Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo numérico y manejo de errores. Explica brevemente el análisis numérico y su importancia para resolver problemas matemáticos usando computadoras. Luego define términos clave como número de máquina, error absoluto, error relativo, y tipos de errores como de redondeo y truncamiento. Finalmente discute conceptos como cálculos estables e inestables y condicionamiento.
2. Concepto básico e importancia del análisis numérico
El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo
precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir,
analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los
que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.
Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa
para cálculos complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se
pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o a técnicas
lentas. Una característica importante del estudio de los métodos es su valoración (es decir,
decidir cuál método es superior para una tarea dada).
3. Definición de numero de maquina
Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2. El
término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más
pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un
número decimal exige de más lugares.
Definición de Error Absoluto
El Error Absoluto es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por
ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado; debido
a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo.
Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100
se obtiene el tanto por ciento (%) de error.
Definición de error relativo
4. Cota de Error Absoluto y Relativo
Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto (ni el
relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se pretende encontrar cotas superiores de
esos errores. Cuanto más pequeñas sean esas cotas superiores, mejor.
Errores de Redondeo yTruncamiento
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los
cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de
truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático
exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números
exactos.
Error De Redondeo
El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina
de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita.
5. Errores De Una SumaY Una Resta
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la
computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la máquina, queremos
ver como estos errores se acumulan durante el proceso.
Cálculos Estables e Inestables
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de
entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de
entrada aumentan considerablemente por el método numérico.
Condicionamiento
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan
sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada.
Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes
cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un
número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos".
