสงแบบดึงดูด (contraction mapping theorem) หรือ ทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาค
(Banach fixed point theorem) เปนทฤษฎีบทที่อธิบายผลของการสงแบบดึงดูด (contraction mapping)
เมื่อพิจารณาบนปริภูมิเมตริกบริบูรณ (complete metric space) ซึ่งจะใหเงื่อนไขเพียงพอ (sufficient
condition) สําหรับการมีอยู (existence) และมีเพียงคาเดียว (uniqueness) ของจุดตรึง x * จากการสง T
ขางตน การคํานวณซ้ําจะทําใหลําดับ { x } ลูเขาจุดตรึง x * ดังบทนิยามตอไปนี้
n
บทนิยาม 1 (Fixed point)
ให T เปนการสงบนปริภูมิเวกเตอร X กลาวคือ T : X → X เรานิยาม x * ∈ X วาเปนจุดตรึง (fixed
point) ถา T (x *) = x * และนิยมเขียนแทนดวยสัญลักษณ T x* = x*

2. บทนิยาม 2 (Contraction)
ให X = (X , d ) เปนปริภูมิเมตริก เราจะกลาววา การสง T:X →X เปนการสงแบบดึงดูด
(contraction mapping) ถามีจํานวนจริงบวก α < 1 ซึ่งทําให
d (T x , T y ) ≤ α d ( x , y ) สําหรับทุกคา x , y∈ X
โดยที่จํานวนจริงบวก α เรียกวา คาคงที่การดึงดูด (contraction constant) ของการสง T
ปริภูมิ X x
d(x,y)
Tx
d(Tx,Ty)
y
Ty
รูปที่ 1 แสดงใหเห็นตัวอยางการสงแบบดึงดูดบนปริภูมิ X ใดๆ
เมื่อพิจารณาเฉพาะกรณีที่ T :ℜ → ℜ จากนิยามการสงแบบดึงดูดสามารถเขียนไดเปน
T ( y ) − T (x )
≤ α
y−x
ซึ่งความหมายทางเรขาคณิตคือ เสนตรงที่เชื่อมระหวางสองจุดใดๆ ของฟงกชั่น T ( ⋅ ) จะตองมีความชัน
ไมเกิน α ( 0 < α < 1 หรือ 45 ) ดังรูปที่ 2
o

3. T(y)
T(x) α
x y
รูปที่ 2 แสดงความหมายทางเรขาคณิตของคาคงที่การดึงดูด
โดยอาศัยความรูทางแคลคูลัส ความชันของเสนโคงที่จุดใดๆ ก็คือคาอนุพันธของเสนโคงที่จุดนั้น
dT ( x )
นั่นคือ 0 < ≤ α < 1
dx
กลาวคือ เราสามารถกําหนดคา α ไดจากเงื่อนไขคาอนุพันธของฟงกชั่นขางตน
ทฤษฎีบท 3 (Banach fixed point theorem หรือ Contraction Mapping Theorem)
กําหนดปริภูมิเมตริกบริบูรณ X = (X , d ) โดยที่ X ≠Ø และสมมติใหการสง T:X →X เปนการ
สงแบบดึงดูดบนเซต X จะไดวาการสง T มีผลเฉลย x*∈ X เปนจุดตรึงเพียงคาเดียว

4. พิสูจน
เริ่มตนโดยการกําหนดลําดับ { x } n และแสดงใหเห็นวา ลําดับดังกลาวเปนลําดับโคชี (Cauchy
sequence) ที่ลูเขาหาคา x* ซึ่งเปนจุดตรึงของการสง T ในปริภูมิเมตริกบริบูรณ X และจุดตรึง x* ที่
ไดมีเพียงคาเดียว (uniqueness)
โดยการเลือก x0 ∈ X พิจารณาการสง x n +1 = T x n สําหรับทุกจํานวนเต็ม n ≥ 0
d (x x +1 , x n ) = d (T x n , Tx n −1 ) ≤ α d ( x n , x n −1 ) = α d (T x n −1 , T x n − 2 )
≤ α 2 d ( x n −1 , x n − 2 ) = α 2 d (T x n − 2 , T x n −3 ) ≤ K ≤ α n d ( x1 , x0 )
อาศัยอสมการสามเหลี่ยม (triangle inequality) และอนุกรมเรขาคณิตจํากัด (finite geometric series)
โดยกําหนดให n<r
d ( x n , x r ) ≤ d ( x n , x n + 1 ) + d ( x n + 1 , x n + 2 ) + K + d ( x r −1 , x r )
( )
≤ α n + α n + 1 + K + α r −1 d ( x 0 , x 1 )
⎛ 1− α r−n ⎞
= α ⎜ n
⎜ 1−α ⎟ d ( x 0 , x1 )
⎟
⎝ ⎠
เนื่องจาก 0 <α <1 จึงทําให 1 − α r −n
<1 ดังนั้น
αn
d ( xn , xr ) ≤ d ( x0 , x1 ) (1)
1− α
และพบวา xn → xr ∈ X เมื่อ n → ∞ ดังนั้น { x } เปนลําดับโคชี
n
ตอไปจะแสดงใหเห็นวา ลําดับโคชีลูเขาสูคา x * ซึ่งเปนจุดตรึงของการสง T
จากอสมการสามเหลี่ยม d (x*, T x *) ≤ d (x*, xn ) + d ( xn , x *)
และพิจารณาการสง T x n −1 = x n จะไดวา d (x n , T x *) = d (T x n −1 , x *)

5. ดังนั้น d ( x*, T x *) ≤ d ( x*, x n ) + α d ( x n −1 , x *)
เมื่อ n มีคามากพอ จะทําใหดานขวาของอสมการมีคาเปนศูนย (Q x n → x *)
แสดงวา d (x*, T x *) = 0 นั่นคือ x * = T x * เปนจุดตรึงของการสง T
เพื่อที่จะพิสูจนวาจุดตรึงดังกลาวมีเพียงคาเดียว โดยการพิสูจนแบบขอขัดแยง (contradition)
สมมติใหมีจุดตรึงสองคา x* = T x* และ y* = T y*
จะไดวา d (x*, y *) = d (T x*, T y *) ≤ α d ( x*, y *) เมื่อ 0 ≤α <1
นั่นคือ x* = y* ซึ่งเกิดการขัดแยง ดังนันมีจุดตรึงคาเดียว
้ □
หมายเหตุ ทฤษฎีบท 3 ให เงื่ อ นไขเพี ย งพอที่จ ะบอกได เพีย งว า“ มี จุ ด ตรึ ง ถ า สอดคลอ งตาม
ขอกําหนดขางตน” แตเราไมสามารถใหขอสรุปเกี่ยวกับการมีอยูของจุดตรึงได หากไมสอดคลองกับ
เงื่อนไขดังกลาว
ตัวอยาง 1 จงพิจารณาวาฟงกชันที่กําหนดใหตอไปนี้เปนการสงแบบดึงดูดหรือไม ถาไมเปนให
พิจารณาตอไปวามีจุดตรึงหรือไม
1. ให F 1 :ℜ → ℜ กําหนดโดย F1 ( x ) = 2 x + 1
เนื่องจาก F1 ( x ) − F1 ( y ) = 2 x − 2 y = 2 ⋅ x − y
พบวา α = 2 >1 ดังนั้น F1 ไมเปนการสงแบบดึงดูด แตเราไมสามารถใชทฤษฎีบท 3 สรุปวาฟงกชัน
F1 ไมมีมีจุดตรึง ( ดูหมายเหตุขางบน ) ตรวจสอบคาของจุดตรึงโดย สมมติให x1 * เปนจุดตรึงของ
ฟงกชัน F จะได
1 F1 ( x1 *) = x1 * = 2 x1 * + 1 ซึ่งมี x1 * = -1 เปนจุดตรึงของฟงกชัน F 1
2. ให F 2 :ℜ → ℜ กําหนดโดย F2 ( x ) = x + 1
เนื่องจาก F2 ( x ) − F2 ( y ) = x − y = 1 ⋅ x − y พบวา α = 1 ดังนั้น F2 ไมเปนการสงแบบดึงดูด
ดวยวิธีเดียวกัน ตรวจสอบคาของจุดตรึงโดย สมมติให x2 * เปนจุดตรึงของฟงกชัน F 2

6. โดยบทนิยาม1 จะได F2 (x 2 *) = x 2 * = x 2 * + 1 ซึ่งพบวาสมการขางตนไมเปนจริง
ดังนั้น F2 จึงไมมีจุดตรึง
3. ให X = (0 , 1 ]
4 และ F3 : X → X กําหนดโดย F3 ( x ) = x 2
เนื่องจาก F3 ( x ) − F3 ( y ) = x 2 − y 2 = (x − y )( x + y ) ≤ ( x + y ) x+ y ≤ 1
2 x− y
ดังนั้น F เปนการสงแบบดึงดูด แตการสงนี้ไมมีจุดตรึงเนื่องจากไมสอดคลองกับทฤษฎีบท 3
3
โดยพิจารณาจาก 0 หรือ 1 ที่เราคิดเปนวาจุดตรึงของฟงกชัน F ไมไดเปนสมาชิกของ X ดังนั้น F ไม
3 3
บริบูรณ (not complete) ■
บทแทรก 4 (Iteration and Error Bounds)
ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท 3 ลําดับ { x } ของการคํานวณซ้ํา โดยคาเริ่มตน
n x0 ∈ X จะลูเขาสู
จุดตรึง x * เพียงคาเดียวจากการสง T และสามารถประมาณคาความคลาดเคลื่อน (error estimates)
ไดจาก
αn
การประมาณขั้นกอน (prior estimate) : d ( x n , x *) ≤ d ( x0 , x1 ) (2)
1− α
α
การประมาณขั้นหลัง (posterior estimate) : d ( xn , x *) ≤ d ( xn−1 , xn ) (3)
1− α
พิสูจน
เห็นไดชัดวา จากสมการ (1) เมื่อกําหนดให r→∞ จะได x r → x* ตามสมการ (2)
เราจะพิสูจนสมการ (3) โดยแทนคา n = 1 ลงใน (2) และกําหนดให y 0 = x0 , y1 = x1
α
จะได d ( y1 , x ) ≤ d ( y 0 , y1 ) โปรดสังเกตวา y 0 = x n −1 และ y1 = T y 0 = x n □
1−α

7. จากบทแทรก 4 การประมาณขั้นกอน จะถูกใชในการตรวจสอบจํานวนรอบ (n) ของการคํานวณซ้ํา เมื่อ
กําหนดคาความผิดพลาด ( ε ) โดยประมาณมาให โดยพิจารณาจากผลตางของคาที่ไดจากการคํานวณซ้ําครั้ง
ที่ n (หรือ xn ) กับคาจุดตรึง (x*) กลาวคือ
αn
จากสมการ (2) d (xn , x ) ≤ d ( x0 , x1 ) ≤ ε
1−α
ε (1 − α ) ⎡ ε (1 − α ) ⎤
จะได αn ≤
d (x0 , x1 )
⇒ n ln α ≤ ln ⎢ ⎥
⎣ d ( x0 , x1 ) ⎦
⎡ ε (1 − α ) ⎤
ln ⎢ ⎥
⎣ d ( x0 − x1 )⎦
(Q0 < α <1 ⇒ ln α < 0 ) n ≥
ln α
(2)
โดยทั่วไปคาความผิดพลาดจริง (actual error ; eact ) หาไดจาก
eact = คาจริง – คาที่คํานวณได (3)
สําหรับในทางปฏิบัติ หลายๆปญหาเราจะไมทราบคาความผิดพลาดจริง จึงจําเปนตองใชการประมาณ
คาความผิดพลาด (error estimate ; eest )ในระหวางการคํานวณซ้ํา โดยมี 2 วิธีดังนี้
1. อาศัยวิธีการประมาณขั้นหลัง
α
d (x n , x ) ≤ d ( x n −1 , x n ) ≤ eest (4)
1− α
2. อาศัยวิธีการประมาณโดยใชคาความผิดพลาดสัมพัทธ (relative error ; erel )
เมื่อพิจารณาจากบทแทรก (4) พบวาการประมาณขั้นหลังจะใหคาความผิดพลาดนอยกวาการ
ประมาณขั้นกอน
α αn
กลาวคือ d ( x n −1 , x n ) ≤ d ( x0 , x1 )
1− α 1− α
ดังนั้น d ( x n −1 , x n ) ≤ α n −1 d ( x0 , x1 ) (5)
สมการนี้บอกวาความผิดพลาดสัมพัทธครั้งที่ n-1 กับครั้งที่ n จะมีคาไมเกิน α n−1 d ( x0 , x1 )

8. ตัวอยาง 2 ให X = { x ∈ℜ : x ≥ 1 } ⊂ ℜ พิจารณาการสง T:X →X
กําหนดโดย Tx =
x 1
+ จงแสดงใหเห็นวา T เปนการสงแบบดึงดูด และประมาณรอบของการ
2 x
คํานวณซ้ํา เมื่อกําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตน x0 = 1 และคาความผิดพลาดไมเกิน 10-3
วิธีทํา ตรวจสอบวา T เปนการสงบนเซต X หรือไม
เนื่องจาก 1.5 ≤ T x ≤ ∞ ∀x∈ X ดังนั้น Tx จึงเปนการสงบนเซต X
หรือ T : X → X พิจารณาคาคงที่การดึงดูด α = sup T ′(x ) เมื่อ T ′( x ) =
1 1
− 2
x∈ X 2 x
1 1 1
(หมายเหตุ : α พิจารณาจากคาขอบเขตบนของฟงกชั่น T ′ ) จะได α = sup − 2 =
2 x 2
<1
x∈X
ดังนั้น T เปนการสงแบบดึงดูด
การประมาณจํานวนรอบการคํานวณซ้ํา อาศัยสมการ (2) เมื่อกําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตน x0 = 1
และคาความผิดพลาดไมเกิน 10-3 ( ε = 10 −3 ) เราจะได x1 = T x0 =
1
+ 1 = 1.5
2
ดังนั้น
⎡ ε (1 − α ) ⎤
ln ⎢ ⎥
n ≥ ⎣ d ( x 0 − x1 ) ⎦
ln α
⎡10 −3 1 − 1
ln ⎢
(2
)⎤
⎥
⎢ 1.5 − 1 ⎥
≥ ⎣ ⎦
ln 2
≥ 9 .9
≈ 10 ครั้ง
Note เมื่อพิจารณาคาจุดตรึงของการสง T x* = x* =
x*
+
1
2 x*
จะได (x *) 2
= 2 ⇒ x * = ± 2 ซึ่งเปนรูปแบบการคํานวณหารากที่สองนั่นเอง ■

9. ตัวอยาง 3 พิจารณาฟงกชั่น f (x ) = cos x บนโดเมน x ∈ [0 ,1] จงแสดงใหเห็นวา f เปนการ
สงแบบดึงดูด และประมาณรอบของการคํานวณซ้ํา เมื่อกําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตน x0 = 0 และคาความ
ผิดพลาดไมเกิน 5 × 10-7
วิธีทํา ตรวจสอบวา f เปนการสงบนเซต [0 ,1] หรือไม
โดยพิจารณาจาก 0 ≤ cos1 ≤ cos x ≤ 1 ∀ x ∈ [0 ,1] ดังนั้น f เปนการสงบนเซตเดิม
ตอไปหาคาคงที่การดึงดูด จาก f ′(x ) = − sin x เพราะวา f ′( x ) ≤ sin 1 < 1 ∀ x ∈ [0 ,1]
ดังนั้น f เปนการสงแบบดึงดูด โดยเลือกคาคงที่การดึงดูด α = sin 1
จากสมการ (2) เมื่อ x0 = 0 และ ε = 5 × 10 −7 เราจะได x1 = f ( x0 ) = cos 0 = 1
ดังนั้น
⎡ ε (1 − α ) ⎤
ln ⎢ ⎥
n ≥ ⎣ d (x 0 − x1 ) ⎦
ln α
⎡ 5 × 10 − 7 (1 − sin 1)⎤
ln ⎢ ⎥
⎣ 1− 0 ⎦
≥
ln (sin 1)
≥ 94 .7
≈ 95 ครั้ง ■
ตัวอยาง 4 พิจารณาขั้นตอนการคํานวณซ้ําของ f (x ) = x3 + x −1 = 0
ก) จงแสดงใหเห็นวา (
x n = g ( x n −1 ) = 1 + x n −1
2
) และถากําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตน x0 = 1
−1
จงคํานวณหาคําตอบออกมา 3 คา
ข) ประมาณคาความผิดพลาดจากคําตอบที่ไดจากขอ ก.

10. ค) ถากําหนดให f (x ) = 0 ในรูปของ x = 1 − x3 เราสามารถใชกระบวนการดังกลาวในการคํานวณซ้ํา
ไดหรือไม
วิธีทํา ก) จาก (
f (x ) = x x 2 +1 − 1 = 0 ) จะได x =
1
x +1
2
นั่นคือ x n (
= g ( x n −1 ) = 1 + x n −1
2
) เปนรูปแบบ (scheme) ของการคํานวณซ้ํา
−1
เมื่อกําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตน x0 = 1
x1 = g ( x0 ) = 1 + 12 ( ) −1
= 0.5
จะได x 2 = g ( x 2 ) = (1 + 0.5)
−1
= 0.8
x3 = g (x3 ) = (1 + 0.8)
−1
= 0.609
ข) พิจารณา α = max g ′(x ) (หมายเหตุ : α พิจารณาจากคาสูงสุดของฟงกชั่น g ′ )
x∈ℜ
เมื่อ g ′( x ) =
d
(
1+ x 2 ) −1
= −
2x
และ g ′′( x ) =
(
− 2 1+ x2 )
2
( )
+ 2 x ⋅ 2 1+ x 2 ⋅ 2 x
dx (1+ x ) 2 2
(1 + x )
2 4
เนื่องจาก g ′( x ) max ⇔ g ′′( x ) = 0 จะได (
8x 2 = 2 1+ x 2 ) ∴ x = 1
3
ดังนั้น α = max g ′(x ) = g ′⎛ 1 ⎞ =
⎜ ⎟
2 3
= 0.64 < 0.65 < 1
x∈ℜ ⎝ 3⎠ 16
9
เราอาจเลือก α = 0.65 เปนคาคงที่การดึงดูด
สําหรับปญหานี้ เราทราบคาที่แทจริงของรากสมการ คือ x1 = 0.6823 , x 2,3 = − 0.34 ± i1.16
คาความผิดพลาดจริง
การคํานวณซ้ํารอบที่ 1 : eact = 0.5 − 0.6823 = 0.18
การคํานวณซ้ํารอบที่ 2 : eact = 0.8 − 0.6823 = 0.12
การคํานวณซ้ํารอบที่ 3 : eact = 0.609 − 0.6823 = 0.07

11. α
จาก การประมาณขั้นหลัง d (x n , x ) ≤ d ( x n −1 , x n ) = eest
1− α
α
การคํานวณซ้ํารอบที่ 1 : eest = x0 − x1 =
0.65
0.5 − 1 = 0.93
1−α 1 − 0.65
α
การคํานวณซ้ํารอบที่ 2 : eest = x1 − x 2 =
0.65
0.8 − 0.5 = 0.56
1−α 1 − 0.65
α
การคํานวณซ้ํารอบที่ 3 : eest = x 2 − x3 =
0.65
0.609 − 0.8 = 0.36
1−α 1 − 0.65
ค) จากรู ปแบบที่ กํ า หนด ส ม ม ติ ให h( x ) = 1 − x 3 พิ จารณาช ว งของ x ที่ ทํ า ให
α = max h′( x ) < 1 ( ซึ่งเกิดการดึงดูดเขาสูจุดตรึง )
x∈ℜ
เมื่อ h′( x ) =
d
dx
( )
1 − x 3 = − 3x 2 จะได − 3x 2 < 1 หรือ x∈ − ( 1
3
, 1
3
)
กลาวคือ เราสามารถหาจุดตรึงไดจากการคํานวณซ้ํา โดยใชคาเริ่มตนภายในชวง (− 1
3
, 1
3
) ■
ในบทความนี้เราไดเห็นการนําทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาค (Banach fixed point theorem)
มาประยุกตใชในการประมาณจํานวนรอบการคํานวณซ้ํา ซึ่งจะพบไดบอยในการแกสมการคณิตศาสตร
โดยการกําหนดรูปแบบ (scheme) ของฟงกชันที่เหมาะสม ทําใหเปนการสงแบบดึงดูด สามารถประมาณ
จํานวนรอบการคํานวณซ้ําได โดยปกติจะใหจํานวนรอบที่มากกวาความเปนจริง ทั้งนี้ขึ้นอยูกับการเลือก
คาคงที่การดึงดูด และสามารถบอกคาความผิดพลาดไดสองแบบ อยางไรก็ตามเนื้อหาของบทความนี้ตอง
อาศัยความรูในเรื่องปริภูมิเมตริก (metric space) ซึ่งไมไดกลาวไว นอกจากนั้นยังมีทฤษฎีบทจุดตรึง (fixed
point theorem) ในเวอรชั่นอื่นอีก เชน Brouwer , Leray-Schauder and Kakutani Fixed Point Theorem
เปนตน ซึ่งขึ้นอยูกับการนําไปประยุกตใช โดยหัวเรื่องหลักที่มีการนําทฤษฎีบทจุดตรึงมาใช ไดแก
สมการพีชคณิตเชิงเสน (linear algebraic equations) สมการเชิงอนุพันธสามัญ (ordinary differential
equations) สมการอินทิกรัล (integral equations) และ Incremental Small Gain Theorem ในทฤษฎีระบบ
ควบคุมไมเชิงเสน (nonlinear control theory) เปนตน
สําหรับผูอานที่สนใจในรายละเอียดเรื่อง ทฤษฎีบทการสงแบบดึงดูด (contraction mapping theorem)
หาอานไดจากหนังสือของ D.R. Smart. ˝Fixed Point Theorems.˝Cambridge University Press, 1973

12. เอกสารอางอิง
1. E.Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley, New York, 1978.
2. J.T.Oden. Applied Functional Analysis. A First Course for Students of Mechanics and Engineering
Science. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1979.
3. S.Sastry. Nonlinear Systems. Analysis, Stability, and Control. Springer-Verlag, New York, 1999.

13. ขอมูล
ชื่อบัญชี นายสมเกียรติ มูลมั่งมี เลขที่บัญชีฝากประจําธนาคารไทยพาณิชย 077-106204-2
ที่อยูที่สามารถติดตอได 53/463 หมูบานสามัคคี (นวมินทร 105) ถนนนวมินทร

ตําบลคลองกุม เขตบึงกุม กทม. 10240
เบอรโทรศัพท 08-6579-4040 หรือ 02-5108103