Algebra 4to...Ecuaciones e inecuaciones de 2º Grado

I.E. Jorge Basadre Grohman - Huaraz

I.E. JORGE BASADRE GROHMAN

6
x 42
40
18
x36

1 1 1
n m p
a b c  a n .b m.n .c n.m.p

Tercer Trimestre 1 4to. de Secundaria


Capítulo 1



Forma General:

ax2  bx  c  0

a,b y c: Coeficientes. (a,b,c  R)
2
ax : Términos Cuadráticos
bx : Termino lineal
c : Termino Independiente

Resolución de la Ecuación de Segundo Grado
er
I. Por Factorización. Consiste en Factorizar el 1 .
Termino de la ecuación, empleando aspa simple o
complementando cuadrados enseguida se iguala a cero
cada uno de los factores obtenidos.

Ejemplo:
2
Resolver: 2x -5x-3 = 0
2
2x -5x -3 = 0
2
2x +1
1x -3

1
x1  
(2x+1)(x-3) = 0 2
x2  3



2
II. Por Formula. Las raíces de la ecuación ax +bx+c = 0 se
obtiene mediante formula:

b  b2  4ac
x
2a

Las raíces x1 y x2 de la ecuación son:

b  b2  4ac
x1 
2a

b  b2  4ac
x2 
2a

O expresando de otro modo, la solución es:

 b  b2  4ac b  b2  4ac
 

 ; 

 2a 2a 

Ejemplo:
2
Resolver: x +x+3 = 0

Solución:

a=1 ; b=1 ; c=3

Remplazando en la formula:

1  (1)2  4(1)(3) 1  11i
x 
2(1) 2

1  11i 1  11i
x1  ; x2 
2 2



Propiedad de las Raíces

1. Suma de Raíces. Se obtiene dividiendo el
coeficiente del termino lineal con el signo cambiando,
entre el coeficiente del termino cuadrático.

b
x1  x2  
a

2. Producto de Raíces. Se determina dividiendo el
término independiente entre el coeficiente del término
cuadrático.

c
x1.x2 
a

3. Diferencia de Raíces. Se calcula con la siguiente
fórmula.

Donde:  = b -4ac
2


| x1  x2 |
a

Naturaleza de las Raíces

Para conocer la naturaleza de las raíces de la ecuación
cuadrática se analiza el valor que toma la siguiente relación:
 = b -4ac (discriminante)
2

Se presentan los siguientes casos:

1. >0 ; se obtiene 2 raíces reales y diferentes.

2. =0 ; se obtiene 2 raíces reales e iguales.

3. <0 ; se obtiene 2 raíces complejas conjugadas.



Observaciones: Teorema:

  0 ; Raíces Reales Si las ecuaciones:

Propiedades Adicionales a1x2  b1x  c1  0

Raíces Simétricas a2 x2  b2c  c2  0

x1  x2  0 Son equivalentes:

Rices Reciprocas a1 b1 c1
  
a2 b2 c2
x1.x2  1

Formación de la Ecuación de Segundo Grado

Existen 2 procedimientos para formar una ecuación:

do
1. Se forma un producto de 2 . grado a partir de las
raíces de los binomios cuyo primer término es la
incógnita. Siendo los segundos las raíces con signos
cambiados; finalmente se iguala a cero dicho producto.

2. Consiste en calcular la suma “S” y el producto “P” de
las raíces; luego se remplaza estos dos valores en la
siguiente fórmula:

x2  Sx  P  0


CEP Santa María de la Providencia

PROBLEMAS
NIVEL I

01.- Resolver: x 2  9x  20  0 . Indicar una solución:

a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 7

02.- Resolver: x 2  6x  9  n2
hallar un valor de “x”

a) n+1 b) n-1 c) n-3 d) n-2 e) 3-n

03.- Hallar “m” si las raíces de la ecuación:
x2  (m  7)x  25  0 ; m  0 , son iguales.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04.- Hallar “n”, si la ecuación presenta raíz doble:
9x2  (n  2)x  1  0 ; n  0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10

05.- Hallar “n” , si la suma de raíces de la ecuación es 12.
(n  1)x2  3(n  5)x  10  0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10

06.- Hallar “m” , si la suma de raíces de la ecuación es 3.
(m  2)x2  (2m  5)x  4m  1  0
a) 10 b) 9 c) 11 d) 12 e) 16

07.- Hallar “m”, si el producto de raíces es 20.
(m  2)x2  (m  7)x  2(9m  1)  0
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

Tercer Periodo 9 5to. de Secundaria


08.- Hallar “m”, si la ecuación tiene por raiz a 2; “m” es impar;
5x2  10x  m2  5m  6  0

a) 1 b) 21 c) 3 d) 5 e) 7

09.- Hallar “n”, si la ecuación tiene por raíz a 2; n<0
(n  2)x2  (2n  3)x  n2  27  0
a) -3 b) -2 c) -1 d) -5 e) -10

10.- Formar la ecuación de 2do grado sabiendo que sus raíces
son: x1 = 7  2 ; x2 = 7  2
2
a) x -14x + 49 = 0
2
b) b) x -14x + 45 = 0
2
c) x -14x + 47 = 0
2
d) x +14x-47 = 0
2
e) x -14x -47 = 0

NIVEL II

01.- Una raíz de la ecuación: abx2  (3a  2b)x  6  0

a) -2/b b) -2/a c) 3/b d) 4/b e) 6/b
2
02.- Si una raíz de la ecuación : ax +b+c = 0
b2
es el cuádruple de la otra. Calcular: E =
ac

a) 5/2 b) -5/2 c) 5/4 d) 25/4 e) 36/25
2
03.- Hallar “m”, si el trinomio: F(x) = 9x +2mx+m es cuadrado
perfecto; m > 0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 10



04.- Hallar “m”, si las raíces de la ecuación son recíprocas.
(m  3)x2  (m  2)x  3m  15  0

a) 1 b) 2 c) 6 d) 7 e) 8

05.- Para que valor de “n”, las raíces de la ecuación:
x 2  3x n  1

5x  2 n1
son simétricas.
a) 5 b) 4 d) 3 d) 2 e) 1
2
06.- Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x - 3x + 1 = 0
Calcular el valor de:
2 2
T  x1(x1  1)  x 2 (x 2  1)
a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 45

07.- Para que valor de “n” las raíces de la ecuación:
4x 2  nx  5  0
Verifican: 3x1 + x2 = - 8
x1 + 3x2 = -4

a) -12 b) 6 c) -6 d) 18 e) 12

08.- Calcular:
E = (5 - x1)(7+ x1)(5-x2)(7+ x2)
Sabiendo que: x1 y x2 son las raíces de la ecuación:
2
x –x+1=0

a) 1120 b) 1197 c) 1161 d) 2214 e) 1125

09.- Determinar el valor de “m” de tal manera que la ecuación
cuadrática en: x 2  2(m2  4m)x  m4  0 tenga sus dos raíces
con un mismo valor diferente de cero.

a) 1 b) 4 c) -2 d) -4 e) 2



10.- Para que valor de “n”, el discriminante de la ecuación:
2
x – 8x + n = 0 es igual a 20.

a) 44 b) 11 c) 33 d) 22 e) 17

NIVEL III

01.- Indicar una raíz de la ecuación cuadrática:
n1
x x  4n  1  0
a) 6 b) 6 c) 3 d) 3 e) NA

02.- Determinar el menor valor de “m”, de tal manera que la
ecuación:
2
ax – (m+1)x + 1 – m = 0
de raíces: x1 y x2
1 1 3m  17
verifique:  
x1 x2 m4
a) 7 b) 3,5 c) 3 d) 1,5 e) 4
2
03.- Dada la ecuación: x – x + 2 = 0
de raíces x1 y x2 , calcular:
2
x1 x22
E 
1  x1 1  x 2
a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) -4

04.- Encontrar la mayor solución de la ecuación:
x 2  (3 4  23 2)x  1  0
a) 3 2 b) 3
2 1 c) 3
4  3 2 1
3 3
d) 2 1 e) 4  3 2 1

05.- Para que valor de “n”, el mínimo valor del trinomio:
2
P(x) = x – 2x + n es 4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5



06.- Formar la ecuación de 2do grado cuyas raíces sean 3 veces
las inversas al cuadrado de las raíces de:
2
x + x + 12 = 0
2
a) 48x +23x+1 = 0
2
b) 48x -23x+3 = 0
2
c) 48x +23x+3 = 0
2
d) x +23x+31 = 0
2
e) 16x -23x-3 = 0

07.- Indicar la mayor solución de la ecuación:
4  3  5x  4 3  1  5x  3 1  3  2x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 3 e) 5

08.- Si las ecuaciones:
2
(2m+1)x – (3m-1)x + 2 = 0
2
(n+2)x – (2n+1)x – 1 = 0

son equivalentes, calcular “m”.
a) -9 b) 6,5 c) 9 d) -6,5 e) 14

09.- Para valor de “m”, las raíces de la ecuación:

x(x  1)  (m  1) x

(x  1)(m  1) m
son iguales.
a) 1/6 b) 1/5 c) ¼ d) 1/3 e) 1/2

10.- Para que valor de “” la diferencia de las raíces de la
ecuación:
2
4x – 10(+1)x + 14 + 5 = 0
será mínima.

a) 11/50 b) 12/49 c) -12/49 d) -13/48 e) 3/25



PROBLEMAS ADICIONALES
3 3 2
01.- Resolver: (x+3) – x – 9x = 54

a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2

02.- Hallar el valor de “x” en:
xa xb xc
 
ab ac bc
a2 b2 c2
a) b) c)
abc abc cab
b2 abc
d) e)
bca abc

03.- Luego de resolver:
x 1 2 x
3 indicar el valor de: x 1  1
x 1 2 x
a) 4 b) 3,5 c) 3 d) 2,5 e) 2

04.- Hallar “x”:
a a b b
b 1 x   a  1 x   1
  
a) a+b b) a-b c) a d) b e) ab

05.- Hallar “x” en:
x 1 1 x
 2
xab xab
2 2
a) a-b b) (a-b) c) a+b d) (a+b) e) ab

06.- Hallar “x” en:
3
a  x  3 a  x  3 5a
2 2 2 2 2
a) 5a /4 b) 4a /5 c) a /4 d) a /5 e) a



2
07.- Resolver: 2x  9  2x  3 . Hallar “x”
a) -3 b) -2 c) -4 d) -5
e) incompatible
2
08.- Calcular “m” en la ecuación: 3x – 7x + m = 0
si una raíz es 6 veces la otra.
a) 3 b) -1 c) -2 d) 4 e) 2

09.- Dada la ecuación:
2
2x – 12x + p = -2
Calcular “p”, para que la diferencia de sus raíces sea 2.

a) -7 b) -1 c) -14 d) 14 e) 1
2
10.- Si: x1 y x2 son raíces de la ecuación: 5x + 4x – 2 = 0 ,
x x
calcular: E = 1  2
x2 x1
a) -3,6 b) 4,8 c) 7,5 d) 4,5 e) 5,4
2
11.- Si una raíz de la ecuación: x + (m+6)x + 6m = 0
es 3, calcular “m”.
a) 1 b) 3 c) 0 d) -3 e) 2
2
12.- Hallar “a”, para que la ecuación: (a+2)x – 1 = (2a+2)x – a
tenga raíz de multiplicidad dos.
a) 4 b) 6 c) 1 d) -1 e) NA
2 2
13.- Hallar: (x + ax + a ) si:
x  a  x  a 4x  a

xa  xa 2a

2 2 2 2 2
a) a /16 b) 61a /16 c) 25a /16 d) 9a /16 e) a
2
14.- Calcular: (x1 – x2 ) si: x1 y x2 son raíces de:
2
x + 7x + 5 = 0

a) 19 b) 29 c) 16 d) 25 e) 4



15.- Calcular el producto de los valores de “n” para que la
2
siguiente ecuación: (n+6)x + (n+3)x = 2 – n
tenga una raíz doble.

a) -5 b) 3 c) -3 d) -16 e) NA
2
16.- Si las raíces de la ecuación: x + px + q = 0 son: “p” y “q”
indicar una de tales raíces.

a) 4 b) -2 c) 3 d) -3 e) 2
2
17.- La ecuación: ax + bx + c = 0 tiene por conjunto solución a:
 n+1 n  2  b2  4ac
 ;  luego un valor de: E = es:
 n n  1 (a  b  c)2
a) n b) 1 c) n+1 d) n+2 e) 2

 p2  2 p2
18.- Si la ecuación: 1 q   x  p(1  q)x  q(q  1)  0
 2  2
 
p2
tiene una raíz de multiplicidad dos, calcular:
q
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 18

19.- Si las raíces de la ecuación: ax 2  b(b  2 a )x  b2  0
Están en la relación: p/q calcule:
p q b2
E  
q p a
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 18

20.- Si: “a” , “b” y “c” son nulos y diferentes entre si, que se puede
afirmar acerca de las raíces de:
a b c
  0
xa xb xc
a) son complejas conjugadas b) son reales
c) son reales e iguales d) son reales y diferentes



Capítulo 2



Relación de Orden

a<b  b–a>0

Axioma de Tricotomía

 a Є R se cumple una y solamente una de las siguientes
relaciones:

a>0 a<0 a=0

Teoremas Básicos de la Desigualdad

01. a < b  a+c < b+c ,  a,b,c Є R
02. a < b  c > 0  ac < bc ;  a,b Є R
03. a < b  c < 0  ac > bc ;  a,b Є R
04. ab > 0  { (a>0  b>0)  (a<0  b<0)} signos iguales
05. ab < 0  { (a>0  b<0)  (a<0  b>0)} signos iguales
 a Є R – {0}: a y a presentan el mismo signo.
-1
06.
 1
a>0     0
a
 1
a<0   0
a

,nЄN
2n-1 2n-1
07. a<b  a <b
0<a<b  a <b ,nЄN
2n 2n
08.
a<b<0  a >b ,nЄN
2n 2n
09.
Si: a < x < b  ab < 0 entonces 0  x < Max(a , b )
2 2 2
10.
11. Si: a < b  c < d entonces a+c < b+d
12. Si: 0 < a < b  0 < c < d entonces ac < bd



ab
13. Si: 0 < a < b entonces: a  b
2
14. Si: 0 < a < b entonces: a  ab  b

INECUACIONES DE 2DO GRADO

2
Forma: ax + bx + c = 0

 Resolución por el Método de los puntos críticos

1. Se factoriza el polinomio mediante una aspa simple.
2. Se hallan los puntos críticos, igualando cada factor a cero y
se ubican en la recta numérica o eje lineal de coordenadas.
3. De derecha a izquierda se ubican los signos (+) y menos (–)
en forma alternada en cada intervalo.
4. Luego, si P(x) 0 se tomarán los intervalos (+) y si P(x)0 se
tomarán los intervalos negativos.

Ejemplo:

x –x–6  0
2
Resolver:

Respuesta: x  [ –2 ; 3 ]



PROBLEMAS

BLOQUE I
2
01.- Resolver: x – x – 6 = 0 . Dar un intervalo solución

a)  ;2]  3;  
b)  ;2]  [3;  
c) [2;3]
d)  3;  
e)  ;2 

2
02.- Resolver: 3x – 11x + 6 < 0 . Su intervalo solución será:

a) <2/3;3> b) <-∞;2/3> U<3;+∞>
c) [2/3;3] d) Ф e) 3;+ ∞>

03.- Resolver: x  9 . Dar su intervalo solución.
2

a) [-3;3] b) <-∞;-3] U [3;+∞> c) R
d) Ф e) <-3;3>
2
04.- Resolver: x > 3 . Dar un intervalo de su solución.

a) <-3;3> b) <-3;+ ∞> c) <3;+∞>
d) R e) Ф
2
05.- Resolver: x – 4x + 1 < 0 . Dar un intervalo solución

a) [0;2+ 3 > b) [2- 3 ;0> c) R
d) Hay 2 respuestas e) Ф

x – 2x – 1  0 . Dar un intervalo solución
2
06.- Resolver:

a) [1+ 2 ;+∞> b) [1- 2 ;1+ 2 ]
c) <-∞;1- 2 > d) R e) Ф



2
07.- Resolver: 3x – 2x – 5 < 0 . Dar un intervalo solución

a) <-∞;-1> b) <5/3 ;+∞> c) <-1;5/3 > d) Ф e) R
2
08.- Resolver: x – 6x +25 < 11

a) <3;+∞> b) <-5;+∞>
+
c) Ф d) R e) R

(x-3)  0
2
09.- Resolver:

a) R b) [3;+ ∞> c) <-∞;3] d) 3 e) Ф
2
10.- Resolver: x – 8x + 8 > 4 – 4x

a) [2;+ ∞> b) <-∞;2> c) <2;+ ∞> d) R – {2} e) Ф

BLOQUE II

01.- Hallar los valores de “m”, para que la ecuación cuadrática:
2
(m+3)x – 2mx + 4 = 0
tenga soluciones reales.

a) <-∞;-2>U<6;+∞> b) <-2;6> c) <-6;2>
d) <-∞;-6>U<2;+∞> e) Ф

02.- Halle el mayor valor de “k”, si:
x – 12x + 40  k
2

satisface:  x  R

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

(x-2)  16
2
03.- Resolver:

a) <-∞;-2]U[6;+∞> b) <-2;6> c) [-2;6] d) R e) Ф



04.- Si el intervalo solución de: 5(x  1)2  3(x  1)2  12x  8
es <-∞;a>U<b; +∞> . Hallar a – b

a) -5 b) 12 c) 8 d) -2 e) NA

05.- Sea la inecuación cuadrática: x – mx + p  0
2

cuya solución es: x  [2;4] , indique: (pm)/2

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3

06.- Resolver el sistema:
2
x – 11x + 24 < 0
2
x – 9x + 20 > 0
dar como respuesta el número de valores enteros que verifican.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

x + ab  (a+b)x
2
07.- Resolver: a<b<0

a) x  a b) x  b c) b  x  a d) a  x  b e) x  a+b

08.- Resolver:
3 3
x(x  5)   (x  4)(x  1) 
x6 x6
a) Ф b) R c) 6 d) x  R – {6}
e) <-3; +∞>

09.- Hallar el número “M”, con la propiedad que  x  R
1 + 6x – x  M
2

a) 8 b) 11 c) 9 d) 12 e) 10

10.- Sea la inecuación cuadrática: ax + (a+3)x + 4  0
2

si su conjunto solución es unitario, indique el menor valor de “a”.

a) 9 b) -1 c) 1 d) -9 e) 0



BLOQUE III

01.- Sea el sistema de ecuaciones:
x – 8x – 9  0
2

x a
si su conjunto solución es unitario, indique el valor de “a”.

a) 8 b) 8,5 c) 9 d) -1 e) 7
2
02.- El conjunto solución de: ax + bx + c < 0 ; a>0 es:
3
 2;  . Hallar “a.b.c”. {a,b,c}  Z
5

a) -210 b) -180 c) -120 d) 180 e) 210

03.- Al resolver el sistema:

x + x + 1  x + 50 < x – 3x + 50
2 2

su solución es: [a;b>U<c;d] indique: M = ac – b – d

a) -28 b) -35 c) 0 d) 19 e) 21
2
04.- La inecuación cuadrática: x + ax + b > 0
{a,b}  Z , tiene como conjuto solución: R – [1- 5 ;1+ 5 ]
2 3
Hallar a – b

a) 4 b) 64 c) 68 d) 60 e) 65

05.- Hallar “a”, para que el sistema:
2
2x + 3x – 9 < 0
2
2x – 3x – 5 < 0
x>a
Tenga solución única en Z.

a) -0,3 b) 0,2 c) 1,2 d) -1,3 e) 2



ax + bx  a + bx
2
06.- Resolver: ; b<a<0

a) <1;a/b>
b) <-∞;1>U<a/b;+∞>
c) <1;b/a>
d) <-∞;1>U<b/a;+∞>
e) <-∞;-a/b>U<1;+∞>

2
07.- Resolver: x + 18 < 9x
2
x > 2x

a) <3;6> b) <2;4> c) <-1;4> d) <6:9> e) R

08.- Sean los conjuntos:

A = { x  R / x – x – 2  0}
2

B = { x  R / x – 4x – 5  0}
2

Hallar A  B

a) [2;5]U{-1} b) [-1;2]U[5; +∞> c) <-∞;-1]U[2;5]
d) [2;5] e) NA

09.- Del problema anterior, hallar A  B

a) <-∞; +∞> b) <-∞;5] c) <-∞;-1]
d) <-∞;2] e) NA

10.- Del problema 8, hallar: (A’  B’)

a) {-1} b) <2;5> c) <-1;5> d) Ф e) NA



Sistemas de Inecuaciones


2x – 3 > x – 2
3x–7 < x – 1

a) 1<x<3 b) 1<x<2 c) –1<x<2 d) –1<x<3 e) NA


2x + 3(x+1) < x +1
2(x+3) > x + 2

a) –2<x<1 b) –4<x<2 c) –4<x<1 d) –2<x<5 e) NA


x x
 8
3 5
x 4x
 5
2 9

a) x>10 b) x>2 c) x<3 d) x<15 e) NA


(x-1) – (x+3)  0
2 2

x – 3(x-1)  3

a) –2x0 b) –3x0 c) 1x0 d) –1x0 e) NA



05.- Resolver: 5(x-2) – x > 2

1 – 3(-1) < -2

a) x  <3;> b) x  <-3;> c) x  <11;>
d) x  <2;> e) x  <1;>

06.- Resolver: 7x+3  5(x-4) + 1
4x+1  43 – 3(7+x)

a) [-11;3] b) [1;3] c) [3;11] d) [2;5] e) NA

07.- Resolver:
x 1 x 3
 2
2 3
3x  1
0
2

a) <1/3;7] b) <1/3;2] c) <1/4;9] d) <0;5] e) <1/3;9]

08.- Resolver:
x
 1 x
2
3x  1
 1
2
a) <-2;2] b) <1;2] c) <1;4] d) <-2;-1> e) <1/3;2>]

09.-Resolver:
5x  8
 x  2x
3
6  15 x
1 x
4

a) [2/11;2] b) <1/3;2] c) <1/4;9] d) <0;5] e) <1/3;9]



10.- Resolver:
x4  8
2x  5  15
3x  1

a) <-;0> b) <-;1> c) <-;2> d) <-;3> e) NA

11.- Dado el sistema:

2x  3 x  1
 1
2 3
¿Cuántos valores enteros cumplen?
x
2  1
2

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7



Capítulo 3



Son aquellas que presentan la siguiente forma general:

+ ........ + an > 0 ; ( < ;  ;  )
n n-1 n-2
a0x + a1x + a2x

n  Z  n3 ; a0 ; a1 ; a2 ; a3 ……. ; an
+

Procedimiento:

a) Se factoriza el polinomio teniendo en cuenta que todos
los factores primos tengan coeficiente principal positivo.
b) Se hallan a continuación los puntos críticos, igualando
cada factor a cero y estos se ubican en la recta numérica,
guardando su relación de orden.
c) Se forma así intervalos, los cuales de derecha a
izquierda, poseen un signo comenzando con el signo más
y alternando con el signo menos.
d) Si el P(x)  0 , se toman los intervalos positivos; si el P (x) 
0 , se toman los intervalos negativos, obteniendo así el
intervalo solución.

x – 6x + 11x – 6  0
3 2
Ejemplo: Resolver:

Respuesta: x  <–;1]U[2;3]



2
Nota: a veces se encuentran trinomios y = ax + bx + c que no
son factorizables entonces se calcula su discriminante. Si: < 0 y
a>0, entonces el trinomio es (+)  xR, por ellos se descarta de
la inecuación o simplemente pasa a dividir, esto no altera el
sentido de la desigualdad.
2n +
1. Si encontramos factores de la forma (ax+b) ; nZ estos
pasan a dividir o se descartan pero su punto crítico queda
pendiente de si es solución o no.
2n+1 +
2. Si encontramos factores de la forma: (ax+b) ; nZ
quedará en la inecuación sólo (ax+b)

Ejemplo:

(x –2x+4) (x+3) (x–7) (x+1) (x-2)  0
2 2 3

Solución


2
El trinomio (x –2x+4) tiene = –12 negativo, coeficiente
principal positivo por lo tanto es (+)  x  R se descarta o
pasa a dividir sin alterar el sentido.

2
El factor (x+3) se descarta pero su punto crítico x=–3 cumple
con la desigualdad al final debe estar contenido en la
solución.

3
El factor (x–7) es reemplazado por (x–7)

Luego tendremos (x–7)(x+1)(x–2)  0

P.C. = { –1 ; 2 ; 7 }

Ubicando en la recta:

Luego P(x)  0 se toman los (+) más el punto crítico x=–3

 x  [–1;2] U [7;+> U {–3}



PROBLEMAS

BLOQUE I

01.- Resolver: x3  5x2  6x  0

a) [0;2]U[3;+∞> b) <-∞;0]U[2;3] c) [2; +∞>
d) <-2;3] e) [0; +∞>
3
02.- Resolver: x < 9x

a) <-∞;-3>U<0;3>
b) <-3;0>U<3; +∞>
c) <-∞;9>
d) <-3;3>
e) <-∞;-3>U<3; +∞>

(x – x – 2)(x – 4)  0
2
03.- Resolver:

a) [-1;4]
b) [2;4]
c) [4; +∞>
d) <-∞;-1]U[2;4]
e) [-1;2]U[4; +∞>

04.- Resolver: x(x  1)2  0

a) <0; +∞>-{1}
b) x є R – {1}
c) {1}
d) <-∞;0>
e) <-1;1>

05.- Resolver: (x  1)(x  3)2 (x  7)5 (x  2)  0

a) [-1;2]U[7; +∞>U {-3} b) [1;2]U[7; +∞> - {-3} c) R
d) Ф e) NA



06.- Resolver: (x  4)5 (x  1)4 (x  2)3 (x  5)2  0
indique la suma de los valores enteros que la verifican.

a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -7

07.- Resolver: x 4  2x3  9x2  2x  8  0
Dar un intervalo de su solución.

a) <-∞;4> b) <-∞;-1>U<2; +∞> c) <-2; +∞>
d) <-1;1> e) <-4;-1>

08.- Resolver:
x2
0
x3

a) [-3; +∞> b) <-∞;-2]U<3; +∞> c) <-3;2]
d) [2; +∞> e) x є R

09.- Resolver:
(x  4)(x  2)
0
(x  1)(x  3)

a) [-4;1>U[2;3> b) <-∞;-4U[-1;2> c) R
d) [-4;4] e) Ф

10.- Resolver:
x 2  5x  6
0
x 2  12x  35

a) <-∞;3> U <5; +∞>
b) <-∞;2> U <5; +∞>
c) <-∞;5> U <7; +∞>
d) <-∞;2> U <3; +∞>
e) <-∞;2> U <3;5>U<7; +∞>



BLOQUE II

01.- Resolver:
x4  4x3  3x2  14x  8  0
Dar un intervalo de solución.

a) <-∞;2] b) [-4; +∞> c) {1} d) <-∞;1] e) [1;4]

02.- Resolver: x5  5x4  2x3  14x2  3x  9  0

a) <-∞;1> - {1} b) <-∞;-1>U {1} c) <-1;1
d) <1; +∞> e) <3; +∞>

03.- Resolver: (x 2  1)(x 2  2)(x  3)  0

a) R b) Ф c) <1;2> d) <3; +∞>
e) <-∞;1U {3}

04.- Resolver: (x  2  x 2 )(x 2  2x  8)  0
Dar un intervalo solución

a) <1; +∞> b) <-∞;4> c) <-4;1> d) <-∞;1> e) NA

05.- Resolver: (x3  1)(x3  x 2  2x  2)(x  2)  0
Dar un intervalo de solución.

a) <-∞;2> b) <-∞;1> c) <2; +∞> d) <1; +∞> e) NA

06.- Resolver:
3x  2 4

x 1 x2
Dar un intervalo de la solución

a) <1;2> b) <2;4> c) <-1;2> d) <-2;1> e) NA



07.- Hallar una inecuación entera de coeficientes racionales de
grado mínimo cuya solución es:

<-∞;-2> U <-2;2> U <3;+∞>
2
a) (x-3)(x-2)(x+2) > 0
3
b) (x+3)(x+2) > 0
2
c) (x-3)(x-2) (x+2) < 0
2
d) (x-3) (x-2)(x+2) > 0
(x+3)(x+2) (x-2)  0
2
e)

08.- Resolver: x5  3

a) [5; +∞> b) <-∞;14] c) [5;14> d) Ф e) R

09.- Resolver: x  5  3

a) [5; +∞> b) <14; +∞> c) <14 +∞> R) R e) Ф

10.- Resolver: x  5  3

a) R b) [5; +∞> c) <14; +∞> d) R – {5} e) Ф

BLOQUE III

01.- Resolver: (x 2  x)2  14(x 2  x)  24  0

a) [-3;-1] U [4; +∞>
b) [-3;-1] U [2;4]
c) <-∞;-3] U [4; +∞>
d) [-1;2] U [4; +∞>
e) xєФ



02.- Resolver: x4  8x2  9  0

a) <8;9> b) <-∞;8> U <9; +∞> c) <-3;3> d) <-∞;3>
e) R

03.- Resolver: x3  3x  2  0

a) [2; +∞> b) [-2; +∞> - {1} c) [-2; +∞>
d) [2; +∞> U {1} e) [2; +∞> U {-1}

04.- Resolver: x3  18x2  77x  60  0

a) <1;5> U <12; +∞> d) <1;4> U <10; +∞>
b) <-1;5> U <12; +∞> e) <0;5> U <10; +∞>
c) <-12;-5> U <-1; +∞>

05.- Indicar el intervalo no solución

x 2  4x  3  x 2  7x  12

a) <0;1> b) <-1;1> c) <-∞;-1] d) <1; +∞> e) <-5;0>

06.- Resolver: (7  x)4 (5  x)3 (2  x)2 ( 1  x)5  0

a) 1 b) 2 c) 3 d) más de 3 e) NA

07.- Resolver: x2  x

a) [-2;2> b) [-2;2] c) [-2;8] d) <2;7> e) R

08.- Resolver:
x 1 x  2
 2
x 1 x  2
a) <-∞;-2> U <1;4> b) <-∞;-4> c) <-∞;1> U <4; +∞>
d) <-2;4> e) NA



09.- Resolver:
x2  1
 x5
x2

a) [9/7 ; 2> b) R c) <-∞;2] d) [2; +∞> e) NA

10.- Resolver:
(x  2)(x 2  18)  3x(x  2)  0

a) -6  x < 2 b) -6 < x  2 U x 
c) x  4 d) -6  x 3 e) NA

11.- Resolver:
0
3 7 17 13
(x+1) (-1) (x+6) (x-2)

a) x<-6;-1>U<1;2>
b) x<-:-6>U<-1;1>>U<2;+>
c) x[-6;2>
d) x<-1;1>
e) x[-6;-1]U[1;2]

12.- Resolver:
4 6 8 11
(x+6) (x+2) (x-4) (x-3) >0

a) xR – {3}
b) x<3;+>
c) x<3;+> - {4}
d) x<3;+> U {-6;2}
e) xR



PROBLEMAS DE COMPLEMENTO

2 2
01.- Resolver: (x – x + 1)(x + x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 1) < 0

a) x  <-; - 3>  <1;2> d) x  <-; 1>  <2; >
b) x  <-3; 1>  <2;> e) x  R
c) x  
3 2
02.- Resolver: x + 2x – 5x – 6 > 0

a) x  [-3; -1]  [2;> d) x  [-3; -1]  <2;>
b) x  <-; -3>  <-2;2> e) x  <-1; 2>  <2;>
c) x  R

(x - 1) (x - 3) (x – x + 1)  0
7 4 2
03.- Resolver:

a) x  <-; 1]  {3} d) x  <-; -1>
b) x  <-1; > e) x  [-1; > - {3}
c) x  [1; 3]

(x + 6) (x + 5) (x - 4)  0
2 2 3
04.- Resolver:

a) x  [4; >  {-5} d) x  <-5; 4]
b) x  [5; > e) x  <-; 4] - {-5}
c) x  R

05.- ¿cuántos valores enteros positivos verifican?.
x6
0
x(x  2)
a) 0 b) 2 c) 4 d) 5 e) 1

06.- Resolver: 25  x2  4
a) x  [-5; -3]  [3; 5] d) x  [-5; 5]
b) x  [-3; 3] e) x  R
c) x  



4 2
07.- Resolver: x – 8x – 9 < 0

a) x  <8; 9>
b) x  <-; 8>  <9; >
c) x  <-3; 3>
d) x  <-; -3>
e) xR

08.- Resolver: x – 12x + 16  0
3

a) x  <-; 4]
b) x  <-; -4]  {2}
c) x  <-; 4] – {-2}
d) x  [4; >
e) x  [-4; 4]

09.- Resolver: x – 6x + 11x – 6  0
3 2

a) x  <-; 1]  {2;3}
b) x  [1; 2]  {3;>
c) x  R
d) x  
e) x  {1}
x – 16  0
4
10.- Resolver:

a) x  <-; -2]  {2;}
b) x  [-2;2]
c) x  <-; 1]  {4;>
d) x  <-; 4]
e) x  [4; ]

(x  1)5 (x  3)
11.- Resolver: 0
x7

a) <-, -7>  [-3,1] c) <-, -3>  [1,7]
b) [1,7] d) <-, 7] e) N.A.



3 2
x  1(x3  13x  12)
12.- Resolver:
(x  4)5 (x3  8x 2  4x  48)
Dar un intervalo de la solución.

a) <6, 4> b) [-1; 2] c) [3, + > d) [-3,+> e) N.A.

(4x  2)2 (x2  3)3 (2x  8)9
13.- Resolver: 0
(x  1)2 (2x  5)13
5 1 5 1
a)   ,4  {1  }
, b)  ,  { }
2 2 2 2
5
c)  ,4  {1} d)  , 4  {1  }
,
2
e) N.A.

14.- Resolver:
x2  3x  2  2  x

a) [2,+> b) <-,2] c) <2, + > d) [-2,2] e) N.A.

15.- Resolver:
24  2x  x2  x

a) <3,4] b) <-,3] c) [4+> d) <3,8> e) N.A.

16.- Resolver:

3
27  x x 2  14x  15(x  2)6 7 x  8(x  3)5
0
4
x  9(x 2  7x  8)(x  27)3 (x3  27)

a) <1;11] b) <15,27> c) <-9,-7> d) <-,-1> e) N.A.



17.- Resolver:
x2  6x  5  x2  7x  10  0

a) <-7> b) R c)  d) 5 e) <3,7>

18.- Resolver:
x 1
0
3 2
x  8x  14x  12

a) <-6,-1>
b) <-,-6>  <-1,+>
c) <-,-1>
d) <3,6>
e) N.A.

19.- Resolver:
1
0
(x  2)3
a) <-,2> b) <-,5> c)  d) R e) N.A.

20.- Resolver:
(x  4)8 (x  2)
0
(x  3)(x  7)

a) <7, + > b) <-3, 4> c) <6, + > d) <-7,> e) N.A.



Capítulo 4



Defiiniiciión
Def n c ón

Una relación f de A en B denotada por f: A →B es una función si
y sólo si a cada elemento x  A, le corresponda un único
elemento yB a través de f.
Simbólicamente:

f : { (x;y)  AxB / y = f(x)

Dicho de otra manera, si f es una relación entre dos conjuntos A y
B, diremos que f es una función si se verifica las siguientes
condiciones:

1ra. f  AxB
2da. Si: (x;y)  f  (x;z)  f  y = z

Gráficamente una función debe guardar siempre un principio:



Si una recta imaginaria paralela al eje “y”, corta a su gráfica en un
solo punto, entonces se podrá afirmar que es una función. De lo
contrario no será una función.

Ejemplo:

Dado los conjuntos:

A={2;4;6;8}
B={1;3;4; 5;6;7}

Hallar:
a) f = { (x;y)  AxB / y = x+1 }

b) Dom(f) y Ran(f)

c) Representar la función mediante un diagrama sagital.

Solución:

a) La función f es un conjunto de pares ordenados (x;y) donde
xA  yB que satisfacen la igualdad: y=x+1.

Hallamos dichos pares ordenados, tabulando:

x y = x+1 Pares ordenados
2 y=2+1=3B (2;3)  f
4 y=4+1=5B (4;5)  f
6 y=6+1=7B (6;7)  f
8 y=8+1=9B (8;9)  f

 f = { (2;3) , (4;5) , (6;7) }

Donde:

A: es el conjunto de partida
B: es el conjunto de llegada
Y = f(x) : es la regla de correspondencia



Dom(f) : es el dominio de f
Ran(f) : es el rango de f

b) Dom(f) = { 2 ; 4 : 6 }
Ran(f) = { 3 ; 5 ; 7 }

c) Diagrama sagital:

Regla de Correspondencia

Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer
su dominio (Df) , y una regla que permita asignar para cualquier x
є Df , su imagen F(x).

Ejemplo:

Hallar el dominio en las siguientes funciones:

a) F = { (2;3) , (4;5) , (6;3) , (2;a) }
Df = { 2 ; 4 ; 6 ; -2 }

b) F(x) = x  2
Df : x – 2  0 ; x2  Df = [2;+>



x2 3
c) F(x) = 
x5 x3
x-2
Df : 0 x3  0
x+5

Df : <-:-5> U [2;+> - {3}

Ejemplo:

Hallar el rango de las siguientes funciones:

a) F = { (2;3) , (4;6) , (5;7) , (7;6) , (-2;3) }
Rf = {3;6;7}
2
b) Sea: F(x) = x
x
y  x2  ; Df = < -;+ > ; Rf = [0;+>
y     3
Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las más
conocidas.
- Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta
rango, se despeja en función de “y”
- Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos
desigualdades.

c) Para la función definida por:
g(x) = 2x + 3x + 2 ; x є R
2

2 2
Solución: y = 2x + 3x + 2  2x + 3x + (2-y) = 0
3  9  4(2)(2  y)
x
2(2)
Si: “x” є R; luego “y” también є R
Pero:   0 ; 9 – 8(2-y)  0  y  7/8  Rg = [7/8;+∞>



d) Para la función definida por: H(x) = x – 4x + 7 ; x є [2;3]
2

Solución:
2 2
y = x – 4x + 7  y = (x-2) + 3

2  x 3  0  x–2 1

Al cuadrado:
0  (x-2)  1
2

mas de tres:
3  (x-2) + 3  4
2

3  y  4

 Rh = [ 3 ; 4 ]

e) Para la función:
x2
F(x) 
x2  1
Solución:

x2
y  yx 2  y  x 2  x 2 (y  1)   y
x2  1
y y y y
x2     0  0
1 y 1 y 1 y y 1

 y є [0;1>  Rf = [ 0 ; 1 >



PROBLEMAS
BLOQUE I

01.- Si el conjunto:

F = { (1;7a+3b) , (-2 ; 3a+2b) , (-2 ; -2) , (1 ; -8) , (a+b ; 4) }
2 2
Es una función, hallar a + b

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

02.- Hallar el dominio de la función:
F(x) = x + 9
+
a) R – {9} b) R – {-9} c) R d) R – {0} e) R

2
F(x) = 3x + 2x + 1
-
a) R – {3} b) R – {2} c) R – {1} d) R e) R

2 2
F(x) = (x+1) + (x-1)
+ -
a) R – {1} b) R – {-1} c) R d) R e) R

05.- Hallar el rango en:
3x  2
N(x) 
x4

a) y є R – {4} b) y є R – {-4}
c) y є R – {3} d) y є R e) y є R – {-3}

06.- Hallar el rango en:
x2
M(x) 
x8
a) y є R – {8} b) y є R – {-8}
+ -
c) y є R – {1} d) R e) R



07.- Calcular el rango de:
F(x) = x+5
a) [5; +∞> b) [-5; +∞> c) [0; +∞> d) [2; +∞> e) [-3+∞>

08.- Hallar el dominio de:
F(x) =x4  2x2  2
+ -
a) R b) R c) R – {2} d) R e) R – {-2}

F(x) = x+9  4

+ -
a) x є R b) x є R 1 c) x є R d) x є [9; +∞>
e) x є [-9; +∞>

10.- ¿Cuáles de las siguientes relaciones dadas son pares
ordenados, son funciones?
R1 = { (a;x) , (b;x) . (c;y) }
R2 = { (a;x) , (a;y) . (b;x) }
R3 = { (a;x) , (b;y) . (c;z) }

a) Sólo R1 b) Sólo R2 c) Sólo R3 d) R1 y R2 e) R1 y R3

BLOQUE II

01.- Hallar el dominio de la función “f” definida en R por:
x
F(x)    3
2
+ -
a) x є R b) x є R c) x є R d) R – {2} e) R – {-2}

02.- Hallar el rango de la función “f” definida en R por:
x
F(x)  3 
2
+ -



03.- Hallar el dominio de la función “f” definida por:
y  F(x)  x  5
en el conjunto N,

a) {0; 2; 3; 4;…..}
b) {0; 1; 2; 3;…..}
c) {2; 3; 4;…..}
d) {2; 4; 6;…..}
e) {3; 5; 7;…..}

04.- Hallar el dominio de la función “f” definida por:
y  F(x)  x  5
en el conjunto Z,

a) x є R b) Z c) R – {5} d) Z – {5}
e) Z – {-5}

05.- ¿Cuál es el rango de la función:
F = { (1;3) , (2;5) , (1;a-1) , (2;b+2) , (a;b) , (2b;a) } ?
Señale la suma de sus elementos.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

06.- Reconocer el rango de la función:
2
F = { (2;a) , (2;3a-4) , (3;a-1) , (4;a ) } ?

a) {3; 6; 9} b) {1; 2; 4} c) {0; 2; 4} d) {3; 5; 7} e) {2; 4; 6}
2
07.- El dominio de la función: F(x) = x
es [-1; 1]. Determinar el rango de “f”.

a) [-1;1] b) [-1; 0] c) [0;1] d) [1;2] e) [1;4]

08.- ¿Cuál es el valor mínimo del rango de la función:
2
g(x) = x + 3 ?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4



09.- ¿Cuál es el valor máximo del rango de la función:
2
h(x) = 10 - x ?

a) 0 b) 3 c) ∞ d) 1 e) 10

10.- El dominio de la función:
x 1
F(x) =
x2  1

a) [-1;0] b) [0;1] c) [0;2] d) [-2;0] e) [-1;1]

BLOQUE III

01.- Determinar el rango de la función:

F(x) = |x-2| + |x+3|

a) [-5;5] b) [1; +∞> c) [5; +∞> d) <-5;5> e) [0; +∞>

02.- Si:
F(x) = x-2  x
Calcular el dominio de dicha función.

a) <2; +∞> b) [-2;2] c) [-2; +∞> d) [2; +∞> e) <-∞;2]

03.- Hallar el dominio de una función “f” cuya regla de
correspondencia es:

F(x) = 5-x  3 x  1

Indicar como respuesta la cantidad de valores que toma “x”.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7



04.- Hallar el dominio de la siguiente función:
x 1
F(x) =
x2  1
+ -

05.- Hallar el dominio, si:
1
F(x) =
1-x 2
a) <-1;1> b) [-1;1> c) <-1;1] d) [-1;1] e) R

06.- Calcular el rango:
1
F(x) =
1-x 2
+
a) [1; +∞> b) <1; +∞> c) [-1;1] d) <-1;1> e) R
2
07.- Si: F(x) = x – 4x + 2 y x є <-1;4> .Hallar el dominio.
+
a) R b) R c) [-1;4] d) <-1; +∞> e) <-1;4>

F(x) = x+ x
+
a) [0; +∞> b) R c) R d) R – {0} e) [0;1]

09.- Calcular su rango:

F(x) = x2  9
+ -
a) [0; +∞> b) <0; +∞> c) R d) R e) R

10.- Hallar el dominio
2x
F(x) =
2
x 9
+ -
a) R b) R c) [-3;0]U[3;+∞> d) <-3;0]U<3;+∞>
e) <-3;1]U[3;+∞>


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