03.03 Potencias y raices

La potencia an
(a > 1), es el producto de n factores iguales a la base:
an
= a .
a .
a .
... .
a (n veces)
Propiedades
1. Potencia de exponente natural
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 3. POTENCIAS Y RAÍCES Javier Fernández
Producto de potencias de la misma base am
. an
= am+n
Cociente de potencias de la misma base am
/ an
= am–n
Potencia de potencia (am
)n
= am.n
Producto de potencias del mismo exponente am .
bm
= (a .
b)m
Cociente de potencias del mismo exponente am
/ bm
= (a / b)m

¿Qué sentido se le puede dar a la expresión a–m
? ¿Y a las expresiones a1
ó a0
?
2. Potencia de exponente entero
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández
Definición de pot y simp Propiedades de pot Concluimos
a5
a
5
=
a ·a ·a·a·a
a ·a ·a·a·a
=1
a5
a5
=a5−5
=a0
a0
=1
a6
a
5
=
a ·a·a·a ·a ·a
a·a ·a ·a·a
=a
a6
a
5
=a
6−5
=a
1
a1
=a
a3
a
5
=
a ·a·a
a ·a ·a·a·a
=
1
a
2
a3
a
5
=a
3−5
=a
−2
a
−2
=
1
a
2
•Definimos la potencia de exponente entero de la siguiente manera:
•
an
=a ·a·...·a ;n veces,con n∈ℕ, y n0
a1
=a ; a0
=1
a−m
=
1
a
m
;m∈ℕ;y con m0

Las calculadoras muestran números en notación científica.
Así el número que muestra la calculadora es:
9,46⋅10−3
=
9,46
1000
=0,00946
3 Potencias de 10. Notación científica
Un número en notación científica N = a,bcd... .
10n
consta de:
Una parte entera formada por una sola cifra: a
Una parte decimal: bcd ...
Una potencia de base 10 con exponente entero: 10n
En esta notación el exponente n indica el orden de la magnitud.

Se define de la siguiente manera:
b =⇔bn= a
radical radicando
Índice
par
impar
a > 0: dos raíces
a < 0: sin raícesn
cualquiera que sea a,
hay exactamente una raíz
a = 0: una raíz
4. Raíces de un número. Número de raíces
n
a

• Dos radicales son iguales o equivalentes si tienen las mismas raíces.
• Si se multiplica el índice del radical y el exponente del radicando por el
mismo número el radical no varía.
n
am
=
n⋅k
am⋅k
Esta propiedad permite simplificar radicales,
reducirlos a índice común y compararlos
18
a12
=
18 : 6
a12 : 6
=
3
a2
12
4096=
12
212
=2
c) Reducir a índice común y ordenar: 2,
4
2
3
,
6
2
5
m.c.m (2, 4, 6) = 12
a)
b)
12
2
6
,
12
2
9
,
12
2
10
12
26

12
29

12
210
5. Raíces equivalentes
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier FernándezMATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 3. POTENCIAS Y RAÍCES Javier Fernández

•Una potencia de exponente fraccionario es igual a un radical donde:
•
el denominador de la fracción es el índice del radial, y
el numerador de la fracción es el exponente del radicando
a
m
n
=
n
am
6. Potencias de exponente fraccionario
Def de raíz Prop potencias Concluimos
a·a=a a
1
2
⋅a
1
2
=a
1
2

1
2
=a1
=a a
1
2
=a
3
a·
3
a ·
3
a=a
a
1
3
⋅a
1
3
⋅a
1
3
=a
1
3

1
3

1
3
=a1
=a a
1
3
=
3
a
¿Qué sentido podemos dar a las expresiones: a1/2
; a1/3

7 Propiedades de los radicales
I. Raíz de un producto n
a⋅b=
n
a⋅
n
b
El producto de dos radicales del
mismo índice es otro radical que
tiene por índice el común y por
radicando el producto de los
radicandos.
II. Raíz de un cociente n
a
b
=
n
a
n
b
El cociente de dos radicales del
mismo índice es otro radical que
tiene por índice el común y por
radicando el cociente de los
radicandos.
III. Raíz de una
potencia
n
a
m
=n
a
m
La potencia de una raíz es otra
raíz que tiene por índice el
mismo y por radicando la
potencia del radicando.
IV. Raíz de una raíz m
n
a=
m⋅n
a
La raíz de un raíz es otra raíz que
tiene por índice el producto de la
índices y por radicando el mismo.

8. Cálculo con potencias y raíces
Como raíces Como potencias
n
a⋅b=
n
a⋅
n
b a⋅b
1
n
=a
1
n
⋅b
1
n
n
a
b
=
n
a
n
b
a
b 
1
n =
a
1
n
b
1
n
m
n
a=
m⋅n
a a
1
n

1
m
=a
1
n
⋅
1
m
=a
1
n⋅m
• Las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas
propiedades que las potencias de exponente entero.
• Las operaciones con radicales se pueden realizar recurriendo a las
potencias de exponente fraccionario.

32 =
• Sacar factores:
16 2⋅ = 216⋅ = 24⋅
• Introducir factores:
3
72 =⋅ 3 3
2 7⋅ = 3
56
9. Operaciones con radicales: sacar e introducir factores

• Radicales equivalentes o iguales.
• Radicales reducibles o equivalentes.
10. Operaciones con radicales: suma y diferencia
6525−45=62−45=45
312−275227=322
·3−252
·3233
·3=3·23−2·532·33 =
= 63−10363=6−1063=23
3
3
3
24−
3
3000=
3
3
3
8·3=
3
32
3
3−10
3
3=−7
3
3

Para multiplicar o dividir radicales se puede utilizar las propiedades de los
radicales o de sus equivalentes con fracciones.
3
2 15⋅ =
6 63 2
2 15⋅ = 6 3 2
2 15⋅ = 6
1800
3 2
6 62 15⋅ =
1 1
3 26 6(2 ) (15 )⋅ =
1
6(8 225)⋅ =
1
61800
4
6: 3 =
4 4
36: 3 = 4
36:3 = 4
12
1 1
2 46 :3 =
1 1
4 436 :3 =
1
4(36:3) =
1
412
11. Producto y cociente de radicales

253
5−353
=
2
5−3
=
253
5−3
= 53
2
3
2
=
2⋅
3
22
3
2⋅
3
22
=
2⋅
3
22
3
23
= 2⋅
3
2
2
2
=
3
2
2
12. Racionalización
• En los cálculos a mano, a veces, conviene evitar denominadores
con raíces.
• El proceso de obtener como denominador un número racional se
llama racionalización.
• Este proceso puede ser necesario para simplificar.

03.03 Potencias y raices

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