an num new

1. Universitatea Spiru Haret
Facultatea de Matematica-Informatica
Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica
CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI
• Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaŃii liniare:
metoda lui Gauss, metoda rădăcinii pătrate, metoda lui Iacobi, metoda Gauss
Seidel, metode de relaxare, pseudoinversa unei matrici.
• Metode de aproximare a spectrului: metoda rotaŃiilor, metoda puterilor.
• Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor neliniare: principiul
contracŃiei, metoda lui Newton, metoda bisectiei.
• Interpolare cu polinoame: formula lui Hermite, interpolare cu noduri
simple, diferenŃe divizate, interpolare cu funcŃii spline cubice.
• Formule de cuadratură: formulele Newton-Côtes, formula
trapezului, formula lui Simpson, polinoamele lui Legendre şi formulele lui
Gauss, formula lui Hermite, formula lui Romberg.
• Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor diferenŃiale: metoda lui
Taylor, metoda lui Euler, metoda Euler-Cauchy, metoda lui Runge-Kutta,
consistenŃă, stabilitate, convergenŃă.
BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ OBLIGATORIE
1. Gh. Grigore, LecŃii de analiză numerică. Editura Universitară Bucureşti, 1990
2. Gh Grigore, Sinteze, Biblioteca virtuala, www.spiruharet.ro
3. Berbente, S. Mitran, S. Zancu, Metode Numerice (Numerical Methods), Editura Tehnica, 1997. 304 pages (in Romanian),
http://www.amath.unc.edu/Faculty/mitran/papers/metodenumerice.pdf
Subiecte propuse analiza numerica
A 1. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se
____
aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.
A 2. Metoda bisectiei converge liniar.
____
A 3. Se considera ecuatia
____
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda
bisectiei.
F Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b]
____ 4.
va calcula in mod exact integrala

2. A Polinomul lui Legendre de grad 3 este ortogonal pe polinomul lui Legendre de grad 4 adica
____ 5.
A In general metoda de interpolare a lui Lagrange e mai rapida decat metoda de interpolare cu
____ 6.
diferente divizate.
F Metoda bisectiei e intotdeauna mai rapida decat metoda lui Newton.
____ 7.
F 8. Polinoamul lui Legendre de grad 4 este ortogonal pe
____
adica
F In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) ponderile
____ 9.
se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.
A
____ 10. Intotdeauna metoda lui Newton produce un sir de numere care converge catre solutia ecuatiei careia
ii aplicam metoda.
A Se considera ecuatia f(x)=0
____ 11.
cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0. Atunci metoda bisectiei produce un sir ce converge
catre una din solutiile ecuatiei de mai sus.
A
____ 12. Se considera ecuatia
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica
metoda bisectiei.
A Formulele Newton-Cotes sumate se obtin prin impartirea intervalului de integrare in subintervale
____ 13.
de lungime egala, aplicarea formulelor Newton-Cotes pe fiecare subinterval si sumarea rezultatelor
obtinute.
F
Daca f este un polinom de grad n atunci metoda lui Newton-Cotes cu n+1 noduri echidistante pe
____ 14.
[a,b] va calcula in mod exact integrala

3. F Se considera ecuatia
____ 15.
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. In formula de mai sus [x] este partea intreaga a
numarului x . Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei.
4
____ 16. Pentru A= sa se calculeze .
GAUSS
____ 17. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ……
3 Se da tabelul
____ 18.
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2].
RUNGE 19. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
____
KUTTE
DE ORDIN 4
Fixam pasul h si consideram formula iterativa: la pasul i
unde

4. RUNGE-KUTTE DE ORDIN 4
Aceasta este metoda ……
(1/2 5/4)
____ 20. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala
SAU
(0.5 1.25)
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.
2
____ 21. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde
B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul
de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
0.5
____ 22. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este
Care este a doua iteratie?
213
____ 23. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
0 3/2 3/2
. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……..
321
____ 24. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
0 1/3 -1/2
. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …….
2 1.5
____ 25. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala
sau
2 3/2
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.
1
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
____ 26.
utilizarea a 2 noduri echidistante 0,2. Conform metodei Newton-Cotes
Cat este ?

5. 27. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
____
CAUCHY
EULER
Notam . Fixam pasul h si consideram formula iterativa
CAUCHY-EULER
Aceasta este metoda ………
max(4,2)=4 28.
____ Pentru A= sa se calculeze .
____ 29. Pentru A= sa se calculeze .
max(4,6)=6
Se considera ecuatia
BISECTIEI
____ 30.
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La
primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel
punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda BISECTIEI
……
1-x²
____ 31. Se da tabelul
Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0) ?
Metoda trapezului aproximeaza integrala lui f pe [a,b] dupa formula ……
____ 32.
(b-a)(f(b)+f(a))/2
____ 33. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
(-2 1 -1;0 -1/2 -1/2)

6. . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……
0,3
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
____ 34.
utilizarea a 3 noduri echidistante 0,1,2. Conform metodei Newton-Cotes
Cat este A 0 ?
____ 35. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata simetrica si pozitiv definita. Ce
CHOLESKY
metode numerice pot fi utilizata pentru rezolvarea lui?
1,5
____ 36. Aproximati integrala
cu metoda trapezului.
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
____ 37.
TRAPEZULUI
utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe
nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare se numeste metoda TRAPEZULUI
……
x²
Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul
____ 38.
este ………
1,5
____ 39. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este
1. Care este a doua iteratie?
20
____ 40. Aproximati integrala

7. cu metoda lui Simpson.
____ 41. Metoda lui Simpson aproximeaza integrala lui f pe [a,b] cu formula ……..
(b+a)(f(b)+4f(a+b/2)+f(a)/6
____ 42.
f(0)+4f(1)+2f(2)+4f(3)+2f(4)+4f(5)+f(6))/3
Aproximam integrala
cu metoda sumata a lui Simpson cu 3 subintervale. Formula de calcul este
………..
3/2
____ 43. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare
functiei . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia
exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform
teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive.
3
Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
____ 44.
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este . Care este
aproximatia produsa de aceasta metoda pentru , unde y este solutia exacta a ecuatiei de mai sus?
max(3,7)=7
____ 45. Pentru A= sa se calculeze .
Care metode de rezolvare de sisteme liniare sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic
JACOBI 46.
____
(+GAUSS-SEIDEL)
produc un sir ce in anumite conditii converge catre solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi
rezolvat)?
-0.5
____ 47. Se da tabelul
x012
y113
si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.
Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia
spline este data de
. Cat este m?

8. 1
____ 48. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este . Care este
aproximatia produsa de aceasta metoda pentru ?
____ 49. Care metode de rezolvare de sisteme liniare nu sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic
GAUSS+CHOLESKY
produc solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)?
(0,0)
____ 50. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.
9
____ 51. Se da tabelul
Fie polinomul de grad 2 interpolant al valorilor din tabel, adica .
Cat este ?
1/2
____ 52. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea
iteratie ?
(2____
0,5) 53. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala
SAU
(2 1/2)
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.
1/4
____ 54. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea
iteratie ?
55. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul
x²-2
____
este ……..

9. 0
Aproximati integrala
____ 56.
cu metoda trapezului.
____ 57. Pentru A= sa se calculeze .
max(10,4)=10
0
Se considera functia si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe
____ 58.
nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)?
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
2
____ 59.
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe
nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau cel mult
egal cu …….
60. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
____
EULER
Notam . Fixam pasul h si consideram formula iterativa
EULER
Aceasta este metoda ……
Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
____ 61.
GAUSS
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ……

10. 00
____ 62. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si
0 1/2
se calculeaza matricea
63. Se da tabelul
4n²
____
Fie polinomul lui Lagrange interpolant al valorilor din tabel, adica ,
grad P , calculat cu metoda lui Lagrange. Care e cu aproximatie numarul de operatii efectuate
pentru calcularea valorii presupunand ca 2 nu este printre valorile .
Se rezolva sistemul cu matricea A data de
____ 64.
Se doreste a se aplica metoda lui Gauss-Seidel cu predictie initiala
De ce este metoda lui Gauss-Seidel garantata sa convearga?
ca matricea sistemului este diagonal dominanta pe linii
(1,5 0.75)
____ 65. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.
____ 66. Pentru A= sa se calculeze .
max(3,5)=5
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
1
____ 67.
utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe
nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal decat
……….

11. 3
____ 68. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
Utilizam metoda Euler-Cauchy cu h=1 . Notam . Care este prima iteratie ?
0 Se da tabelul
____ 69.
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .
2,25
____ 70. Se da tabelul
x012
y023
si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.
Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]
functia spline este data de
. Calculati valoarea lui m.
-0,75
____ 71. Se da tabelul
x012
y114
si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.
Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]
functia spline este data de
. Cat este m?
max(3,9)=9
____ 72. Pentru A= sa se calculeze .
0
Se da tabelul
____ 73.
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .

12. 2
____ 74. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y-6x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Cat este prima iteratie produsa de
metoda lui Euler?
5
____ 75. Se da tabelul
Sa se calculeze diferenta divizata f[2,3].
1
____ 76. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde
B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul
de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
____ 77. Care este forma polinoamelor Lagrange de interpolare pe nodurile ?
1/4
____ 78. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea
iteratie ?
2
____ 79. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y+x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta
metoda pentru y(1), unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?
1
Se considera functia si P(x) polinomul lui Lagrange de grad 1 care interpoleaza
____ 80.
valorile lui f pe nodurile 0,1 . Cat este atunci P(2)?
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
x
____ 81.
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1. Conform metodei Newton-Cotes

13. este aproximata de
unde este un anumit polinom de grad cel mult 2. Cat este ?
82. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
____
SIMPSON
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe
SIMPSON
nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare cu trei noduri se numeste metoda ……
____ 83. Se rezolva sistemul compatibil determinat cu matricea extinsa A data de
Se doreste a se aplica metoda lui Jacobi cu predictie initiala . De ce este metoda lui
Jacobi garantata sa convearga?
ca matricea sistemului este diagonal dominanta pe linii
0,5
____ 84. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este
1. Care este a doua iteratie?
1/2 0
____ 85. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si
0 0
se calculeaza matricea
2
Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
____ 86.
, y(1)=1
Utilizam metoda Euler-Cauchy cu pas h= . Notam . Efectuam zece iteratii in metoda Euler-
Cauchy. Obtinem iteratiile succesive . Atunci este aproximatia produsa de
metoda numerica pentru ……

14. NEWTON 87. Se considera ecuatia
____
Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv .
Aceasta este metoda …….
____ 88.
Aproximam integrala
cu metoda sumata a trapezului cu 3 subintervale. Formula utilizata este …..
f(0)+2f(1)+2f(2)+f(3)0/2
____ 89. Se considera functia si polinomul de grad 4 care interpoleaza valorile lui f pe
1
nodurile 1,2,3,4,5 . Cat este ?
3 ____ 90. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
14
0 2/3 2/3
. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara
____ 91. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala
(1 1,5)
sau
(1 3/2)
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.
(1 3/2) 92.
____ Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala
sau
(1 1,5)
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.
yi*li(x) Se da tabelul
____ 93.

15. Notam cu polinomul lui Lagrange corespunzator nodului i adica are grad n si daca
si . Atunci polinomul lui Lagrange ce interpoleaza valorile din tabelul de mai sus
este dat de formula:
Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen
____ 94.
JACOBI
liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul
si calculam urmatoarea iteratie dupa
formula
-----------------------
pentru i de la 1 la n
-----------------------
Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula recursiva?
(1 1)
____ 95. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.
96. Ce metoda de interpolare utilizeaza polinoamele
____
LAGRANGE
1/2
____ 97. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare
functiei . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia
exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform
teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive.
____ 98. Se da tabelul
7

16. Sa se calculeze diferenta divizata f[3,4].
(3 0)
____ 99. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.
____ 100. Se da tabelul
0,75
x012
y013
si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.
Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]
functia spline este data de
. Cat este m?
2/3
____ 101. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare
functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei
aproximatiilor succesive?
____ 102. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,
4
unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle
elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
____ 103. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare
1/2
functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei
aproximatiilor succesive?
____ 104. Se da tabelul
Notam cu polinomul de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de
mai sus adica . Atunci coeficientii pot fi determinati prin rezolvarea
y0
a0
sistemului 1 x0 ... xⁿ0
a1 y1
=
1 x1 ... xⁿ1
..
.. .. ... ...
yn
1 xn ... xⁿn an
2
____ 105. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

17. y’=y-x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta
metoda pentru y(1) unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?
1
____ 106. Se da tabelul
Sa se calculeze unde este polinomul interpolant al valorilor din tabel.
1/4
____ 107. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea
iteratie ?
108. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
____
GAUSS
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..
Se da tabelul
____ 109.
0,75
Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 0.5)
Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu n noduri pentru
____ 110.
aproximarea unei integrale pe intervalul [-1,1]. Care sunt pasii efectuati in aceasta metoda de
cuadratura ?
se integreaza polinomul lui LEGENDRE pe [-1,1]valoarea obtinuta fiind o aproximare buna a integralei
2 ____ 111. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
13
0 1/2 1/2
. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……
Aproximati integrala
0,5
____ 112.

18. cu metoda trapezului.
____ 113. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde
1
B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul
de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
1/2
____ 114. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare
functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei
aproximatiilor succesive?
____ 115. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este
1/2
1 iar a doua este notata . Notam cu solutia exacta a ecuatiei ce este aproximata de metoda bisectiei.
Estimati eroarea | - | cu teorema de estimare a erorii corespunzatoare metodei bisectiei.
Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru aproximarea
____ 116.
integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Atunci in mod necesar sunt ……
radacinile polinomului de interpolare al lui LAGRANGE pentru functia f pe nodurile -1 si 1
____ 117. Formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre este o metoda de ……..
INTEGRARE NUMERICA
Consideram formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre pe intervalul [-1,1] cu n noduri. Aceasta
____ 118.
2n-1
metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal cu …..
____ 119. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea
1/2
iteratie ?
____ 120. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
cu metoda lui Euler cu pas h=0.5 . Notam . Formula iterativa din metoda lui Euler in
acest caz este ….
yi+1=yi+0,5(xi+sin(yi))
Aproximati integrala
____ 121.
4

19. cu metoda lui Simpson.
1 -1 122.
____ Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector
-1 1
si se calculeaza matricea
Se considera ecuatia
BISECTIEI 123.
____
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La
primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel
punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda ……
1 ____
cu 3 124. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
. La primul pas in aplicarea metodei lui Gauss se permuta liniile ….
Se rezolva sistemul cu matricea
CHOLESKY
____ 125.
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..
____ 126. Ce conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Jacobi pentru rezolvarea de sisteme liniare sa
produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar?
matricea sistemului e diagonal dominanta pe linii
127. Consideram un prim pas:
____
CHOLESKY
-----------------------
-----------------------

20. intr-o metoda numerica utilizata pentru rezolvarea unui anumit tip de sisteme liniare. Ce metoda
numerica incepe cu acest pas?
____ 128. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,
3
unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle
elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
max(2,5)=5 129.
____ Pentru A= sa se calculeze .
Metoda lui Simpson se incadreaza in metodele mai generale de tip …..
____ 130.
NEWTON
COTES
____ 131. Se da tabelul
-0,25
x012
y112
si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.
Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]
functia spline este data de
. Cat este m?
Se da tabelul
____ 132.
3
Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 2)
max(4,8)=8
____ 133. Pentru A= sa se calculeze .
____ 134. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala
(2 1)

21. . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.
____ 135. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector
1/2 (1 -1;-1 1)
si se calculeaza matricea
____ 136. Metoda Newton-Cotes este o metoda de …..
INTEGRARE NUMERICA
137. Se considera ecuatia
____
NEWTON
Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv ,n
numar natural. Aceasta este metoda ….
Radacinile polinomului lui Legendre de grad 2 sunt . Se considera
____ 138.
urmatoarea metoda de integrare numerica:
Cum alegeti pentru ca aceast metoda numerica sa fie exacta pe polinoame de grad cel mult 3?
alegem l1,l2 polinoamele lui LEGENDRE corespunzatoare nodurilor x1,x2 si apoi integram aceste polinoame p[-1,1]
____ 139. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
2
y’=y, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Calculati aproximatia produsa de aceasta
metoda pentru y(1) unde y(x) e solutia exacta a ecuatiei de mai sus.
5
____ 140. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,
unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle
elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
2
____ 141.
, y(1)=1

22. Utilizam metoda Euler cu h=1/20. Notam . Efectuam 20 de iteratii in metoda Euler. Obtinem
iteratiile succesive . Atunci este aproximatia produsa de metoda numerica
pentru ……
1/6(1 ____1)
1;1 142. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si
se calculeaza matricea
Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen
CHOLESKY
____ 143.
liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul
si calculam urmatoarea iteratie dupa
formula
-----------------------
pentru i de la 1 la n
-----------------------
Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula iterativa?
Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
____ 144.
GAUSS
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..
Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru
____ 145.
3
aproximarea integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Aceasta metoda este exacta pe polinoame
de grad mai mic sau egal ca ….

23. max(2,10)=10 146.
____ Pentru A= sa se calculeze .