1. Problema didáctico:
Realización de un itinerario de aprendizaje centrado en el tema de las ecuaciones de segundo
grado (ESO – 11. año de escolaridad)
El primer objetivo a alcanzar se refiere al aprendizaje de los elementos teóricos básicos sobre
las distintas formas en que las ecuaciones algebraicas de segundo grado pueden aparecer.
En segundo lugar, los estudiantes tienen que hacer una experiencia de aprendizaje finalizada
al desarrollo de las competencias lingüisticas relacionadas a su conocimiento del idioma
español como idioma extranjero.
La utilización de documentos originales (textos escritos y videos grabados en español, todos
ellos recursos educativos abiertos) permite a los estudiantes el disfrute de todo lo que hayan
aprendido anteriormente, a lo largo de los años de estudio del idioma español.
Actividades de búsqueda de recursos educativos abiertos.
Las actividades de búsqueda se realizan en dos niveles distintos:
Primer nivel (nivel del profesor):
el profesor puede acceder a distintas fuentes de información abiertas para recoger materiales
que le permitan profundizar las temáticas que quiere desarrollar con sus estudiantes.
Ejemplo: acceso a fuentes de información como:
- bibliotecas clásicas (búsqueda de libros anteriormente editados, entre otros:
Meavilla Seguí Vicente – Ruffini Popular y desconocido – Nivola ediciones, 2006;
- portales especializados (por medio del portal www.latindex.com se puede alcanzar
entre otros el sitio web del Departamento de Matemáticas de la Universidad de
Sonora, México, de donde se puede pasar a la página web de los “Apuntes de
Historia de las Matemáticas”, o sea una revista especializada con acceso
parcialmente libre; entre los artigos publicados en Internet se encuentra el
siguiente: “El desarrollo del álgebra moderna, parte II: el álgebra de las
ecuaciones”, que ofrece al profesor una descripción detallada del tema a tratar en
clase según una perspectiva genuinamente histórica;
Segundo nivel (nivel de los estudiantes):
los estudiantes reciben consejos e indicaciones explícitas por parte del profesor para realizar
una búsqueda de materiales libres recogidos de la red y destinados a si mismos.
Ejemplos de materiales recogidos por medio de una búsqueda on-line, sirviéndose de algunos
sitios de referencias como Google o Youtube:
a) http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena3/3eso_quincena3.pdf
b) http://lacasadegauss.files.wordpress.com/2011/11/problemas-ecuaciones-segundo-grado.pdf
c) http://abealpou.com/PROBLEMAS.htm
d) http://www.youtube.com/watch?v=zmL12JP8_pM
e) http://www.youtube.com/watch?v=67UxofADpzg
Primeramente la evaluación de todos los materiales recogidos se realiza por medio del juício
del profesor, que, baseándose en su experiencia profesional, va a decidir si los materiales
encontrados tengan las caractéristicas apropiadas para el desarrollo del itinerario didáctico
escogido.

2. Al final de esa actividad, el profesor va a realizar un itinerario didáctico que puede ser
editado en Internet y divulgados entre otros colegas, de tal manera que esos últimos puedan si
acaso modificarlo, adecuándolo a sus exigencias y procediendo también a su redistribución
para todos los futuros usuarios (profesores de Matemáticas de ESO – nivel secundário).
La actividad está presentada en italiano, siendo dirigida a profesores de Matemáticas italianos
que desarrollen la metodologia AICLE en sus clases.
(En relación al AICLE véanse las siguientes páginas web:
http://es.wikipedia.org/wiki/Aprendizaje_Integrado_de_Contenidos_y_Lenguas_Extranjeras ;
http://marcoele.com/descargas/13/castro-clil_webquests.pdf ).
Scheda di progettazione di unità didattica
Unità didattica:
Ecuaciones de segundo grado en una incógnita y problemas de segundo grado
Tempi: 12 lezioni di un’ora ciascuna
Strutturazione dell’unità:
L’unità si struttura mediante interventi successivi, senza soluzione di continuità
Livello linguistico: B1
Obiettivi disciplinari:
 Acquisizione delle tecniche di risoluzione delle equazioni di secondo grado in un’incognita
 Applicazione delle equazioni di secondo grado in un’incognita alla risoluzione di problemi
in ambito aritmetico, geometrico e con spunti ripresi dalla vita quotidiana
Obiettivi cognitivi:
 Consapevolezza nell’uso del linguaggio formale dell’algebra letterale
 Capacità di modellizzazione in termini algebrici di semplici situazioni problematiche
 Sviluppo del senso critico nei confronti degli esiti dei procedimenti risolutivi messi in atto

3. Obiettivi linguistici:
 Acquisizione del vocabolario specifico nel campo semantico dell’algebra riferito alle
equazioni di secondo grado, alla relativa classificazione e alle rispettive tecniche di
risoluzione
 Comprensione degli enunciati di semplici problemi applicativi in ambito aritmetico e
geometrico ed eventualmente con riferimenti a situazioni reali opportunamente semplificate
 Focalizzazione sulla modalità espressiva dell’imperativo (per indicare specifici comandi),
delle proposizioni subordinate finali, delle proposizioni subordinate condizionali e delle
proposizioni interrogative
 Sviluppo e affinamento delle capacità di ascolto (esposizione ripetuta alla produzione orale
di un parlante madrelingua)
 Sviluppo delle capacità di produzione orale in lingua (esplicita sollecitazione in occasione
della presentazione del resoconto delle attività svolte in classe in piccoli gruppi)
 Ampliamento delle conoscenze lessicali attraverso la lettura di alcune pagine di un testo
divulgativo in lingua di storia della matematica
Aspetti culturali:
 Avvicinamento alla dimensione culturale della storia del pensiero matematico, come
naturale estensione e arricchimento dello sviluppo delle conoscenze teoriche disciplinari
specifiche
 Comprensione dell’evoluzione nel tempo delle conoscenze matematiche e del linguaggio
utilizzato per esprimerle
Contenuti disciplinari:
 Richiamo e revisione delle equazioni di primo grado
 Equazioni di secondo grado e relativa classificazione
 Tecniche risolutive delle equazioni di secondo grado
 Discriminante di un’equazione completa di secondo grado
 Relazione tra radici e coefficienti
 Fattorizzazione e legge dell’annullamento di un prodotto
 Richiamo al concetto della proporzionalità diretta per la concettualizzazione di situazioni
problematiche

4. Contenuti linguistici:
 Vocabolario specifico nell’ambito algebrico
 Espressione di comandi
 Espressione di proposizioni subordinate condizionali
 Espressione di proposizioni subordinate finali
 Espressioni di proposizioni interrogative
Attività:
 Problem solving (attività in classe in piccoli gruppi)
 Discussioni collettive sulle attività di gruppo
 Visione di brevi filmati in lingua
 Discussioni collettive sui filmati in lingua
 Lettura in classe di testi in lingua per mettere a fuoco la sistematizzazione condivisa dei
contenuti trattati
 Lettura e commento in classe di brevi testi divulgativi sul tema della storia della matematica
 Risoluzione come compito per casa di esercizi di consolidamento sugli argomenti trattati
 Correzione collettiva in classe degli esercizi assegnati come compito a casa
 Momenti di lezione frontale per la rivisitazione e l’armonizzazione delle conoscenze
disciplinari acquisite nel percorso
Materiali:
 File riepilogativo sulla teoria delle equazioni di primo e secondo grado
(fonte Internet:
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena3/3eso_quincena3.pdf )
 File con problemi da risolvere mediante equazioni di secondo grado
(fonte Internet:
http://lacasadegauss.files.wordpress.com/2011/11/problemas-ecuaciones-segundo-grado.pdf )

5. (fonte Internet:
http://abealpou.com/PROBLEMAS.htm )
 Video canale You Tube – UNICOOS
(fonte Internet:
http://www.youtube.com/watch?v=zmL12JP8_pM (Ecuaciones de segundo grado)
http://www.youtube.com/watch?v=67UxofADpzg (Plantear ecuaciones de obreros) )
 Testo a stampa: Meavilla Seguí Vicente – Ruffini Popular y desconocido – Nivola
ediciones, 2006 – pagg. 45 / 52
Verifica e valutazione:
 Verifica in itinere durante i momenti delle discussioni collettive in classe e il controllo delle
attività assegnate come compito a casa
 Verifica scritta finale disciplinare in classe: esercizi di algebra con testo in lingua – semplici
problemi con testo in lingua – completamento di un testo (con indicazione dei termini da
utilizzare per il riempimento degli spazi vuoti) (argomento: biografia del matematico Al-
Khwarizmi)
Al-Khwarizmi
Sello emitido el 6 de septiembre de 1983 en la Unión Soviética conmemorando el aniversario n.º 1200
(aproximado) del matemático persa.
Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (Abu Yāffar) , جعفر (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي) ابو
conocido generalmente como al-Khwarismi, fue un matemático, astrónomo y geógrafo persa[1] [2]
musulmán, que vivió aproximadamente entre 780 y 850.

6. Poco se conoce de su biografía, a tal punto que existen discusiones no saldadas sobre su lugar de
nacimiento. Algunos sostienen que nació en Bagdad. Otros, siguiendo el artículo de Gerald Toomer[3] (a su
vez, basado en escritos del historiador al-Tabari) sostienen que nació en la ciudad corasmia de Jiva, en el
actual Uzbekistán. Rashed[4] halla que se trata de un error de interpretación de Toomer, debido a un error
de transcripción (la falta de la conectiva wa) en una copia del manuscrito de al -Tabari. No será este el
último desacuerdo entre historiadores que encontraremos en las descripciones de la vida y las obras de al -
Juarismi. Estudió y trabajó en Bagdad en la primera mitad del siglo IX, en la corte del califa al -Mamun. Para
muchos, fue el más grande de los matemáticos de su época.
Debemos a su nombre y al de su obra principal, "Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala", ( حساب الجبر و المقابلة ) nuestras
palabras álgebra, guarismo y algoritmo. De hecho, es considerado como el padre del álgebra y como el
introductor de nuestro sistema de numeración denominado arábigo.
Hacia 815 al-Mamun, séptimo califa Abásida, hijo de Harún al-Rashid, fundó en su capital, Bagdad, la Casa
de la sabiduría (Bayt al-Hikma), una institución de investigación y traducción que algunos han comparado
con la Biblioteca de Alejandría. En ella se tradujeron al árabe obras científicas y filosóficas griegas e indias.
Contaba también con observatorios astronómicos. En este ambiente científico y multicultural se educó y
trabajó al-Juarismi junto con otros científicos como los hermanos Banu Musa, al -Kindi y el famoso traductor
Hunayn ibn Ishaq. Dos de sus obras, sus tratados de álgebra y astronomía, están dedicadas al propio califa.
En su tratado de álgebra Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala ( حساب الجبر و المقابلة , Compendio de cálculo por
compleción y comparación), obra eminentemente didáctica, se pretende enseñar un álgebra aplicada a la
resolución de problemas de la vida cotidiana del imperio islámico de entonces. La traducción de Rosen de
las palabras de al-Juarizmi describiendo los fines de su libro dan cuenta de que el sabio pretendía enseñar:
... aquello que es fácil y más útil en aritmética, tal que los hombres lo requieren constantemente en casos
de herencia, legados, particiones, juicios, y comercio, y en todos sus tratos con los demás, o cuando se trata
de la mensura de tierras, la excavación de canales, cálculos geométricos, y otros objetos de varias clases y
tipos.
(Fonte Internet: http://es.wikipedia.org/wiki/Al-Juarismi )

7. Fasi di lavoro
Lezione 1:
 Richiamo equazioni di primo grado mediante proposta di un problema da risolvere
(Problema pag. 3 – file 3eso_quincena3.pdf)
 Equazioni, identità, equazioni equivalenti
 Risoluzione equazioni di primo grado
 Assegnazione lavoro per casa: lettura pagine “Expresiones algebraicas” e “Ecuaciones de
primer grado” (pagg. 4, 6 – file 3eso_quincena3.pdf) e analisi di due esercizi risolti
(ejercícios 11, 12 pag. 7 – file 3eso_quincena3.pdf)
Lezione 2:
 Proposta lavoro a piccoli gruppi: il problema delle diagonali di un poligono convesso
(file word: problema diagonali poligono convesso)
 Attività collettiva (discussione orchestrata dall'insegnante) per raggiungere la soluzione
generale
 Applicazione della formula per capire in quale caso un poligono ha, ad esempio, 2849
diagonali oppure se può esistere un poligono con 7150 diagonali: conseguente necessità
di risolvere un’equazione di secondo grado
 Avvio al metodo del completamento del quadrato
 Assegnazione compito per casa: provare a determinare la formula risolutiva di un’equazione
completa di secondo grado
Lezione 3:
 Dimostrazione formula risolutiva per l’equazione di secondo grado completa
 Proposta di estensione della formula ai casi delle equazioni incomplete
 Esempi e classificazione
 Lavoro per casa: sistemazione dei risultati ottenuti
Lezione 4:
 Lettura del testo che ricostruisce la teoria delle equazioni di secondo grado
(pagg. 8, 9 – file 3eso_quincena3.pdf)
 Lavoro in piccoli gruppi: risoluzione di esercizi di applicazione delle equazioni di secondo
grado

8. (Ogni gruppo riceve tre problemi da risolvere)
(file word: NataliaPouDeLosMozos_Problemas_propuestos)
 Analisi collettiva dei risultati
 Lavoro per casa: riflessione sul testo letto in classe
Lezione 5:
 Storia: risoluzione delle equazioni di secondo grado a Babilonia e in India
(pagg. 1, 2, 3 file Ruffini_popular_y_desconocido.pdf)
 Esempio di problema risolto con il metodo babilonese
(prob. 9 – file problemas-con-ecuaciones-de-segundo-grado2.pdf)
 Lavoro per casa: rilettura testi
Lezione 6:
 Video: UNICOOS – Ecuaciones de segundo grado
 Analisi del video
 Risoluzione di esercizi algebrici e applicativi
(pag. 12 – file 3eso_quincena3.pdf)
 Lavoro per casa: visione ulteriore del video – esercizi algebrici e applicativi
Lezione 7:
 Storia: risoluzione delle equazioni di secondo grado in Arabia
(pagg. 3, 5 file: Ruffini_popular_y_desconocido.pdf)
 Problemi applicativi in ambito geometrico: lavoro in piccoli gruppi
(file: LacasadeGauss_Problemas-ecuaciones-segundo-grado.pdf)
(due problemi per ciascun gruppo)
 Lavoro per casa: esercizi applicativi in ambito geometrico – rilettura testi
(pagg. 3, 4, 5 file: Ruffini_popular_y_desconocido.pdf)
Lezione 8:
 Correzione esercizi per casa
 Rilettura testo sulla vita del matematico Al-Khwarizmi

9. (pag. 4 file: Ruffini_popular_y_desconocido.pdf)
 Video: UNICOOS – Plantear ecuaciones de obreros
 Analisi del video
Lezione 9:
 Visione ulteriore del video: UNICOOS – Plantear ecuaciones de obreros
 Lavoro a gruppi: Scheda sul video UNICOOS – Plantear ecuaciones de obreros
(file: Scheda di lavoro – problema de obreros)
 Assegnazione del completamento individuale per casa della Scheda di lavoro – problema de
obreros
Lezione 10:
 Lavoro in piccoli gruppi su esercizi e problemi
(3 problemi per ciascun gruppo)
(file: Vitutor_Problemas_segundo_grado)
 Discussione collettiva degli esiti del lavoro di gruppo
Lezione 11:
 Attività in gruppi: il domino delle equazioni di secondo grado
La classe viene suddivisa in gruppi – ogni gruppo riceve una serie di tessere del domino che
deve essere completato nel minor tempo possibile
Al termine ogni gruppo espone il lavoro di completamento del proprio domino agli altri
gruppi
(file prototipo: Tessere_domino_equazioni)
(cfr.: Creare un gioco: domino di funzioni – Tutorial: esperienza pratica II ;
riferimento web: http://wiki.geogebra.org/it/Tutorial:Esperienza_pratica_II )
 Verifica del completamento del domino assegnato a ciascun gruppo
Lezione 12:
 Prova di verifica in classe (1 ora)
(a seguir véase: Prueba_de_matematicas)

10. Ulteriori materiali di riferimento per il docente:
Spunti didattici: UD03 – Ecuaciones (Colegio Sagrado Corazón de Olivenza)
(file: Unidad_Ecuaciones_Olivenza.pdf)
Inquadramento teorico: (approccio multimodale alla didattica disciplinare):
A multimodal input – prof.ssa L. Paggiaro
(file: A multimodal input)
Follow-up:
 Controllo periodico del lavoro assegnato per casa da parte del docente
 Discussioni in classe e armonizzazione delle conoscenze da parte del docente nelle tappe
intermedie del percorso
 Condivisione della teoria di riferimento
 Questionario di gradimento finale (studenti)

11. Prueba de Matemáticas.
1) En primer lugar ustedes tienen que leer el texto siguiente con mucho detenimiento. En
segundo lugar tienen que rellenar los huecos utilizando las palabras listadas al final del texto
mismo.
Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (Abu Yaffar), conocido generalmente como al-
Khwarismi, fue un _____________, astrónomo y geógrafo persa] musulmán, que vivió
aproximadamente entre el año 780 y el año 850. Poco se conoce de su biografía, a tal punto que
existen dudas sobre su lugar de _____________. Algunos sostienen que nació en Bagdad, otros
sostienen que nació en la ciudad de Jiva, en el actual Uzbekistán. Estudió y trabajó en Bagdad en la
primera _____________ del siglo IX, en la corte del califa al-Mamun. Para muchos, fue el más
grande de los matemáticos de su ____________. Debemos a su nombre y al de su obra principal, o
sea Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala (Compendio de cálculo por compleción y comparación), nuestras
palabras álgebra y algoritmo. De hecho, es considerado como el _______________ del álgebra y
como el introductor de nuestro sistema de numeración denominado arábigo. Hacia el año 815 el
califa al-Mamun fundó en su capital, Bagdad, la Casa de la sabiduría , una institución de
_______________ y traducción que algunos han comparado con la Biblioteca de Alejandría. En
ella se tradujeron al árabe obras científicas y filosóficas griegas e indias. Contaba también con
observatorios __________________. En este _________________ científico y multicultural se
educó y trabajó al-Juarismi junto con otros científicos. Dos de sus obras, sus tratados de álgebra y
astronomía, están dedicadas al propio califa. En su tratado de álgebra se pretende enseñar un
álgebra aplicada a la resolución de problemas de la vida _________________ del imperio islámico
de entonces. La traducción de las palabras de al-Juarizmi describiendo los fines de su libro dan
cuenta de que el _______________ pretendía enseñar: “... aquello que es fácil y más útil en
aritmética, tal que los hombres lo requieren constantemente en casos de ________________,
legados, particiones, juicios, y comercio, y en todos sus tratos con los demás, o cuando se trata de la
mensura de ______________, la excavación de canales, cálculos geométricos, y otros objetos de
varias clases y tipos.”
(Fonte Internet: http://es.wikipedia.org/wiki/Al-Juarismi)
Lista de las palabras para rellenar los huecos:
ambiente – astronómicos – época – herencia – investigación – matemático – mitad – nacimiento –
padre – sabio – tierras
2) Completen la tabela siguiente:
Ecuación
ax2+bx+c=0
Coeficiente a Coeficiente b Coeficiente c Discriminante

Solución x1 Solución x2
x2-2x-3=0
4 12 9
x2-16=0
1 4 64

12. 3) Completen las afirmaciones siguientes por medio da las cuatro ecuaciones de segundo
grado listadas aquí más abajo.
a) La ecuación ______________________________ no tiene alguna solución en el conjunto de los
numeros reales.
b) La ecuación ______________________________ tiene dos soluciones, cuya suma es igual a – 6,
en el conjunto de los numeros reales.
c) La ecuación ______________________________ tiene dos soluciones coincidientes en el
conjunto de los numeros reales.
d) La ecuación ______________________________ tiene dos soluciones, cuya suma es igual a 6,
en el conjunto de los numeros reales.
Ecuaciones: a) x2 + 8x + 16 = 0 b) x2 + 6x + 16 = 0 c) x2 – 6x – 16 = 0 d) x2 + 6x – 16 = 0
4) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena
uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
5) Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años.
Calcula la edad de Pedro en la actualidad.
6) Ahora ustedes tienen que considerar la siguiente ecuación de segundo grado:
2x2 – 5x – 4 = 0.
Comprueben que sus raíces cumplen la igualdad: 4 ( x1 + x2 ) + 5 x1 x2 = 0.