8. 8 CAP´
ITULO 1. PRUEBAS PRIMER SEMESTRE 1999
1.1 Matematicas I - Prueba No1
1. Resuelva las siguientes inecuaciones
(a) | 3x + 4 | + | x − 4 |≥ 20
(b) (x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10
2. (a) Calcule
n
(7 + 5k)
k=1
(b) Demuestre por inducci´n:
o
n
(3 + 4k) = 2n2 + 5n
i=1
3. (a) Encuentre el valor de
1999
1 1
−
i=1 i+3 i+4
(b) En el desarrollo de (1 + 3x2 )19 , calcule el coeficiente de x6 .
9. ´
1.2. MATEMATICAS I - PRUEBA NO 2 FORMA 1 9
1.2 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 1
a
1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 + 2x − 3
o a
(a) Determine el conjunto de im´genes de f (Ind: Un gr´fico le ser´
a a a
de gran utilidad).
(b) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta
(c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que
a u
f es inyectiva
(d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I)
2. Un observador ve un globo aerost´tico, que se eleva verticalmente, bajo
a
o
un ´ngulo de elevaci´n de 30 despu´s de 2 minutos, el ´ngulo de ele-
a o e a
vaci´n es de 60o . En un principio la distancia entre el observador y el
o
globo era de 200 metros.
(a) ¿A que distancia est´ el observador del punto de lanzamiento del
a
globo?
(b) Si los ojos del observador est´n a 1,7 metros del suelo, ¿a que
a
altura se encuentra el globo al cabo de los dos minutos?
3. Resuelva la ecuaci´n trigonom´trica
o e
1
− sin x cos x = 0
2
en el intervalo [−π, 5π]
√ √ √
2 2 3 i
4. Dados los n´meros complejos z1 =
u 2
+i 2
y z2 = 2
+ 2
(a) Escriba z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica
e
z1
(b) Encuentre z2
(c) Calcule ( z1 )8
z2
10. 10 CAP´
ITULO 1. PRUEBAS PRIMER SEMESTRE 1999
1.3 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 2
a
1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 − 6x + 8
o a
(a) Determine el conjunto de im´genes de f (Ind: Un gr´fico le ser´
a a a
de gran utilidad).
(b) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta
(c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que
a u
f es inyectiva
(d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I)
2. Resuelva la ecuaci´n trigonom´trica
o e
1
− cos x sin x = 0
2
en el intervalo [−π, 5π]
√ √ √
1 3 2 2
3. Dados los n´meros complejos z1 =
u 2
+i 2
y z2 = 2
+i 2
(a) Escriba z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica
e
z1
(b) Encuentre z2
z1
(c) Calcule ( z2 )8
4. Un observador ve un globo aerost´tico, que se eleva verticalmente, bajo
a
o
un ´ngulo de elevaci´n de 30 despu´s de 2 minutos, el ´ngulo de ele-
a o e a
o
vaci´n es de 60 . En un principio la distancia entre el observador y el
o
globo era de 300 metros.
(a) ¿A que distancia est´ el observador del punto de lanzamiento del
a
globo?
(b) Si los ojos del observador est´n a 1,6 metros del suelo, ¿a que
a
altura se encuentra el globo al cabo de los dos minutos?
11. ´
1.4. MATEMATICAS I - PRUEBA GLOBAL 11
1.4 Matem´ticas I - Prueba Global
a
1. Calcule los siguientes l´
ımites:
1 − cos x 1
−1
(a) lim (b) lim x+5 6
x→0 x2 x→1 x−1
2. (a) Encuentre la derivada de la funci´n
o
f (x) = tan(5x2 cos x)
(b) Encuentre la ecuaci´n de la recta tangente, en el punto de abscisa
o
x = 1, al gr´fico de
a
f (x) = 3x5 − 35x3 + 180x
3. (a) Dada la funci´n definida por la f´rmula
o o
x5 7x3
f (x) = − + 12x
5 3
encuentre los puntos cr´ıticos de f , los intervalos de crecimiento y
de decrecimiento de f . Grafique la funci´n f .
o
(b) ¿Para que valores de x, es f (x) = 0?
√
Nota: 3 ≈ 1, 73.
4. Una caja cerrada de secci´n cuadrada, de lado x, tiene un ´rea de 100
o a
2
cm .
(a) Exprese el volumen V como funci´n de la variable x
o
(b) Encuentre las dimensiones de la caja de volumen m´ximo
a
13. Cap´
ıtulo 2
Gu´ de Ejercicios a˜ o 1999
ıas n
13
14. 14 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
2.1 Gu´ n´ mero 1
ıa u
1. Por inducci´n demuestre que para todo n´mero natural n se cumple:
o u
(a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
n(3n−1)
(b) 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) = 2
3n −1
(c) 2 + 5 + 13 + · · · + (2n−1 + 3n−1 ) = 2n − 1 + 2
n4
(d) 13 + 23 + · · · + (n − 1)3 < 4
< 13 + 23 + · · · + n3
(e) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · n(n + 1) = n (n + 1)(n + 2)
3
1−q n+1
(f) 1 + q + q 2 + · · · + q n = 1−q
∀ q=1
(g) 1 − 4 + 9 − 16 + · · · + (−1)n+1 n2 = (−1)n+1 (1 + 2 + · · · + n)
1 1 1 1 n
(h) 1·2
+ 2·3
+ ··· + n(n+1)
=1− n+1
= n+1
4
1
(i) (1 − 1 )(1 − 9 ) · · · (1 − 1
n2
) = n+1
2n
(j) n2 + n es divisible por 2
(k) Si a y b son enteros, entonces:
(a + b)n = a + bn
˙ a multiplo de a
˙
(l) n3 + 2n divisible por 3
(m) n5 − n es divisible por 5
(n) 32n+2 − 2n+1 divisible por 7
(o) xn − 1 es divisible por x − 1 ∀x
(p) x2n − 1 es divisible por x + 1 ∀x
2. Considerese la proposici´n:
o
n2 + n − 6
Sn : 1 + 2 + · · · + n =
2
(a) Demuestre que Sk ⇒ Sk+1
(b) Sn no es v´lida ∀n ∈ N
a
15. 2.1. GU´ NUMERO 1
IA ´ 15
3. Observe que
1 1
1− =
2 2
1 1 1
1− 1− =
2 3 3
1 1 1 1
1− 1− 1− =
2 3 4 4
Deduzca una ley general y demu´strela por inducci´n.
e o
4. Usando propiedades de las sumatorias demuestre las f´rmulas:
o
n
n(n + 1)
(a) i=
i=1 2
n 2
Sugerencia, considere la sumatoria i=1 [i − (i + 1)2 ]
n
n(n + 1)(2n + 1)
(b) i2 =
i=1 6
n 3
Sugerencia, considere la sumatoria i=1 [i − (i + 1)3 ]
Calcule adem´s n i3 ;
a i=1
n 4
i=1 i ;
n
i=1 i
5
5. Calcule y pruebe su respuesta usando inducci´n
o
n
1 1
(a) −
i=1 i+1 i
n
1 1
(b) −
i=1 i + 2 i
Para esta ultima parte considere la siguiente igualdad:
´
1 1 1 1 1 1
− = − + −
i+2 i i+2 i+1 i+1 i
16. 16 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
2.2 Gu´ n´ mero 2
ıa u
1. Pruebe que
(n + 2)!
= n2 + 3n + 2
n!
2. Evalue 4! + 7! ; (4 + 7)!
3. Calcule
9 9 50 49
(a) + (b) −
4 3 10 9
4. Probar que para todo n natural se tiene
n n n n
− + + · · · + (−1)n =0
0 1 2 n
5. Usando el binomio de Newton, encuentre el desarrollo de (1 + x)n para
todo real x tal que x ≥ −1
6. Calcule y simplifique
1 3
(a) (2x3 + x2
) (c) (2a + 5b)8
1 2 1
(b) (y 4 − y5
) (d) (3a − a )5
7. Sea x > −1. Pruebe que (1 + x)n ≥ 1 + nx ∀n ∈ N (Desigualdad de
Bernouilli). Sugerencia: Inducci´n sobre n.
o
8. Sean p, q n´meros racionales q > 0 y n n´mero natural. Pruebe
u u
√ √
(a) (p + q)n = a + b q con a y b n´meros racionales
u
√ n √
(b) (p − q) = a − b q
17. 2.2. GU´ NUMERO 2
IA ´ 17
9. Calcular
i=n i=n
n n
(a) = 2n (b) i = n2n−1
i=0 i i=0 i
10. Calcular
l=n k=l n=m i=n
(a) 2k (c) i
l=0 k=0 n=1 i=1
n=p l=n k=l
(b) 2k
n=0 l=0 k=0
11. Escribir usando s´
ımbolo(s) y n sumandos
(a) 1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + · · ·
(b) 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + · · · (el 1 aparece n veces)
12. Calcular (x1 + x2 + x3 )3
Identifique la expresi´n usando coeficientes binomiales.
o
Idem para (x1 + x2 + x3 )4
18. 18 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
2.3 Gu´ n´ mero 3
ıa u
1. (a) a > 0 ⇒ a−1 > 0
(b) a < 0 ⇒ a−1 < 0
2. ab > 0 ⇔ (a > 0 y b > 0) ´ (a < 0 y b < 0)
o
3. a ∈ R, a = 0 ⇒ a2 > 0
a+b
4. a, b ∈ R, a < b ⇒ a< 2
<b
5. (a) 0 ≤ a ≤ b , 0 ≤ x ≤ y ⇒ ax ≤ by
(b) 0 < a < b ⇒ b−1 < a−1
1
(c) x > 0 ⇒x+ x
≥2
6. Sean a, b reales positivos. Pruebe:
a b
(a) b
+ a
≥2
1 1
(b) a
+ b
(a + b) ≥ 4
1
(c) a + b = 1 ⇒ a 2 + b2 ≥ 2
7. Resuelva las siguientes desigualdades:
2
(a) x2 + x > 2 (h) 7−3x
≤ −5
2x+1
(b) x+2
<1 (i) 1
>3
2x+1
(c) (x + 1)(x − 2) > 0 2
(j) x − 2x − 8 > 0
(d) (3x − 8)(3x + 8) < 0
(k) (x + 2)(x − 3)(x + 5) > 0
(e) 4x + 1 < 2x
(x−1)(x+2)
(f) x2 + 2x ≤ 3 (l) (x−2)
>0
x+2
(g) −3 < 2x + 5 < 7 (m) 1 − x−3
>6
20. 20 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
2.4 Gu´ n´ mero 4
ıa u
1. Demuestre que para todo x ∈ R, existe n ∈ N tal que n > x
2. Encuentre el dominio de las siguientes funciones reales
1 |x|
(a) f (x) = x−1
(g) f (x) = x
√ √
(b) f (x) = x+8 (h) f (x) = 3
x
1 √
x
x>0 (i) f (x) = x−1
2−x
(c) y = 5 x=0 √
x+3
2x x < 0 (j) f (x) = √ 1 +
3x−5 5
(d) f (x) = πx2 2x + 8 x > 3
5x+6 (k) f (x) =
(e) f (x) = (x+2)(x+3)
−3x x≤3
x √ x
(f) f (x) = x2 +5x+11
(l) f (x) = x2 −x−20
√ 1
3. Dadas las funciones f1 (x) = x , f2 (x) = 2x2 + 3x + 5 y f3 (x) = x ,
evalue
(a) fi (5) i = 1, 2, 3
(b) fi (x + h) − fi (x) h > 0
fi (x+h)−fi (x)
(c) h
2
(d) fi (b ) con b ∈R
4. Dada la funci´n f (x) = x2 . Note que f : R → R no es inyectiva.
o
Encuentre 3 subconjuntos de R, Di i = 1, 2, 3 tal que f : Di → R
es inyectiva. ¿Existe un dominio D formado por n´meros positivos y
u
negativos tal que f : D → R es inyectiva?
√
5. Pruebe que la funci´n f (x) = x es inyectiva en su dominio natural.
o
21. 2.5. GU´ NUMERO 5
IA ´ 21
2.5 Gu´ n´ mero 5
ıa u
1. Un rect´ngulo tiene 200 [cm] de per´
a ımetro. Expresar su ´rea como
a
funci´n de x.
o
2. Vamos a construir una caja abierta con una pieza cuadrada de metal de
16 [cm] de lado, cortando cuadrados iguales de sus esquinas y doblando
por las l´
ıneas de puntos (ver figura). Exprese el volumen V en funci´n
o
de x.
√
3. Un rect´ngulo est´ acotado por el eje X y el semicirculo y = 16 − x2
a a
(ver figura). Escriba el ´rea A del rect´ngulo como funci´n de x.
a a o
4. Una caja cerrada de secci´n cuadrada de lado x tiene un ´rea de
o a
2
200[cm ] (ver figura). Exprese el volumen V como funci´n de x.
o
√
5. Dadas las funciones f (x) = 2x − 3 y g(x) = x + 1. Encuentre
(a) Dom(f ), Dom(g)
(b) f + g
(c) f · g
(d) f ◦ g
(e) g ◦ f
y los respectivos dominios.
6. Determine si las siguientes funciones son inversas una de la otra:
x+3
(a) f (x) = 2x + 3 g(x) = 2
√ 2
(b) f (x) = x − 4 g(x) = x + 4 x ≥ 0
√
(c) f (x) = 1 − x3 g(x) = 3 1 − x
1
(d) f (x) = x−2 ,x > 0 g(x) = x− 2 ,x > 0
1 1−x 1
(e) f (x) = x2 +1
g(x) = x
en ] 2 , 1[
7. Encuentre la funci´n inversa (si existe). Represente aproximadamente
o
un gr´fico de f y de f −1
a
(a) f (x) = x2 x≥0
22. 22 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
√
(b) f (x) = x2 − 4 x ≥ 2
√
(c) f (x) = 3 x − 1
1
8. Dadas f (x) = 8 x − 3 y g(x) = x3 . Encuentre
(a) (f −1 ◦ g −1 )(x)
(b) (f −1 ◦ f −1 )(t)
(c) (g −1 ◦ f −1 )(a)
9. Encuentre las raices de
(a) p(x) = x4 + x
(b) h(x) = x(4 − x2 )
(c) f (x) = x3 − 6x2 + 3x + 10 sabiendo que 2 es ra´ ¿Cu´les son
ız a
reales?
10. Divida los polinomios h(x) y p(x) encontrando q(x) y r(x)
(a) h(x) = x4 + 3x3 + 2 y p(x) = x2 + 3x − 2
(b) h(x) = x5 + 5x − 1 y p(x) = x3 + 2x − 3
(c) h(x) = x4 + 1 y p(x) = x − 2
4
(d) h(x) = x + 1 y p(x) = x2 + 2x + 2
23. 2.6. GU´ NUMERO 6
IA ´ 23
2.6 Gu´ n´ mero 6
ıa u
3
1. Se sabe que el polinomio x3 − ax − b, con la condici´n ∆ = b2 − 4 a ≥ 0
o 27
√ √
tiene 3 b+2 ∆ + 3 b−2 ∆ como una ra´ Usando este hecho calcule las
ız.
raices de x3 − 6x − 9
2. Haga un gr´fico aproximado de
a
(a) f (x) = sin 2x
(b) f (x) = cos x + 7
(c) f (x) = 2 cos x −π ≤x≤
2
π
2
(d) f (x) = 4 sin x 0≤x≤π
(e) f (x) = | sin x| 0 ≤ x ≤ 2π
3. Calcule:
(a) cos( 2π )
3
(c) cos( 14π )
3
(b) sin( 2π )
3
(d) sin( 14π )
3
Datos:
π 2π
π− 3
= 3
14π 2π
3
= 3
+ 4π
4. Encuentre el dominio de las siguientes funciones
1 (c) f (x) = 5 tan x
(a) f (x) =
2 + cos x
x sin x 2 − sin x
(b) f (x) = (d) f (x) =
1 + x2 2 + sin x
sin x 1−cos x cos x−1
5. Ud. sabe que si x → 0 entonces x
→1 y x
→0 y x
→ 0.
Pruebe que si h → 0 entonces
sin(x + h) − sin(x)
→ cos(x)
h
y adem´s
a
cos(x + h) − cos(x)
→ − sin(x)
h
24. 24 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
6. Encuentre todos los valores reales x tales que
(a) sin(x) = 0 (c) sin(x) = −1
(b) cos(x) = 0 (d) cos(x) = −1
7. Encuentre los valores x, 0 ≤ x ≤ 2π para los cuales
√
1 3
(a) sin(x) = 2
(c) sin(x) = 2
1 1
(b) cos(x) = √
2
(d) cos(x) = 2
26. 26 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
2.8 Gu´ n´ mero 8
ıa u
1. Calcular los suiguientes l´
ımites (si existen)
3 (1 + h)3 − 1
(a) lim (g) lim
x→−1 x + 2 h→0 h
1/(x + 1) − 1 √
(b) lim x−2
x→0 x (h) lim− x − 4
x→4
(c) lim |x − 2|
x→2
√ x2 + x − 2
x+1−2 (i) lim
(d) lim x→1 x2 − 1
x→3 x−3
√ 1/x + 4 − 1/4
(e) lim x2 + 5x + 3 (j) lim
x→2 x→0 x
√ √
2+x− 2 1
(f) lim (k) lim a=0
x→0 x x→a x
2. Calcular los siguientes l´
ımites (si existen)
(a) lim f (x)
x→2
para
3 x≤2
f (x) =
0 x>2
(b) lim g(x)
x→3
para
x−2 x≤3
g(x) =
−x2 + 8x − 14 x>3
3. Use la identidad
√ √ |x − a| √ √
x− a= √ √ para demostrar que lim x= a
x+ a x→a
4. Calcular el l´
ımite l y hallar δ > 0 tal que |f (x) − l| < 0.01 si
0 < |x − x0 | < δ
27. 2.8. GU´ NUMERO 8
IA ´ 27
(a) lim (3x + 2) (b) lim (x2 − 3)
x→2 x→2
5. Calcule
f (x + h) − f (x)
lim
h→0 h
(a) f (x) = x2 + 5x + 3
√
(b) f (x) = x
6. Demuestre que
lim cos(x) = cos(x0 )
x→x0
∀x ∈ R
Sugerencia: Sea x = x0 + h y demuestre que
lim cos(x0 + h) = cos(x0 )
h→0
7. Ud. sabe que
sin(x)
lim =1
x→0 x
Pruebe que
1 − cos(x) tan(3x)
(a) lim =0 (b) lim =3
x→0 x x→0 x
8. Calcular los siguientes l´
ımites
2x2 + 1 sin2 (x)
(a) lim (e) lim
x→2 2x x→0 x2
√ 1 x
(b) lim x2 − 9 (f) lim sin
x→3 −
x→0 x 3
5x + 1 1 − cos(x)
(c) lim (g) lim
x→3 x2 − 8 x→0 x2
x 1
(d) lim √ (h) lim x2 sin 2
x→0+ sin( x) x→0 x
28. 28 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
√ 1 2−x
(i) lim x sin (k) lim √
x→0 + x x→2+
4 − 4x + x2
sin(2x) sin(3x)
(j) lim (l) lim
x→0 x cos(3x) x→0 sin(2x)
9. Discuta la continuidad de la funci´n compuesta h(x) = f (g(x)) para
o
1
(a) f (x) = √
x
g(x) = x − 1
1 1
(b) f (x) = x
g(x) = x−1
1 1
(c) f (x) = √
x
g(x) =x
10. Encuentre las discontinuidades de las funciones dadas. Si son evitables,
o ¯ ¯ ¯
encuentre una funci´n f tal que dom(f ) = dom(f ) y f sea continua en
esos puntos.
x−1
(a) f (x) =
x2
+x−2
|x + 2|
(b) f (x) =
x+2
x
(c) f (x) = 2
x +1
x
+1 x≤2
(d) f (x) = 2
3−x x>2
11. Dar un ejemplo de una funci´n f que no sea continua en ning´n punto
o u
pero tal que |f | sea continua en todos los puntos.
29. 2.9. GU´ NUMERO 9
IA ´ 29
2.9 Gu´ n´ mero 9
ıa u
1. Pruebe que la funci´n f (x) = x1/3 es continua en x = 0 y no diferen-
o
ciable en x = 0
2
2. Calcular la derivada de la funci´n f (x) = 3x(x2 − x ) en x = 2
o
3. Encuentre la derivada de las siguientes funciones
1 1
(a) f (x) = sin(x) + − 2
2x 3x
x2
(b) f (x) =
x − sin(x)
1/x − 2/x2
(c) f (x) =
2/x3 − 3/x4
2x5 + 4x
(d) f (x) =
cos(x)
1 √ 1
(e) f (x) = √ + x + tan(x) +
x tan(x)
4. Encuentre las dos intersecciones con el eje X de la gr´fica de f (x) =
a
2
x − 3x + 2 y probar que f (x) = 0 en alg´n punto entre ellas.
u
5. Encuentre la ecuaci´n de la tangente a la gr´fica de f en el punto
o a
especificado
1
(a) f (x) = x3 + √ en (5, f (5))
x
√
(b) f (x) = x2 + 7 en (2, f (2))
6. Encuentre la primera y segunda derivada de las siguientes funciones
√
(a) f (x) = 3 3x3 + 4x
(b) f (x) = cos(28x)
√
(c) f (x) = x2 9 − x2
1
(d) f (x) = 2 sin(x) + √
x
(e) f (x) = 2(x2 − 1)5
1
(f) f (x) = (x3 −3x)2
30. 30 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
7. Dada f encuentre f para
(a) f (x) = tan(10x) + sin3 (x)
1
√
4
(b) f (x) = arcsin(x) + sec2 (x)
+ x3 + 5x
cos5 (8x)
(c) f (x) = arccos(5x) + tan2 (4x) + x2
31. 2.10. GU´ NUMERO 10 (EJERCICIOS PROPUESTOS)
IA ´ 31
2.10 Gu´ n´ mero 10 (Ejercicios Propuestos)
ıa u
1. Dada f (x) = 5 − encuentre los c ∈]1, 4[ tales que f (c) = f (4)−f (1)
4
x 4−1
√
2. Considere la funci´n f (x) = x en el intervalo [1, 9]. Dibuje
o
(a) Encuentre la ecuaci´n de la secante que pasa por (1, f (1)) y
o
(9, f (9))
(b) Calcular el valor c ∈]1, 9[ para el cual f (c) = f (9)−f (1) . Encuentre
9−1
la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto
o a
(c, f (c))
3. Sea f (x) = 1 − x2/3 . Pruebe que f (1) = f (−1) = 0, pero que f (x)
nunca es cero en [−1, 1]. Explicar por qu´ este resultado no contradice
e
el teorema de Rolle.
4. Vea que las siguientes funciones satisfacen el Teorema de Rolle y en-
cuentre los puntos c que satisfacen las conclusiones del teorema
(a) f (x) = 9x2 − x4 en [−3, 3]
1−x2
(b) f (x) = 1+x2
en [−1, 1]
5. Pruebe que f (x) = (x − 1)2/3 satisface la hip´tesis del T.V.M. en [1, 2]
o
y encuentre c ∈]1, 2[ que satisfacen la conclusi´n del mismo.
o
6. Si f (x) = x2 − 5x + 2. Encuentre las funciones F tales que F = f .
Al graficarlas ¿que propiedades tienen estas funciones? ¿Habr´ alguna
a
π
funci´n F tal que F (8) = √2 ?
o
7. Sea F : C → C funci´n definida por F (z) = F (x + yi) = x2 + 2xy + y 2 .
o
Para cada y = a fijo hay fa funci´n real tal que fa (x) = x2 + 2ax + a2 .
o
df
Calcule dx
8. Encuentre los puntos cr´ıticos de f si los hay. Encuentre los intervalos
abiertos donde f es creciente o decreciente.
(a) f (x) = (x − 1)2/3
(b) f (x) = x3 − 6x2 + 15
(c) f (x) = x4 − 2x3
32. 32 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
x
(d) f (x) = x+1
9. La concentraci´n C de cierto producto qu´
o ımico en la sangre, t horas
despu´s de ser inyectado en el tejido muscular viene dado por
e
3t
C(t) =
27 + t3
¿Cu´ndo es m´xima la concentraci´n?
a a o
10. Al nacer un beb´ perder´ peso normalmente durante unos pocos d´
e a ıas
y despu´s comenzar´ a ganarlo. Un modelo para el peso medio W de
e a
los beb´s durante las 2 primeras semanas de vida es P (t) = 0.015t2 −
e
0.18t + 3.3. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de
P
11. Calcular las dimensiones del mayor rect´ngulo inscrito en un c´
a ırculo de
radio r
12. Una p´gina rectangular ha de contener 96[cm2 ] de texto. Los m´rgenes
a a
superior e inferior tienen 3[cm] de ancho y los laterales 2[cm] ¿Qu´e
dimensiones de la p´gina minimizar´n la cantidad de papel requerida?
a a
√
13. Considere la funci´n f (x) = x en el intervalo [1, 9]. Dibuje. Calcular
o
el valor c ∈]1, 9[ para el cual se cumple f (c) = f (9)−f (1) y encuentre la
9−1
ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto (c, f (c)).
o a
14. Dada f (x) = 2x5/3 − 5x4/3 . Calcule f (x) y f (x). Encuentre si los hay
puntos cr´
ıticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, m´ximos y
a
m´ınimos. Intersecciones de f (x) con los ejes coordenados. Dibuje.
15. Solucione el problema anterior para
x 2
(a) f (x) = √ f (x) =
x2+2 (x2 + 2)3/2
−6x
f (x) =
(x2 + 2)5/2
33. 2.10. GU´ NUMERO 10 (EJERCICIOS PROPUESTOS)
IA ´ 33
2(x2 + 9) 20x
(b) f (x) = √ 2 f (x) =
x −4 (x2− 4)2
−20(3x2 + 4)
f (x) =
(x2 − 4)3
16. Pruebe que el punto t tal que f (t) = 0 est´ en el punto medio de los
a
extremos locales de f para f (x) = x(x − 6)2
17. Haga una an´lisis de la gr´fica de
a a
(a) f (x) = x4 − 12x3 + 48x2 − 64x
(b) f (x) = x4 − 4x3
34. 34 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
36. 36 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
3.1 Soluci´n Prueba 1 MatI
o
1. (a) |3x + 4| + |x − 4| ≥ 20 (3.1)
Primero, encontremos los puntos cr´
ıticos
3x1 + 4 = 0
3x1 = −4
4
x1 = − (3.2)
3
x2 − 4 = 0
x2 = 4 (3.3)
4
Debemos primero evaluar la expresi´n (3.1) para x ≤ − 3
o
−(3x + 4) − (x − 4) ≥ 20
−3x − 4 − x + 4 ≥ 20
−4x − 4 + 4 ≥ 20
−4x ≥ 20
x ≤ −5 (3.4)
4
Ahora, debemos hacer lo mismo para los x ∈ (− 3 , 4)
(3x + 4) − (x − 4) ≥ 20
3x + 4 − x + 4 ≥ 20
2x + 8 ≥ 20
2x ≥ 12
x ≥ 6 (3.5)
Por ultimo debemos evaluar (3.1) para x ≥ 4
´
(3x + 4) + (x − 4) ≥ 20
4x ≥ 20
x ≥ 5 (3.6)
Por lo tanto, los intervalos en donde (3.1) tiene soluci´n son:
o
S1 = (−∞, −5] S2 = φ S3 = [5, ∞)
37. ´
3.1. SOLUCION PRUEBA 1 MATI 37
Entonces la soluci´n ser´:
o a
S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = (−∞, −5] ∪ [5, ∞) (3.7)
(b) Resolvamos (x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10
Para ello encontremos los ceros de la desigualdad
(x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10
x2 + x − 12 ≤ 2x2 − 5x − 10
0 ≤ x2 − 6x + 2 (3.8)
Ahora usando que la soluci´n de una ecuaci´n cuadr´tica es
o o a
√
−b ± b2 − 4ac
x1/2 = (3.9)
2a
Usando esto en la ecuaci´n (8) obtenemos
o
√ √ √
6 ± 36 − 8 6 ± 28 6±2 7 √
x1/2 = = = = 3 ± 7(3.10)
2 2 2
Por lo tanto tenemos
√ √
0 ≤ (x − (3 + 7))(x − (3 − 7)) (3.11)
Por lo tanto la soluci´n ser´
o ıa
√ √
S = (−∞, 3 − 7] ∪ [3 + 7, ∞) (3.12)
2. (a) Calcular
n n n
(7 + 5k) = 7+ 5k
k=1 k=1 k=1
n n
= 7 +5 k
k=1 k=1
n(n + 1)
= 7n + 5
2
5n2 5n
= 7n + +
2 2
2
5n + 5n + 14n
=
2
5n2 + 19n
= (3.13)
2
38. 38 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
(b) Demostrar por induccci´n
o
n
(3 + 4k) = 2n2 + 5n (3.14)
i=1
Para demostrar por inducci´n debemos ver si se cumple para n = 1
o
y luego suponemos que es v´lido para n = k y demostramos que
a
es v´lido para n = k + 1
a
Para n = 1
1
?
(3 + 4k) =
2+5
i=1
?
3+4 = 7
√
7 = 7
Ahora, suponemos que es v´lido para n = k y demostramos para
a
n=k+1
V´lido para n = k
a
k
(3 + 4k) = 2k 2 + 5k
i=1
Demostremos para n = k + 1
k+1
?
(3 + 4k) =
2(k + 1)2 + 5(k + 1)
i=1
k
?
(3 + 4k) +(3 + 4(k + 1)) =
2(k + 1)2 + 5(k + 1)
i=1
?
2k 2 + 5k + 3 + 4k + 4 =
(k + 1)(2(k + 1) + 5)
2 ?
2k + 9k + 7 =
(k + 1)(2k + 7)
?
2k 2 + 7k + 2k + 7
=
√
2k 2 + 9k + 7 = 2k 2 + 9k + 7 (3.15)
Por lo tanto demostramos por inducci´n la f´rmula (3.14)
o o
3. Para calcular esta suma debemos darnos cuenta que es una suma
telesc´pica, por lo tanto tenemos que
o
1999
1 1 1 1 1 1
− = − = −
i=1 i+3 i+4 1 + 3 1999 + 4 4 2003
39. ´
3.1. SOLUCION PRUEBA 1 MATI 39
2003 − 4 1999
= = (3.16)
8012 8012
4. Par encontrar el coeficiente que acompa˜a a x6 primero debemos cono-
n
cer cuales son los coeficientes del Binomio de Newton.
n n−1 n
(a + b)n = an + a b + ··· + abn−1 + bn (3.17)
1 n−1
Usando el coeficiente que necesitamos para obtener x6 , obtenemos
19 19 3 6
(3x2 )3 = 3x (3.18)
3 3
19!
= 33 x6
3!(19 − 3)!
19! 3 6
= 3x
3!16!
19 · 18 · 17 · 16! 3 6
= 3x
3!16!
19 · 18 · 17 3 6
= 3x
3·2
= 19 · 17 · 34 x6 = 26163x6 (3.19)
Por lo tanto el coeficiente que acompa˜a a x6 es 26163
n
40. 40 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
3.2 Soluci´n Prueba 2 forma 1, Matem´ticas I
o a
Gr´fico de f (x) = x2 + 2x − 3
a
100
80
60
Eje y
40
20
0
−15 −10 −5 0 5 10
Eje x
Figura 3.1: Gr´fico de f (x) = x2 + 2x − 3
a
1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 + 2x − 3
o a
(a) Determine el conjunto de im´genes de f (un gr´fico le ser´ de gran
a a a
utilidad).
De el gr´fico vemos que las ra´ son
a ıces
f (x) = (x + 3)(x − 1) (3.20)
y por lo tanto es f´cil ver que Im(f ) = [−4, +∞).
a
(b) Es f inyectiva? Justifique su respuesta
Es f´cil ver que f no es inyectiva pues f (−3) = f (1) = 0, es decir,
a
dos elementos del dominio de f tienen la misma im´gen.a
Una soluci´n m´s general es ver lo siguiente. Suponemos que
o a
f (a) = f (b) ⇒ a = b
Demostrar f (a) = f (b), significa que a2 + 2a − 3 = b2 + 2b − 3
resolviendo queda
41. ´ ´
3.2. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 1, MATEMATICAS I 41
a2 − b2 + 2(a − b) = 0
(a + b)(a − b) + 2(a − b) = 0
(a − b)[(a + b) + 2] = 0 (3.21)
Esto nos da dos soluciones, a = b, o bien, a = −2 − b, lo cual dice
que f no es inyectiva, i.e. f (a) = f (b) no implica necesariamente
que a = b.
(c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que
a u
f es inyectiva.
Para que una funci´n f sea inyectiva en un intervalo, la funci´n f
o o
debe ser creciente o bien decreciente, luego el intervalo son todos
los Reales positivos pues ah´ la funci´n es creciente.
ı o
(d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I)
J = f (I) = { de todos los reales mayores o iguales a − 3}
Luego es f´cil ver que la preim´gen de este conjunto es el conjunto
a a
S = (−∞, −2] ∪ [0, +∞)
2. (a) Sea D la distancia que est´ el observador del punto de lanzamiento
a
del globo, entonces tenemos
D
sin(30) = ⇒ D = 200 sin(30)
200 √
3
D = 200
2 √
D = 100 3 (3.22)
(b) Es f´cil ver que la altura inicial (H) era de
a
H
cos(30) = ⇒ H = 200 cos(30)
200
1
H = 200
2
H = 100 (3.23)
42. 42 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
¯
Para encontrar la altura final (H) tenemos que
D ¯ D
tan(60) = ¯ ⇒H =
H tan(60)
¯ D
H = 1
√
3
√
¯ 100 3
H = 1
√
3
¯
H = 300[m] (3.24)
Luego, la altura al suelo es 300 + 1, 7 = 301, 7[m]
3. Reolver
1
− sin x cos x = 0 (3.25)
2
El producto de dos n´meros natirales es igual a cero si cada uno de los
u
n´meros es igual a cero. Por lo tanto, tenemos que
u
1
cos x = 0 o bien − sin x (3.26)
2
Pero cos(x) = 0 si x ∈ {− 3π , − π , π , 3π , 5π , 7π , 9π , etc.}
2 2 2 2 2 2 2
Luego, los valores que se encuentran en el intervalo pedido son
π π 3π 5π 7π 9π
x∈ − , , , , , (3.27)
2 2 2 2 2 2
Ahora hay que ver las soluciones de sin(x) = 1 , estos valores son
2
2π π 4π 7π 10π 13π
x∈ − , , , , , (3.28)
3 3 3 3 3 3
√ √ √
2 2 3 i
4. Sean z1 = 2
+i 2
y z2 = 2
+ 2
43. ´ ´
3.2. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 1, MATEMATICAS I 43
(a) Para escribir estos n´meros en forma polar o trigonom´trica es
u e
necesario conocer el ´ngulo y el m´dulo de estos complejos.
a o
√ √
2 2 2 2
|z1 | = +
2 2
2 2
= +
4 4
1 1
= +
2 2
√
= 1
|z1 | = 1 (3.29)
√
3 2 1 2
|z2 | = +
2 2
3 1
= +
4 4
√
= 1
|z2 | = 1 (3.30)
Para conocer los ´ngulos demeboms calcular:
a
Para z1 vemos que el ´ngulo θ1 es
a
2
2
tan(θ1 ) = √
3
=1 (3.31)
2
Luego el ´ngulo θ1 = π
a 4
Para z2 vemos que el ´ngulo θ2 es
a
1
2 1
tan(θ2 ) = √
3
=√ (3.32)
2
3
π
Luego el ´ngulo θ2 =
a 6
44. 44 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
Entonces los complejos se pueden escribir como
π π π
z1 = cos + i sin = ei 4 (3.33)
4 4
π π π
z2 = cos + i sin = ei 6 (3.34)
6 6
(b) Encontrar z1
z2
La forma polar es la mejor forma para ver la divisi´n, entonces
o
tenemos que
π
z1 ei 4
= iπ
z2 e6
π π
= ei( 4 − 6 )
3π−2π
= ei( 12 )
π
= ei( 12 ) (3.35)
(c) Calcular ( z1 )8
z2
Como ya calculamos z1 entonces obtenemos usando nuevamente
z2
la forma polar lo siguiente
8 8
z1 π
i 12
= e
z2
π
= ei8 12
2π
= ei 3 (3.36)
45. ´ ´
3.3. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 2, MATEMATICAS I 45
3.3 Soluci´n Prueba 2 forma 2, Matem´ticas I
o a
Gr´fico de f (x) = x2 − 6x + 8
a
80
70
60
50
40
Eje y
30
20
10
0
−10
−10 −5 0 5 10 15
Eje x
Figura 3.2: Gr´fico de f (x) = x2 − 6x + 8
a
1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 − 6x + 8
o a
(a) Determine el conjunto de im´genes de f (un gr´fico le ser´ de gran
a a a
utilidad).
De el gr´fico vemos que las ra´ son
a ıces
f (x) = (x − 4)(x − 2) (3.37)
y por lo tanto es f´cil ver que Im(f ) = {x ∈ R|x ∈ [−1, +∞)}.
a
(b) Es f inyectiva? Justifique su respuesta
Es f´cil ver que f no es inyectiva pues f (2) = f (4) = 0, es decir,
a
dos elementos del dominio de f tienen la misma im´gen, lo cual
a
implica que no es inyectiva.
(c) Encontrar el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que
a u
f es inyectiva.
Igual que la respuesta anterior, una funci´n f es inyectiva en un
o
intervalo si f es creciente o decreciente en ese intervalo. Luego, el
conjunto de n´meros positivos m´s grande es [3, ∞).
u a
46. 46 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
(d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I)
La preim´gen de este conjunto son claramente todos los reales.
a
2. Reolver
1
− cos(x) sin(x) = 0 (3.38)
2
El producto de dos n´meros natirales es igual a cero si cada uno de los
u
n´meros es igual a cero. Por lo tanto, tenemos que
u
1
sin(x) = 0 o bien − cos(x) (3.39)
2
Para sin(x) = 0 el conjunto de soluciones en [−π, 5π] ser´
a
x∈ − π, 0, π, 2π, 3π, 4π, 5π (3.40)
1
El conjunto de valores de cos(x) = 2
ser´
a
5π π 7π 13π 17π 23π 29π
x∈ − , , , , , , (3.41)
6 6 6 6 6 6 6
√ √ √
1 3 2 2
3. Dados los n´meros complejos z1 =
u 2
+i 2
y z2 = 2
+i 2
(a) Escribir z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica.
e
Para esto debemos ver los ´ngulos y m´dulos de estos complejos.
a o
√
1 2 2 2
|z1 | = +
2 2
1 3
= +
4 4
4
=
4
√
= 1
|z1 | = 1 (3.42)
47. ´ ´
3.3. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 2, MATEMATICAS I 47
√ √
2 2 2 2
|z2 | = +
2 2
1 3
= +
4 4
√
= 1
|z2 | = 1 (3.43)
Luego, los ´ngulos para estos complejos son
a
√
3
2
θ1 = arctan 1
2
√
= arctan( 3)
π
θ1 = (3.44)
6
√
2
2
θ2 = arctan √
2
2
= arctan(1)
π
θ2 = (3.45)
4
Luego, las formas polares y complejas son:
π π π
z1 = cos + i sin = ei 6 (3.46)
6 6
π π π
z2 = cos + i sin = ei 4 (3.47)
4 4
z1
(b) Calcular z2 , para ello utilizamos la forma polar
π
z1 ei 6
= iπ
z2 e4
π π
= ei( 6 − 4 )
2π−3π
= ei( 12 )
π
= e−i( 12 ) (3.48)
48. 48 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
(c) Calculemos ahora ( z1 )8
z2
8 8
z1 π
= e−i 12
z2
π
= e−i8 12
2π
= e−i 3 (3.49)
4. (a) Sea D la distancia que est´ el observador del punto de lanzamiento
a
del globo, entonces tenemos
D
sin(30) = ⇒ D = 300 sin(30)
300 √
3
D = 300
2 √
D = 150 3 (3.50)
(b) Para ver la altura del globo a los 2 minutos tenemos que
D
tan(60) = ¯ (3.51)
H
¯
donde H es la altura desconocida.
Luego
√
¯ = D 150 3
H = 1 = 150 · 3 = 450 (3.52)
tan(60) 3
Ahora a esta altura debemos agregarle la altura de los ojos del
observador que es 1, 6[m], por lo tanto la altura ser 451, 6[m].
49. ´
3.4. SOLUCION PRUEBA GLOBAL -MATI 49
3.4 Soluci´n Prueba Global -MatI
o
1. Calcular
(a)
1 − cos x 1 − cos x 1 + cos(x)
lim 2
= lim ·
x→0 x x→0 x2 1 + cos(x)
2
sin (x) 1
= lim 2
·
x→0 x 1 + cos(x)
2
sin (x) 1
= lim · lim
x→0 x2 x→0 1 + cos(x)
1 − cos x 1 1
lim 2
= 1· = (3.53)
x→0 x 1+1 2
(b)
1 6−(x+5)
−1
x+5 6 6(x+5)
lim = lim
x→1 x − 1 x→1 x−1
6−x−5
6(x+5)
= lim
x−1
x→1
−x + 1
= lim
x→1 6(x + 5)(x − 1)
−(x − 1)
= lim
x→1 6(x + 5)(x − 1)
−1 −1 1
= lim = =− (3.54)
x→1 6(x + 5) 6(1 + 5) 36
2. (a) Para calcular la derivada de esta funci´n debemos usar la regla de
o
la cadena, por lo que obtenemos
f (x) = tan(5x2 cos(x))
= sec2 (5x2 cos(x)) · 5x2 cos(x)
= sec2 (5x2 cos(x)) · 10x cos(x) + 5x2 (− sin(x))
f (x) = sec2 (5x2 cos(x)) · 10x cos(x) − 5x2 sin(x) (3.55)
50. 50 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
(b) Para encontrar la recta tangente que pasa por el punto x = 1
debemos primero derivar f (x)
f (x) = 15x4 − 105x2 + 180 (3.56)
A continuaci´n debemos evaluar f (x) y f (x) en x0 = 1
o
y0 = f (x0 ) = 15 − 105 + 180 = 148 (3.57)
m = f (x0 ) = 15 − 105 + 180 = 90 (3.58)
Por lo tanto la recta tangente que pasa por x = 1 ser´
a
y = y0 + m(x − x0 ) = 148 + 90(x − 1) = 90x + 58 (3.59)
3. (a) Para este ejercicio, debemos primero encontrar los puntos cr´
ıticos
de f (x). Para ello debemos derivar e igualar a cero.
f (x) = x4 − 7x2 + 12 (3.60)
f (x) = 0 ⇒ x4 − 7x2 + 12 = 0
(x2 − 3)(x2 − 4) = 0 (3.61)
⇒ x2 − 3 = 0 ∧ x2 − 4 = 0
x2 = 3 x2 = 4
√
x=± 3 x = ±2 (3.62)
Ahora, debemos saber si la funci´n es creciente o decreciente. Para
o
ello usaremos los puntos cr´
ıticos, viendo si la primera derivada es
positiva o negativa.
En el intervalo (−∞, −2] ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente
√
En el intervalo [−2, − 3] ⇒ f (x) < 0 ⇒ f (x) es decreciente
√ √
En el intervalo [− 3, 3] ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente
√
En el intervalo [ 3, 2] ⇒ f (x) < 0 ⇒ f (x) es decreciente
En el intervalo [2, ∞) ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente
51. ´
3.4. SOLUCION PRUEBA GLOBAL -MATI 51
Un gr´fico de la funci´n ser´
a o ıa:
5 3
Gr´fico de x − 7x + 12x
a 5 3
150
100
50
Eje y 0
-50
-100
-150
-6 -4 -2 0 2 4 6
Eje x
x5 7x3
Figura 3.3: Gr´fico de f (x) =
a 5
− 3
+ 12x
(b) El unico valor para que f (x) = 0 es x = 0, los dem´s puntos que
´ a
aparecen como soluciones son n´meros complejos.
u
4. (a) Para este ejercicio debemos usar dos ecuaciones que nos relacionen
el volumen de la figura y el ´rea.
a
Sabemos que el volumen de una caja cerrada de secci´n cuadrada
o
ser´:
a
V = yx2 (3.63)
Adem´s de la condici´n de que el ´rea de la caja es 100 cm2
a o a
obtenemos
2x2 + 4xy = 100 (3.64)
De la ecuaci´n (3.64) despejando y obtenemos
o
50 − x2
y= (3.65)
2x
52. 52 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
Reemplazando (3.65) en (3.63) obtenemos la expresi´n del Volu-
o
men V como funci´n de x
o
− x2
2 50 50x − x3 x3
V =x = = 25x − (3.66)
x2 2 2
(b) Para encontrar las dimensiones de la caja de volumen m´ximoa
debemos derivar la ecuaci´n (3.66) e igualarla a cero para encon-
o
trar alg´n m´ximo o m´
u a ınimo:
3x2
V (x) = 25 −
2
3x2
V (x) = 0 ⇒ 25 − =0 (3.67)
2
3x2
⇒ = 25
2
50
x2 =
3
50
x = (3.68)
3
Reemplazando (3.68) en (3.65) obtenemos para y
50
50 − 3 50
y= = (3.69)
2 50 3
3
