1. Estructuras Discretas en Computación
Sucesiones, recurrencia e inducción
Profesor: Mag. Ing. Pavel Aliaga E.
Facultad de Ing. de Sistemas
Universidad de Lima
2009-2

2. Temas
1. Sucesiones - Series
 Fórmula del término n-esimo
 Fórmula de recurrencia
2. Inducción matemática
¿Por qué estudiamos series?

3. Sucesiones o Series
 Fórmula del término n-ésimo: notación corta de una
sucesión.
{1, 3, 5, 7, …2n-1} , an={2n-1}n=1  ∞
• a1= 2(1) -1=1
n=posición en la serie
• a2= 2(2) -1=3
 Fórmula de recurrencia: relación entre un término
cualquiera y el anterior.
an+1=an + 2
• 3=1 +2
• 5=3+2

4. Sucesiones o Series
 La notación corta presenta una enorme ventaja pues permite
expresar infinitos números en una expresión muy corta.
 Las sucesiones o series pueden ser aritméticas, geométricas,
exponenciales, basadas en funciones trigonométicas, etc.

5. En sucesiones aritméticas
 Fórmula del término n-ésimo:
an=a1 + (n-1)d
Ejemplo 1: {-7, -3, 1, 5, 9, …} a1=-7, d=4
an = -7 + (n-1)*4 = {4n-11}
 Fórmula de recurrencia:
an+1=an + d
del ejemplo 1: a2=a1+4, luego: an+1=an + 4

6. En sucesiones geométricas
 Fórmula del término n-ésimo:
an=a1 * r(n-1)
Ejemplo 2: {2, 6, 18, 54, 162, …} a1=2, r=3
an = { 2*3(n-1) }
 Fórmula de recurrencia:
an+1=an * r
del ejemplo 2: a2=a1*3, luego: an+1=3an

7. En sucesiones de segundo grado
 Fórmula del término n-ésimo:
an=an2 + bn +c
• c : a0
• a+b : Diferencias en grado 1
• 2a : Diferencias en grado 2
Ejemplo 1: {-1, 4, 11, 20, 31, …}
• c= - 4 (calcular término anterior (a0) a “a1”)
• a+b=3
• 2a=2, a=1
reemplazando se tiene: an = n2 +2n-4 = {n(n+2)-4}

8. Principio de Inducción matemática
 Imaginemos que una fila de fichas de dominó se extiende hasta
más allá de lo que alcanza la vista, y supongamos que sabemos
que estos dos enunciados son verdaderos:
 Enunciado 1: Alguien ha tirado la primera ficha
 Enunciado 2: Si una ficha es derribada, entonces ésta tira la siguiente
ficha
 Principio de las fichas de dominó: En una fila de fichas de dominó
en la que son verdaderos los enunciados 1 y 2, todas las fichas son
finalmente derribadas.

9. Principio de Inducción matemática
 Supongamos que todos los números naturales tienen una
propiedad que llamaremos “P”
 Enunciado 1: El número uno posee la propiedad P
 Enunciado 2: Si un número posee la propiedad P, entonces el siguiente
número (n+1) también la posee.
 Principio de inducción: Si los enunciados 1 y 2 son verdaderos,
entonces todos los números naturales tienen la propiedad .
 La idea que hay detrás de los dos principios es muy parecida a las
fichas de dominó. En este caso cada número le "comunica" al
siguiente la propiedad (según el enunciado 2) por lo que, si el
primero tiene la propiedad, la acaban teniendo todos.

10. Inducción matemática
 {1 + 2 +3+4 + …+n}=n(n+1)/2 , n≥1
 ¿Qué hacemos si queremos verificar que la expresión
es verdadera?
a) Probamos para n=1, n=2, n=3, etc
b) Verificamos en un computadora para un millar de valores
específicos de n.
c) Usamos la inducción matemática
Rpta: c

11. Inducción matemática
 Permite verificar si es cierta o no cualquier propiedad
o proposición matemática.
 El método inductivo consta de dos partes o teoremas
parciales:
 Teorema 1 (paso base): verificar que la expresión se cumpla
para algún número natural n (p.e: n=1)
 Teorema 2 (paso inductivo): verificar que la expresión se
cumpla para cualquier “n+1”
 Conclusión: Si 1 y 2 son ciertas, se concluye que la propiedad
es cierta por TODO número natural n.

12. Ejercicios Guiados y Propuestos