7. เซต (Set)
1. เซต
ในทางคณิตศาสตร์ใช้เซต เพื่อให้เกิดแนวคิดของการอยู่รวมกันเป็นกลุ่ม โดยสามารถระบุได้แน่นอนว่า
สิ่ง ๆ นั้นอยู่ในเซตหรือไม่ เรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก
ใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ A, B, C, . . .แทนชื่อเซต และใช้อักษรตัวเล็กแทนสมาชิกในเซต
สำหรับเซต A ใดๆ เราจะเขียน
a ∈ A แทนข้อความ “ a เป็นสมาชิกของ A ”
a /∈ A แทนข้อความ “ a ไม่เป็นสมาชิกของ A ”
n(A) แทน “ จำนวนสมาชิกของ A ”
เราสามารถเขียนบรรยายถึงเซตได้สองวิธี คือ
1. แบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายปีกกาและมีเครื่องหมายจุลภาค(,) ขั้นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว
2. แบบบอกเงื่อนไข เขียนตัวแปรแทนสมาชิก แล้วบรรยายสมบัติของตัวแปรนั้น
2. ประเภทของเซตที่สำคัญ
1. เซตจำกัด (Finite Set) หมายถึง เซตที่สามารถหาจำนวนสมาชิกได้
2. เซตอนันต์ (Infinite Set) หมายถึง เซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายมหาศาล
3. เซตว่าง (Empty Set) หมายถึง เซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย แทนด้วย φ หรือ { }
4. เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) หมายถึง เซตที่กำหนดขอบเขตของสมาชิกของเซตที่เราต้องการ
ศึกษาเขียนแทนด้วย U
3. ความสัมพันธ์ระหว่างเซต
1. การเท่ากันของเซต เซต A เท่ากับเซต B ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
เขียนแทนด้วย A = B
2. สับเซต (Subset) เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิก
ของ B เขียนแทนด้วย A ⊆ B
ถ้า A เป็นสับเซตของ B และ A = B แล้วเราจะกล่าวว่า A เป็นสับเซตแท้ของ B
3. พาวเวอร์เซต (Power Set) พาวเวอร์เซตของเซต A หมายถึง เซตของสับเซตทั้งหมดของ A
เขียนแทนด้วย P(A)
4. ข้อสังเกต
1. φ ⊆ A และ A ⊆ A
2. φ ∈ P(A) และ A ∈ P(A)
3. φ ⊆ P(A)
4. ถ้า A ⊆ B แล้ว P(A) ⊆ P(B)
5. P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)
6. ถ้า A มีสมาชิก m ตัว แล้ว จำนวนสมาชิกของ P(A) มีทั้งหมด 2m ตัว
นั่นคือ n(P(A)) = 2m
1

8. 5. การกระทำทางเซต
1. ยูเนียน (Union) เซต A ยูเนียน B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือเซต B
เขียนแทนด้วย A ∪ B
2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection) อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก
ของเซต A และเซต B ที่ซ้ำกัน เขียนแทนด้วย A ∩ B
3. ผลต่าง (Difference) ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก ของเซต
A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A − B
4. คอมพลีเมนต์ (Complement) คอมพลีเมนต์ของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก ของเอกภพ
สัมพัทธ์ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย A
6. จำนวนเซต
กำหนด A ⊆ B, n(A) = m และ n(B) = n
1. จำนวนเซต E ซึ่ง A ⊆ E ⊆ B มีเท่ากับ 2n−m เซต
2. จำนวนเซต E ซึ่ง A ∩ E = φ และ E ⊆ B มีเท่ากับ 2n−m เซต
3. จำนวนเซต E ซึ่ง A E และ E ⊆ B มีเท่ากับ 2n − 2n−m เซต
4. จำนวนเซต E ซึ่ง A ∩ E = φ ซึ่ง E ⊆ B มีเท่ากับ 2n − 2n−m เซต
7. สมบัติบางประการของเซต
1. φ ⊆ A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B ⊆ U
2. ถ้า A ⊆ B แล้ว A ∪ B = B และ A ∩ B = A
3. ถ้า A ⊆ B และ C ⊆ D แล้ว (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D) และ (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D)
4. φ ∪ A = A และ φ ∩ A = φ
5. U ∪ A = U และ U ∩ A = A
6. A ∪ A = A และ A ∩ A = A
7. φ = U และ U = φ
8. ถ้า A ⊆ B แล้ว B ⊆ A
9. (A ) = A
10. (A ∪ B) = A ∩ B และ (A ∩ B) = A ∪ B
11. A − B = A ∩ B
12. A ∪ A = U และ A ∩ A = φ
13. A ∪ B = B ∪ A และ A ∩ B = B ∩ A
14. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) และ (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
15. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) และ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
16. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
17. n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
18. n(A∪B ∪C) = n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B ∩C)+n(A∩B ∩C)
2

9. การให้เหตุผล (Reasoning)
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมีอยู่ 2 วิธีได้แก่ การให้เหตุผลแบบอุปนัย และการให้เหตุผลแบบนิรนัย
1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)
หมายถึง วิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ ครั้งจากกรณีย่อย
แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป
2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)
หมายถึง วิธีการสรุปข้อเท็จจริงโดยการนำความรู้พื้นฐานความเชื่อข้อตกลงหรือบทนิยามซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อน
และยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป
การให้เหตุผลแบบนิรนัยประกอบด้วยสองส่วนคือเหตุหรือสมมติฐานและผลถ้าการยอมรับสมมติฐานสามารถนำไปสู่
การสรุปส่วนที่เป็นผลได้อย่างสมเหตุสมผล (Valid)จะถือว่าการสรุปผลนั้นถูกต้องโดยการตรวจสอบการสมเหตุสมผลสามารถ
ใช้การวาดแผนภาพตามสมติฐาน แล้วพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตามผลที่ตั้งไว้หรือไม่
ถ้าทุกกรณีของแผนภาพแสดงผลตามที่กำหนด จะได้ว่าการสรุปผลนั้นสมเหตุสมผล
ถ้ามีแผนภาพบางกรณีไม่สอดคล้องกับผลที่สรุป จะได้ว่าการสรุปผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
ข้อความ แผนภาพ
สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
ไม่มีสมาชิกตัวใดของ A เป็นสมาชิกของ B
มีสมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
มีสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B
มีสมาชิกของ A หนึ่งตัวที่เป็นสมาชิกของ B
มีสมาชิกของ A หนึ่งตัวที่ไม่เป็นสมาชิกของ B
3

10. 1. แผนผังแสดงความสัมพันธ์ของระบบจำนวนจริง
จำนวนจริง (R)
จำนวนอตรรกยะ(Q ) จำนวนตรรกยะ(Q)
จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม(I ) จำนวนเต็ม(I)
จำนวนเต็มลบ(I−) จำนวนเต็มศูนย์(0) จำนวนเต็มบวก(I+)
จำนวนนับ(N)
นิยาม จำนวนเต็มบวก p เป็น จำนวนเฉพาะ (prime number) ก็ต่อเมื่อ p = 1 และถ้าจำนวนเต็ม x หาร p
ลงตัวจะได้ว่า x ∈ {1, −1, p, −p} จำนวนเต็มบวกอื่นนอกเหนือจาก 1 และจำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนประกอบ
(composite numbers)
นิยาม เรียกจำนวนเต็ม m และ n ว่าเป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (relatively primes) เมื่อ ห.ร.ม. ของ m และ
n คือ 1
2. ช่วง เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง และ a < b
ช่วง ความหมาย
(a, b) { x | a < x < b }
[a, b] { x | a ≤ x ≤ b }
(a, b] { x | a < x ≤ b }
[a, b) { x | a ≤ x < b }
(a, ∞) { x | x > a }
[a, ∞) { x | x ≥ a }
(−∞, a) { x | x < a }
(−∞, a] { x | x ≤ a }
(−∞, ∞) R
3. การแยกตัวประกอบ
1. ดึงตัวร่วม
2. สามพจน์สองวงเล็บ
3. สี่พจน์สองวงเล็บ
4. ผลต่างกำลังสอง A2 − B2 = (A + B)(A − B)
จำนวนจริง (Real Number)
4

11. ผลต่างกำลังสาม A3 − B3 = (A − B)(A2 + AB + B2)
ผลบวกกำลังสาม A3 + B3 = (A + B)(A2 − AB + B2)
กำลังสองสมบูรณ์ (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2
5. ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem)
เมื่อ P(x) คือพหุนาม anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก
an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R ซึ่ง an = 0 ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วย x − c เมื่อ c เป็นจำนวนจริง
แล้วเศษจะเท่ากับ P(c)
เศษที่ได้จากการหารพหุนาม P(x) ด้วย x − c คือ P(c)
6. ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem)
เมื่อ P(x) คือพหุนาม anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก
an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R ซึ่ง an = 0 พหุนาม P(c) นี้จะมี x − c เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ P(c) = 0
P(c) = 0 ก็ต่อเมื่อ x − c หาร P(x) ลงตัว
7. ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
เมื่อ P(x) คือพหุนาม anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก
an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ Z ซึ่ง an = 0 ถ้า x − k
m เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) โดยที่ m
และ k เท่ากับ 1 แล้ว m จะเป็นตัวประกอบของ an และ k จะเป็นตัวประกอบของ a0
4. การแก้สมการและอสมการ
ข้อควรระวัง 1. สมการพหุนามกำลังสอง ax2 + bx + c = 0 จะได้ x = −b±
√
b2−4ac
2a
(x ∈ R เมื่อ b2 − 4ac ≥ 0)
2. ห้ามนำศูนย์คูณตลอดทั้งสมการและอสมการ
3. ถ้านำจำนวนลบคูณตลอดทั้งอสมการ ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเป็นตรงข้าม
4. ถ้านำจำนวนบวกคูณตลอดทั้งอสมการ ไม่ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ
5. ค่าสัมบูรณ์ การแก้สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์
นิยาม
|Δ| =
⎧
⎨
⎩
Δ เมื่อΔ ≥ 0;
−Δ เมื่อΔ < 0
ทฤษฎีบท
1. |a| ≥ 0
2. |a| = | − a|
3. |ab| = |a||b|
4. |a
b | = |a|
|b|
5. |a − b| = |b − a|
6. |a|2 = a2
7. |a + b| ≤ |a| + |b|
8. เมื่อ a เป็นจำนวนบวกแล้ว
5

12. (i) |x| < a ก็ต่อเมื่อ −a < x < a
(ii) |x| ≤ a ก็ต่อเมื่อ −a ≤ x ≤ a
9. เมื่อ a เป็นจำนวนบวกแล้ว
(i) |x| > a ก็ต่อเมื่อ x < −a หรือ x > a
(ii) |x| ≥ a ก็ต่อเมื่อ x ≤ −a หรือ x ≥ a
นิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงแล้ว
√
a2 = |a|
การแก้สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์ ทำได้โดย 1. ใช้นิยาม
2. ยกกำลังสองทั้งสองข้าง (ระวังเครื่องหมาย)
3. แยกกรณี
6. หารลงตัว ห.ร.ม. และค.ร.น.
ให้ m และ n = 0 เป็นจำนวนเต็ม n หาร m ลงตัว ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็ม c ซึ่ง m = nc เรียก n
ว่าตัวหาร(divisor) ตัวหนึ่งของ m
ใช้ n | m แทน n หาร m ลงตัว
ใช้ n m แทน n หาร m ไม่ลงตัว
ทฤษฎีบท ขั้นตอนวิธีการหาร ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ n = 0 จะมีจำนวนเต็ม q และ r ชุดเดียวที่
m = nq + r โดย 0 ≤ r < |n| เรียก q ว่าผลหาร เรียก r ว่าเศษ
ทฤษฎีบท (m, n) = 1 ก็ต่อเมื่อ ∃ x, y ∈ Z, mx + ny = 1
ทฤษฎีบท ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็ม และ p เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า p | mn แล้ว p | m หรือ p | n
ทฤษฎีบท mn = (m, n)[m, n]
6

13. ตรรกศาสตร์ (Logic)
1. ประพจน์ (Proposition or Statement)
ประพจน์คือประโยคที่เป็นมีค่าความจริงเป็นจริงหรือมีค่าความจริงเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเพียงอย่างเดียวซึ่งอาจอยู่
ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้ แทนค่าความจริง “ จริง ” ด้วย T และแทนค่าความจริง “ เท็จ ” ด้วย F
2. การเชื่อมประพจน์
เมื่อมีประพจน์หลายๆประพจน์ เราสามารถสร้างประพจน์ใหม่ได้โดยการเชื่อมประพจน์เหล่านั้นเข้าด้วยกันโดยใช้ตัวเชื่อม
(Connectives) ซึ่งมีอยู่ด้วยกัน 5 แบบ คือ
2.1 ∼ (นิเสธ)
2.2 ∧ (และ)
2.3 ∨ (หรือ)
2.4 → (ถ้า . . . แล้ว)
2.5 ↔ (ก็ต่อเมื่อ)
เมื่อกำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ ข้อกำหนดในการเชื่อมประพจน์ ด้วยตัวเชื่อมข้างต้นเป็นดังนี้
p ∼ p
T F
F T
p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q
T T T T T T
T F F T F F
F T F T T F
F F F F T T
3. การสร้างตารางค่าความจริงและการสมมูลของประพจน์
ในการพิจารณารูปแบบต่าง ๆ ที่เป็นได้สำหรับประพจน์ใด ๆ จะต้องพิจารณาจากค่าความจริงที่เป็นไปได้
ของประพจน์ย่อย ทุกกรณี เช่น
ถ้ามีประพจน์เดียวคือ p ค่าความจริงของประพจน์เป็นไปได้ 2 กรณี คือ จริงกับเท็จ
ถ้ามีประพจน์ย่อยสองประพจน์คือ p และ q ค่าความจริงของประพจน์เป็นไปได้ 4 กรณี คือ
p จริง q จริง , p จริง q เท็จ
p เท็จ q จริง , p เท็จ q เท็จ
นั่นคือ ประพจน์ที่ประกอบด้วย n ประพจน์ย่อย จะม่ค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2n กรณี
ประพจน์ใดๆสองประพจน์จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อ ไม่ว่าค่าความจริงในประพจน์ย่อยจะเป็นอย่างไรค่าความจริงของทั้งสอง
ประพจน์นั้น จะเหมือนกันทุกกรณี การตรวจสอบการสมมูลสามารถทำได้โดยสร้าง
ตารางค่าความจริง หรือใช้ทฤษฎีของการ สมมูลในการตรวจสอบ
7

14. ทฤษฎีบท กำหนดให้p, q และ r เป็นประพจน์ใดๆ จะได้ว่า
3.3.1 กฏการสลับที่
p ∨ q ≡ q ∨ p
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ↔ q ≡ q ↔ p
3.3.2 กฏการกระจาย
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
3.3.3 กฏการจัดหมู่
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
3.3.4 เอกลักษณ์
p ∨ p ≡ p
p ∧ p ≡ p
p ∧ T ≡ p
p ∨ F ≡ p
3.3.5 p → q ≡ ∼ p ∨ q ≡ ∼ q →∼ p
3.3.6 ∼ (∼ p) ≡ p
3.3.7 ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q
∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q
∼ (p → q) ≡ p ∧ ∼ q
3.3.8 p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
หมายเหตุ สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทข้างต้น สามารถทำได้เองโดยการสร้างตารางค่าความจริง
4. สัจนิรันดร์ (Tautology)
เราจะเรียกประพจน์ใดว่าสัจนิรันดร์ก็ต่อเมื่อ ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อยจะเป็นอะไรก็ตามค่าความจริงของ
ประพจน์นั้นจะเป็นจริงเสมอ
เช่น สามารถแสดงว่าประพจน์ (p → q) ↔ (∼ q →∼ p) เป็นสัจนิรันดร์ได้โดยสร้างตาราง
p q ∼ q ∼ p p → q ∼ q →∼ p (p → q) ↔ (∼ q →∼ p)
T T F F T T T
T F T F F F T
F T F T T T T
F F T T T T T
8

15. 5. ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีตัวแปร ประโยคเปิดไม่เป็นประพจน์ แต่ถ้าแทนตัวแปร
ด้วยสมาชิก ในเอกภพสัมพัทธ์แล้วประโยคเปิดจะกลายเป็นประพจน์ ในการทำประโยคเปิดให้เป็นประพจน์
สามารถทำได้โดยการใส่ วลีบ่งปริมาณ ซึ่งมีอยู่สองตัว คือ “ ∀ ” (for all, ทุก ๆ ) และ “ ∃ ” (for some,
บางตัว ) ซึ่งการกำหนดค่าความจริงและ การใส่นิเสธเป็นไปตามตารางต่อไปนี้
ข้อความ นิเสธ เงื่อนไขที่ทำให้เป็นจริง เงื่อนไขที่ทำให้เป็นเท็จ
∀x P(x) ∃x ∼ P(x) ทุก ๆ x ในเอกภพสัมพัทธ์ มีบาง x ในเอกภพสัมพัทธ์
ที่ทำให้ P(x) จริง ที่ทำให้ P(x) เท็จ
∃x P(x) ∀x ∼ P(x) มีบาง x ในเอกภพสัมพัทธ์ ทุก ๆ x ในเอกภพสัมพัทธ์
ที่ทำให้ P(x) จริง ที่ทำให้ P(x) เท็จ
ประโยคเปิดสองตัวแปรในบางครั้งประโยคเปิดอาจมีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวการกำหนดค่าความจริงและการใส่นิเสธ
ของประโยคเปิดสองตัวแปร เป็นดังนี้
ให้ P(x, y) เป็นประโยคเปิดใด ๆ จะได้ว่า
ข้อความ นิเสธ เงื่อนไขที่ทำให้เป็นจริง เงื่อนไขที่ทำให้เป็นเท็จ
∀x ∀y P(x, y) ∃x ∃y ∼ P(x, y) ทุก ๆ x ทุก ๆ y ในเอกภพ มีบาง x และมีบาง y ในเอกภพ
สัมพัทธ์ ทำให้ P(x, y) จริง สัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x, y) เท็จ
∀x ∃y P(x, y) ∃x ∀y ∼ P(x, y) ทุก ๆ x ในเอกภพสัมพัทธ์จะหา มีบาง x ที่ทำให้ทุก y ในเอกภพ
y ที่ทำให้ P(x, y) จริงได้ สัมพัทธ์ ทำให้ P(x, y) เท็จ
∃x ∀y P(x, y) ∀x ∃y ∼ P(x, y) มีบาง x ที่ทำให้ทุก y ในเอกภพ ทุก x ในเอกภพสัมพัทธ์ จะหา
สัมพัทธ์ ทำให้ P(x, y) จริง y ที่ทำให้ P(x, y) เท็จได้
∃x ∃y P(x, y) ∀x ∀y ∼ P(x, y) มีบาง x และมีบาง y ในเอกภพ ทุก x และทุก y ในเอกภพสัมพัทธ์
สัมพัทธ์ ที่ทำให้ P(x, y) จริง สัมพัทธ์ ทำให้ P(x, y) เท็จ
6. การอ้างเหตุผล
การอ้างเหตุผลคือการอ้างว่าเมื่อมีข้อความ p1, p2, . . . , pn ชุดหนึ่งเป็นจริงเราสามารถสรุปข้อความ c ได้หรือไม่
นั่นคือข้อความ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn) → c เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่นั่นเอง
ถ้าข้อความ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn) → c เป็นสัจนิรันดร์ เราจะกล่าวว่า การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล
(valid) ถ้าไม่เป็นสัจนิรันดร์ จะกล่าวว่า การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (invalid)
9

16. ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
(Relation and Function)
1. ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian product)
นิยาม กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian product) ของ
A และ B คือ
A × B = { (a, b) | a ∈ A และ b ∈ B }
ข้อสังเกต
1. ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B เป็นเซต ดังนั้นจึงสามารถพูดถึงนิยามต่าง ๆ ของเซตได้
2. n(A × B) = n(A) · n(B) = n(B × A)
3. A × B เทียบเท่า B × A แต่ A × B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
4. ถ้า A = φ หรือ B = φ จะได้ว่า A × B = φ
2. ความสัมพันธ์
นิยาม กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ ความสัมพันธ์จาก A ไป B (relation from A to B) คือ
สับเซตของ A × B
เรียก r ว่าเป็น ความสัมพันธ์ ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก R ไป R
เรียก r ว่าเป็น ความสัมพันธ์บน A ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A
ข้อสังเกต
1. จำนวนความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B มีจำนวน 2n(A)·n(B) ความสัมพันธ์
2. φ และ A × B เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B เสมอ
3. โดเมนและเรนจ์
นิยาม กำหนดให้ r เป็นความสัมพันธ์ใด ๆ เรานิยาม
โดเมน (Domain) ของ r คือเซต Dr = { x | มี y ซึ่งทำให้ (x, y) ∈ r }
เรนจ์ (Range) ของ r คือเซต Rr = { y | มี x ซึ่งทำให้ (x, y) ∈ r }
ข้อสังเกต
1. อาจคิดง่าย ๆ ได้ว่า โดเมนของ r ก็คือ เซตที่เก็บสมาชิกตำแหน่งแรกของ r และ เรนจ์ของ r ก็คือ เซตที่เก็บ
สมาชิกตำแหน่งหลังของ r
2. ในการหาโดเมนของความสัมพันธ์ r นั้น เราจะเขียนสมการในรูป y = f(x) จากนั้นจึงพิจารณาค่า
x ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ส่วนในการหาเรนจ์ของความสัมพันธ์ r นั้น เราจะเขียนสมการในรูป
x = g(y) จากนั้นจึงพิจารณาค่า y ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
4. กราฟของความสัมพันธ์
นิยาม กราฟของความสัมพันธ์ r คือเซตของจุดในระนาบโดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ r
5. อินเวอร์สของความสัมพันธ์
นิยาม อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือความสัมพันธ์ ที่เกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้า และ
10

17. สมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r แทนด้วย r−1
6. ฟังก์ชัน (Function)
นิยาม ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน
แล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย
ฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งถ้ามี (x, y) ∈ f และ (x, z) ∈ f แล้ว y = z
ข้อสังเกต เราอาจตรวจสอบว่าการเป็นฟังก์ชันได้โดยใช้กราฟกล่าวคือเมื่อวาดกราฟของความสัมพันธ์แล้วสามารถหาเส้นตรง
ที่ขนานกับแกน y ที่ตัดกราฟอย่างน้อยสองจุดจะกล่าวได้ว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชันเพราะจุดตัดที่พบนั้นก็คือ
สมาชิกในความสัมพันธ์ที่มีสมาชิกตัวหน้าเหมือนกัน
แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน
7. ฟังก์ชันประเภทต่างๆ
1. ฟังก์ชันจาก A ไป B (function from A into B) f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f
เป็นฟังก์ชันที่มี A เป็นโดเมน และมีสับเซตของ B เป็นเรนจ์ เขียนแทนด้วย f : A → B
2. ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (function from A onto B) f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ
f เป็นฟังก์ชันที่มี A เป็นโดเมน และมี B เป็นเรนจ์ เขียนแทนด้วย f : A
−→
onto B
3. ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B (one-to-one function from A to B) f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ Rf แล้วจะมี x ∈ Df เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้
(x, y) ∈ f เขียนแทนด้วย f : A 1−1
−→ B
f เป็นฟังก์ชัน 1 − 1 ก็ต่อเมื่อ ถ้า f(x1) = f(x2) แล้ว x1 = x2
4. ฟังก์ชันเพิ่ม ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R ไป R และ A ⊆ B f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ
สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถ้า x1 < x2 แล้ว f(x1) < f(x2)
5. ฟังก์ชันลด ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R ไป R และ A ⊆ B f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ
สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถ้า x1 < x2 แล้ว f(x1) > f(x2)
6. ฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function) คือฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax + b เมื่อ a, b ∈ R
7. ฟังก์ชันคงที่ (constant function) คือฟังก์ชันเชิงเส้นที่มี a = 0 กราฟของฟังก์ชันจะเป็นเส้นตรง
ขนานกับแกน x
8. ฟังก์ชันขั้นบันได (step function) คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นสับเซตของ R และมีค่าฟังก์ชันคงตัว
เป็นช่วง ๆ มากกว่าสองช่วง กราฟของฟังก์ชันจะมีรูปคล้ายบันได
11

18. 9. ฟังก์ชันกำลังสอง (quadratic function) คือฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ R
และ a = 0
10. ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function) คือฟังก์ชันที่อยู่ในรูป
f(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ . . . + a2x2
+ a1x + a0
โดยที่ an, an−1, . . . , a1, a0 เป็นค่าคงตัว และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
11. ฟังก์ชันตรรกยะ (rational function) คือฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = p(x)
q(x) เมื่อ p, q เป็นฟังก์ชัน
พหุนาม
12. ฟังก์ชันคาบ (periodic function) ฟังก์ชัน f ซึ่งไม่ใช่ฟังก์ชันคงที่จะเป็นฟังก์ชันคาบก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง
p ซึ่ง f(x + p) = f(x) สำหรับทุกค่าของ x และ x + p ที่อยู่ในโดเมนของ f
13. ฟังก์ชันคอมโพสิท (Composite function) ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ Rf ∩ Dg = φ
ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนด้วย g ◦ f กำหนดโดย (g ◦ f)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก x
ซึ่ง f(x) ∈ Dg
14. ฟังก์ชันอินเวอร์ส (inverse function) ให้ f เป็นฟังก์ชัน f−1 เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f
เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
15. พีชคณิตของฟังก์ชัน (algebra of function) กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของ
จำนวนจริง
f + g = { (x, y) | y = f(x) + g(x) และ x ∈ Df ∩ Dg}
f − g = { (x, y) | y = f(x) − g(x) และ x ∈ Df ∩ Dg}
f · g = { (x, y) | y = f(x) · g(x) และ x ∈ Df ∩ Dg}
f
g = { (x, y) | y = f(x)
g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) = 0}
12

19. เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
(Analytic geometry and Conic section)
1. เรขาคณิตวิเคราะห์
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด ระยะห่างระหว่างจุด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) คือ
|P1P2| = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด ให้ P(x, y) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2)
P(x, y) = x1+x2
2 , y1+y2
2
จุดที่แบ่งระยะห่างระหว่างจุดสองจุดเป็นอัตราส่วน m : n ให้ P(x, y) เป็นจุดที่แบ่งระยะห่าง
ระหว่างจุด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) เป็น m : n กล่าวคือ |PP1| : |PP2| = m : n
P(x, y) = nx1+mx2
m+n , ny1+my2
m+n
ความชัน 1. ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) โดยที่ x1 = x2 จะได้ว่า m
เป็นความชันของเส้นตรง L ก็ต่อเมื่อ
m = y1−y2
x1−x2
2. ถ้าเส้นตรง L ทำมุม θ กับแกน X แล้ว
ความชันของ L = tan θ
3. ถ้าเส้นตรง L1 และ L2 มีความชันเป็น m1 และ m2 ตามลำดับ จะได้ว่า
L1 L2 ↔ m1 = m2
m1 · m2 = −1 ↔ L1 ⊥ L2
13

20. ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้น ระยะทางระหว่างเส้นตรง Ax + By + C = 0 กับจุด (x1, y1) คือ
d = |Ax1+By1+C|
√
A2+B2
ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน Ax + By + C1 = 0 กับ Ax + By + C2 = 0 คือ
d = |C1−C2|
√
A2+B2
ข้อระวัง ต้องทำให้ A และ B ของทั้งสองสมการเท่ากันก่อนจึงจะใช้สูตรได้
2. ภาคตัดกรวย
1. วงกลม
นิยาม วงกลมคือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่(จุดศูนย์กลาง) จุดหนึ่งบนระนาบ
เป็นระยะทางเท่ากัน(รัศมี) เสมอ
สมการวงกลม
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
องค์ประกอบ
จุดศูนย์กลาง (h, k)
รัศมี r
ข้อสังเกต
1. ใช้กำลังสองสมบูรณ์ในการแปลงสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เพื่อหาจุดศูนย์กลาง และรัศมี
2. x และ y นั้นมีกำลังสองเท่ากัน มีสัมประสิทธิ์เท่ากัน และบวกกันอยู่
3. รัศมีมากกว่าศูนย์ ถ้ารัศมีเป็นศูนย์ จะได้กราฟเป็นจุดศูนย์กลางจุดเดียว
14

21. 2. พาราโบลา
นิยาม พาราโบลาคือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงคงที่(ไดเรกทริกซ์) เส้นหนึ่ง
บนระนาบ และจุดคงที่(โฟกัส) จุดหนึ่ง เป็นระยะทางเท่ากันเสมอ
สมการพาราโบลา
(x − h)2 = 4c(y − k)
(y − k)2 = 4c(x − h)
15

22. องค์ประกอบ
องค์ประกอบ พาราโบลาแบบคร่อมแกน x พาราโบลาแบบคร่อมแกน y
จุดยอด (h, k) (h, k)
โฟกัส (h + c, k) (h, k + c)
สมการไดเรกทริกซ์ x = h − c y = k − c
ความกว้างของพาราโบลา ณ จุดโฟกัส |4c| |4c|
แกนของพาราโบลา y = k x = h
ข้อสังเกต
1. กราฟของสมการพาราโบลาจะคร่อมทางแกนกำลังหนึ่ง
2. จุดโฟกัสได้จากการบวก c เข้ากับจุดยอด ตามแกนที่คร่อม
3. วงรี
นิยามวงรีคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆไปยังจุดคงที่(จุดโฟกัส)สองจุดบนระนาบ
มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวนี้มากกว่าระยะห่างของจุดคงที่ทั้งสอง
สมการวงรี
(x−h)2
a2 + (y−k)2
b2 = 1
16

23. (x−h)2
b2 + (y−k)2
a2 = 1
องค์ประกอบ
องค์ประกอบ วงรีแบบคร่อมแกน x วงรีแบบคร่อมแกน y
ศูนย์กลาง (h, k) (h, k)
จุดยอด(V, V ) (h ± a, k) (h, k ± a)
โฟกัส(F, F ) (h ± c, k) (h, k ± c)
จุดปลายแกนโท(B, B ) (h, k ± b) (h ± b, k)
ความยาวแกนเอก 2a 2a
ความยาวแกนโท 2b 2b
ความกว้างของวงรี ณ โฟกัส 2b2
a
2b2
a
ข้อสังเกต
1. ความสัมพันธ์ของ a, b และ c คือ b2 = a2 − c2
2. a มากกว่า b
3. a หรือตัวมาก อยู่ใต้แกนใด กราฟคร่อมไปทางแกนนั้น
4. คร่อมแกนไหนแกนนั้นเปลี่ยน (เปลี่ยนจาก (h, k) โดยการเลื่อนด้วย a สำหรับจุดยอด และ c สำหรับโฟกัส)
5. ความยาวคงที่ที่กล่าวถึงในนิยามยาว 2a นั่นคือ สำหรับจุด P ใด ๆ บนวงรีจะได้ว่า |PF| + |PF | = 2a
4. ไฮเพอร์โบลา
นิยาม ไฮเพอร์โบลาคือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุดคงที่(จุดโฟกัส)
สองจุดบนระนาบ มีค่าคงตัวซึ่งมากกว่าศูนย์ แต่น้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทั้งสอง
17

24. สมการไฮเพอร์โบลา
(x−h)2
a2 − (y−k)2
b2 = 1
(y−k)2
a2 − (x−h)2
b2 = 1
18

25. องค์ประกอบ
องค์ประกอบ ไฮเพอร์โบลาแบบคร่อมแกน x ไฮเพอร์โบลาแบบคร่อมแกน y
ศูนย์กลาง (h, k) (h, k)
จุดยอด(V, V ) (h ± a, k) (h, k ± a)
โฟกัส(F, F ) (h ± c, k) (h, k ± c)
จุดปลายแกนสังยุค(B, B ) (h, k ± b) (h ± b, k)
ความยาวแกนตามขวาง 2a 2a
ความยาวแกนสังยุค 2b 2b
ความกว้างของไฮเพอร์โบลา ณ โฟกัส 2b2
a
2b2
a
สมการเส้นกำกับ(asymptote) (y − k) = ±b
a (x − h) (y − k) = ±a
b (x − h)
ข้อสังเกต
1. ความสัมพันธ์ของ a, b และ c คือ b2 = c2 − a2
2. a กับ b เปรียบเทียบกันไม่ได้
3. ใต้แกนใดเป็นบวก กราฟคร่อมไปทางแกนนั้น
4. ใต้แกนบวกเป็น a2 (กราฟคร่อมไปทางแกนไหน ใต้แกนนั้นเป็น a2 )
5. คร่อมแกนไหนแกนนั้นเปลี่ยน (เปลี่ยนจาก (h, k) โดยการเลื่อนด้วย a สำหรับจุดยอด และ c สำหรับโฟกัส)
6. ความยาวคงที่ที่กล่าวถึงในนิยามยาว 2a นั่นคือ สำหรับจุด P ใด ๆ บนวงรีจะได้ว่า
| |PF| − |PF | | = 2a
7. ในการแปลงรูปสมการโดยใช้กำลังสองสมบูรณ์ จงระมัดระวังเครื่องหมายเมื่อดึงตัวร่วมที่เป็นลบ
19

26. ตรีโกณมิติ (Trigonometry)
1. สูตรตรีโกณมิติ
1. ค่ามุมและนิยามพื้นฐาน
มุม (θ) 0 30 (π
6 ) 45 (π
4 ) 60 (π
3 ) 90 (π
2 )
sin θ 0 1
2
√
2
2
√
3
2 1
cos θ 1
√
3
2
√
2
2
1
2 0
tan θ 0 1√
3
1
√
3 ไม่นิยาม
sin (−θ) = − sin θ
cos (−θ) = cos θ
tan θ = sin θ
cos θ ; cos θ = 0
sec θ = 1
cos θ ; cos θ = 0
csc θ = 1
sin θ ; sin θ = 0
cot θ = cos θ
sin θ ; sin θ = 0
2. สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน
sin2
θ + cos2 θ = 1
1 + cot2 θ = csc2 θ ; sin θ = 0
tan2 θ + 1 = sec2 θ ; cos θ = 0
sin(A ± B) = sin A cos B ± sin B cos A
cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
tan(A ± B) = tan A±tan B
1∓tan A tan B
cot(A ± B) = cot A cot B∓1
cot A±cot A
20

27. 2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A − B)
2 cos A sin B = sin(A + B) − sin(A − B)
2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A − B)
2 sin A sin B = cos(A − B) − cos(A + B)
sin A + sin B = 2 sin(A+B
2 ) cos(A−B
2 )
sin A − sin B = 2 cos(A+B
2 ) sin(A−B
2 )
cos A + cos B = 2 cos(A+B
2 ) cos(A−B
2 )
cos A − cos B = −2 sin(A+B
2 ) sin(A−B
2 )
sin 2A = 2 sin A cos A
= 2 tan A
1+tan2 A
cos 2A = cos2 A − sin2
A
= 1 − 2 sin2
A
= 2 cos2 A − 1
tan 2A = 2 tan A
1−tan2 A
sin 3A = 3 sin A − 4 sin3
A
cos 3A = 4 cos3 A − 3 cos A
tan 3A = 3 tan A−tan3 A
1−3 tan2 A
sin A
2 = ± 1−cos A
2
cos A
2 = ± 1+cos A
2
tan A
2 = ± 1−cos A
1+cos A
21

28. 3. อินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์
sin [−π
2 , π
2 ] [−1, 1]
cos [0, π] [−1, 1]
tan (−π
2 , π
2 ) R
csc [−π
2 , 0) ∪ (0, π
2 ] (−∞, −1] ∪ [1, ∞)
sec [0, π
2 ) ∪ (π
2 , π] (−∞, −1] ∪ [1, ∞)
cot (0, π) R
ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์
arcsin [−1, 1] [−π
2 , π
2 ]
arccos [−1, 1] [0, π]
arctan R (−π
2 , π
2 )
arccsc (−∞, −1] ∪ [1, ∞) [−π
2 , 0) ∪ (0, π
2 ]
arcsec (−∞, −1] ∪ [1, ∞) [0, π
2 ) ∪ (π
2 , π]
arccot R (0, π)
4. กฏของโคไซน์และไซน์
กฏของไซน์ (sine - law)
sin A
a = sin B
b = sin C
c
กฏของโคไซน์ (cosine - law)
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
22

29. ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม
(Exponential function and Logarithmic function)
1. เลขชี้กำลัง
นิยาม ให้ a ∈ R, n ∈ N
1. an = a · a · . . . · a
n copies
2. a−n = 1
an เมื่อ a = 0
3. a0 = 1 เมื่อ a = 0
สมบัติ ให้ a, b ∈ R และ m, n ∈ Q, am, an, bn ∈ R
1. am · an = am+n
2. am
an = am−n เมื่อ a = 0
3. (an)m = anm
4. (ab)n = anbn
5. (a
b )n = an
bn เมื่อ b = 0
2. ค่ารากของจำนวนจริง
นิยาม กำหนด x, y ∈ R, n ∈ N − {1}
1. y เป็นค่ารากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ yn = x
2. y เป็นค่าหลักรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ
(i) yn = x
(ii) xy ≥ 0
เราใช้สัญลักษณ์ n
√
x หรือ x
1
n แทนค่าหลักรากที่ n ของ x
สมบัติ ให้ x, y ∈ R, m, n ∈ N − {1}
1. ถ้า x มีค่ารากที่ n แล้ว ( n
√
x)n = x
2. ถ้า x และ y มีค่ารากที่ n แล้ว n
√
x n
√
y = n
√
xy
3. ถ้า x และ y มีค่ารากที่ n และ y = 0 แล้ว
n√
x
n
√
y = n x
y
4. ถ้า x เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว x
m
n = (xm)
1
n = (x
1
n )m
5. ถ้า x มีค่ารากที่ n, m แล้ว x จะมีค่ารากที่ nm
6. n
√
xn = |x| เมื่อ n เป็นจำนวนคู่
n
√
xn = x เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
7. ถ้า x > 0 แล้ว n
√
x > 0
ถ้า x < 0 แล้ว n
√
x < 0
ถ้า x = 0 แล้ว n
√
x = 0
3. การหาค่าของ x ± 2
√
y ให้ x, y ∈ [0, ∞) โดยที่ x ≥ 2
√
y
x ± 2
√
y =
√
a ±
√
b โดย x = a + b, y = ab และ a ≥ b
23

30. 4. ฟังก์ชันชี้กำลัง
expa = {(x, y) | y = ax} โดยที่ a > 0, a = 1
y = ax
0 < a < 1 a > 1
ฟังก์ชันลด ฟังก์ชันเพิ่ม
1. ผ่านจุด (0, 1) เสมอ
2. ไม่ตัดแกน X
3. เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (มีอินเวอร์ส)
4. โดเมน คือ R เรนจ์คือ R+
การแก้สมการและอสมการฟังก์ชันชี้กำลัง
สำหรับ 0 < a < 1 หรือ a > 1
ax = ay ↔ x = y
สำหรับ 0 < a < 1
ax > ay ↔ x < y
ax ≥ ay ↔ x ≤ y
สำหรับ a > 1
ax > ay ↔ x > y
ax ≥ ay ↔ x ≥ y
ข้อสังเกต 1. ในการจัดรูปสมการมักมีการสมมติตัวแปร
2. อาจมีบางคำตอบที่เป็นไปไม่ได้
24

31. 5. ฟังก์ชันลอการิทึม
loga = exp−1
a = {(x, y) | y = loga x} โดยที่ a > 0, a = 1
y = loga x
0 < a < 1 a > 1
ฟังก์ชันลด ฟังก์ชันเพิ่ม
1. ผ่านจุด (1, 0) เสมอ
2. ไม่ตัดแกน Y
3. เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (มีอินเวอร์ส)
4. โดเมน คือ R+ เรนจ์คือ R
การแก้สมการและอสมการฟังก์ชันลอการิทึม
สำหรับ 0 < a < 1 หรือ a > 1
loga x = loga y ↔ x = y
สำหรับ 0 < a < 1
loga x > loga y ↔ x < y
loga x ≥ loga y ↔ x ≤ y
สำหรับ a > 1
loga x > loga y ↔ x > y
loga x ≥ loga y ↔ x ≥ y
ข้อสังเกต 1. x = ay ↔ y = loga x
2. เรียก x ว่าเลขหลังล็อค ซึ่งต้องมากกว่า 0
3. ในการจัดรูปสมการมักมีการสมมติตัวแปร
4. อาจมีบางคำตอบที่เป็นไปไม่ได้ ต้องตรวจคำตอบเสมอ
25

32. สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม (เมื่อทุกพจน์มีความหมาย)
1. loga 1 = 0
2. loga a = 1
3. loga xy = loga x + loga y
4. loga
x
y = loga x − loga y
5. logam xn = n
m loga x
6. aloga x = x
7. เขียน log x แทน log10 x โดยเรียก log x ว่าลอการิทึมสามัญ
เขียน ln x แทน loge x เมื่อ e ≈ 2.7182818 โดยเรียก ln x ว่าลอการิทึมธรรมชาติ
8. loga x = logc x
logc a = log x
log a = ln x
ln a = 1
logx a เมื่อ c > 0 และ c = 1
9. กำหนดให้ log N = n + log n0 โดยที่ 1 ≤ n0 < 10 และ n ∈ I
เรียก n ว่าค่าคาแรกเทอริสติก(characteristic) และเรียก log n0 ว่าค่าแมนทิสสา(mantissa)
10. log x = y ↔ x =antilog y
26

33. เมทริกซ์ (Matrix)
1. เมทริกซ์
นิยาม เมทริกซ์ คือ ชุดของจำนวน mn ตัว ซึ่งเขียนเรียงกัน m แถว n หลัก ภายในเครื่องหมายวงเล็บ
ในรูปแบบ
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
am1 am2 · · · amn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
เรียก aij ว่าสมาชิก(entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ หรือเรียกว่าสมาชิกในตำแหน่งที่ ij
ของเมทริกซ์ เมื่อ i = 1, 2, . . . , m และ j = 1, 2, . . . , n
เรียก เมทริกซ์ที่มี m แถว n หลัก ว่าเป็น m × n เมทริกซ์และเรียก m × n ว่าเป็นมิติของเมทริกซ์
นิยาม ถ้า A เป็น m × n เมทริกซ์ใด ๆ แล้วทรานโพสของ A แทนด้วย At คือ n × m เมทริกซ์ ที่มีหลักที่
i เหมือนแถวที่ i ของเมทริกซ์ A เมื่อ i = 1, 2, . . . , m
นิยาม A = B ก็ต่อเมื่อ A และ B มีมิติเท่ากัน และ aij = bij สำหรับทุก ๆ ค่าของ i และ j
การบวกและการคูณของเมทริกซ์
นิยาม ถ้าเมทริกซ์ A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n จะได้ A + B = [aij + bij]m×n
นิยาม การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง : ถ้า A = [aij]m×n และ c เป็นจำนวนจริงแล้ว cA = [caij]m×n
นิยาม ถ้า A และ B เป็น m × n เมทริกซ์ แล้ว A − B = A + (−B)
นิยาม การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ : กำหนดให้ A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n ผลคูณของ AB คือ
[cij]m×n เมื่อ cij = ai1b1j + · · · + ainbnj
ข้อสังเกต เมทริกซ์จะคูณกันได้ก็ต่อเมื่อจำนวนหลักของตัวตั้งต้องเท่ากับจำนวนแถวของตัวคูณ
ข้อตกลง สำหรับจำนวนนับ n ใด ๆ An = A · A · . . . · A
n copies
ประเภทของเมทริกซ์ที่สำคัญ
เมทริกซ์ศูนย์ แทนด้วย 0 หรือ [0]m×n คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็น 0
เมทริกซ์แถว คือเมทริกซ์ที่มีเพียงแถวเดียว
เมทริกซ์หลัก คือเมทริกซ์ที่มีเพียงหลักเดียว
เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและจำนวนหลักเท่ากัน
เมทริกซ์ทแยงมุม คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิก ที่ไม่อยู่ในแนวเส้นทแยงมุมหลัก (แนวทแยงจากมุมซ้ายบน
ไปยังขวาล่าง) เป็นศูนย์หมด
เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือเมทริกซ์หนึ่งหน่วย คือเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักเป็นหนึ่ง
ทั้งหมด และสมาชิกในตำแหน่งอื่นเป็นศูนย์ แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด n × n ด้วย In
เมทริกซ์ไม่เอกฐาน (nonsingular matrix) เราจะเรียกเมทริกซ์จัตุรัส A ว่าเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ก็ต่อเมื่อ
เราสามารถหาเมทริกซ์จัตุรัส B ซึ่งทำให้ AB = BA = I เมื่อ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด
เดียวกับเมทริกซ์A
เมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) คือเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่ใช่เมทริกซ์ไม่เอกฐาน
27

34. นิยาม ถ้า A =
a11 a12
a21 a22
เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด 2×2 แล้วดีเทอร์มินันต์ของ A คือa11a22−a21a22
แทนด้วย det(A), |A| หรือ
a11 a12
a21 a22
นิยาม กำหนดเมทริกซ์ A = [aij]n×n โดย n > 2 แล้วไมเนอร์ของ aij คือดีเทอร์มินันต์ที่ได้จากการ
ตัดแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A แทนด้วย Mij(A)
นิยาม กำหนดเมทริกซ์ A = [aij]n×n โดย n > 2 แล้วโคแฟคเตอร์ของ aij คือ (−1)i+jMij(A) แทน
ด้วยCij(A)
ทฤษฎีบท กำหนดให้ A =
⎡
⎢
⎣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⎤
⎥
⎦
det(A) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) − (a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)
ทฤษฎีบท กำหนดให้ A = [aij]n×n โดย aij ∈ R โดย n ≥ 2
1. det(A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) + · · · + ainCin(A) (สำหรับ n > 2)
2. det(A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + · · · + anjCnj(A) (สำหรับ n > 2)
3. ถ้า A มีสมาชิกแถวใดแถวหนึ่ง(หลักใดหลักหนึ่ง) เป็นศูนย์ทุกตัวแล้ว det(A) = 0
4. ถ้าสลับที่ระหว่างสองแถวหรือสองหลักใด ๆ ของ A แล้ว ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ใหม่คือ −det(A)
5. ถ้า A มีสมาชิกสองแถวหรือสองหลักใด ๆ เหมือนกันแล้ว det(A) = 0
6. ถ้าคูณสมาชิกทุกตัวในแถวหรือหลักใด ๆ ของ A ด้วยค่าคงตัว c แล้วดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์
ใหม่คือc · det(A)
7. ถ้าเปลี่ยนแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลักใดหลักหนึ่ง)ของ A โดยใช้ค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ คูณสมาชิกทุกตัว
ในแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลักใดหลักหนึ่ง)ของ A แล้วนำไปบวกกับสมาชิกในแถว(หรือหลัก)ที่ต้องการ
เปลี่ยนนั้น โดยบวกสมาชิกในลำดับเดียวกันเข้าด้วยกัน แล้วใช้ผลบวกแทนที่สมาชิกเดิม แล้วดีเทอร์มิ-
นันต์ของเมทริกซ์ใหม่ จะเท่ากับดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์เดิม
นิยาม ถ้า A = [aij]n×n เมื่อ n > 1 แล้ว เมทริกซ์ผูกพัน(adjoint matrix) ของ A แทนด้วย adj(A) คือ
adj(A) = (Cij(A))t
ทฤษฎีบท ถ้า A = [aij]n×n เมื่อ n > 1 แล้ว A−1 = 1
det(A) adj(A) เมื่อ det(A) = 0 เรียก A−1
เมทริกซ์สมมาตร (symmetry matrix) คือเมทริกซ์ที่สมาชิกแถวที่i หลักที่j เหมือนกับสมาชิกแถวที่j หลักที่ i
ทฤษฎีบท กำหนดให้ A, B, C เป็นเมทริกซ์ขนาด m × n และ 0 เป็นเมทริกซ์ศูนย์ขนาด m × n จะได้ว่า
1. A + B เป็นเมทริกซ์ขนาด m × n
2. A + (B + C) = (A + B) + C
3. A + 0 = A = 0 + A
4. A + (−A) = 0 = (−A) + A
5. A + B = B + A
6. A(BC) = (AB)C
7. A(B + C) = AB + AC
8. AIn = A = InA
9. (AB)t = BtAt และ (ABC)t = CtBtAt
10. (kA)−1 = 1
k A−1 เมื่อ k ∈ R
ดีเทอร์มินันต์ (Determinant)
28

35. ว่าอินเวอร์สการคูณของ A
ทฤษฎีบท ถ้า A =
a b
c d
และ det(A) = 0 จะได้ A−1 = 1
ad−bc
d −b
−c a
ทฤษฎีบท ถ้า A = [aij]n×n, A = [aij]n×n เมื่อ n ≥ 2 แล้ว
1. det(A) = det(At)
2. det(AB) = det(A)det(B)
3. det(An) = (det(A))n
4. det(cA) = cndet(A)
5. det(In) = 1
6. det(A−1) = 1
det(A)
7. det(adj(A)) = (det(A))n−1
2. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น
ทฤษฎีบท : กฏของคราเมอร์ จากระบบสมการเชิงเส้น เขียนสมการเมทริกซ์ได้ดังนี้
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
an1 an2 · · · ann
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x1
x2
...
xn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
b1
b2
...
bn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ซึ่งอยู่ในรูป AX = B ถ้า A เป็นเมทริกซ์ขนาด n × n โดยที่ det(A) = 0 แล้วระบบสมการที่เขียน
ในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B เมื่อตัวไม่ทราบค่าคือ x1, x2, x3, . . . , xn และ b1, b2, b3, . . . , bn เป็นค่าคงตัว
มีคำตอบคือ
x1 = det(A1)
det(A) , x2 = det(A2)
det(A) , x3 = det(A3)
det(A) , . . . , xn = det(An)
det(A)
เมื่อ Ai คือเมทริกซ์ที่ได้จากการแทนหลักที่ i ของ A ด้วยหลักของ B
การดำเนินการทางแถว (row operation)
คือการดำเนินการกับเมทริกซ์ที่จะลดขั้นตอนและทำให้คำตอบของระบบสมการไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งมี 3 วิธีคือ
1. การสลับที่ระหว่างแถวที่ i กับแถวที่ j แทนด้วย Rij
2. การคูณสมาชิกทุกตัวในแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c โดยที่ c = 0 แทนด้วย cRi
3. การบวกแถวที่ i ด้วย c เท่าของแถวที่ j แทนด้วย Ri + cRj
ข้อสังเกต การดำเนินการทางแถวสามารถใช้ในการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น และการหา
อินเวอร์สการคูณ
29

36. กำหนดการเชิงเส้น (Linear Programing)
1. กราฟอสมการเชิงเส้น
1. วาดกราฟสมการเชิงเส้น (โดยหาจุดที่สอดคล้องกับสมการเชิงเส้นสองจุด มักใช้จุดตัดแกนX
และจุดตัดแกนY )
2. พิจารณาอาณาบริเวณ โดยใช้จุดที่ไม่อยู่บนเส้นกราฟทดสอบ (มักใช้จุด (0, 0))
ถ้าจุดที่ทดสอบสอดคล้องกับอสมการ จะได้กราฟเป็นอาณาบริเวณที่มีจุดนั้นอยู่
ถ้าจุดที่ทดสอบขัดแย้งกับอสมการ จะได้กราฟเป็นอาณาบริเวณที่อยู่ตรงข้ามกับบริเวณที่มีจุดนั้นอยู่
3. พิจารณาว่าอสมการนั้นยอมรับการเท่ากันได้หรือไม่ โดยเลือกแทนด้วยเส้นทึบหรือเส้นประให้สอดคล้อง
2. กราฟของระบบอสมการเชิงเส้น
1. วาดกราฟของอสมการเชิงเส้น หาบริเวณที่สอดคล้องในทุกๆ อสมการ (คืออาณาบริเวณที่ซ้อนทับกัน)
เรียกอาณาบริเวณนั้นว่า อาณาบริเวณที่หาคำตอบได้ แล้วหาพิกัดของมุมของอาณาบริเวณที่หาคำตอบได้
2. ในกรณีที่ระบบอสมการเชิงเส้นมีหลายอสมการ ในการวาดกราฟของอสมการเชิงเส้น อาจต้องหาพิกัดของ
จุดตัดของสองเส้นก่อน
3. การแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้นโดยวิธีใช้กราฟ
- ปัญหากำหนดการเชิงเส้นประกอบด้วย ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function) และอสมการข้อจำกัด
(constraint inequalities)
- ผลเฉลยของปัญหาจะเป็นพิกัดที่อยู่ในบริเวณที่หาคำตอบได้ของระบบอสมการเชิงเส้นที่ได้มาจาก
อสมการข้อจำกัดโดยเป็นพิกัดที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดตามฟังก์ชันจุดประสงค์
- โดยการใช้การเลื่อนของกราฟฟังก์ชันจุดประสงค์ที่มีความชันคงที่ แต่มีระยะตัดแกน Y ที่เปลี่ยนแปลง
พบว่าคำตอบที่ต้องการจะอยู่ที่จุดมุมของอาณาบริเวณที่หาคำตอบได้
4. สรุปขั้นตอนการแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้น
1. สมมติตัวแปร กำหนดฟังก์ชันจุดประสงค์ และอสมการข้อจำกัด
2. วาดกราฟของระบบอสมการเชิงเส้นที่ได้จากอสมการข้อจำกัด แล้วหาอาณาบริเวณที่หาคำตอบได้
3. หาพิกัดของจุดมุมของอาณาบริเวณที่หาคำตอบได้
4. นำจุดมุมทั้งหมดไปทดสอบกับฟังก์ชันจุดประสงค์ โดยเลือกพิกัดที่ทำให้ค่าของฟังก์ชันสูงสุดหรือต่ำสุด
ตามที่ต้องการ
ข้อสังเกต ในบางสถานการณ์ปัญหา ต้องการคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม แต่ถ้าพิกัดที่เป็นคำตอบไม่ใช่จำนวนเต็ม
จะต้องนำพิกัดที่เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ใกล้เคียงกับจุดนั้น มาพิจารณหาพิกัดที่ให้ค่าที่ดีที่สุดแทน
30

37. เวกเตอร์ (Vectors)
1. ระบบพิกัดฉากสามมิติ
ทฤษฎีบท ระยะทางระหว่างจุด P(x1, y1, z1) และ Q(x2, y2, z2) หรือ | PQ |
มีค่าเท่ากับ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
2. เวกเตอร์
ปริมาณสเกลาร์(scalar quantity) คือปริมาณที่มีแต่ขนาด
ปริมาณเวกเตอร์(vector quantity) คือปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง
การเขียนปริมาณเวกเตอร์
1. เขียนแทนด้วยส่วนของเส้นตรงในระนาบ
ใช้สัญลักษณ์ AB แทนเวกเตอร์จาก A ไป B ซึ่งคือ ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศจาก A ไป B เรียก A
ว่าจุดเริ่มต้น (initial point) เรียก B ว่าจุดสิ้นสุด (terminal point)
2. เขียนโดยใช้ตัวเลข
ถ้าจุด A มีพิกัดเป็น (x1, y1) และ B มีพิกัดเป็น (x2, y2) จะแทน AB ด้วย
x2 − x1
y2 − y1
ถ้าจุด A มีพิกัดเป็น (x1, y1, z1) และ B มีพิกัดเป็น (x2, y2, z2) จะแทน AB ด้วย
⎡
⎢
⎣
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
⎤
⎥
⎦
(ใช้จุดสิ้นสุดลบจุดเริ่มต้น)
นิเสธของเวกเตอร์
นิเสธของเวกเตอร์ u คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับขนาดของ u และมีทิศทางตรงข้ามกัน แทนด้วย − u
ขนาดของเวกเตอร์
ถ้าจุด A และ B มีพิกัดเป็น (x1, y1) และ (x2, y2) แล้ว | AB | = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
และถ้าจุด A และ B มีพิกัดเป็น (x1, y1, z1) และ (x2, y2, z2) แล้ว
| AB | = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 ซึ่ง | AB | = | BA |
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย(unit vector)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย ซึ่งเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ u คือ 1
| u |
u
โคไซน์แสดงทิศทาง(direction cosines) โคไซน์แสดงทิศทางของ a เมื่อ a=
⎡
⎢
⎣
a1
a2
a3
⎤
⎥
⎦ ซึ่ง | a | = 0
เทียบกับแกน X, Y และ Z ตามลำดับ คือจำนวนสามจำนวนซึ่งเรียงตามลำดับดังนี้ a1
| a |
, a2
| a |
, a3
| a |
นิยาม เวกเตอร์สองเวกเตอร์ จะมีทิศทางเดียวกันก็ต่อเมื่อมีโคไซน์แสดงทิศทางชุดเดียวกัน และจะมี
ทิศทางตรงข้ามกันก็ต่อเมื่อ โคไซน์แสดงทิศทางเทียบแต่ละแกนของเวกเตอร์หนึ่งเป็นจำนวนตรงข้าม
กับโคไซน์แสดงทิศทางของอีกเวกเตอร์หนึ่ง
31

38. นิยาม เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติ เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ
การเท่ากัน
a
b
=
c
d
ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
⎡
⎢
⎣
a
b
c
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
d
e
f
⎤
⎥
⎦ ก็ต่อเมื่อ
a = d, b = e และ c = f
การบวกเวกเตอร์
a
b
+
c
d
=
a + c
b + d
⎡
⎢
⎣
a
b
c
⎤
⎥
⎦ +
⎡
⎢
⎣
d
e
f
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
a + d
b + e
c + f
⎤
⎥
⎦
เวกเตอร์ศูนย์ 0 เวกเตอร์ศูนย์คือ
0
0
เวกเตอร์ศูนย์คือ
⎡
⎢
⎣
0
0
0
⎤
⎥
⎦
การลบเวกเตอร์
a
b
−
c
d
=
a − c
b − d
⎡
⎢
⎣
a
b
c
⎤
⎥
⎦ −
⎡
⎢
⎣
d
e
f
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
a − d
b − e
c − f
⎤
⎥
⎦
การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ α
a
b
=
αa
αb
α
⎡
⎢
⎣
a
b
c
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
αa
αb
αc
⎤
⎥
⎦
เมื่อ α เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ α เป็นจำนวนจริงใดๆ
การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
1. ถ้า c > 0 แล้ว c u จะเป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ c| u | และมีทิศทางเดียวกับ u
2. ถ้า c < 0 แล้ว c u จะเป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ −c| u | และมีทิศทางตรงข้ามกับ u
3. ถ้า c = 0 แล้ว c u= 0
4. ให้ m และ n เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ u, v เป็นเวกเตอร์ใด ๆ แล้ว
(i) (m + n) u = m u + n u
(ii) (mn) u = m(n u)
(iii) m(u + v ) = m u + m v
การขนานกันของเวกเตอร์
กำหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ 0 จะกล่าวว่า u และ v ขนานกันก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง c ที่ไม่ใช่
0 ที่ทำให้ u = c v
32

39. 3. ผลคูณเชิงสเกลาร์
ถ้า u = x1 i + y1 j และ v = x2 i + y2 j จะได้ว่า u · v = x1x2 + y1y2
ถ้า u = x1 i + y1 j + z1 k และ v = x2 i + y2 j + z2 k จะได้ว่า u · v = x1x2+y1y2+z1z2
และ u · v = | u || v | cos θ
เมื่อ θ คือมุมระหว่าง u และ v , 0◦ ≤ θ ≤ 180◦ (แบบใช้จุดเริ่มต้นต่อกับจุดเริ่มต้น)
สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์
กำหนดให้ u, v และ w เป็นเวกเตอร์ใด ๆ
1. u · v = v · u
2. u · u = | u |2
3. u ·(v + w) = u · v + u · w
4. ถ้า u = 0 หรือ v = 0 แล้ว u · v = 0
5. ถ้า u=0 และ v =0 แล้ว u⊥v ก็ต่อเมื่อ u · v = 0
6. | u ± v |2 = | u |2 ± 2 u · v +| v |2
7. ให้ D เป็นจุดบน OB ที่ AD⊥OB จะได้ว่า OD= (OA · OB) OB
|OB|2
4. ผลคูณเชิงเวกเตอร์
ถ้า u = a1 i + a2 j + a3 k และ v = b1 i + b2 j + b3 k
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ u และ v แทนด้วย u × v คือเวกเตอร์
⎡
⎢
⎣
a2b3 − a3b2
a3b1 − a1b3
a1b2 − a2b1
⎤
⎥
⎦
หรือ
a2 a3
b2 b3
i −
a1 a3
b1 b3
j −
a1 a2
b1 b2
k
สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์
กำหนดให้ u, v และ w เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในสามมิติ และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. u × v = −(v × u)
2. (u + v )× w = (u × w) + (v × w)
3. u × (v + w) = (u × v ) + (u × w)
4. u × (k v ) = k(u × v )
5. (k u)× v = k(u × v )
6. u × u = 0
7. i × j = k, j × k = i , k × i = j
8. u ·(v × w) = (u × v )· w
9. ถ้า u = 0 และ v = 0 จะได้ว่า | u × v | = | u || v | sin θ
เมื่อ θ คือมุมระหว่าง u และ v , 0◦ ≤ θ ≤ 180◦ (แบบใช้จุดเริ่มต้นต่อกับจุดเริ่มต้น)
10. สำหรับ u = 0, v = 0 และ u ไม่ขนานกับ v จะได้ว่า u × v ตั้งฉากกับ u และ u
การใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน
| u × v | = | u || v | sin θ เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านไม่ขนานยาว| u |และ | v | หน่วย
33

40. การใช้เวกเตอร์ในการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน
| u · (v × r )| เป็นปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานทรงตัน(parallelepiped) ที่มีด้านกว้าง ยาว สูง เป็น
r , v และ u ตามลำดับ
ข้อสังเกต 1. u · (v × r ) = r · (u × v ) = v · (r × u)
u · (v × r ) = − u · (r × v ) = − v · (u × r ) = − r · (v × u)
2. ถ้า u, v และ r อยู่ในระนาบเดียวกันแล้ว u ·(v × r ) = 0
3. u · (v × v ) = v · (r × r ) = r · (u × u) = 0
34

41. จำนวนเชิงซ้อน (Complex)
1. จำนวนเชิงซ้อน
เซต C = { (a, b) | a, b ∈ R } จะเรียกว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อน ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆ สมาชิก (a, b)
และ (c, d) ใน C 1. (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
3. (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
จำนวนเชิงซ้อน (a, b) นิยมเขียนแทนด้วย a + bi เรียก a ว่า ส่วนจริง และเรียก b ว่า ส่วนจินตภาพ
ข้อสังเกต 1. c(a, b) = (ca, cb)
2. i2 = −1 , i3 = −i , i4 = 1
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน
กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = a + bi นิยามสังยุคของ z แทนด้วย z คือ z = a − bi
สมบัติ 1. (a + bi)(a − bi) = a2 + b2
2. z1 + z2 = z1 + z2
3. z1 − z2 = z1 − z2
4. z1 · z2 = z1 · z2
5. z1
z2
= z1
z2
โดยที่ z2 = 0
6. z + z = 2Re(z) เมื่อ Re(z) คือส่วนจริงของ z
7. z − z = 2Im(z) เมื่อ Im(z) คือส่วนจินตภาพของ z
8. z = z
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน
กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = a + bi นิยามค่าสัมบูรณ์ของ z แทนด้วย |z| คือ |z| =
√
a2 + b2
สมบัติ 1. zz = |z|2
2. |z| = | − z|
3. |z1z2| = |z1||z2|
4. |z1
z2
| = |z1|
|z2| , z2 = 0
5. |z−1| = |z|−1
6. |z| = |z|
7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
8. |z1 − z2| ≥ ||z1| − |z2||
2. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
ให้ z = a + bi โดยที่ z = 0 และ θ เป็นมุมบวกที่เล็กที่สุดซึ่ง tan θ = b
a จะได้ว่า รูปเชิงขั้วของ z คือ
z = |z|(cos θ + i sin θ) เรียก θ ว่าอาร์กิวเมนต์(argument)ของ z
การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
กำหนดให้ z1, z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ โดย z1 = |z1|(cos θ1 + i sin θ1) และ
z2 = |z2|(cos θ2 + i sin θ2) จะได้ว่า
35

42. 2. z1
z2
= |z1|
|z2| (cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2))
3. zn
1 = |z1|n(cos nθ1 + i sin nθ1)
การแก้สมการจำนวนเชิงซ้อน
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = |z|(cos θ + i sin θ) เมื่อ n ≥ 2 จะได้ว่า
n
√
z = n
|z|(cos(θ+2kπ
n ) + i sin(θ+2kπ
n )) เมื่อ k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
กำหนดให้ f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 โดยที่ a0, a1, a2, . . . , an ∈ R และ an = 0
จะได้ว่า ถ้า f(z) = 0 แล้ว f(z) = 0 ด้วย
นั่นคือ ถ้า z เป็นคำตอบของสมการแล้ว z จะเป็นคำตอบของสมการด้วย
1. z1z2 = |z1||z2|(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2))
36

43. 37
ลำดับและอนุกรม (Sequence and Series)
1. ลำดับ
คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนนับ n ตัวแรก(ลำดับจำกัด) หรือเซตของจำนวนนับ(ลำดับอนันต์)
การเขียนลำดับ เขียนได้ 3 แบบ คือ เขียนแบบเซต เขียนแบบแจกแจงเฉพาะค่าของลำดับ เขียนแบบพจน์ทั่วไป
ลิมิตของลำดับ
1. ลำดับที่จะนำมาพิจารณาต้องเป็นลำดับอนันต์
2. ลิมิตของลำดับ (an) มีค่าเป็นจำนวนจริง L แทนด้วย lim
n→∞
an = L ก็ต่อเมื่อ เมื่อ n มีค่ามากขึ้น an
จะมีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับ L lim
n→∞
an = L ↔ ∀ > 0∃n0 ∈ N, n ≥ n0 → |an − L| <
3. ถ้า lim
n→∞
an = L (L ∈ R) แล้ว จะกล่าวว่า ลำดับ an ลู่เข้า(converge) สู่ L และถ้าลำดับ (an)
ไมีมีลิมิตแล้วเราจะกล่าวว่า ลำดับ an ลู่ออก(diverge) (ถ้าลิมิตของลำดับมีค่าแล้ว จะมีได้ค่าเดียว)
ทฤษฎีบท กำหนดให้ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ lim
n→∞
an = A, lim
n→∞
bn = B
1. lim
n→∞
c = c
2. lim
n→∞
c · an = cA
3. lim
n→∞
(an + bn) = A + B
4. lim
n→∞
(an · bn) = AB
5. lim
n→∞
k
√
an =
k
√
A (เมื่อ k เป็นค่าคงที่และทุกเทอมมีความหมาย)
6. lim
n→∞
an
bn
=
A
B
(เมื่อทุกเทอมมีความหมาย)
หมายเหตุ
1. ถ้า an = p(x)
q(x) โดยที่ p(x) และ q(x) เป็นพหุนาม
ถ้า deg p(x) = deg q(x) จะได้ lim
n→∞
an =
A
B
เมื่อ A และ B คือสัมประสิทธิ์ของ x กำลังสูงสุดของพหุนาม
p(x) และ q(x) ตามลำดับ
ถ้า deg p(x) > deg q(x) จะได้ว่า lim
n→∞
an ลู่ออก
ถ้า deg p(x) < deg q(x) จะได้ว่า lim
n→∞
an = 0
2. ถ้า an อยู่ในรูปแบบของฟังก์ชันชี้กำลัง ให้ดึงตัวร่วมและใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า lim
n→∞
an
= 0 เมื่อ 0 < a < 1
3. ใช้คอนจูเกต
ลำดับเลขคณิต
คือลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n + 1 กับพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่เสมอ
เรียกผลต่างที่คงที่นี้ว่าผลต่างร่วม แทนด้วย d (d = an+1 − an)
พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต an = a1 + (n − 1)d
ลำดับเรขาคณิต
คือลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n + 1 กับพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่เสมอ
เรียกอัตราส่วนที่คงที่นี้ว่าอัตราส่วนร่วม แทนด้วย r (r = an+1
an
)
พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต an = a1 · rn−1
2. อนุกรม
คือลำดับของผลบวกย่อย เรียก sn ว่าผลบวกย่อย n พจน์แรกของลำดับ (an)
37

44. อนุกรมที่เกิดจากลำดับจำกัด เรียก อนุกรมจำกัด sn = a1 + a2 + · · · + an =
N
i=1
ai
อนุกรมที่เกิดจากลำดับอนันต์เรียกอนุกรมอนันต์ lim
n→∞
sn = s∞ = a1 + a2 + · · · =
∞
i=1
ai
โดยถ้า lim
n→∞
sn มีค่า จะกล่าวว่าอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับค่าของลิมิตนั้น และถ้า lim
n→∞
sn หาค่าไม่ได้
จะกล่าวว่าอนุกรมลู่ออก
อนุกรมเลขคณิต
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต sn = n
2 (2a1 + (n − 1)d) = n
2 (a1 + an)
อนุกรมเรขาคณิต
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต sn = a1(1−rn)
1−r เมื่อ r = 1
ผลบวกอนันต์พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต
lim
n→∞
sn =
∞
i=1
ai =
a1
1 − r
ก็ต่อเมื่อ |r| < 1
lim
n→∞
sn =
∞
i=1
ai ลู่ออก ก็ต่อเมื่อ |r| ≥ 1
อนุกรมผสม ใช้เทคนิคคูณตลอดด้วย r
อนุกรมที่อยู่ในรูปเศษส่วนย่อย ปรับแต่ละพจน์ใช้อยู่ในรูปเศษส่วนย่อย
อนุกรมพี
∞
n=1
1
np
ลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ p > 1
∞
n=1
1
np
ลู่ออก ก็ต่อเมื่อ p ≤ 1
สัญลักษณ์แทนการบวก
1.
n
i=1
c = nc
2.
n
i=1
cxi = c
n
i=1
xi
3.
n
i=1
(xi ± yi) =
n
i=1
xi ±
n
i=1
yi
4.
n
i=1
i =
n(n + 1)
2
5.
n
i=1
i2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
6.
n
i=1
i3
=
n
i=1
i
2
=
1
4
(n(n + 1))2
38

45. 1. ถ้า
∞
n=1
an เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว lim
n→∞
an = 0 หรือ ถ้า lim
n→∞
an = 0 แล้ว
∞
n=1
an ลู่ออก
2. ถ้า
∞
n=1
an และ
∞
n=1
bn เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้วสำหรับจำนวนจริง c, d ใด ๆ จะได้ว่า
∞
i=1
can ± dbn
เป็นอนุกรมลู่เข้าด้วย โดยที่
∞
n=1
(can ± dbn) = c
∞
n=1
an ± d
∞
n=1
bn
3. กำหนดให้ 0 ≤ an ≤ bn≤ จะได้ว่า
ถ้า
∞
n=1
bn ลู่เข้า แล้ว
∞
n=1
an จะลู่เข้าด้วย
ถ้า
∞
n=1
an ลู่ออก แล้ว
∞
n=1
bn จะลู่ออกด้วย
ทฤษฎีบท
39

46. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
(Functional relation between data)
1. การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
1. ความสัมพันธ์ของตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม
2. การเขียนแผนภาพการกระจาย
2. ระเบียบวิธีกำลังสองน้อยสุด
สมการเส้นตรง : รูปทั่วไปคือ y = mx + c
สมการปกติ n
i=1
yi = m
n
i=1
xi + nc
n
i=1
xiyi = m
n
i=1
x2
i + c
n
i=1
xi
สมการเส้นพาราโบลา : รูปทั่วไปคือ y = ax2 + bx + c
สมการปกติ n
i=1
yi = a
n
i=1
x2
i + b
n
i=1
xi + nc
n
i=1
xiyi = a
n
i=1
x3
i + b
n
i=1
x2
i + c
n
i=1
xi
n
i=1
x2
i yi = a
n
i=1
x4
i + b
n
i=1
x3
i + c
n
i=1
x2
i
สมการเอกซ์โพเนนเชียล : รูปทั่วไปคือ y = abx หรือ log y = log a + x log b
สมการปกติ n
i=1
log yi = n log a + log b
n
i=1
xi
n
i=1
xi log yi = log a
n
i=1
xi + log b
n
i=1
x2
i
3. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา
เราสามารถแทนข้อมูลที่เป็นตัวแปรอิสระซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ห่างเท่ากันได้ดังนี้
ถ้าจำนวนช่วงเวลาที่นำมาสร้างความสัมพันธ์เป็นจำนวนคี่มักจะแทนด้วย . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .
โดยให้ช่วงเวลาที่อยู่ตรงการเป็น 0
ถ้าจำนวนช่วงเวลาที่นำมาสร้างความสัมพันธ์เป็นจำนวนคู่ มักจะแทนด้วย . . . , −5, −3, −1, 1, 3, 5, . . .
โดยให้ช่วงเวลาที่อยู่ตรงกลางเป็น −1 และ 1
ข้อสังเกต 1. รู้ตัวแปรอิสระทำนายตัวแปรตาม ไม่สามารถทำนายกลับได้
(ถ้าจะทำนายต้องสลับตัวแปรแล้วสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันใหม่)
2. เมื่อจะทำนายความสัมพันธ์ในรูปอนุกรมเวลา ต้องแปลงข้อมูลก่อน
3. สำหรับสมการรูปเส้นตรง (x, y) อยู่บนเส้น
4. สำหรับสมการรูปเส้นตรง Δy = mΔx
40