Dokumen tersebut membahas tentang uji hipotesa dan langkah-langkah pengujian hipotesa, termasuk mendefinisikan hipotesa, memilih uji statistik yang tepat, menentukan tingkat signifikansi, membangun daerah keputusan, menghitung statistik uji, dan menarik kesimpulan."

1. Uji Hipotesa
KESESUAIAN BAIK
(GOODNESS OF FIT)
ARIF RAHMAN
1

2. Statistika
Statistika adalah cabang ilmu matematika yang
mempelajari metode ilmiah untuk mengumpulkan,
mengorganisasi, merangkum, menyederhanakan,
menyajikan, menginterpretasikan, menganalisa dan
mensintesa data (numerik atau nonnumerik) untuk
menghasilkan informasi dan/atau kesimpulan, yang
membantu dalam penyelesaian masalah dan/atau
pengambilan keputusan.
2

3. Statistika
3
Mengorganisasi,
Merangkum,
Menyederhanakan,
Menyajikan,
Menginterpretasikan
Menganalisa
Mensintesa
Mengumpulkan data
Menghasilkan informasi dan/atau kesimpulan
Menggeneralisasi
Mengestimasi,
Menguji hipotesa,
Menilai relasi,
Memprediksi
Menyelesaikan masalah Mengambil keputusan

4. Statistika Inferensia
Statistika inferensia adalah cabang statistika yang
menganalisa atau mensintesa data untuk
menggeneralisasi sampel terhadap populasi,
mengestimasi parameter, menguji hipotesa, menilai
relasi, dan membuat prediksi untuk menghasilkan
informasi dan/atau kesimpulan.
Terdapat banyak alat bantu statistika (statistical tools)
yang dapat dipergunakan untuk menginferensi
populasi atau sistem yang menjadi sumber asal data
sampel
4

5. Statistika Inferensia
5
Tujuan studi terhadap populasi Observasi atau eksperimen pada sampel
SAMPLING
INFERENSI
Parameter :
N (banyaknya anggota populasi),
μ (rata-rata populasi),
σ (simpangan baku populasi),
π (proporsi populasi)
Statistik :
n (banyaknya anggota sampel),
ẋ (rata-rata sampel),
s (simpangan baku sampel),
p (proporsi sampel)

6. Tipe Data
Data Nominal, data yang hanya berupa simbol (meski berupa
angka) untuk membedakan nilainya tanpa menunjukkan tingkatan
Data Ordinal, data yang mempunyai nilai untuk menunjukkan
tingkatan, namun tanpa skala yang baku dan jelas antar tingkatan.
Data Interval, data yang mempunyai nilai untuk menunjukkan
tingkatan dengan skala tertentu sesuai intervalnya. Nilai nol hanya
untuk menunjukkan titik acuan (baseline).
Data Rasio, data yang mempunyai nilai untuk menunjukkan
tingkatan dengan skala indikasi rasio perbandingan. Nilai nol
menunjukkan titik asal (origin) yang bernilai kosong (null).
6

7. Tipe Data
Data Parametrik, data kuantitatif yang mempunyai
sebaran variabel acak mengikuti pola distribusi
probabilitas dengan parameter tertentu (independent
and identically distributed random variables)
Data Nonparametrik, data yang tidak mempunyai
distribusi probabilitas (distribution-free)
7

8. Tipe Data
Data Diskrit, data hasil pencacahan atau
penghitungan, sehingga biasanya dalam angka
bilangan bulat.
Data Kontinyu, data hasil pengukuran yang
memungkinkan dalam angka bilangan nyata
(meskipun dapat pula dibulatkan)
8

9. Statistika Alat Bantu Problem Solving
9
Penting memperhatikan
cara memperoleh
data yang akan diolah
Demikian pula
cara mengolah data
juga penting diperhatikan

10. Statistika Alat Bantu Problem Solving
10
Metode statistika bukan
ramuan sihir
Alat statistika bukan
tongkat sihir

11. Ketelitian &
Tipe Kesalahan
11

12. Akurasi dan Presisi
Akurasi (accuracy), kesesuaian hasil pengukuran
terhadap nilai obyek sesungguhnya (bias kecil)
Presisi (precision), tingkat skala ketelitian
pengukuran dari alat pengukur, atau ketersebaran
yang relatif mengumpul (variansi atau deviasi kecil)
12

13. Akurat dan Presisi
Tidak presisi, akibat pola sebaran sampel
lebih melebar daripada pola sebaran
populasi menyebabkan deviasi yang besar.
Tidak akurat, akibat pergeseran
pemusatan sampel menjauh dari
pemusatan populasi menyebabkan bias
yang besar.
Akurat dan presisi, bias dan deviasi kecil,
membutuhkan sampel sedikit.
13

14. Kesalahan Pengambilan Kesimpulan
Galat tipe 1 () : kesalahan menyimpulkan karena
menolak hipotesa yang semestinya diterima
Galat tipe 2 () : kesalahan menyimpulkan karena
menerima hipotesa yang semestinya ditolak
14
 

15. Kesalahan Pengambilan Kesimpulan
15
The true state of nature
Decision H0 is true H0 is false
Reject H0 Type I error Exact decision
Fail to reject H0 Exact decision Type II error
The true state of nature
Decision H0 is true H0 is false
Reject H0  1 – 
Fail to reject H0 1 –  

16. Ukuran Ketelitian Pendugaan
Tingkat keberartian (significance level, ), probabilitas
penolakan data observasi, karena menyimpang signifikan terhadap
sasaran.
Tingkat kepercayaan (confidence coefficient,1-), persentase
data observasi yang diyakini tidak berbeda signifikan dengan target.
Kuasa statistik (power,1-), persentase data observasi yang
diyakini berbeda signifikan dengan target.
Derajat kebebasan (degree of freedom, df=n-k), besaran
yang menunjukkan bebas terhadap bias dari n data observasi.
16

17. Prinsip Dasar
Pengujian Hipotesa
17

18. Hipotesa
Hipotesa adalah pernyataan sebuah pendugaan (presumption),
anggapan (claim), pemikiran (postulate), penegasan (assertion), atau
penerkaan (conjecture), yang mungkin benar atau salah, mengenai
data dan statistik dari satu atau lebih sampel yang berkenaan dengan
parameter dari satu atau lebih populasi
Hipotesa berkaitan dengan
 Evaluasi keputusan
 Analisa data observasi atau eksperimen
 Prediksi statistik
 Estimasi parameter
 Pengujian
 Komparasi perbandingan
18

19. Hipotesa
Hipotesa statistik diformulasikan dalam dua bentuk,
yaitu :
Hipotesa nol (null hypothesis), dinotasikan Ho (dibaca “H-naught”)
dengan format persamaan atau menggunakan tanda baca “=“
Hipotesa alternatif (alternative hypothesis), dinotasikan H1 (dibaca
“H-one”) dengan format pertidaksamaan.
Dua arah (two tail) menggunakan tanda baca “”
Satu arah (one tail) menggunakan tanda baca “<“ atau “>”
19

20. Pengujian Hipotesa
Pengujian hipotesa (hypothesis testing) adalah
prosedur menggunakan informasi dalam sampel acak dari
sebuah populasi dan probabilitasnya (termasuk distribusinya)
melalui pengujian statistik untuk membentuk keputusan atau
kesimpulan secara induksi atau inferensia menggeneralisasi
terhadap populasinya.
20

21. Pengujian Hipotesa
Daerah penolakan atau kritis (critical region) yaitu
daerah yang mencakup semua nilai yang memenuhi hipotesa
alternatif.
Daerah penerimaan (acceptance region) yaitu daerah
yang mencakup semua nilai yang memenuhi hipotesa nol.
Nilai kritis (critical value) yaitu nilai yang menjadi batas
antara daerah penolakan dan penerimaan.
Kesimpulan menolak Ho, jika statistik uji < nilai kritis kiri (left-
tailed) atau statistik uji > nilai kritis kanan (right tailed)
21

22. Critical Region
22

23. Kesimpulan Pengujian Hipotesa
Menerima hipotesa nol (lebih tepatnya “gagal menolak
hipotesa nol”) menyatakan bahwa data sampel tidak
mampu memberikan bukti yang cukup dan signifikan untuk
menolaknya.
Menolak hipotesa nol menyatakan bahwa data sampel
memberikan bukti yang cukup dan signifikan untuk
menolaknya.
23

24. Critical Region
24

25. P-Value
P-value adalah tingkat signifikansi terrendah di mana nilai
observasi dari statistik uji signifikan.
P-value merupakan tingkat signifikansi terrendah yang
menandakan batas penolakan hipotesa nol dari data
observasi.
Penggunaan pendekatan P-value sebagai alat bantu
pengambilan keputusan sedikit lebih natural, dan hampir
semua software statistik menyertakan P-value bersama nilai
statistik uji.
 Kesimpulan menolak Ho, jika P-value < α
25

26. Langkah
Pengujian Hipotesa
26

27. Langkah Pengujian Hipotesa
1. Menentukan tujuan pengujian hipotesa
2. Formulasi hipotesa
3. Memilih uji statistik
4. Menentukan tingkat keberartian
5. Membangun daerah keputusan
6. Menghitung statistik uji
7. Menarik kesimpulan
27

28. Langkah Pengujian Hipotesa
1. Menentukan tujuan pengujian hipotesa
Berdasarkan masalah yang menjadi fokus studi, untuk
menentukan parameter of interest sebagai tujuan
pengujiannya.
28
Tujuan pengujian hipotesa berawal dari maksud mempelajari sistem atau
menjawab permasalahan. Tujuan menjadi dasar utama dalam menentukan
populasi, memilih sampel, mengambil data dan mengujinya untuk memperoleh
kesimpulan yang selaras dengan tujuan tersebut.

29. Langkah Pengujian Hipotesa
2. Formulasi hipotesa
Hipotesa diformulasikan berdasarkan praduga yang
dirumuskan sesuai dengan tujuan. Praduga tidak selalu
menjadi hipotesa nol, bahkan lebih diutamakan praduga
direfleksikan pada hipotesa alternatif.
29
Hipotesa alternatif H1 biasanya merepresentasikan permasalahan yang akan
dijawab atau teori yang akan diuji, sehingga formulasi spesifik menjadi krusial.
Hipotesa nol H0 menyatakan status quo atau equality yang meniadakan
(nullifies) atau berlawanan (opposes) H1 dan menjadi complement dari H1 yang
bersifat mutually exclusive. Penggunaan format pertidaksamaan dengan tanda
pengujian satu arah memberikan deskripsi lebih spesifik pada H1.

30. Langkah Pengujian Hipotesa
3. Memilih uji statistik
Uji statistik dalam statistik inferensia dikelompokkan
menjadi dua, uji parametrik (berdistribusi) dan uji
nonparametrik. Uji statistik yang dipilih harus disesuaikan
dengan tujuan pengujian, hipotesa dan data (evidence)
yang diuji.
30
Uji parametrik mempertimbangkan tipe data dan distribusi data.
Pendekatan distribusi normal terkadang dapat dipergunakan dengan merujuk
Central Limit Theorem dan Law of Large Number

31. Langkah Pengujian Hipotesa
4. Menentukan tingkat keberartian
Tingkat keberartian (terkadang juga disebut taraf nyata atau
tingkat ketelitian) menunjukkan luas daerah penolakan.
Tingkat keberartian sebenarnya juga menunjukkan
besarnya peluang terjadinya galat tipe I.
31
Semakin besar nilai tingkat keberartian semakin besar peluang galat tipe 1.
Sebaliknya semakin kecil nilainya semakin kecil pula peluang galat tipe 1, tetapi
juga semakin besar peluang galat tipe 2, bukannya bermakna semakin teliti.
Peluang galat tipe 2 beririsan dengan daerah penerimaan, sehingga sebenarnya
peluang galat tipe 2 tidak sama besar dengan satu dikurangi peluang galat tipe 1.

32. Langkah Pengujian Hipotesa
5. Membangun daerah keputusan
Daerah keputusan terbagi menjadi dua, yaitu daerah
penolakan dan daerah penerimaan. Di antara kedua daerah
tersebut dibatasi oleh nilai kritis. Nilai kritis diperoleh
berdasarkan tingkat keberartian, dan distribusi (termasuk
parameter) yang dipergunakan dalam uji statistik.
32
Semakin besar nilai tingkat keberartian semakin luas daerah penolakan
(semakin besar peluang galat tipe 1).
Sebaliknya semakin kecil nilainya semakin luas daerah penerimaan (semakin
besar peluang galat tipe 2), bukannya bermakna semakin teliti.

33. Langkah Pengujian Hipotesa
6. Menghitung statistik uji
Perhitungan statistik uji berdasarkan uji statistik yang dipilih
dan distribusi (termasuk parameter) yang dipergunakan.
Hasil perhitungan statistik uji tergantung kecukupan,
sebaran, kevalidan dan kesesuaian data.
33
Data yang keliru akan memberikan hasil yang keliru (garbage in garbage out)
Uji statistik yang keliru memberikan hasil yang keliru (failure makes inappropriate
result). Periksa datanya, pahami uji statistik yang dipilih, pelajari distribusi yang
dipergunakan, dan pastikan sesuai dengan tepat.

34. Langkah Pengujian Hipotesa
7. Menarik kesimpulan
Kesimpulan ditarik berdasarkan hasil perhitungan statistik
uji, apakah berada di daerah penerimaan atau daerah
penolakan.
34
The truth or falsity of a statistical hypothesis is never known with absolute
certainty unless we examine the entire population. It should be made clear that
the decision procedure must include an awareness of the probability of a wrong
conclusion.

35. Kekeliruan Yang Kerapkali Terjadi
Menggunakan data yang salah.
Data yang tidak tepat.
Distribusi (termasuk parameter) yang keliru.
Kesalahan dalam sampling.
Kesalahan dalam pengukuran.
Memilih pengujian yang salah.
Tidak sesuai dengan tujuan studi.
Formulasi hipotesa keliru.
Tidak sesuai dengan hipotesa.
35

36. Kekeliruan Yang Kerapkali Terjadi
Membangun daerah keputusan yang salah.
Tingkat keberartian yang tidak tepat.
Kurang memperhatikan sebaran data yang berdampak
pada kurtosis dan skewness.
Terlalu ketat / longgar terhadap peluang galat.
Menarik kesimpulan yang salah.
Tidak berpijak kembali pada data (evidence) dan
hipotesa.
Analisa yang kurang lengkap dan keliru.
36

37. Variabel Acak dan
Distribusi Probabilitas
37

38. Variabel Acak
Variabel acak (random variable) adalah suatu nilai
bersifat acak dalam numerik (format angka diskrit
atau kontinyu) atau nonnumerik yang menandai
keluaran dalam ruang sampel tertentu (finite atau
infinite).
Ruang sampel (sample space) adalah satu set
lengkap semua keluaran yang mungkin terjadi dalam
populasi.
38

39. Distribusi Probabilitas
Distribusi Probabilitas adalah sebaran variabel
acak X dalam ruang sampel S dengan rentang R
yang mempunyai karakteristik unik (parameter atau
statistik) dalam interval tertentu (finite atau infinite)
dengan fungsi probabilitas yang spesifik.
39

40. Distribusi Empiris dan Teoritis
Distribusi empiris (empirical distribution) adalah
distribusi sebaran data aktual dari observasi atau
eksperimen dengan pengelompokan dalam distribusi
frekuensi.
Distribusi teoritis (theoretical distribution) adalah
distribusi sebaran variabel acak dalam rentang
tertentu yang mengikuti fungsi probabilitasnya.
40

41. Fungsi Probabilitas
Fungsi probabilitas menunjukkan tingkat frekuensi
relatif dari variabel acak X bernilai diskrit atau luasan
frekuensi relatif dari interval variabel acak X bernilai
kontinyu.
Probability Mass Function, p(x)
Probability Density Function, f(x)
Cumulative Distribution Function, F(x)
Expectation, E(xn)
Variance, V(x)
Moment, mr(x)
Moment Generating Function , Mr(x)
41

42. Probability Mass Function
Fungsi massa probabilitas (probability mass
function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran
probabilitas dari variabel acak diskrit pada nilai
tertentu.
 Jika X adalah sebuah variabel acak diskrit, penaksiran nilai probabilitas
P(X=x)=p(x) untuk setiap x dalam rentang R di mana nilai p(x)
memenuhi :
p(x)>0 untuk seluruh xR
 p(x) = 1
42

43. Probability Density Function
Fungsi kepadatan probabilitas (probability density
function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran
probabilitas dari variabel acak kontinyu dalam interval
tertentu.
 Jika X adalah sebuah variabel acak kontinyu, penaksiran nilai
probabilitas P(a<X<b)=abf(x)dx untuk setiap interval X dalam rentang
R di mana nilai f(x) memenuhi :
f(x)>0 untuk seluruh xR
 f(x) dx = 1
43

44. Cumulative Distribution Function
Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution
function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran
probabilitas kumulatif dari variabel acak diskrit atau
kontinyu hingga nilai tertentu.
 Jika X adalah sebuah variabel acak, penaksiran nilai probabilitas
P(X<b)= F(x) untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai
F(x) memenuhi :
F(x) = bp(x) untuk variabel acak diskrit xR
F(x) = -bf(x) dx untuk variabel acak kontinyu xR
44

45. Expectation
Nilai ekspektasi (expectation) adalah sebuah nilai
harapan dari sebuah fungsi terhadap fungsi
probabilitas variabel acaknya.
 Jika X adalah sebuah variabel acak, dan g(x) adalah fungsi dari X,
maka nilai ekspektasi dari g(x) didefinisikan sebagai berikut :
E((g(x)) =  g(x).p(x) untuk variabel acak diskrit xR
E(x) =  x.p(x)
E((g(x)) =  g(x).f(x) dx untuk variabel acak kontinyu xR
E(x) =  x.f(x) dx
45


 x
x
E )
(

46. Variance
Variansi (variance) adalah nilai ekspektasi fungsi
kuadrat deviasi variabel acak X dengan rata-ratanya
terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.
46
R
x
dx
x
f
x
x
x
V
R
x
x
p
x
x
x
V












kontinyu
acak
abel
untuk vari
)
(
.
)
(
)
(
diskrit
acak
abel
untuk vari
)
(
.
)
(
)
(
2
0
2
 
 2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
x
E
x
E
x
x
E
x
V
s








47. Moment
Momen origin (moment about the origin atau raw
moment) adalah nilai ekspektasi fungsi deviasi
variabel acak X dengan titik origin (nol, 0) dalam orde
ke-r terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.
47
 
r
r
r x
E
m 
 '
'

R
x
dx
x
f
x
m
R
x
x
p
x
m
r
r
r
r
r
r












kontinyu
acak
abel
untuk vari
)
(
.
'
'
diskrit
acak
abel
untuk vari
)
(
.
'
'
0



48. Moment
Momen pusat (central moment) adalah nilai
ekspektasi fungsi deviasi variabel acak X dengan
nilai rata-rata dalam orde ke-r terhadap fungsi
distribusi probabilitasnya.
48
 
r
r
r x
x
E
m )
( 



R
x
dx
x
f
x
x
m
R
x
x
p
x
x
m
r
r
r
r
r
r














kontinyu
acak
abel
untuk vari
)
(
.
)
(
diskrit
acak
abel
untuk vari
)
(
.
)
(
0



49. Moment Generating Function
Fungsi pembangkitan momen (moment generating
function) adalah nilai ekspektasi fungsi eksponensial
variabel t dan variabel acak X dengan nilai rata-rata
terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.
49
 
x
t
e
E
t
M .
)
( 
R
x
dx
x
f
e
t
M
R
x
x
p
e
t
M
x
t
x
t










kontinyu
acak
abel
untuk vari
)
(
.
)
(
diskrit
acak
abel
untuk vari
)
(
.
)
(
.
0
.

50. Moment Generating Function
Hubungan antara Fungsi pembangkitan momen
(moment generating function) dengan momen origin
(moment about the origin) ditunjukkan dengan fungsi
derivatif.
50
r
t
r
r
dt
t
M
d
'
)
(
0




51. Distribusi Diskrit
Hubungan antara p(x) dengan F(x)
51
R
x
F
x
p
x
X
P
x
F
x
X
rentang
dalam
as
probabilit
l
untuk tota
1
)
(
mana
di
)
(
)
(
)
(
0



 


p(x) F(x)

52. Distribusi Kontinyu
Hubungan antara f(x) dengan F(x)
52
R
x
F
dx
x
f
x
X
P
x
F
x
X
rentang
dalam
as
probabilit
l
untuk tota
1
)
(
mana
di
)
(
)
(
)
(



  



f(x) F(x)

53. 53

54. Goodness of Fit Test
Uji kesesuaian baik (goodness of fit test) adalah uji
hipotesa statistik untuk memeriksa seberapa cocok data
sampel dengan model statistika tertentu, misalnya
distribusi probabilitas dengan parameter tertentu.
54

55. Goodness of Fit Test
 Chi Square goodness of fit test
 Kolmogorov–Smirnov test
 Liliefors test
 Geary test
 Anderson–Darling test
 Shapiro–Wilk test
 Bayesian information criterion
 Cramér–von Mises criterion
 Akaike information criterion
 Kuiper's test
 Moran test
 Hosmer–Lemeshow test
55

56. Uji Chi-Square
56

57. Uji Chi-Square
57

58. Uji Chi-Square
58

59. Uji Chi-Square
59

60. Uji Chi-Square
60

61. 61

62. Cara membaca Tabel 2
62
P(2 > 4,17) = 0,90, maka
left tailed
P(2 < 4,17) = 0,10
2
α ≠ - 2
(1 - α)
P(2 > 16,92) = 0, 05, maka
right tailed
P(2 > 16,92) = 0,50
2
0 = 16.92
2
0 = 4.17
2
α ≠ 1 / 2
(1 - α)
jika α semakin besar maka
P(2 < 2
α) semakin kecil dan
P(2 > 2
α) semakin besar

63. Cara membaca Tabel 2
Nilai 2
0 saat P(2 > 2
0) = 0,05 dengan df = 9
Nilai 2
0 saat P(2 > 2
0) = 0,90 dengan df = 9
63
2
0 = 16.92
2
0 = 4.17

64. Cara membaca Tabel 2
Nilai 2
0 saat P(2 > 2
0) = 0,05 dengan df = 9
Nilai 2
0 saat P(2 > 2
0) = 0,90 dengan df = 9
64
2
0 = 16.92
2
0 = 4.17

65. Cara membaca Tabel 2
Nilai P(2 > 2
0) saat 2
0 = 15 dengan df = 9
Nilai P(2 < 2
0) saat 2
0 = 4 dengan df = 9
65
P-value = 0,05 + (
(15 – 16,92))
X (0,10 – 0,05))
(14,68 – 16,92)
= 0,05 + ( 0,85714 X 0,05)
= 0,092857
P-value = (1-0,95) + (
(4 – 3,33)
X ((1-0,9) – (1-0,95))
(4,17 – 3,33)
= 0,05 + ( 0,79762 X 0,05)
= 0,089881

66. Example 1
66

67. Example 1
Solution:
1.Is the die balanced and honest? and is the distribution of
outcomes uniform?
2.H0: Fobs(x) = Fexp(x)
H1: Fobs(x) ≠ Fexp(x)
3.test statistic
4.α = 0,05
5.Critical region : the null hypothesis is rejected when
2 = 11.070 for  = 6–1 = 5 degrees of freedom and α =
0,05
67

68. Example 1
6. Computation
7. Decision : Since 2=1.7 is less than the critical value
(2=11.070), we fail to reject H0. We conclude that there is
insufficient evidence that the die is not balanced.
68
P-value (2>1,7) = 0,50 + (
(1,7 – 4,35)
X (0,90 – 0,50))
(1,61 – 4,35)
= 0,50 + ( 0,9672 X 0,40)
= 0,88688
1,61 (2
0,9;5) < 1,7 < 4,35 (2
0,5;5) 

69. Example 2
69

70. Example 2
70
P(z1<Z<z2) X 40
P(Z<z2) X 40
1-P(Z<z1) X 40

71. Example 2
71

72. Example 2
Solution:
1.May the distribution of battery lives be approximated by a
normal distribution with mean μ = 3.5 and standard deviation σ
= 0.7?
2.H0: Fobs(x) = Fexp(x)
H1: Fobs(x) ≠ Fexp(x)
3.test statistic
4.α = 0,05
5.Critical region : the null hypothesis is rejected when
2 = 7.815 for  = 4–1 = 3 degrees of freedom and α = 0,05
72

73. Example 2
6. Computation
7. Decision : Since 2=3.05 is less than the critical value
(2=7.815), we have no reason to reject the null hypothesis
and conclude that the normal distribution with μ = 3.5 and σ
= 0.7 provides a good fit for the distribution of battery lives.
73
P-value (2>3,05) = 0,10 + (
(3,05 – 6,25)
X (0,50 – 0,10))
(2,37 – 6,25)
= 0,10 + ( 0,8247 X 0,40)
= 0,42988
2,37 (2
0,5;3) < 3,05 < 6,25 (2
0,1;3) 

74. Example 2 (other approximation)
74
Lower
bound
Upper
bound
Oi z1 z2 P(Z<z1) P(Z<z2) P(z1<Z<z2) Ei
1,45 1,95 2 -2,93 -2,21 0,001695 0,013553 0,011858 0,5
1,95 2,45 1 -2,21 -1,50 0,013553 0,066807 0,053254 2,2
2,45 2,95 4 -1,50 -0,79 0,066807 0,214764 0,147957 6
2,95 3,45 15 -0,79 -0,07 0,214764 0,472097 0,257333 10,5
3,45 3,95 10 -0,07 0,64 0,472097 0,738914 0,266817 10,9
3,95 4,45 5 0,64 1,36 0,738914 0,913085 0,174171 7,1
4,45 4,95 3 1,36 2,07 0,913085 0,980774 0,067689 2,8
40 0,979079 40
Ei =
0,147957
X 40
0,979079
= 0,151119 X 40
= 6,04476  6
z1= (lower bound - mean) / std. dev
= (2,45 – 3,5) / 0,7
= -1,50

75. Example 2
Solution:
1.May the distribution of battery lives be approximated by a
normal distribution with mean μ = 3.5 and standard deviation σ
= 0.7?
2.H0: Fobs(x) = Fexp(x)
H1: Fobs(x) ≠ Fexp(x)
3.test statistic
4.α = 0,05
5.Critical region : the null hypothesis is rejected when
2 = 12.59 for  = 7–1 = 6 degrees of freedom and α = 0,05
75

76. Example 2
6. Computation
7. Decision : Since 2=8.46 is less than the critical value
(2=12.59), we have no reason to reject the null hypothesis
and conclude that the normal distribution with μ = 3.5 and σ
= 0.7 provides a good fit for the distribution of battery lives.
76
P-value (2>8,46) = 0,10 + (
(8,46 – 9,24)
X (0,50 – 0,10))
(4,35 – 9,24)
= 0,10 + ( 0,1595 X 0,40)
= 0,1638
4,35 (2
0,5;6) < 8,46 < 9,24 (2
0,1;6) 
46
.
8
8
.
2
)
8
.
2
3
(
1
.
7
)
1
.
7
5
(
9
.
10
)
9
.
10
10
(
5
.
10
)
5
.
10
15
(
6
)
6
4
(
2
.
2
)
2
.
2
1
(
5
.
0
)
5
.
0
2
(
2
2
2
2
2
2
2
2

















77. Example 3
77

78. Example 3
78
P-value (2>2,94) = 0,05 + (
(2,94 – 3,84)
X (0,10 – 0,05))
(2,71 – 3,84)
= 0,05 + ( 0,7965 X 0,05)
= 0,089825
2,71 (2
0,1;1) < 2,94 < 3,84 (2
0,05;1)

79. Example 4
79

80. Example 4
80
P-value (2>0,64) = 0,975 + (
(0,64 – 0,83)
X (0,99 – 0,975))
(0,55 – 0,83)
= 0,975 + ( 0,6786 X 0,015)
= 0,985179
0,55 (2
0,99;5) < 0,64 < 0,83 (2
0,975;5) 

81. Example 5
81

82. Example 5
82

83. Example 5
83

84. Example 5
1. Does the number of defectives follow the Poisson
distribution?
2. H0: Fobs(x) = Fexp(x)
H1: Fobs(x) ≠ Fexp(x)
3. test statistic
4. α = 0,05
5. Critical region : the null hypothesis is rejected when
2 = 7.81 for  = 6–2–1 = 3 degrees of freedom and α =
0,05
84

85. Example 5
6. Computation
7. Decision : Since 2=3.6010 is less than the critical value
(2=7.81), we fail to reject H0.
85
P-value (2>3,6010) = 0,10 + (
(3,6010 – 6,25)
X (0,50 – 0,10))
(2,37 – 6,25)
= 0,10 + ( 0,6827 X 0,40)
= 0,37308
2,37 (2
0,5;3) < 3,6010 < 6,25 (2
0,1;3) 
6010
.
3
155
.
2
)
155
.
2
2
(
990
.
4
)
990
.
4
4
(
515
.
11
)
515
.
11
10
(
715
.
17
)
715
.
17
24
(
625
.
13
)
625
.
13
10
(
2
2
2
2
2
2













86. Example 5
86

87. Example 5
87

88. Example 5
1. Does the number of defectives follow the binomial
distribution?
2. H0: Fobs(x) = Fexp(x)
H1: Fobs(x) ≠ Fexp(x)
3. test statistic
4. α = 0,05
5. Critical region : the null hypothesis is rejected when
2 = 7.81 for  = 6–2–1 = 3 degrees of freedom and α =
0,05
88

89. Example 5
6. Computation
7. Decision : Since 2=2.9680 is less than the critical value
(2=7.81), we fail to reject H0.
89
P-value (2>2,9680) = 0,10 + (
(2,9680– 6,25)
X (0,50 – 0,10))
(2,37 – 6,25)
= 0,10 + ( 0,8459 X 0,40)
= 0,43836
2,37 (2
0,5;3) < 2,9680 < 6,25 (2
0,1;3) 
9680
.
2
155
.
2
)
710
.
1
2
(
986
.
4
)
986
.
4
4
(
515
.
11
)
240
.
12
10
(
355
.
18
)
355
.
18
24
(
710
.
12
)
710
.
12
10
(
2
2
2
2
2
2













90. Uji Kolmogorov-
Smirnov
90

91. Kolmogorov Smirnov Test
91

92. Kolmogorov Smirnov Test
92

93. Kolmogorov Smirnov Test
93

94. Kolmogorov Smirnov Test
94

95. Kolmogorov Smirnov Test
95

96. 96

97. Example 6
97

98. Example 6
98

99. Example 6
99

100. Example 6
100

101. Example 6
101

102. Example 6
102

103. Uji Liliefors
103

104. Liliefors Test for Normality
104

105. Liliefors Test for Normality
105

106. 106

107. Example 7
107

108. Example 7
108

109. Liliefors Test for Exponential Dist.
109

110. Liliefors Test for Exponential Dist.
110

111. 111

112. Example 8
112

113. Example 8
113

114. Aplikasi Software:
Microsoft Excel,
MathCAD
114

115. 115
Uji Chi- Square dgn MS Excel
Uji Chi Square 2
Tingkat Signifikansi
CHITEST(DataRange1; DataRange1)
2 hitung
CHIINV(SignLvl;df)
2 tabel
CHIINV(;df)

116. 116
Uji Chi- Square MathCAD
Uji Chi Square 2
Tingkat signifikansi
pchisq(2,df) , atau
1 - pchisq(2,df)
2 tabel
qchisq(,df) , daerah kritis left-tail
qchisq(1-,df) , daerah kritis right-tail

117. 117
Terima kasih ...
... Ada pertanyaan ???