USO DE LAS ACCIONES Y HIPERVÍNCULOS EN LOS PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALITICA

2. MENÚ
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Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (3, 2) y foco (5, 2)
Hallar la ecuación de la parábola de foco el punto ( 6, −2) y directriz
la recta x−2=0
Hallar la ecuación de la parábola de eje paralelo al de coordenada x, y
que pase por los puntos (−2, 1), (1, 2), (−1, 3)
Determine para la siguiente parábola, las coordenadas del vértice,
las coordenadas del foco, la longitud del latus rectum y la ecuación
de la directriz. y2 −4y + 6x −16= 0

3. 1 Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (3, 2) y foco (5, 2)
Solución: Datos del Problema: Vértice V(3,2); Foco F(5,2).
Identificando el tipo de parábola: Si observamos el vértice y el foco sus coordenadas,
se ve que la abscisa varia de 3 a 5 (o viceversa) y permanece constante la ordenada, es
decir, «y=2», esto nos indica que esta parábola es horizontal y abre hacia la derecha,
por lo que está ecuación tiene la forma: 𝒚 − 𝒌 𝟐
= 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉);
El vértice de está parábola es 𝑽 𝒉, 𝒌 → 𝑽(𝟑, 𝟐); luego k=2 y h=3.
El foco de la parábola horizontal que abre hacia la derecha tiene por coordenadas la
fórmula siguiente: 𝑭 𝒉 + 𝒑, 𝒌 → 𝑭 𝟑 + 𝒑, 𝟐 = 𝑭(𝟓, 𝟐).
luego tenemos que 𝟓 = 𝟑 + 𝒑 → 𝑝 = 5 − 3 = 2 → 𝒑 = 𝟐,
La Directriz tiene sentido contrario al foco, es decir 𝑫: 𝒙 = 𝒉 − 𝒑, luego tenemos que
la directriz es: 𝐷: 𝑥 = ℎ − 𝑝 → 𝐷: 𝑥 = 3 − 2 → 𝑫: 𝒙 = 𝟏
La ecuación de dicha parábola es:
𝑦 − 𝑘 2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ) → 𝑦 − 2 2
= 4(2)(𝑥 − 3)  𝒚 − 𝟐 𝟐
= 𝟖(𝒙 − 𝟑)

4. Para realizar la gráfica debemos tener en cuenta:
a) Simetría de la ecuación: Por ser la ecuación de una parábola horizontal su
simetría es con el eje «X», y no presenta simetría con el eje «Y» ni con el origen de
coordenadas.
b) Su Dominio y Rango:
Su Dominio son xR+ / x  [3,+); su Rango es todo R, es decir (- , + )
a) Puntos de cortes con los ejes coordenados:
Si hacemos x=0, obtenemos la ecuación: 𝒚 − 𝟐 𝟐 = 𝟖 𝒙 − 𝟑 → 𝒚 − 𝟐 𝟐 = 𝟖(𝟎 − 𝟑)
𝒚 − 𝟐 𝟐
= −24 → y2
− 4y + 4 = −24 → y2
− 4y + 4 + 24 = 0 → y2
− 4y + 28 = 0
donde a=1; b=-4 y c=28, empleando la fórmula 𝐲 =
−𝒃± 𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
, desarrollando y
operando se tiene:
y =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ y =
−(−4) ± (−4)2−4(1)(28)
2(1)
→ 𝑦 =
4 ± 16 − 112
2
𝑦 =
4±4 6𝑖
2
→ 𝒚 = 𝟐 ± 𝟐 𝟔𝒊 (no hay solución real), como vimos en la parte b) su
solución esta en el intervalo [3,+)
c) Realizar una tabla de valores:
Y -3 -2 -1 0 1 2 3
X 49/8 5 33/8 7/2 33/8 5 49/8

5. La gráfica de la ecuación de la parábola obtenida es:

6. 2
Solución: Datos del Problema: Foco F(6,-2) y Directriz: x-2=0
Identificando el tipo de parábola: Si observamos la recta directriz, corta en la abscisa
x=2, que es una recta paralela al eje «y» por lo que, la parábola es horizontal y sus
ramales abren hacia la derecha de esta recta, porque el foco se encuentra a la derecha
de la directriz, por tanto, la parábola es horizontal y abre hacia la derecha, por lo que
está ecuación tiene la forma canónica: 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝟒𝒑 𝒙 − 𝒉 .
Como el foco se encuentra en F(6,-2), el eje principal de la parábola es paralelo al eje
«x» de coordenadas, y pasa por por y=-2, entonces el punto de corte de la directriz
con el eje principal es el punto A(2,-2). Recordemos que el vértice esta en el eje
principal de la parábola y el punto medio entre A(2, -2) y el foco F(6,-2) es la
coordenada del vértice, es decir: 𝑉(ℎ, 𝑘) = 𝑀(
𝑥2+𝑥1
2
;
𝑦2+𝑦1
2
)
ℎ =
𝑥2+𝑥1
2
=
6+2
2
=
8
2
→ ℎ = 4 y k =
𝑦2+𝑦1
2
=
−2+(−2)
2
= −
4
2
= −2 → 𝑘 = −2
El vértice de está parábola es 𝑽 𝟒, −𝟐 . Las coordenadas del foco de la parábola
horizontal que abre hacia la derecha tiene por la fórmula: 𝑭 𝒉 + 𝒑, 𝒌
luego tenemos que 𝒉 + 𝒑 = 𝟔 → 𝑝 = 6 − ℎ = 6 − 4 → 𝒑 = 𝟐.
Hallar la ecuación de la parábola de foco el punto ( 6, −2) y directriz
la recta x−2=0

7. La ecuación de dicha parábola es:
𝑦 − 𝑘 2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ) → 𝑦 − (−2) 2
= 4(2)(𝑥 − 4)  𝒚 + 𝟐 𝟐
= 𝟖(𝒙 − 𝟒)
Para realizar la gráfica debemos tener en cuenta:
a) Simetría de la ecuación: Por ser la ecuación de una parábola horizontal su
simetría es con el eje «X», y no presenta simetría con el eje «Y» ni con el origen de
coordenadas.
b) Su Dominio y Rango:
Su Dominio son xR+ / x  [4,+); su Rango es todo R, es decir (- , + )
a) Puntos de cortes con los ejes coordenados:
Si hacemos x=0, obtenemos la ecuación: 𝒚 + 𝟐 𝟐 = 𝟖 𝒙 − 𝟒 → 𝒚 + 𝟐 𝟐 = 𝟖(𝟎 − 𝟒)
𝒚 + 𝟐 𝟐 = −32 → y2 + 4y + 4 = −32 → y2 + 4y + 4 + 32 = 0 → y2 + 4y + 32 = 0
donde a=1; b=4 y c=32, empleando la fórmula 𝐲 =
−𝒃± 𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
, desarrollando y
operando se tiene:
y =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
→ y =
−(4)± (4)2−4(1)(32)
2(1)
→ 𝑦 =
−4± 16−128
2
→ 𝑦 =
4±4 7𝑖
2
𝒚 = 𝟐 ± 𝟐 𝟕𝒊 (no hay solución real), como vimos en la parte b) su solución esta
en el intervalo [4,+)

8. La gráfica de la ecuación de la parábola obtenida es:
c) Realizar una tabla de valores:
Y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
X 17/2 57/8 4 41/8 9/2 33/8 4 33/8 9/2

9. Hallar la ecuación de la parábola de eje principal paralelo al eje de
coordenada «x», y que pase por los puntos (−2, 1), (1, 2), (−1, 3)3
Solución. Datos del problema: Eje Principal (VF)  Eje «x», por tanto, es una
parábola horizontal, cuya ecuación general es: 𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎. (∗) Los puntos
siguientes pertenecen a la ecuación, es decir: A(-2,1); B(1,2) y C(-1,3). Sustituyendo estos
puntos en (*) obtenemos:
Para A(-2,1):
𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 → 𝟏 𝟐
+ 𝑫 −𝟐 + 𝑬 𝟏 + 𝑭 = 𝟎 → −𝟐𝑫 + 𝑬 + 𝑭 = −𝟏 (1)
Para B(1,2):
𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 → 𝟐 𝟐
+ 𝑫 𝟏 + 𝑬 𝟐 + 𝑭 = 𝟎 → 𝑫 + 𝟐𝑬 + 𝑭 = −𝟒 (2)
Para C(-1,3):
𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 → 𝟑 𝟐
+ 𝑫 −𝟏 + 𝑬 𝟑 + 𝑭 = 𝟎 → −𝑫 + 𝟑𝑬 + 𝑭 = −𝟗 (3)
Luego tenemos el sistema formado por tres (3) ecuaciones, es decir:
−2𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = −1 (1)
𝐷 + 2𝐸 + 𝐹 = −4 (2)
−𝐷 + 3𝐸 + 𝐹 = −9 (3)
Hacemos a) 2+3 b) 1+2(2) obtenemos las ecuaciones siguientes:
a) 5E+2F=-13 y b) 5E+3F=-9. Restando a) y b) obtenemos: -F=-4;  F=4 (4).

10. Sustituyendo (4) en (2 y 3) obtenemos:
𝐷 + 2𝐸 + 𝐹 = −4 2 → 𝐷 + 2𝐸 + 4 = −4 → 𝐷 + 2𝐸 = −8 𝑎
−𝐷 + 3𝐸 + 𝐹 = −9 (3) → −𝐷 + 3𝐸 + 4 = −9 → −𝐷 + 3𝐸 = −13 (𝑏)
Sumando (a) de (b) obtenemos:
𝐷 + 2𝐸 = −8
−𝐷 + 3𝐸 = −13
5𝐸 = −21 → 𝐸 = −
21
5
Sustituyendo este valor en
(a) ó en (b) tenemos:
𝐷 + 2𝐸 = −8 → 𝐷 + 2 −
21
5
= −8 → 𝐷 = −8 +
42
5
→ 𝐷 =
2
5
. Luego obtenemos los
valores siguiente:
𝐷 =
2
5
; 𝐸 = −21/5 y 𝐹 =4. Sustituyendo estos valores en (*) obtenemos:
𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 → 𝒚 𝟐
+
𝟐
𝟓
𝒙 −
𝟐𝟏
𝟓
𝒚 + 𝟒 = 𝟎 → 𝒚 𝟐
−
𝟐𝟏
𝟓
𝒚 = −𝟒 −
𝟐
𝟓
𝒙
𝒚 𝟐
−
𝟐𝟏
𝟓
𝒚 +
𝟒𝟒𝟏
𝟏𝟎𝟎
−
𝟒𝟒𝟏
𝟏𝟎𝟎
= −𝟒 −
𝟐
𝟓
𝒙 → 𝒚 −
𝟐𝟏
𝟏𝟎
𝟐
=
𝟒𝟒𝟏
𝟏𝟎𝟎
− 𝟒 −
𝟐
𝟓
𝒙
𝒚 −
𝟐𝟏
𝟏𝟎
𝟐
=
𝟒𝟏
𝟏𝟎𝟎
−
𝟐
𝟓
𝒙 → 𝒚 −
𝟐𝟏
𝟏𝟎
𝟐
= −
𝟓
𝟓𝟎𝟎
𝟒𝟎𝒙 − 𝟒𝟏 → 𝒚 −
𝟐𝟏
𝟏𝟎
𝟐
= −
(x−
41
40
)
4000
La ecuación de la parábola es:
𝒚 −
𝟐𝟏
𝟏𝟎
𝟐
= −
(x−
41
40
)
4000
ó 𝒚 𝟐
+
𝟐
𝟓
𝒙 −
𝟐𝟏
𝟓
𝒚 + 𝟒 = 𝟎

11. La ecuación de la parábola tiene la ecuación siguiente:
Canónica: 𝒚 −
𝟐𝟏
𝟏𝟎
𝟐
= −
2
5
(x −
41
40
) ó General: 𝒚 𝟐
+
𝟐
𝟓
𝒙 −
𝟐𝟏
𝟓
𝒚 + 𝟒 = 𝟎
Para realizar la gráfica debemos tener en cuenta:
a) Simetría de la ecuación: Por ser la ecuación de una parábola horizontal su
simetría es con el eje «X», y no presenta simetría con el eje «Y» ni con el origen
de coordenadas.
b) Su Dominio y Rango:
Su Dominio son xR+ / x  (-,
41
40
]; su Rango es todo R, es decir (- , + )
a) Puntos de cortes con los ejes coordenados:
Si hacemos x=0, obtenemos la ecuación: 𝒚 −
𝟐𝟏
𝟏𝟎
𝟐
= −
𝟐
𝟓
𝒙 −
𝟒𝟏
𝟒𝟎
𝒚 −
𝟐𝟏
𝟏𝟎
𝟐
= −
𝟐
𝟓
𝟎 −
𝟒𝟏
𝟒𝟎
→ 𝒚 −
𝟐𝟏
𝟏𝟎
= ±
𝟒𝟏
𝟏𝟎
→ 𝒚 =
𝟐𝟏± 𝟒𝟏
𝟏𝟎
→
𝒚 𝟏 =
𝟐𝟏+ 𝟒𝟏
𝟏𝟎
𝒚 𝟐 =
𝟐𝟏− 𝟒𝟏
𝟏𝟎
Si hacemos y=0, obtenemos la ecuación x=-10
También tenemos los elementos siguientes:
El Vértice es: 𝑽(
𝟒𝟏
𝟒𝟎
;
𝟐𝟏
𝟏𝟎
), El foco es: 𝑭(
𝟑𝟕
𝟒𝟎
;
𝟐𝟏
𝟏𝟎
) Directriz 𝑫: 𝒙 = 𝒉 − 𝒑, 𝑫: 𝒙 =
𝟗
𝟖

12. El gráfico de la parábola es:

13. 4 Determine para la siguiente parábola, las coordenadas del vértice,
las coordenadas del foco, la longitud del latus rectum y la ecuación
de la directriz. y2 −4y + 6x −16= 0
Solución: Datos del problema: 𝑦2 − 4𝑦 + 6𝑥 − 16 = 0; el vértice V(h,k), el foco
𝐹(ℎ  𝑝, 𝑘) , Lado Recto LR=4p y la Directriz 𝐷: 𝑥 = ℎ ∓ 𝑝 . Desarrollando y
operando la ecuación dada tenemos:
𝑦2 − 4𝑦 + 6𝑥 − 16 = 0 → 𝑦2 − 4𝑦 = −6𝑥 + 16 → 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 4 = −6𝑥 + 16
𝑦2
− 4𝑦 + 4 = −6𝑥 + 20 → 𝑦 − 2 2
= −6(𝑥 −
10
3
), que tiene la forma canónica de
una ecuación de la parábola horizontal que abre a la izquierda, es decir:
𝑦 − 𝑘 2
= −4𝑝(𝑥 − ℎ) ; 𝑉(ℎ, 𝑘) ; 𝐹(ℎ − 𝑝, 𝑘) ; 𝐿𝑅 = 4𝑝 y la directriz D:x=h+p,
entonces tenemos: 4𝑝 = −6 → 𝑝 = −
3
2
El vértice es: 𝑉 ℎ, 𝑘 → 𝑉
10
3
; 2
El foco es: 𝐹 ℎ + 𝑝, 𝑘 → 𝐹
10
3
+ −
3
2
, 2 → 𝐹
11
6
, 2
La directriz es: 𝐷: 𝑥 = ℎ − 𝑝 → 𝐷: 𝑥 =
10
3
− −
3
2
→ 𝐷: 𝑥 =
29
6
El lado recto es: 𝐿𝑅 = 4𝑝 → 𝐿𝑅 = 4(−
3
2
) → 𝐿𝑅 = 6
Para realizar la gráfica debemos tener en cuenta:
1) Simetría de la ecuación: Por ser la ecuación de una parábola horizontal su
simetría es con el eje «X», y no presenta simetría con el eje «Y» ni con el origen de
coordenadas.

14. 2) Su Dominio y Rango:
Su Dominio son xR+ / x  (−,
10
3
]; su Rango es todo R, es decir (- , + )
3) Puntos de cortes con los ejes coordenados:
Si hacemos x=0, obtenemos la ecuación: 𝑦2
− 4𝑦 + 6𝑥 − 16 = 0
𝑦2
− 4𝑦 + 6𝑥 − 16 = 0 → 6𝑥 = 16 + 4𝑦 − 𝑦2
→ 𝑥 =
16+4𝑦−𝑦2
6
; si x=0 se obtiene la
ecuación: −𝑦2
+ 4𝑦 + 16 = 6𝑥 → 𝑥 =
1
6
−𝑦2
+ 4𝑦 + 16 = 0 → −
1
6
𝑦2
+
2
3
𝑦 +
8
3
= 0
donde 𝒂 = −
𝟏
𝟔
; 𝒃 =
𝟐
𝟑
y 𝒄 =
𝟖
𝟑
, empleando la fórmula 𝐲 =
−𝒃± 𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
, desarrollando y
operando se tiene:
y =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
→ y =
−(
2
3
)± (
2
3
)2−4(−
1
6
)(
8
3
)
2(−
1
6
)
→ 𝑦 =
−
2
3
±
4
9
+
16
9
−
1
3
→
𝑦1 = 2 − 2 5
𝑦2 = 2 + 2 5
Los puntos son: P1(0,2+𝟐 𝟓) y P2(0,2-𝟐 𝟓)
c) Realizar una tabla de valores:
x -10,00 -9,00 -8,00 -7,00 -6,00 -5,00 -4,00 -3,33 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 3,33
y1 -6,94 -6,60 -6,25 -5,87 -5,48 -5,07 -4,63 -4,32 -4,16 -3,66 -3,10 -2,47 -1,74 -0,83 0,59 2,00
y2 10,94 10,60 10,25 9,87 9,48 9,07 8,63 8,32 8,16 7,66 7,10 6,47 5,74 4,83 3,41 2,00

15. La gráfica de la ecuación de la parábola y sus elementos principales: