Medidas de Tendencia Central

3. Las medidas de tendencia central son parámetros o estadísticos representativos de distribuciones de frecuencia como las que ilustra la imagen. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

4. MEDIA ARITMETICA Media Aritmética : Se define como el “centro de gravedad” de la distribución estadística de una variable. Sea X una variable cuantitativa donde X 1 , X 2 , ….. X k ; y f 1 , f 2 ,….. f k son sus respectivos valores y frecuencias, entonces a la media aritmética de X la denotaremos por si se trata de una muestra ó µ x si analizamos la población, luego:

5. CALCULO DE LA MEDIA ARITMETICA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados (DFDNA): P.ej: Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez: Luego: Ubicación de la Media Aritmética 12,2

6. CALCULO DE LA MEDIA ARITMETICA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos Agrupados: P.ej: Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla: Luego: 172,5 177,5 182,5 187,5 192,5 197,5 1 3 2 5 4 6 8 7 No. Jugadores Estatura (cms)

7. PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA 1 . La suma de las diferencias de la variable con respecto a la media es nula, es decir: 2 . La suma de los desvíos de los valores de una variable respecto a la media aritmética de estos es un mínimo, es decir: 3 . Si sumamos o restamos una constante a todos los valores de una variable manteniendo fijas las frecuencias entonces la media de la nueva variable así generada será igual a la media de la variable origina más o menos la constante, según sea el caso:

8. PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA Sean X 1 , X 2 , ….. X k y f 1 , f 2 ,….. f k los valores de la variable X y sus respectivas frecuencias y cuya media es , entonces si sumamos o restamos una constante C a cada valor de X para así generar la variable Y , es decir: Y 1 = X 1 ± C ; Y 2 = X 2 ± C ; ……Y k ,=X k ± C, manteniendo Y las mismas frecuencias que X entonces: 4 . Si multiplicamos o dividimos por una constante a todos los valores de una variable manteniendo fijas las frecuencias entonces la media de la nueva variable así generada será igual a la media de la variable original multiplicada o dividida por la constante, según sea el caso:

9. PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA 5. La media aritmética es un operador lineal, es decir: Si Y = a X + b; donde a, b son constantes entonces: 6. Dados r muestras de la misma variable cada una de tamaño n 1 , n 2 , ..., n r observaciones y siendo , , ..., las respectivas medias de cada uno de ellas; entonces la media aritmética de la unión de todas las muestras es: A la expresión demarcada se le conoce como media ponderada

10. PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA 7. Dados r muestras de la misma variable cada una de igual tamaño n observaciones y siendo , , ..., las respectivas medias de cada uno de ellas; entonces la media aritmética de la unión de todas las muestras es: Es la media simple de las medias de las muestras

12. MEDIANA Mediana Se define como el valor de la variable que divide la distribución en dos parte iguales del 50%, es decir, el 50% de los datos es menor o igual a él y el restante 50% el mayor o igual a él. Se denota M e El 50% de los primeros datos de la distribución son ≤ Me El restante 50% de los datos de distribución son ≥ Me M e

14. CALCULO DE LA MEDIANA Si organizamos la serie de datos anterior denotando la posición que ocupa cada observación tenemos: X 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, ….. 11, 12, 12,…… 12, 12,……50 Posición: 1ª, 2ª, 3ª, 4ª, 5ª, 6ª, 7ª, 8ª,……,14ª, 15ª,16ª,…… 25ª ,26ª,..50ª 9 10 11 12 13 14 15 2 6 4 10 8 12 16 14 No.Niños M e Meses

16. CALCULO DE LA MEDIANA Donde: l me = limite inferior de clase que contiene a la M e F me-1 = Frecuencia acumulada hasta la clase inmediata anterior a la clase que contiene a la M e f me = la frecuencia de la clase que contiene a la M e ; y C me = El rango de la clase que contiene a la M e Nota: La clase o intervalo que contiene a la M e es aquella correspondiente a la frecuencia acumulada inmediata mayor a n/2

17. CALCULO DE LA MEDIANA En el ejemplo: n/2 = 23/2 = 11,5 luego no existe frecuencia acumulada igual a n/2 por lo tanto buscamos la frecuencia acumulada inmediata superior a N/2 que resulta la F 4 = 16, luego la clase que contiene a la Me es la cuarta clase entonces: 172,5 177,5 182,5 187,5 192,5 197,5 1 3 2 5 4 6 8 7 No. Jugadores Estatura (cms)

18. CALCULO DE LA MEDIANA Analizando trigonométricamente los triangulas rectángulos ABC y ADE se genera la formula de interpolación de la Mediana: l 1 L 1 L 2 ………. L me-1 L me …………… F 1 F 2 F me-1 F me : : : : n n/2 M e A B C E D

20. MODO o MODA Modo o Moda Se define como el valor de la variable que más se repite, es decir, el valor de la variable que tenga frecuencia máxima. Se denota con M o M o = X j si y solo si f j = Max { f i , i=1, 2, 3,…..k} Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

23. CALCULO DEL MODO En nuestro ejemplo: f mo = 8; luego X = 186,63 cms M e = 187,18 cms M o = 187, 86 172,5 177,5 182,5 187,5 192,5 197,5 1 3 2 5 4 6 8 7 No. Jugadores Estatura (cms)