1. NUMEROS ENTEROS
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

2. Los números enteros surgen de la necesidad
de dar solución a problemas
no resueltos en los naturales.
18 – 7 tiene solución en IN, pero 7 – 18 ¡ NO !
18 – 7 = 11
7 – 18 =
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

3. El conjunto de los números enteros es la
unión del conjunto de los números naturales o
enteros positivos, del conjunto formado
sólo por el cero y el conjunto de los números
ubicados en el sentido contrario a los
positivos, o sea, los enteros negativos.
Z = Z U {0} U Z-
+
IN es un subconjunto de Z, es decir todo natural es un
número entero
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

4. Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Estos números los podemos representar en
una recta numérica. En la recta numérica un
número que se encuentre a la derecha de
otro, será mayor que él.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nú eo Neaivs
mrs gt o Nú eo Poit o
mrs s ivs
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

5. Se extiende la recta numérica de modo que
cada punto representante de un Natural, le
corresponda un número simétrico respecto del
cero, es decir su opuesto inverso aditivo.
-5 5
+ = 0
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

6. ¿ ∈ ó∉ ?
a) ∈
-4 ___ Z e) ∉
-12 ___ N
b) ∉
-8 ___ N f) ∉
-9 ___ N
c) ∈
7 ___ N g) ∉
-14 ___ N
d) ∈
6 ___ Z h) ∈
0 ___ Z
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

7. A los números enteros positivos se les puede
omitir el signo.
Por ejemplo: +4 = 4
Si a es positivo : +
a=a
Los números enteros se pueden ordenar
de menor a mayor
…< -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < …
Por tanto un entero negativo, es menor que un positivo
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

8. Valor absoluto de un entero, es el número de
unidades que representa, y se puede interpretar
como su distancia al cero en la recta numérica.
Valor absoluto de n se anota InI
Si n es positivo, entonces InI = n
Ej.: I 654 I = 654
Ej.: I 3 I = 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

9. Si n es negativo, entonces I -
nI = n
Ej.: I - 305 I = 305
Ej.: I - 5 I = 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

10. ¿> ó <?
a) >
-15 ___ -16 e) >
|-41| ___ -34
b) >
23 ___ -23 f) <
-9 ___ 0
c) <
3 ___ 6 g) <
70 ___ 71
d) >
54 ___ |-45| h) >
0 ___ -2
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

11. ∀
OPERATORIA EN Z
Con la incorporación de los números negativos, la sustracción
se define a partir de la suma.
a + (-b) = a - b
Es decir, sustraer un número es sumar su opuesto.
Ej.: 30 + (-2) = 30 - 2
Como el opuesto de b es –b, se tiene que
sustraer –b es sumar b
a - (-b) = a + b Ej.: 55 + (-12) = 55 - 12
Si a = 0, se tiene que - (-b) =b, ∀ b ∈ Z
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

12. ∀
ADICION DE ENTEROS
La adición se entiende como un desplazamiento en la recta
numérica, hacia donde indique su signo
1+5=6
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) Al sumar dos enteros del mismo signo, se suman sus valores
absolutos y se mantiene el signo.
Ejs.: -7 + (-3) = -10 ; 8 + 16 = 24
b) Al sumar dos enteros de distinto signo, se restan sus
valores absolutos y el resultado queda con el signo del entero
de mayor valor absoluto.
Ejs.: 12 + (-5) = 12 – 5 = 7
4 + (-9) = 4 - 9 = -5
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

13. ∀
Al igual que en la adición de naturales, la adición de enteros es
cerrada, asociativa y conmutativa. Además surgen dos
nuevas propiedades
1) El cero es el elemento neutro para la adición, es decir:
∀ a ∈ Z: a + 0 = a
Ejs.: 3 + 0 = 3 ; -15 + 0 = -15
2) Cada entero posee un único inverso aditivo, también llamado
opuesto.
∀ a ∈ Z, ∃! (-a) ∈ Z : a + (- a) = 0
Ejs.: 7 + (-7) = 0; 24 + (-24) = 0
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

14. Imagina que partes
desde el cero
a) Retrocedes 4 pasos y avanzas 10 pasos.
¿ En qué punto te encuentras ?
R. En el 6.
f) Avanzas 2 pasos y retrocedes 5 pasos.
¿ En qué punto te encuentras ?
R. En el -3.
k) Si avanzas 12 pasos.
¿Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto –9 ?
R. Debo retroceder 21 pasos. (-21)
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

15. ∀
MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS
La multiplicación de enteros mantiene las mismas propiedades
que la multiplicación de naturales, es decir: es cerrada,
asociativa, conmutativa, el neutro es el 1 y la distributividad
respecto de la suma.
El producto de dos enteros de distinto signo es negativo.
(-a) · b = -ab a· (-b) = -ab
Ej.: 4 · (-5) = -20
Recordemos que la multiplicación es una suma abreviada,
entonces:
4 · (-5) = (-5) + (-5) + (-5) + (-5) = -20
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

16. El producto de dos enteros de igual signo es positivo.
a · b = ab (-a) · (-b) = ab
Ejs.: 7 · 8 = 56 ; (-5) · (-6)= 30
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

17. Resuelve
a) Cristina asiste una vez a la semana al cine. La entrada cuesta
$2.800. Cristina se enfermó, así que en las 4 semanas que tiene
el mes, sólo vio una película. ¿Cuánto ahorró en el mes? .
R. En el mes ahorró $ 8.400.
f) Juan Pablo recibe de su Papá $5.000 semanales . El día lunes se
compró un completo de $650 y una bebida de $120. Martes y
Jueves sólo compro un completo. El miércoles dos completos y
una bebida, y el viernes no asistió a clases. ¿Cuánto dinero
gastó?
R. Gastó $ 3.490 (-3490)
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

18. ∀
POTENCIAS EN Z
Si la base a es un número entero y el exponente n es un
número natural, entonces:
a) Si la base a es positiva, la potencia es un entero positivo, ya
que, se trata de un producto reiterado de números positivos.
Ej.: 53 = 5 . 5 . 5 = 125
b) Si la base a es negativa y el exponente es par, la potencia es
un entero positivo
Ej.: (-4)2 = (-4) . (-4) = 16
c) Si la base a es negativa y el exponente es impar, la potencia
es un entero negativo
Ej.: (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = (-8)
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

19. ¿ Cuántos años transcurrieron
desde la muerte de Julio César
(año 44 A. de C.) hasta la caída
del Imperio Romano de
Occidente (año 476 D. de C.) ?
476 - (- 44)
476 + 44
520
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

20. Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

21. ∀
TAREA
X Y Z X+Y X–Z (Y + Z) - X (X + Z) . Y (X . Z) - Y (X . Y) - (Y . Z)
-3 4 1
2 -1 -2
5 -3 2
1 3 -5
3 -1 -4
-4 -2 -3
5 2 6
-1 5 -3
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.