economia

1. Funciones trigonométricas inversas
CEPRE UNI TRIGONOMETRÍA - 1 -
Objetivo
- Reconocer en una función trigonométrica inversa, su respectivo dominio, rango y
gráfica.
Conceptos previos
1. Función suryectiva o sobreyectiva
Dada una función f cuyo conjunto de partida A y conjunto de
llegada B, o sea :
f A B
 se dice f que es una función
suryectiva si todo elemento de B es imagen de un elemento
de A. En otras palabras f es suryectiva si el rango de f es
igual a B.
2. Función inyectiva o univalente
Una función f se llama univalente (uno – uno) si    
1 2
f x f x
 implica que 1 2
x x
 . Una
función es univalente, si ninguno de dos pares ordenados distintos de la función tiene el
mismo segundo elemento.
Ejemplo (1)
La función f definida por   2
f x x
  es univalente: Si    
1 2
f x f x
 , entonces
1 2 1 2
2 2
x x y x x
    Sin embargo, la función la función g, definida por   
g x senx
no es univalente ya que
1 5 1
( ; ) ( ; )
6 2 6 2
y
 
pertenecen a g.
Gráficamente, una función univalente está caracterizada por la propiedad de que toda
recta horizontal intersecta a la gráfica de f en, cuanto más, un punto.
Ejemplo (2)

2. Funciones trigonométricas inversas
CEPRE UNI TRIGONOMETRÍA - 2 -
3. Función biyectiva
Son aquellas funciones que cumplen simultáneamente con ser inyectivas y suryectivas.
Sea :
f A B
 una función, se llamará biyectiva sí se cumplen 2 condiciones:
         
 
1 2 1 2 /
f x f x x x y B x A y f x
         
4. Función Inversa
Si f es univalente, la función  
 

( ; )/
f x x x Dom f se llama inversa de f y se denota
por 1
* .
f o f La inversa de f es el conjunto de pares ordenados, obtenido al
intercambiar el primero y el segundo elemento en cada par ordenado de f .
Como 1
f está definido por
 

 
1
( ( ); )/
f f x x x Dom f , evidente que el
dominio de f es el rango de 1
f y el rango
de 1
f es el dominio de f .

 
1
Dom f Ran f

 
1
Ran f Dom f
Nota
El gráfico de la función inversa 1
f es
simétrica a la gráfica f con respecto a la
recta identidad 
y x .
Estudio de las funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas son periódicas, entonces no son univalentes, por lo cual
se debe restringir el dominio para cada una de ellas, de tal forma que la función sea univalente
y exista su inversa.
En el siguiente cuadro mostramos el dominio restringido de cada una de las funciones
trigonométricas y su respectivo rango
 
   
  
  
 
 
 
 
 
 
 
  
  

 

     
  
 
 
 

     

 
 
ón( ) Dominio( ) Rango( )
y=sen ; 1;1
2 2
y=cos 0; 1;1
y=tan ; ;
2 2
y=cot 0; ;
y=sec 0; ; 1 1;
2
y=csc ; 0 ; 1 1;
2 2
funci f f f
x
x
x
x
x
x

3. Funciones trigonométricas inversas
CEPRE UNI TRIGONOMETRÍA - 3 -
Nota: Observemos que para el dominio restringido el rango de la FT no ha variado
1. Función seno inverso o arco seno
Notación
   

   
1
y arcsen x o y sen x seny x
   
Dom arcsen(x) 1;1
  
 
Ran arcsen(x) ;
2 2
 
 
  
 
 
 Es una función creciente
En general
   
 
       1;1
2 2
arcsen
2. Función coseno inverso o arco coseno
Notación
   

   
1
arccos cos cos
y x o y x y x
   
Dom arccos(x) 1;1
  
   
Ran arccos(x) 0;
  
 Es una función decreciente
En general
   
       
0 arccos 1;1
3. Función tangente inversa o arco tangente
Notación
   

   
1
arctan tan tan
y x o y x y x
 
Dom arctan(x) ;
   
 
Ran arctan(x) ;
2 2
 
  
 Es una función creciente
En general
 
 
        
arctan ;
2 2

4. Funciones trigonométricas inversas
CEPRE UNI TRIGONOMETRÍA - 4 -
4. Función cotangente inversa o arco cotangente
Notación
   

   
1
arccot cot cot
y x o y x y x
 
Dom arc cot(x) ;
   
 
Ran arc cot(x) 0;
  
 Es una función decreciente
En general
 
        
0 arccot ;
5. Función secante inversa o arco secante
Notación
   

   
1
arc sec sec sec
y x o y x y x
  
Dom arc sec(x) ; 1 1;

     

   
Ran arc sec(x) 0;
2

 
     
 
 Es una función creciente
 
      

; 1 1;
x y x
En general
    
 

              

0 arc sec sec ; 1 1;
2 2
arc
6. Función cosecante inversa o arco cosecante
Notación
   

   
1
arccsc csc csc
y x o y x y x
  
Dom arc csc(x) ; 1 1;

     

   
Ran arc csc(x) ; 0
2 2
 
 
   
 
 
 Es una función decreciente
 
      

; 1 1;
x y x
En general
    
 

              

arc csc 0 0 csc ; 1 1;
2 2
arc

5. Funciones trigonométricas inversas
CEPRE UNI TRIGONOMETRÍA - 5 -
Grafica de las Funciones trigonométricas Inversas compuestas
1. Al multiplicar la función y al argumento por una constante.
y A.arcFT(Bx) A 0 B 0
   
 El valor de A modifica el rango, aumenta si A>1 o disminuye si 0 A 1
 
 El valor de B expande o contrae el dominio de la funciones trigonométricas inversas
básicas: arco seno, arco coseno, arco secante y arco cosecante.
Ejemplos
2. Al sumar una constante a la función y al argumento
( ) 0 0
y arcFT x C D C D
     
 Cuando se suma una constante C  
0
C  varia el dominio de las funciones arco
seno, arco coseno, arco secante y arco cosecante.
 Cuando se suma una constante D  
0
D  a una función varía el rango de las
funciones trigonométricas inversas básicas.
 -C representa el desplazamiento horizontal, si –C es positiva la traslación será hacia
la derecha –C unidades y si –C es negativa la traslación será –C unidades hacia la
izquierda.
 D representa el desplazamiento vertical, si 0
D  la gráfica se traslada D unidades
hacia arriba y D unidades hacia abajo si 0
D  .
Nota
Si ( )
y arcFT Bx C D
   el desplazamiento horizontal está dado por –C/B

6. Funciones trigonométricas inversas
CEPRE UNI TRIGONOMETRÍA - 6 -
Ejemplos
Propiedades de las funciones trigonométricas inversas
1. De las propiedades de las funciones inversas se sabe que si f posee inversa.
 
1
( )
f f x x x Ran f

  
Entonces
 
 
( ( )) ; 1;1 cot( cot( )) ; ;
cos( cos( )) ; 1;1 sec( sec( )) ; 1;1
tan( tan( )) ; ; csc( csc( )) ; 1;1
sen arcsen x x x arc x x x
arc x x x arc x x x
arc x x x arc x x x
      
      
       
Ejemplos
1 1 1 1
* sen(arcsen( )) * cos(arc cos( ))
4 4 5 5
   
 
6 13
arc csc( )
12
5 13
* tan(arctan sec(arc sec( 6)) ) 6 * csc arc cot( )
12 12
 
 
 
 
2. De las propiedades de las funciones inversas se sabe que f posee inversa.
 
 
1
f f x x x Dom f

  
Entonces
( ( )) ; ; arc cot(cot( )) ; 0;
2 2
arcsen sen x x x x x x
 
 
     
 
 

7. Funciones trigonométricas inversas
CEPRE UNI TRIGONOMETRÍA - 7 -
   
 
arccos(cos( )) ; 0; sec(sec( )) ; 0;
2
arctan(tan( )) ; ; csc(csc( )) ; ; 0
2 2 2 2
x x x arc x x x
x x x arc x x x

 
        
 
   
 
      
 
 
Ejemplos
4 4
* arcsen(sen( )) * arccos(cos( ))
6 6 5 5
   
 
2 2 2
* arctan(tan( )) porque ;
3 3 3 2 2
    
  
3. Para valores negativos (del dominio) se cumplen las siguientes igualdades
 
 
 
 
 
 
( ) arccos( ) arccos
arctan( ) arctan arc cot( ) arc cot
csc( ) csc arc sec( ) arc sec
arcsen x arcsen x x x
x x x x
arc x arc x x x
      
      
      
Ejemplos
1 1
* arcsen( ) arcsen( )
5 5
  
4
3
* arc cot( 1) arc cot(1)
4


    
3
1 1 2
* arccos( ) arccos( )
2 2 3


        
 
sec 6
* sec 6 sec 6
arc
arc arc

   
4. Arcos complementarios
   
 
 
( ) arccos ; 1;1
2
arctan( ) arc cot ;
2
sec( ) arc csc ; 1;1
2

    

   

     
arcsen x x x
x x x
arc x x x
Ejemplo
1 1
* arctan( ) cot( )
5 5 2

 
arc    
* sec 2 csc 2
2

   
arc arc
 
* 2 arccos( 2) ; 1 2 1 1 3
2

          
arcsen x x si x x

8. Funciones trigonométricas inversas
CEPRE UNI TRIGONOMETRÍA - 8 -
5. Propiedad de las reciprocas
       
       
   
   
1 1
csc( ) ; 1;1 0 cot arctan( ) ; 0;
1 1
arccos sec( ) ; 1;1 0 cot arctan( ) ; ;0
1 1
arctan cot( ) ; 0; sec arccos( ) ; 1;1
1
arctan cot( ) ; ;0 csc arc (
      
        
      
     
arcsen x arc x arc x x
x x
x arc x arc x x
x x
x arc x arc x x
x x
x arc x arc x sen
x
1
) ; 1;1
  
x
x
Ejemplos
 
1
* ( ) csc 5
5

arcsen arc
1
* arctan( 2) cot( )
2
    
arc
1
* arccos( ) sec( 3)
3
  
arc
2 3
* cot( ) arctan( )
3 2
    
arc
6. Suma de dos arcos
a b
arctan(a) arctan(b) arctan( ) k
1 ab

   

El valor de k depende de a y b, así se tiene que
 
 
k 0 si ab 1
k 1 si ab 1 a 0 b 0
k 1 si ab 1 a 0 b 0
  

     


      

Ejemplo
Calcule
3
arctan(5) arctan( )
2
  
Como
3 15
5 1 k 1
2 2
    
Luego
4
3
5
3
2
arctan( ) arctan( 1)
3 4
1 5
2




        
 