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Betta
1.
Función Beta 1 𝑡 𝑥−1
(1 − 𝑡) 𝑦−1 𝑑𝑡 ; 𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑥>0 𝑦>0 0 Si hacemos 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 Si reemplazamos limites 𝑡 = 0 → 𝜃 = 0 𝑡=1 → 𝜃= 𝜋 2 Reemplazamos 𝜋 2 𝛽 𝑥, 𝑦 = 2 (𝑠𝑒𝑛2 𝜃) 𝑥−1 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑦−1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 0 𝜋 2 𝛽 𝑥, 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃 0 𝜋 2 1 𝛽 𝑥, 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃 0 Si hacemos 𝑡= 1 1+ 𝑢 𝑑𝑢 1+ 𝑢 𝑑𝑡 = 0 𝛽 𝑥, 𝑦 = − ∞ ∞ 𝛽 𝑥, 𝑦 = 0 ∞ 𝛽 𝑥, 𝑦 = 0 2 𝑠𝑖 𝑡 = 0 → 𝑢 = ∞ 1 1+ 𝑢 𝑥−1 𝑦 𝑠𝑖 1 1− 1+ 𝑢 𝑡=1→0=0 𝑦−1 1 1+ 𝑢 𝑥−1 1 1+ 𝑢 𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢 ∗ ∗ 𝑥−1 1 + 𝑢 𝑦−1 1 + 𝑢 1+ 𝑢−1 1+ 𝑢 𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢 𝛽 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑢 𝑥−1+𝑦−1+2 𝑢 𝑦−1 𝑑𝑢 𝛽 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑢 𝑥+𝑦 𝑦−1 𝑑𝑢 1+ 𝑢 𝑑𝑢 1+ 𝑢 2 2 2
2.
Teorema 𝛽 𝑥, 𝑦
= ΓxΓy ; Γ x+y 𝑥>0 𝑦>0 Ejemplo 𝜋 2 tan 𝜃 𝑑𝜃 0 𝜋/2 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 1/2 𝑑𝜃 𝜋/2 𝑠𝑒𝑛 1/2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 −1/2 𝜃 𝑑𝜃 0 Comparando 1 𝛽 𝑥, 𝑦 = 2 2𝑥 − 1 = 1 2 2𝑦 − 1 = − 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃 0 → 2𝑥 = 1 2 1 3 + 1 → 2𝑥 = 2 2 → 2𝑦 = − → 1 1 + 1 → 2𝑦 = 2 2 𝒙= 𝟑 𝟒 → Si aplicamos el teorema = 1 ∗ 2 1 = ∗ 2 Γ 3 ∗Γ 1 4 4 Γ 3+1 4 4 Γ 3 ∗Γ 1 4 4 4 ; 𝑐𝑜𝑚𝑜 Γ =Γ 1 =1 4 4 Γ 4 𝒚= 𝟏 𝟒
3.
1 3 1 = ∗ Γ ∗
Γ 2 4 4 = 1 1 1 ∗ Γ ∗ Γ 1− 2 4 4 Aplicamos teorema de gamma = 1 π ∗ π 2 sen 4 = 1 2 = 𝜋 2 2 𝜋 2 ∞ 𝑥 𝑝 −1 0 1+𝑥 Resolver 𝑑𝑥 Por definición 𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢 1+𝑢 𝑥 +𝑦 Comparando y-1=p-1 x+y=1 y=p x=1–p Reemplazamos ∞ 0 𝑥 𝑝−1 𝑑𝑥 = 𝛽 1 − 𝑝, 𝑝 1+ 𝑥 = 𝛽 𝑝, 1 − 𝑝
4.
= Γ p Γ
1−p Γ p+1−p = Γ p Γ 1−p Aplicamos teorema de gamma = 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑝𝜋 Resolver ∞ −∞ 𝑒 2𝑥 𝑒 3𝑥 + 1 2 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒 3𝑥 → ln 𝑢 = ln 𝑒 3𝑥 → ln 𝑢 = 3𝑥 𝑥= 1 ln 𝑢 → 3 1 𝑑𝑢 3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = Evaluamos los límites Cuando 𝑥 = ∞ → ∞ 0 1 = 3 𝑢=∞ 1 2∗ ln 𝑢 𝑒 3 𝑢+1 1 𝑑𝑢 3 𝑢 2 𝑒 3 ln 𝑢 ∞ 0 ∗ 2 𝑦 𝑥 = −∞ → 𝑢 𝑢+1 2 𝑑𝑢 Por propiedades de euler y logaritmos 1 = 3 1 = 3 ∞ 0 ∞ 0 2 𝑢3 ∗ 𝑢−1 𝑑𝑢 𝑢+1 2 −1 𝑢3 𝑢+1 2 𝑑𝑢 𝑢=0
5.
Si comparamos con 𝑦−1=
− 1 3 𝛽 𝑥, 𝑦 = → Reemplazamos 1 4 2 𝛽 , 3 3 3 4 2 1 Γ 3 Γ 3 = ∗ 4 2 3 Γ 3+3 1 1 2 Γ 3 Γ 3 1 = ∗ 3 6 3 Γ 3 1 2 1 Γ 3 Γ 3 = ∗ 9 Γ(2) Γ 2 = 1! 1 1 2 ∗Γ Γ 9 3 3 = 1 1 1 ∗Γ Γ 1− 9 3 3 Aplicamos teorema de gamma = = = 1 π ∗ 9 sen π 3 1 π ∗ 9 3 2 2 π ∗ 9 3 2 3 𝑑𝑢 1+𝑢 𝑥 +𝑦 𝑦= − 𝑥+ 𝑦 =2 → 𝑥 =2− = 𝑢 𝑦 −1 1 𝟐 +1→ 𝒚= 3 𝟑 → 𝒙= 𝟒 𝟑
6.
Resolver 3 𝑑𝑥 𝑥−1 1 3 3− 𝑥 1 − 2 𝑥−1 3− 𝑥 1 − 2 𝑑𝑥 1 Sea
x – 1 = 2y x = 2y+1 dx = 2dy Cuando x = 1 y = 0 1 = 1 − 2 2𝑦 cuando x=3 y=1 1 − 2 3 − 2𝑦 + 1 2𝑑𝑦 0 1 =2 1 − 2 2 1 (𝑦)−2 3 − 2𝑦 + 1 1 − 2 𝑑𝑦 0 = = = = 1 2 2 1 1 1 𝑦 −2 2 − 2𝑦 1 − 𝑦 2 1 1 − 2 2 1− 𝑦 1 1 𝑦 −2 2−2 𝑑𝑦 1 − 2 𝑑𝑦 1− 𝑦 1 − 2 𝑑𝑦 0 1 2 = 𝑑𝑦 0 2 2 3 − 2𝑦 − 1 0 2 2 1 − 2 0 2 2 1 − 𝑦 2 𝑦 − 1/2 (1 − 𝑦)− 1/2 𝑑𝑦 2 2 0 x=½ Sea x - 1 = - ½ y – 1 = - ½ y= ½ Luego 𝛽 = = 𝜋 1 1 , 2 2 𝜋∗ 𝜋 Rta 1 = 1 Γ 2 Γ 2 1 1 Γ 2 +2 1 1 Γ 2 Γ 2 Γ(1) Γ 1 2 Γ 1 2
7.
Ejercicio especial Resolver 1 𝑥 𝑚 −1 1
− 𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑟 𝑚 +𝑛 0 𝑟+1 𝑥 𝑦= Sugerencia 𝑟+𝑥 𝑦 𝑟+ 𝑥 = 𝑟+1 𝑥 Derivada de un cociente 𝑦𝑟 + 𝑦𝑥 = 𝑟 + 1 𝑥 𝑟(𝑟 + 1 − 𝑦) − 𝑦𝑟(−1) 𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 𝑥 − 𝑦𝑥 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 + 𝑦𝑟 𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑥 𝑟 2 + 𝑟 − 𝑦𝑟 + 𝑦𝑟 𝑦𝑟 𝑟+1− 𝑦 𝑟2 + 𝑟 𝑥= 𝑑𝑥 = 𝑟(𝑟 + 1) 𝑟 𝑟 + 1 𝑑𝑦 𝑟+1− 𝑦 2 𝑠𝑖 𝑥 = 0 → 𝑦 = 0 Reemplazamos 1 𝑦𝑟 𝑟+1− 𝑦 0 1 0 1 0 1− 𝑦𝑟 𝑟+1− 𝑦 𝑦𝑟 𝑟+1− 𝑦+ 𝑟 0 1 𝑚 −1 𝑠𝑖 𝑥 = 1 𝑛−1 𝑟 𝑟+1 𝑟+1− 𝑦 𝑚 +𝑛 𝑦𝑟 𝑚 −1 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑟+1− 𝑦 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 −1 𝑚 +𝑛 𝑦𝑟 + 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑟+1− 𝑦 1= 𝑑𝑦 2 𝑟 + 1 − 𝑦 = 𝑦𝑟 𝑟 + 1 = 𝑦𝑟 + 𝑦 𝑛−1 𝑟 𝑟+1 𝑟+1− 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑦𝑟 𝑚 −1 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑚 −1 𝑟(𝑟 + 1) 𝑟+1− 𝑦 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑛−1 𝑑𝑦 2 + 𝑟 − 𝑦𝑟 𝑚 +𝑛 𝑦𝑟 + 𝑟 (𝑟 + 1 − 𝑦)2 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛 𝑦𝑟 𝑚 −1 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟 2 + 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 −1+𝑛−1+2 𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛 𝑦𝑟 𝑟+1− 𝑦 𝑑𝑦 𝑟+1= 𝑦 𝑟+1 𝑟+1 = 𝑦 𝑟+1 1= 𝑦
8.
𝑦𝑟 1 𝑚 −1 𝑟 +
1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛 𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛 0 1 𝑦𝑟 𝑚 −1 𝑦𝑟 𝑚 −1 𝑦𝑟 𝑚 −1 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛 0 1 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛−1 𝑟 0 1 𝑦 𝑚 −1 𝑦 𝑟 𝑚 −1 𝑟 𝑚−1 𝑟 𝑚 +𝑛−1 1 𝑦 ∗ 𝑟 𝑚 −1 𝑟 0 𝑛 = 𝑟 𝑚 +𝑛 𝑑𝑦 𝑚 +𝑛 𝑑𝑦 𝑛−1 𝑑𝑦 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1 −𝑚 +1 𝑟+1− 𝑦 𝑟2 + 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1 𝑚 +𝑛−1 𝑟 0 𝑛−1 𝑚−1 0 1 𝑑𝑦 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟 2 + 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛 𝑟 2 + 𝑟 0 1 𝑟2 + 𝑟 𝑛−1 𝑑𝑦 𝑛−1 𝑑𝑦 𝑚 +𝑛−1−𝑚 +1 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1 = 𝑛 𝑟 𝑛−1 𝑑𝑦 Como m, n, r son constantes son sacadas de la integral 𝑟 𝑛 1 𝑟+1 1 𝑦 𝑚 +𝑛−1 𝑚 −1 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑑𝑦 0 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 − 𝑦(1 + 𝑟) = 𝑟 + 1 (1 − 𝑦) Nos queda entonces 𝑟 𝑟 𝑟 𝑛 𝑛 𝑛 1 𝑟+1 1 𝑦 𝑚 −1 𝑟+1 𝑛−1 1 1− 𝑦 𝑛−1 0 1 𝑚 𝑦 0 (1 − 𝑦) 𝑛−1 𝑑𝑦 0 𝑟 + 1 𝑛−1 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1 1 𝑟+1 𝑚 −1 𝑦 𝑚 +𝑛−1 𝑚 −1 (1 − 𝑦) 𝑛−1 𝑑𝑦 𝑑𝑦
9.
Si comparamos con 1 𝑡
𝑥−1 1 − 𝑡 𝛽 𝑥, 𝑦 = 0 𝑥−1= 𝑚−1 → 𝑥 = 𝑚 𝑦−1= 𝑛−1 → 𝑦 = 𝑛 Reemplazamos los nuevos valores = 1 𝑟 𝑛 𝑟+1 𝑚 𝛽(𝑚, 𝑛) … Rta 𝑦 −1 𝑑𝑡 ; 𝑥>0 𝑦>0
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