1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE-RECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE TELECOMUNICACIONES
Solución de Sistemas de Ecuación Lineales
Héctor Parra
Ci: 23.482.096
BARQUISIMETO, Mayo de 2015
2. Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.
Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de
las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra (convirtiendo así un problema difícil
en uno mas fácil, ¿no?).
A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las
ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas.
Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utiliza un método (el de
reducción, por ejemplo) y que, en el siguiente paso, se utiliza otro método (el de igualación, por
ejemplo).
Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta incógnita por su solución para
obtener así ecuaciones con menos incógnitas.
Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de
ecuaciones compatibles determinados e indeterminados.
Estos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es
compatible o no. La utilización de cualquiera de ellos conduciría, en el caso de que el sistema fuese
incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:
El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el
sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.
3. La discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, empleando distintos procedimientos,
completa el estudio del álgebra matricial que se realiza en 2º de Bachillerato. Con esta unidad se
pretende que el alumnado aplique lo estudiado en las Unidades de Matrices y Determinantes a la
discusión y resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. Comienza con la identificación de los
distintos elementos de un sistema de ecuaciones lineales (incógnitas, coeficientes, términos
independientes), su escritura utilizando notación matricial y su clasificación. Posteriormente, como
paso previo a su resolución en los casos en que sea posible, se efectúa su "discusión" o estudio de su
compatibilidad, utilizando el Teorema de Rouché- Fröbenius o el método de Gauss. Por último, se
describen tres procedimientos para su resolución, en el caso de que sean compatibles: Regla de
Cramer, Método de Gauss y a través de la matriz inversa.
El dominio de los métodos para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales permitirá al
alumnado afrontar el planteamiento y resolución de problemas diversos. Si se siguen estudios de
Ciencias los aplicarán también en Geometría para estudiar las posiciones relativas de rectas en el
plano y en el espacio, posiciones relativas de planos y de rectas y planos en el espacio, etc.
4. Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta
llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en
multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la
suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
15x-9y=1
-15x+20y=5
Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas
ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es : X=1
5. Método de igualación
Supongamos que tenemos dos ecuaciones: a=b a=c
Donde a,b y c representan simplemente los miembros de estas ecuaciones (son expresiones
algebraicas).
De las dos igualdades anteriores se deduce que: b=c
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en a ni en b, entonces la ecuación
no contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con
solo una incógnita, digamos x.
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones
donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.
6. Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Entonces podemos despejar a en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la
ecuación:
(F-e).b+c=d
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.
Aquí a,b,c,d , e y F son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.
7. Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello
tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la
transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un
sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como
se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los
coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento
cual es la incógnita a la que multiplican.
