Expliquer les éléments finis de manière simple

1. La démarche de l’ingénieur
Identifier les phénomènes physiques
Choisir une théorie et un modèle
Modéliser l’objet et son environnement
Calculer et interpréter
samedi 25 mai 13

2. Identifier les phénomènes physiques
samedi 25 mai 13

3. Identifier les phénomènes physiques
Choisir une théorie et un modèle
samedi 25 mai 13

4. Identifier les phénomènes physiques
Choisir une théorie et un modèle
Modéliser l’objet et son environnement
Système physique
P
FIdéalisation
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5. Identifier les phénomènes physiques
Choisir une théorie et un modèle
Modéliser l’objet et son environnement
Calculer et interpréter
samedi 25 mai 13

6. La démarche de l’ingénieur
samedi 25 mai 13

7. A l’origine, la RdM
Matériau élastique,
linéaire, homogène,
petits déplacements
Modélisation simple
et bien cataloguée
Calculs simples
et bien catalogués
(abaques, ...)
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8. 1.Les bases
Des milieux continus
Efforts et déplacements nodaux
Saint-Venant
Noeuds et fonctions associées
Petites déformations
La discrétisation en domaines
Linéaire
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9. 1.1Milieu continu
Statique en régime permanent
Petites perturbations
Elastique linéaire
=
pas de déformation permanente
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10. 1.2 Discrétisation
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11. 1.3 Saint-Venant
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12. 1.4 Efforts et déplacements
nodaux
C’est le modèle
de l’action de
l’environnement
Discrétisation élémentaire
due aux fonctions de forme
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13. 1.5 Noeuds et fonctions
associées
... je vais y revenir plus tard....
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14. 1.6 Petites déformations
... je vais y revenir plus tard....
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15. 2. La modélisation
Adéquation de la géométrie à la simulation
Discrétisation: le maillage
La qualité des éléments
Charges et conditions limites
Singularités
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16. 2.1 La géométrie et la simulation
Milieu continu
Théorie des
poutres
= RDM
Théorie des
plaques
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17. Hypothèses
fortes !!
Exploitation
des spécificités
du modèle
2.2 Idéalisation
3D ? .... 2D ?..... 1D ?
Qu’est-ce qui convient le mieux
pour la réalité physique ?
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18. 2.3 Le maillage
Des noeuds et des coordonnées...
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19. ... mais aussi des éléments
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20. 2.4 La qualité des éléments
Faut-il rester «strictement» correct ?
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21. 2.5 Charges et conditions limites
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22. 2.6 Singularités
Géométrique, matérielle ou....
.. artificielle !
... physique
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23. 3. L’élément fini
3.1 Un domaine géométrique
3.2 Des noeuds
3.4 Des fonctions mathématiques aux noeuds
3.5 Une hypothèse
3.3 Des degrés de libertés
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24. 3.3 Les degrés de liberté
Selon le choix
mathématique, les noeuds
ont certaines propriétés de
«mobilité»
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25. 3.4 Les fonctions de base
= les fonctions de forme
But:
exprimer les déplacements
en un point quelconque de l’élément via les
déplacements connus en ses noeuds
Mais aussi pour modéliser la
géométrie
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26. Elles peuvent donc
changer d’élément
en élément
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27. Un exemple pratique
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28. u = Pi(x) * ui + Pj(x) * uj
Pi(x)= 1- (x / L)
Pj(x)= x / L
u = P x Uij
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29. 3.5 Hypothèses d’éléments
Volumes
Coques
Poutres
Membranes
Plaques
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30. 4. Résoudre
1. Calculer les déplacements
2. En déduire les déformations
3. Et finalement les contraintes
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31. 4.1 La solution
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32. 4.2 L’assemblage
Des contributions élémentaires
vers la matrice globale
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33. 4.3 Prise en compte des CLs
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34. 4.4 Efforts nodaux ->
déplacements nodaux
K = matrice de rigidité
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35. u = Pi(x) * ui + Pj(x) * uj
4.5 Les déformations
Pi(x)= 1- (x / L)
Pj(x)= x / L
Du
Dx
-= +e = ui uj ) / L(
ei ej+e =
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36. 4.6 Des déformations vers les
contraintes: le module de Young
Grand Young = rigidité
Grand Young = petites déformations
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37. 4.7 La convergence
Faut-il beaucoup
d’éléments pour avoir
un résultat fiable ?
Faut-il des petits
éléments
ou peut-on se
contenter de «gros» ?
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38. Convergence plus lente pour les
contraintes que pour les déplacements
Convergence plus lente pour les élements
linéaires que pour les éléments
quadratiques
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39. 5. Le post-traitement
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40. 5.1 Interpréter les résultats
Les résultats sont-ils «vraisemblables» ?
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41. L’écart de la modélisation est-il
«acceptable» ?
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42. 5.2 Adapter le maillage ?
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43. Référence
Lionel Gendre,
Sciences de l’ingénieur
Université de Cachan, Fr
http://www.si.ens-cachan.fr/accueil_V2.php?
page=search_advanced&author=Lionel+Gendre
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