1. Biografía de Euclides de Alejandría
Nace: alrededor del 325 a. C.
Muere: alrededor del 265 a. C. en Alejandría, Egipto
Euclides de Alejandría es el matemático más prominente de la antigüedad, famoso por su tratado sobre matemáticas
Los elementos. La perdurable naturaleza de los elementos debe hacer de Euclides el profesor de matemáticas líder de la
historia. Sin embargo, poco se sabe de su vida excepto que enseñaba en Alejandría, Egipto. Proclo, el último de los
grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450 d. C. escribió (ver [1] o [5] o muchas otras fuentes) :
No mucho más joven que éstos [alumnos de Platón] es Euclides, quien juntó los 'Elementos', ordenando muchos de los
teoremas de Eudoxo, perfeccionó muchos de los de Teateto y también demostró irrefutablemente la cosas que habían sido
probadas no tan estrictamente por sus predecesores. Este hombre vivió en tiempos del primer Ptolomeo; Arquímedes,
quien siguió de cerca al primer Ptolomeo menciona a Euclides y dicen además que Ptolomeo alguna vez le preguntó si
había una manera más corta de estudiar geometría que los Elemento, a lo cual respondió que no había un Camino Real
hacia la geometría. Él es, por lo tanto, más joven que el círculo de Platón pero
mayor que Eratóstenes y Arquímedes, que eran contemporáneos según afirma
Eratóstenes por algún lado. En sus metas era un platónico, simpatizante de esta
filosofía, de donde hizo el final de los “Elementos” la construcción de las
llamadas figuras platónicas.
Hay más información sobre Euclides dada por algunos autores pero se considera
que estos datos no son confiables. Esta información extra es de dos tipos
distintos. El primero es el que dan los autores árabes que afirman que Euclides
era hijo de Naucrates y que nació en Tiro. Los historiadores de las matemáticas
creen que esto es totalmente ficticio y que simplemente fue inventado por los
autores.
El segundo tipo de información indica que Euclides nació en Megara. Esto se debe a un error de los autores que dieron por
primera vez estos datos. De hecho existió un Euclides de Megara, un filósofo que vivió unos cien años antes que el
matemático Euclides de Alejandría. No es tan coincidental como parece que hubiera dos intelectuales llamados Euclides ya
que este era un nombre muy común en la época; esta es una complicación más que dificulta encontrar información
relacionada con Euclides de Alejandría ya que hay referencias a numerosos hombres llamados Euclides en la literatura de
este periodo.
Volviendo a la cita de Proclo dada antes, el primer punto que hay que remarcar es que no hay ninguna inconsistencia en
las fechas dadas. Sin embargo, aunque no sabemos con certeza exactamente a qué referencia a Euclides en la obra de
Arquímedes se refiere Proclo, en lo que ha llegado hasta nosotros solamente hay una y está en Sobre la esfera y el
cilindro. La conclusión obvia, por ende, es que todo concuerda en el argumento de Proclo y esto fue tomado por válido

2. hasta que Hjelmslev lo cuestionó en [7]. Su argumento es que la alusión a Euclides fue añadida al libro de Arquímedes en
una etapa posterior, y ciertamente es una referencia más bien sorprendente. No era parte de las tradiciones de la época
dar este tipo de menciones; lo que es más, hay muchos otros lugares en la obra de Arquímedes en los que sería apropiado
referirse a Euclides pero no sucede así. A pesar de las afirmaciones de Hjelmslev de que el pasaje fue añadido después,
Bulmer-Thomas escribe en [1] que:
Aunque ya no es posible confiar en esta referencia, una consideración general de los trabajos de Euclides … aún muestra
que él debe haber escrito después de discípulos de Platón tales como Eudoxo y antes de Arquímedes.
Para más información sobre la determinación de fechas relacionadas con Euclides, ver por ejemplo [4]. Esto no es el fin de
la discusión sobre Euclides el matemático. La situación la resume bien Itard [6] quien da tres posibles hipótesis.
i. Euclides fue un personaje histórico que escribió los Elementos y otras obras
atribuidas a él.
ii. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría.
Todos ellos contribuyeron a escribir las 'obras completas de Euclides', incluso
escribiendo libros a nombre de Euclides después de su muerte.
iii. Euclides no fue un personaje histórico. Las 'obras completas de Euclides' fueron
escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre
Euclides del personaje histórico Euclides de Megara que había vivido unos cien años
antes.
Vale la pena señalar que Itard, quien acepta las afirmaciones de Hjelmslev de que el pasaje sobre Euclides fue añadido a
Arquímedes, está a favor de la segunda de las tres posibilidades enlistadas arriba. Sin embargo, debemos comentar sobre
las tres que, es justo decir, resumen muy bien todas las teorías actuales.
Hay fuerte evidencia para aceptar (i). Fue aceptada sin cuestionarla durante más de 2000 años y hay poca evidencia que
sea inconsistente con esta hipótesis. Es cierto que hay diferencias de estilo entre algunos de los libros de los Elementos
pero muchos autores varían su estilo. Nuevamente el hecho de que Euclides sin duda basó los Elementos en obras
anteriores implica que sería excepcional que no quedar rastro alguno del estilo de los autores originales.
Aun si aceptamos (i) quedan pocas dudas de que Euclides construyó una vigorosa escuela de matemáticas en Alejandría.
Por lo tanto habría tenido algunos buenos alumnos que le podrían haber ayudado a escribir los libros. Sin embargo, la
hipótesis (ii) va mucho más allá que esto y sugeriría que distintos libros fueron escritos por diferentes matemáticos. Aparte
de las diferencias de estilo ya mencionadas, hay poca evidencia directa de esto.

3. Aunque a primera vista la propuesta (iii) puede parecer la más extravagante de las tres, el caso Bourbaki en el siglo XX
nos muestra que esto dista de ser imposible. Henri Cartan André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley y Alexander
Grothendieck escribieron colectivamente bajo en nombre de Bourbaki y sus Elementos matemáticos contiene más de 30
volúmenes. Claro que si la hipótesis (iii) fuera la acertada, entonces Apolonio, quien estudió con los discípulos de Euclides
de Alejandría, habría sabido que no existión una persona de nombre ‘Euclides” pero el hecho de que haya escrito:
... Euclides no hizo la síntesis del lugar geométrico1 con respecto a tres y cuatro líneas, sino nada más una parte de ella ...
Supondremos en este artículo que la hipótesis (i) es verdadera pero, como no tenemos conocimientos sobre Euclides, nos
concentraremos en sus obras después de hacer unos cuantos comentarios sobre posibles acontecimientos históricos.
Euclides debe haber estudiado en la Academia de Platón en Atenas para haber aprendido la geometría de Eudoxo y Teateto
con la que estaba tan familiarizado.
Ninguna de las obras de Euclides tiene un prólogo; al menos ninguno ha llegado hasta nosotros aunque es poco probable
que alguna vez hayan existido. Por eso no podemos ver nada de su personalidad, como podemos hacerlo con otros
matemáticos griegos por la naturaleza de sus prefacios. Papo escribe (ver por ejemplo [1]) que Euclides era:
... de lo mas justo y bien dispuesto hacia aquellos hábiles para avanzar las matemáticas a cualquier nivel, cuidadoso de
nunca ofender y sin vanagloriarse a pesar de ser él mismo un erudito.
Algunos afirman que estas palabras han sido añadidas a Papo y ciertamente el punto del pasaje (en una continuación que
no hemos citado) es hablar duramente (y casi de seguro, injustamente) de Apolonio. El retrato de Euclides dibujado por
Papo, no obstante, concuerda con la evidencia de sus textos matemáticos. Otra historia narrada por Stobaeus [5] es la
siguiente:
... alguien que había empezado a aprender geometría con Euclides, una vez que había aprendido el primer teorema le
preguntó a Euclides “¿Qué ganaré por aprender estas cosas?” Euclides llamó a su esclavo y le dijo: 'Dale tres peniques ya
que debe obtener ganancias de lo que aprende'.
La obra más famosa de Euclides es su tratado matemático Los elementos. El libro era una recopilación del conocimiento
que se volvió el centro de la enseñanza matemática durante 2000 años. Probablemente ninguno de los resultados en Los
elementos haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda
alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía los
elementos ya que presenta un gran número de definiciones que nunca son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo
y un romboide.
Los elementos empieza con definiciones y cinco postulados. Los primeros tres postulados son axiomas de construcción; por

4. ejemplo, el primero de ellos plantea que es posible dibujar una línea recta entre cualesquiera dos puntos. Estos postulados
también suponen implícitamente la existencia de puntos, líneas y círculos y después deduce la existencia de otros objetos
geométricos a partir de que los primeros existen. Hay otros supuestos en los postulados que no son explícitos. Por
ejemplo, supone que hay una única línea uniendo cualesquiera dos puntos. Similarmente, los postulados dos y tres, al
producir líneas rectas y dibujar círculos, respectivamente, suponen la unicidad de los objetos cuya construcción está siendo
postulada.
Los postulados cuarto y quinto son de naturaleza distinta. El cuarto afirma que todos los ángulos rectos son iguales. Esto
puede parecer 'obvio' pero de hecho supone que el espacio es homogéneo, es decir, una figura será independiente de lo
posición en el espacio en la que esté colocada. El famoso quinto postulado, o de las paralelas, afirma que una y sólo una
línea puede ser dibujada a través de un punto y que sea paralela a otra línea dada. La decisión de Euclides de hacer este
un postulado llevó a la geometría euclidiana. No fue sino hasta el siglo XIX que este postulado fue abandonado y se
estudiaron las geometrías no-euclidianas2.
También hay axiomas a los que Euclides llama “nociones comunes”. Estas no son propiedades geométricas específicas sino
más bien supuestos generales que permiten a los matemáticos proceder como una ciencia deductiva. Por ejemplo:
Cosas que son iguales a la misma cosa, son iguales entre sí.
Zenón de Sidón, unos 250 años después de que Euclides escribiera los elementos, parece haber sido el primero en mostrar
que las proposiciones de Euclides no se deducían nada más de los postulados y axiomas y que Euclides hace otras
suposiciones sutiles.
Los elementos está dividido en trece libros. Los libros del uno al seis tratan de geometría plana. En particular, los libros
uno y dos dan las propiedades básicas de triángulos, paralelas, paralelogramos, rectángulos y cuadrados. El tres estudia
propiedades del círculo mientras que el cuatro trata con problemas sobre círculos y se cree que expone trabajo de los
seguidores de Pitágoras. El libro cinco muestra el trabajo de Eudoxo sobre proporciones aplicadas a magnitudes
conmensurables3 e inconmensurables. Heath [5] dice:
Las matemáticas griegas pueden jactarse de que esta teoría es su descubrimiento más fino, el cual puso sobre una base
firme a mucha de la geometría que depende del uso de la proporción.
El libro seis trata de las aplicaciones en la geometría plana de los resultados del libro cinco.
Los libros siete al nueve tratan de la teoría de números4. En particular, el siete es una introducción auto-contenida de la
teoría de números y contiene el algoritmo de Euclides5 para encontrar el mayor común divisor de dos números. El libro
ocho estudia los números en una progresión geométrica6 pero van der Waerden escribe en [2] que contiene:

5. ... enunciados enrevesados, repeticiones innecesarias e incluso falacias lógicas. Aparentemente la exposición de Euclides
destacaba solamente en aquellas partes en las que tenía excelentes fuentes a su disposición.
El libro diez trata de la teoría de los números irracionales7 y es mayormente trabajo de Teateto. Euclides cambió las
pruebas de varios de los teoremas de este libro para que encajaran en la nueva definición de proporción dada por Eudoxo.
Los libros once al trece se refieren a la geometría tridimensional. En el once se dan las definiciones básicas necesarias para
los tres libros. Después los teoremas siguen un patrón muy similar al de sus análogos bidimensionales dados antes en los
libros uno y cuatro. Los principales resultados del libro doce son que los círculos son unos a otros lo que los cuadrados de
sus diámetros y que las esferas son unas a otras lo que los cubos de sus diámetros. Estos resultados se deben sin duda a
Eudoxo. Euclides prueba estos teoremas usando el 'método exhaustivo' como fue inventado por Eudoxo. Los elementos
termina con el libro trece, el cual discute las propiedades de los cinco poliedros regulares y da una prueba de que son
exactamente cinco. Este libro parece basarse mayormente en un tratado anterior de Teateto.
Los elementos de Euclides es notable por la claridad con la que se exponen y demuestran los teoremas. Su nivel de rigor
se convertiría en la meta de los inventores del cálculo siglos después. Como escribe Heath en [5]:
Este maravilloso libro, a pesar de sus imperfecciones, que son más bien pequeñas si se toma en cuenta la fecha de su
aparición, es y sin duda seguirá siendo el más grandioso libro de matemáticas de todos los tiempos. ... Incluso en la época
de los griegos, los matemáticos más brillantes se ocupaban de él: Herón, Papo, Porfirio, Proclo y Simplicio escribieron
comentarios; Teón de Alejandría lo reeditó, cambiando el lenguaje aquí y allí, principalmente buscando darle mayor
claridad y consistencia...
La historia de cómo los elementos sobrevivieron desde tiempos de Euclides es fascinante y Fowler la narra bien en [3].
Describe el material más antiguo sobreviviente relacionado con los elementos:
Nuestro vistazo más lejano al material euclidiano será el más notable en mil años, seis pedazos de ostraca que contienen
texto y una figura ... encontrados en la Isla Elefantina en 1906/07 y 1907/08... Estos textos son antiguos aunque más de
cien años después de la muerte de Platón (están datados por paleografía hacia el tercer cuarto del siglo III a. C.); son
avanzados (tratan de los resultados incluidos en los 'elementos' [libro trece] ... en el pentágono, hexágono, decágono e
icosaedro8); y no siguen el texto de los Elementos. ... Así que son evidencia de que alguien en el siglo III a. C., ubicado
más de 800 kilómetros al sur de Alejandría, trabajó con este difícil material... este puede ser un intento de entender las
matemáticas y no una simple copia a ciegas ...
El siguiente fragmento que tenemos data de entre el 75 y el 125 a. C. y de nuevo parece tratarse de notas de alguien
tratando de comprender el material de los elementos.
Más de mil ediciones de Los elementos han sido publicadas desde su primera implresión en 1482. Heath [5] discute

6. muchas de las ediciones y describe los posibles cambios al texto durante esos años.
B L van der Waerden evalua la importancia de los elementos en [2]:
Casi desde que fueron escritos y casi hasta el presente, Los elementos han ejercido una importante y continua influencia
en los asuntos humanos. Fueron la fuente principal de razonamiento geométrico, teoremas y métodos al menos hasta la
aparición de las geometrías no-euclidianas en el siglo XIX. Algunas veces se dice que, después de la Bilia, los 'Elementos'
podrían ser el libro con más traducciones, el más publicado y el más estudiado de todo los libros producciones en
occidente.
Euclides también escribió los siguientes libros que sobreviven: Datos (con 94 proposiciones), el cual revisa qué
propiedades de las figuras pueden deducirse cuando se dan otras; Sobre las divisiones, que trata de construcciones para
dividir una figura en dos partes con áreas a una razón dada; Óptica que es la primera obra griega sobre perspectiva; y
Fenómenos, introducción elemental a la astronomía matemática y que da resultados sobre los momentos en que las
estrellas en cierta posición saldrán y se pondrán. Los siguientes libros de Euclides se han perdido: Lugares geométricos de
superficies (dos libros), Porismos (una obra de tres libros con, según Papo, 171 teoremas y lemas), Cónicas (cuatro libros),
Libro de falacias y Elementos de música. El libro de falacias Proclo lo describe en [1]:
Ya que muchas cosas parecen ser conformes con la verdad y seguir principios científicos, pero desvían de los principios y
engañan a los más superficiales, [Euclides] nos ha dejado métodos para el entendimiento lúcido de estos temas
también ... El tratado en el que nos da esta maquinaria se llama Falacias y enumera en orden los distintos tipos,
ejercitando nuestra inteligencia en cada caso mediante teoremas de toda clase, poniendo a los verdaderos junto con los
falsos y combinando la regulación del error con la ilustración práctica.
Elementos de música es una obra que Proclo atribuye a Euclides. Tenemos dos tratados sobre música que han sobrevivido
y que algunos autores han atribuido a Euclides pero ahora se cree que no son la obra sobre música a la que se refiere
Proclo.
Euclides puede no haber sido un matemático de primera pero la perdurable naturaleza de Los elementos lo convierten en
uno de los principales maestros de matemáticas de la antigüedad o incluso de todos los tiempos. Como una última nota
personal déjame añadir que mi propia [EFR] introducción a las matemáticas en la escuela en los años cincuentas fue una
edición de parte de los Elementos de Euclides y la obra proporcionó una base lógica para las matemáticas y el concepto de
prueba que parece faltar en las matemáticas escolares hoy en día.