La matematica de los romanos

La mat´matica de los romanos: una vindicaciń
e o

Paolo Caressa

26 de abr´ 2012
ıl

Departamento de Didćticas Espec´
a ıficas
Facultad de Formaciń del Profesorado y Educaciń
o o
´
Universidad Autonoma de Madrid

Paolo Caressa — Madrid, 26 de abr´ 2012
ıl La mat´matica de los romanos: una vindicaciń 1/ 55
e o

¿Porqu´ una vindicaci´n?
e o

Hasta casi todo el siglo xx, en todos los libros de historia de la
matem´tica se pod´ leer que la matem´tica, desde los Griegos, pas´ a los
a ıa a o
´
Arabes, mientras en el Occidente hubo un black-out de mil a˜os n

e o

e o

a ıa a o
´

En efecto:
Los Romanos tomaron sus conocimientos matem´ticos desde los
a
Griegos

e o

e o

a ıa a o
´

En efecto:
a
Griegos
Los Romanos no dieron contributos a la matem´tica deductiva
a

e o

e o

a ıa a o
´

En efecto:
a
Griegos
a
Pero:
Los Romanos utilizaron la matem´tica (como veremos)
a

e o

e o

a ıa a o
´

En efecto:
a
Griegos
a
Pero:
a
Los Romanos no impidieron a los matem´ticos de ejercitar su
a
actividad (hasta la difusi´n del Cristianismo)
o

e o

e o

a ıa a o
´

En efecto:
a
Griegos
a
Pero:
a
Los Romanos no impidieron a los matem´ticos de ejercitar su
a
actividad (hasta la difusi´n del Cristianismo)
o
Los matem´ticos “griegos” de los primeros siglos de la ´poca cristiana
a e
vivieron en el Imperio romano
e o

e o
Unos lugares comunes sobre la matem´tica y la ciencia de los Romanos
a

e o

e o
a

Los Romanos eran demasiado practicos y toscos para apreciar a la
matem´tica Griega
a

e o

e o
a

matem´tica Griega
a
Los Romanos no ten´ ninguna forma de ciencia
ıan

e o

e o
a

matem´tica Griega
a
ıan
Los Romanos fueron la causa del declino de la matem´tica griega
a

e o

e o
a

matem´tica Griega
a
ıan
Los Romanos fueron la causa del declino de la matem´tica griega
a
Los Romanos destruyeron la biblioteca de Alejandria

e o

e o

A pesar de todo eso...

e o

e o


Los Romanos empleavan la matem´tica griega y la estudiaban tal
a
c´mo la filosof´ griega (dific´ hacer una distinciń)
o ıa ıl o

e o

e o


a
o ıa ıl o
El empleo no se limitava a la ´lite culta pero era difuso
e

e o

e o


a
o ıa ıl o
e
La matem´tica y la ciencia helen´
a ıstica pudieron continuar a lo largo
del Imperio, hasta que el cristianismo devino religi´n unica
o ´

e o

e o


a
o ıa ıl o
e
La matem´tica y la ciencia helen´
a ıstica pudieron continuar a lo largo
del Imperio, hasta que el cristianismo devino religi´n unica
o ´

y por otra parte...

e o

¿C´mo pudiera ser posible todo eso?
o

Coliseo, Roma (50.000 espectadores, con ochenta ﬁlas de gradas)

e o

o

Puente del Gard, Francia (pendiente de 0, 4 % de grado: 34 cm cada km)

e o

o

Pantheon, Roma (c´pula: 43mt de di´metro y altura)
u a

e o

o

Via Appia, Roma–Brindisi (533 km)

e o

Los Romanos y la matem´tica seg´n muchos autores
a u

Los Romanos tienen una p´sima fama como matem´ticos: en efecto
e a
muchos estiman que fueron lor Romanos a causar la decadencia de la
ciencia griega

Thomas Heath (1921)
Eric Temple Bell (1937)
William Stahl (1962)
Morris Kline (1972)
Lucio Russo (1997)
...

Bell y Kline dependen de Heath...

e o

Thomas Little Heath (1861-1940)

e o

Mitolog´ romńtica de la matem´tica griega
ıa a a
...que, a su vez, depende de los fil´logos del siglo xix
o

Los grandes fil´logos del siglo xix sistematizaron las fuentes antiguas de la
o
matem´tica griega y al mismo tiempo fijaron sus interpretaciones, que
a
perduran hacia todo el siglo xx

e o

ıa a a
o

o
a

Esos grandes estudiosos, que viv´ en un mundo colonial de la Europa del
ıan
siglo xix, crearon tamb´en una “divinizaci´n” de los Griegos y de su
ı´ o
pensamiento, estableciendo una suerta de mitolog´ ıa

e o

ıa a a
o

o
a

Esos grandes estudiosos, que viv´ en un mundo colonial de la Europa del
ıan
siglo xix, crearon tambén una “divinizaciń” de los Griegos y de su
ı´ o
pensamiento, estableciendo una suerta de mitolog´ ıa

Mientras los estudiosos del siglo xviii divinizaron a los autores latinos (por
ejemplo Cic´ron y Sńeca), el siglo xix tiene una sensibilidad m´s cerca de
e e a
la del Renacimiento y vee en los autores de lengua griega el ´pice de la
a
cultura cl´sica
a

e o

Hieronymus Georg Zeuthen (1839-1920)

e o

Paul Tannery (1843-1904)

e o

Johan Ludvig Heiberg (1854-1928)

Heiberg redact´ la mayor´ de las
o ıa
obra de la matem´tica griega y sus
a
ediciones son aun hoy las canonicas
por las obras de casi todos los
matem´ticos antiguos de lingua
a
griega

Heiberg ´ justamente c´lebre por su
e e
descubrimiento de unos manuscritos
perdutos de Arqu´
ımedes

e o

Algunos mitos historiogr´ficos sobre la matem´tica griega
a a

El fervor de estos estudiosos contribuy´ a crear, inconscientemente, uno
o
mitos que ań perduran, sobre todo por tr´mite del celeb´rrimo libro de
u a e
Heath A History of Greek Mathematics del 1921 (ań disponible en el
u
cat´logo Dover) que es la fuente de muchos tratados de historia siguientes
a

e o

a a

o
u a e
u
a

Pit´goras y su escuela han descubierto todo lo que le se atribuye
a

e o

a a

o
u a e
u
a

a
Arqu´
ımedes utiliz´ los espejos ustorios para encendiar las naves
o
romanas

e o

a a

o
u a e
u
a

a
Arqu´
o
romanas
El “´lgebra geom´trica” en los libros de Euclides
a e

e o

a a

o
u a e
u
a

a
Arqu´
o
romanas
a e
Diofanto es el inventor del ´lgebra
a

e o

a a

o
u a e
u
a

a
Arqu´
o
romanas
a e
Diofanto es el inventor del ´lgebra
a
Los Griegos eran una raza de reﬁnados pensadores, todos los otros
eran supersticiosos (como Egipcios, Persas y Babilonios), toscos
(como los Romanos), y as´ siguiendo
ı

e o

¿Quiń eran los Griegos y los matem´ticos griegos?
e a

Es costumbre pensar a los atńieses de la ´poca cl´sica (v-iv siglo),
e e a
pero hubo tambiń una ´poca arcíca (viii-vi siglo) y una ´poca
e e a e
helen´
ıstica (iii-i siglo)

e o

e a

e e a
e e a e
helen´
... y hubo otras ciudades con otras tradiciones: Esparta, Thebe,
Corinth, las ciudades del Asia Menor y de la Magna Grecia

e o

e a

e e a
e e a e
helen´
Las ﬁguras de la Grecia arc´ica, como Tales de Mileto y Pit´goras de
a a
Samo, son semilegendarias y no sa sabe nunca de cierto, y las fuentes
son de muchos siglos despues

e o

e a

e e a
e e a e
helen´
a a
Muchos acontecimientos son de la ´poca cl´sica, de Plat´n y
e a o
Arist´teles...
o

e o

e a

e e a
e e a e
helen´
a a
Muchos acontecimientos son de la ´poca cl´sica, de Plat´n y
e a o
Arist´teles...
o
... pero los grandes matem´ticos (Euclides, Arqu´
a ımedes, Apolonio)
vivieron en la ´poca helen´
e ıstica

e o

El mundo griego cl´sico
a

e o

El mundo helen´
ıstico

e o

El esplendor del periodo helen´
ıstico

El Helenismo tiene sobre todo una conotaci´n cultural m´s que ´tnica
o a e
o pol´
ıtica: lor reinos helen´
ısticos eran multi´tnicos pero no
e
multicultural, en efecto la cultura era griega por lengua y
pensamiento (v´ase el libro de los Macabeos en la Bibla)
e

e o

ıstico

o a e
o pol´
e
e
El Helenismo es por lo tanto una prosecuci´n de la cultura griega
o
afuera de la Grecia, en todos los paises conquistados por Alejandro
Magno (356-323 a.C.)

e o

ıstico

o a e
o pol´
e
e
o
Magno (356-323 a.C.)
Los reinos helen´ ısticos no tenian una unidad sino en la cultura de sus
clases directivas

e o

ıstico

o a e
o pol´
e
e
o
Magno (356-323 a.C.)
Los reinos helen´ ısticos no tenian una unidad sino en la cultura de sus
clases directivas
La hibridaci´n de la cultura griega con las tradiciones locales (egipcia,
o
mesopot´mica, judia, etc.) dieron lugar a la temporada del helenismo,
a
en particular a la matem´tica como la entendemos hoy: axiomas y
a
teoremas, m´todo deductivo, modelos matem´ticos
e a

e o

El Imperio romano
Los reinos helen´
ısticos (con la importante excepciń del selúcida, que fue
o e
anexada por el Imperio sasńida) fueron conquistados o anexados por el
a
nacente Imperio romano en los siglos iii-i a.C.

e o

El Imperio romano vs el Imperio de Alejandro Magno

El Imperio romano era diferente al Imperio de Alejandro por muchos
rasgos:

Se fundava sobre una idea casi religiosa del poder de Roma, mientras
el Imperio de Alejandro se fundaba sobre el carisma individual de
Alejandro

e o


rasgos:

Alejandro
Era un imperio centralizado, cuyo centro cabal era la ciudad de Roma

e o


rasgos:

Alejandro
Era un imperio multicultural: los pueblos conquistados pudieran
mantener casi todos sus costumbres pero no su independencia pol´ıtica
o econ´mica
o

e o


rasgos:

Alejandro
o econ´mica
o
Ten´ una burocracia muy eﬁciente
ıa

e o


rasgos:

Alejandro
o econ´mica
o
Ten´ una burocracia muy eficiente
ıa
Sus dominios se desarrollavan al rededor del mar Mediterrńeo, y
a
tenian eficientes vias de comunicaciń cuyo centro era la capital del
o
Imperio

e o

Romanos y Griegos

Los Romanos se relacionaron con los Griegos no siempre de manera
conﬂictual: en particular, las ciudades griegas llamaron muchas veces a los
Romanos para defenderle contra los Macedonios (por ejemplo Tito Quincio
Flaminino (228-174 a.C.) proclam´ la libertad total de los griegos
o
´
continentales, en los Juegos Istmicos de 196 a.C.)

e o

Romanos y Griegos

o
´

Los Griegos por muchos aspectos preferieron la dominaciń romana a la
o
dominaciń macedonia, y tambiń por eso los Romanos se sintieron los
o e
herederos de la civilizaciń griega, mientras no fueron seducidos de la
o
civilizaciń helen´
o ıstica

e o

Romanos y Griegos

o
´

Los Griegos por muchos aspectos preferieron la dominaciń romana a la
o
dominaciń macedonia, y tambiń por eso los Romanos se sintieron los
o e
herederos de la civilizaciń griega, mientras no fueron seducidos de la
o
civilizaciń helen´
o ıstica

Aun si los Romanos eran orgullosos de su organizaciń pol´
o ıtica y de su
fuerza militar, se hicieron colonizar culturalmente por los Griegos
conquistados, como nos dice...

e o

Quinto Horacio Flaco (65-8 a.C.)

Famoso por su carpe diem,
escribi´ tambi´n la c´lebre frase
o e e
“Grecia cautiva a su salvaje
conquistador”

e o

Griegos y Hel´nicos
e

En la ´poca helen´
e ıstica en Grecia la ﬁlosof´ se interesava a la ´tica y a la
ıa e
ret´rica (estoicos y epic´reos) mientras en el los reinos helen´
o u ısticos se
cultivaban matem´tica, ´ptica y astronom´
a o ıa

e o

e

ıa e
o u ısticos se
a o ıa

“Muchos son de pastoreo en el populoso Egipto, ratones de biblioteca [la
de Alejandria] bien alimentados, que discuten interminablemente en la
pajarera del Museo”
(atribuida al griego Tim´n el Sil´grafo (320-230 a.C.)
o o

e o

e

ıa e
o u ısticos se
a o ıa

“Muchos son de pastoreo en el populoso Egipto, ratones de biblioteca [la
de Alejandria] bien alimentados, que discuten interminablemente en la
pajarera del Museo”
(atribuida al griego Tim´n el Sil´grafo (320-230 a.C.)
o o

Los Romanos eran muy interesados a la ﬁlosof´ griega, no a los autores de
ıa
lengua griega en los reinos helen´
ısticos que iban conquistando

e o

Marco Tulio Cicerń (106-43)
o

El hombre romano que, m´s que algń otro, difundi´ la cultura y la
a u o
filosofia griega a Roma

e o

Cic´ron cerra la cuestiń...
e o

“Con los Griegos la geometr´ era tenida en mucho respecto, y por
ıa
consecuencia ninguno era m´s honrado que un matem´tico, pero nosotros
a a
Romanos hemos limitado el campo de esta arte a la utilizaciń prćtica de
o a
medir y calcular”
(Disputaciones tusculanas, 1.2.5)

La interpretaciń clasica de esta frase es que los Romanos no eran
o
interesados a la matem´tica sino a medir y calcular: muchos autores de
a
historia de la matem´tica, como Kline, basan sobre este frase la non
a
existencia de la matem´tica romana
a

e o

Cic´ron cerra la cuestiń...
e o

“Con los Griegos la geometr´ era tenida en mucho respecto, y por
ıa
consecuencia ninguno era m´s honrado que un matem´tico, pero nosotros
a a
Romanos hemos limitado el campo de esta arte a la utilizaciń prćtica de
o a
medir y calcular”
(Disputaciones tusculanas, 1.2.5)

La interpretaciń clasica de esta frase es que los Romanos no eran
o
interesados a la matem´tica sino a medir y calcular: muchos autores de
a
historia de la matem´tica, como Kline, basan sobre este frase la non
a
existencia de la matem´tica romana
a

Pero otros interpretan ese frase como un reproche y no una alabanza

e o

... ¿o no?

Cicerń era muy interesado a la astronom´ (tradujo un tratado griego y
o ıa
escribi´ un libro de astrolog´ y en sus obras afirma que Arqu´
o ıa), ımedes fue
uno de los m´s grandes sabios de la antigëdad, y hizo restaurar la tomba
a u
de Arqu´ ımedes cuando era cuestor en Siracusa

e o

... ¿o no?

Cicerń era muy interesado a la astronom´ (tradujo un tratado griego y
o ıa
escribi´ un libro de astrolog´ y en sus obras afirma que Arqu´
o ıa), ımedes fue
uno de los m´s grandes sabios de la antigëdad, y hizo restaurar la tomba
a u
de Arqu´ ımedes cuando era cuestor en Siracusa

Escribe Serafina Cuomo Ancient Mathematics, 2001, p.198:

e o

Marco Fabio Quintiliano (39-95) de Calahorra

e o

De Institutione Oratoria (I.9)

“Todos confiesan que la Geometr´ no deja de ser util para la edad tierna;
ıa ´
pues conceden que con ella se ejercita el ńimo, se aguza el ingenio, y se
a
adquiere prontitud para discurrir; pero que aprovecha no como las dem´s a
artes, despu´s de aprendidas, sino mientras se aprende. Esta opiniń es
e o
propia de ignorantes. No Sin motivo los hombres m´s grandes se dieron
a
´ este estudio: porque constando la Geometr´ de n´meros y figuras, el
a ıa u
conocimiento de aqu´llos no s´lo es necesario al orador, sino ´ cualquiera,
e o a
que aprendi´ las primeras letras. Su uso es muy frecuente en las causas, en
o
las que se tiene por ignorante al orador, no digo cuando anda titubeando
en las sumas, sino si yerra el c´mputo con el movimiento incierto, y menos
o
apto de los dedos. El uso de las lineas y figuras tiene tambiń algń uso,
e u
puesto caso que tambiń hay pleitos sobre medidas y l´
e ımites. Pero tiene
uniń y parentesco con la oratoria por otra cierta razń. Primeramente el
o o
orden, de que no puede prescindir la Geometr´ ¿no es tambiń preciso en
ıa, e
la elocuencia? La Geometr´ asimismo de las premisas va deduciendo sus
ıa
consecuencias, y sienta los principios conocidos para probar lo que no ”
e o


“sabernos; ¿pues no hacemos esto mismo cuando peroramos? ¿Qu´ m´s? e a
Aquella conclusiń ultima do diferentes cuestiones propuestas ¿no consta
o ´
casi toda ella de silogismos? Motivo por el cual dicen algunos, que esta
arte es m´s parecida ´ la dialćtica que ´ la ret´rica. Pues el orador no
a a e a o
deja de probar su asunto ´lgunas veces, aunque raras, en la misma forma
a
que los dialćtico: pues si el caso lo pide, usa de silogismos, y sin duda
e
alguna se vale de entimemas, que son unos silogismos oratorios. En
conclusiń, entre todas las pruebas las m´s convincentes son, las que
o a
llamarnos demostraciones geom´tricas. ¿Y qu´ otra cosa m´s precisa en el
e e a
discurso que las pruebas? Tiene m´s la Geometr´ que por medio de la
a ıa,
demostraciń descubre la falsedad de una verdad aparente: y puntualmente
o
lo mismo sucede en los n´meros con las que llaman falacias del c´lculo, en
u a
las que me sol´ yo divertir cuando niõ. Pero hay otras cosas de mayor
ıa n
entidad. ¿Quiń no se tragar´ la verdad de este teorema? Si ”
e a

e o


“las extremidades de los lugares tienen una misma medida, ¿ha de ser
tambiń igual el espacio que abarcan sus l´
e ıneas? Pues es falso: porque va
´ decir mucho la figura, que tiene el ´mbito de un lugar, por donde los
a a
ge´metras reprenden ´ los historiadores que creen bastar el curso de la
o a
navegaciń para calcular la grandeza de una isla. Cuanto m´s perfecta es
o a
la figura tanto mayor es su capacidad. Por donde si la l´ınea exterior es
redonda, que es la figura m´s perfecta de las planas, abarcar´ m´s que
a a a
siendo cuadrada, aunque de igual extremidad. Asimismo el cuadrado
abarca m´s que el trińgulo, y el trińgulo equil´tero m´s que el escaleno.
a a a a a
Habr´ por ventura otros ejemplos m´s dificultosos de resolver; pero yo
a a
pondr´ uno muy proporcionado aun ´ los principiantes. No hay quien no
e a
sepa que la yugada consta de doscientos cuarenta pies de largo y la mitad
de ancho. Cuńto es lo que boja y el campo que ocupa fćil es de saber.
a a
Pero si damos ´ cada lado ciento ”
a

e o

“ochenta pies, quedando una ´rea cuadrada, con la misma extremidad
a
ocupar´ mayor espacio. Si alguno no quiere molestarse en hacer la
a
operaciń, lo entender´ m´s breve en n´meros menores. Diez pies por cada
o a a u
lado, hacen cuarenta en cuadro, y dentro ciento; pero si d´mos quince
a
´ dos de los lados, y cinco ´ los otros dos, siendo uno mismo el ´mbito, el
a a a
espacio ser´ una cuarta parte menos. Pero si los lados distan diez y nueve
a
pies uno de otro, no tendrń dentro m´s pies cuadrados que los que lienen
a a
de longitud; mas la l´
ınea exterior tendr´ el mismo ´mbito que cuando ten´
a a ıa
dentro cien pies cuadrados. Y cuanto se vaya quitando ´ la figura
a
cuadrada, otro tanta pierde la capacidad. De aqu´ resulta, que un lugar
ı
con circuito mayor abarque menor espacio. Esto en las figuras planas.
Porque en montes y valles, aun el m´s ciego ve que el terreno es mayor
a
que la parte de cielo que le cabe; No me paro ´ decir que la geometr´ se
a ıa
remonta hasta dar razń del mundo; pues, ense˜ńdonos con los n´meros
o na u
la regularidad y uniformidad del curso de los astros, nos hace ver que nada
hay que sea casual y sin providencia, lo que ´ las veces puede ser
a
conducente en la oratoria. ”
e o


“Por ventura cuando. Pericles quit´ ´ los atenienses el miedo que les
oa
caus´ un eclipse de sol, hacińdoles ver la causa; cuando Sulpicio Galo
o e
habl´ en presencia del ej´rcito de L. Paulo de otro eclipse de la luna, para
o e
que no se atemorizasen los soldados, tenińdole por milagro, ¿no hicieron
e
oficio de oradores? Lo que si hubiera entendido Nicias en la Sicilia,
seguramente no hubiera sacrificado la flor del ej´rcito de los atenienses,
e
despavoridos con este prodigio; as´ como no se asust´ Diń en semejante
ı o o
lance, cuando vino ´ destruir al tirano Dionisio: Sirvan enhorabuena estos
a
ejemplos para la milicia; y pasemos en silencio, que s´lo la pericia de
o
Arqu´ımedes prolong´ el asedio de Zaragoza de Sicilia. Lo que m´s hace
o a
´ nuestro prop´sito es que con aquellas demostraciones de la geometr´ se
a o ıa
resuelven no pocas cuestiones, que de otro modo eran indisolubles, v. gr.:
del modo de hacer la divisiń; d´ la divisiń infinita; de la prontitud en
o e o
aumentar. De forma que habiendo el orador de hablar de todas materias,
no puede pasar sin la geometr´ ”ıa.

e o

Entonces, a pesar de los lugares comunes:

Es verdadero que no hubo matem´ticos romanos y no hay teoremas
a
descibiertos por lor romanos, pero lo mismo se puede decir por la
matem´tica egipcia, babilonesa, china, etc´tera
a e

e o


a
a e
El Imperio Romano dio la oportunidad a muchos estudiosos de
efectuar su investigaciones (Tolomeo, Her´n, Diofanto, etc´tera): por
o e
ejemplo Tolomeo se vali´ de la red viaria del Imperio por su c´lebre
o e
libro de geograf´
ıa

e o


a
a e
o e
o e
libro de geograf´
ıa
Los Romanos utilizaron las nociones de matem´tica por sus obras de
a
ingenier´ y arquitectura: por ejemplo las calles, y no se puede
ıa
administrar un imperio sin la aritmetica (por ejemplo los Incas no
conoc´ la escritura pero sab´ efectuar operaciones aritm´ticas por
ıan ıan e
medio de los quipus)

e o


a
a e
o e
o e
libro de geograf´
ıa
Los Romanos utilizaron las nociones de matem´tica por sus obras de
a
ingenier´ y arquitectura: por ejemplo las calles, y no se puede
ıa
administrar un imperio sin la aritmetica (por ejemplo los Incas no
conoc´ la escritura pero sab´ efectuar operaciones aritm´ticas por
ıan ıan e
medio de los quipus)
Los Romanos desarrollaron un concepto de ley natural ligado a la
ret´rica, que se halla en Lucrecio (i a.C.) y S´neca (i d.C.) por
o e
ejemplo

e o

¿De qu´ matem´tica hablamos?
e a

Si hablamos de la matem´tica en el sentido moderno del t´rmino, antes
a e
del Renacimiento solo los helen´
ıstico y los ´rabes hizo matem´tica...
a a

e o

e a

a e
a a

Pero hubo una matem´tica antigua no deductiva sino algor´
a ıtmica, hecha
por los Babilonio, Egipcios, Indios, Chinos y Mayas (¡y tambi´n por los
e
Griegos!)

e o

e a

a e
a a

a ıtmica, hecha
e
Griegos!)

Una matem´tica de medidas, c´lculos y procedimientos expresados no de
a a
manera general sino por ejemplos y algor´ıtmos: en suma intuit´ y no
ıva
formal, algor´
ıtmica y no deductiva, pr´ctica y no te´rica
a o

e o

e a

a e
a a

a ıtmica, hecha
e
Griegos!)

a a
ıva
formal, algor´
a o

... exactamente como la matem´tica de los Romanos
a

e o

e a

a e
a a

a ıtmica, hecha
e
Griegos!)

a a
ıva
formal, algor´
a o

... exactamente como la matem´tica de los Romanos
a
Vamos ﬁnalmente a ver unos ejemplos de matem´tica romana
a
e o

La primera calculadora de bolsillo...

Los ´bacos eran conocidos por Babilonios, Egipcios y Griegos, pero los
a
Romanos hicieron estos peque˜os ´bacos que pudieran ser transportados y
n a
empleados durante viajes: el sistema de numeraci´n de los ´bacos es
o a
posicion´l
a
e o

Matem´tica y guerra
a

Los Romanos eran de seguro un pueblo de guerreros, y empleaban, detr´s a
su ej´rcito, la ciencia y la tćnica por ganar las batallas: no solo los
e e
legionarios era tambiń capaz de construir trincheras, torres de madera,
e
etc´tera, y no solo hubo arquitectos y ingenieros militares, pero tambiń se
e e
utilizaban tćnicas matem´ticas, como la criptograf´
e a ıa

e o

a

Los Romanos eran de seguro un pueblo de guerreros, y empleaban, detr´s a
su ej´rcito, la ciencia y la tćnica por ganar las batallas: no solo los
e e
legionarios era tambiń capaz de construir trincheras, torres de madera,
e
etc´tera, y no solo hubo arquitectos y ingenieros militares, pero tambiń se
e e
utilizaban tćnicas matem´ticas, como la criptograf´
e a ıa

En efecto empleaban un cl´sico sistema criptogr´fico, llamado cifrado
a a
C´sar, basado sobre sustituciń de letras trasladas por n puestos en el
e o
orden alfab´tico: por ejemplo con n = 4
e

A B C D ... W X Y Z
D E F G ... Z A B C
la palabra Roma se convierte en Urpd

e o

a

Otra t´cnica, mencionada por el griego Polibio (ii siglo a.C.), permite
e
transmitir mensajes a distancia

e o

a

e

1 2 3 4 5
1 A B C D E
2 F G H I K
3 L M N O P
4 Q R S T U
5 V W X Y Z
Por ejemplo: matematica =⇒ 32, 11, 44, 15, 32, 11, 44, 24, 13, 11.

e o

a

e

1 2 3 4 5
1 A B C D E
2 F G H I K
3 L M N O P
4 Q R S T U
5 V W X Y Z
Por ejemplo: matematica =⇒ 32, 11, 44, 15, 32, 11, 44, 24, 13, 11.

Un legionario con 5 linternas pudiera transmitir esta secuencia de una torre
a una otra, aun distante

e o

Matem´tica en la vida p´blica
a u

En la sociedad romana, especialmente en el Imperio, los c´lculos eran
a
importantes por la vida p´blica, as´ que exist´ unos funcioncionarios que
u ı ıan
mediban y calculaban oﬁcialmente por el estado o por pericias privadas

e o

a u

a
u ı ıan

Numerarius, tabularius, rationales y scribae eran diferentes niveles de estos
funcionarios que ten´ un rol importante en la vida p´blica: luego hubo
ıan u
calculatores y geometras

e o

a u

a
u ı ıan

Numerarius, tabularius, rationales y scribae eran diferentes niveles de estos
funcionarios que ten´ un rol importante en la vida p´blica: luego hubo
ıan u
calculatores y geometras

En el Edicto sobre Precios M´ximos del 301, Diocleciano (244-311)
a
intent´ fijar los precios de productos y prestaciones, y hay las
o
remuneraciones de maestros y tćnicos: de ellas vemos que quien ten´
e ıa
conocimientos de matem´tica era estimado como muy calificado e
a
importante

e o

a u

En el Edicto se leen las remuneraciones de los maestros de varias
disciplinas: los de geometr´ reciben lo mismo que los de griego, latin y
ıa
literatura, solo los maestros de ret´rica y los abodagos y juristas reciben
o
m´s, 250 denarios al mes en vez de 200
a
e o

Matem´tica y Astrolog´
a ıa

Otra aplicaciń importante era la compilaciń de calendario oficiales y
o o
relojes de sol: las ceremonias en el mundo romano eran muy importantes,
y el concepto de religio ten´ un sentido viril y legal, no simplemente de
ıa
creencia religiosa

e o

a ıa

o o
ıa
creencia religiosa

Tambiń la astrolog´ que hoy no se puede considerar entre las ciencias,
e ıa,
en la ´poca imperial era una de las disciplinas que requir´ conocimientos
e ıan
matem´ticos: Claudio Tolomeo (ii siglo d.C.), el gran astrńomo y
a o
geom´tra, tambiń se interesaba de astrolog´ y replicaba a los
e e ıa,
detractores de esa “ciencia” que no se puede culpar una doctrina si hay
charlatanos que la practican

e o

a ıa

o o
ıa
creencia religiosa

Tambiń la astrolog´ que hoy no se puede considerar entre las ciencias,
e ıa,
en la ´poca imperial era una de las disciplinas que requir´ conocimientos
e ıan
matem´ticos: Claudio Tolomeo (ii siglo d.C.), el gran astrńomo y
a o
geom´tra, tambiń se interesaba de astrolog´ y replicaba a los
e e ıa,
detractores de esa “ciencia” que no se puede culpar una doctrina si hay
charlatanos que la practican

Otro autor que abog´ la “astrolog´ matem´tica” fue Julio F´
o ıa a ırmico
Materno (iv siglo d.C.), que escribi´ en la ´poca tardoimperial, cuando
o e
“matem´tico” era sinńimo de “astr´logo”, y por lo tanto la matem´tica
a o o a
era identificada por los cristianos con el paganismo y la herej´
ıa
e o

Los agrimensores

El t´rmino geometr´ significa medida de tierra, o sea “agrimensura”, y en
e ıa
efecto este es el sentido en el cual los Romanos la intend´ ań si la
ıan: u
tradiciń de los agrimensores remonta a los Egipcios y a los Babilonios,
o
bajo los Romanos la agrimensura devino una profesiń oficial y muy
o
estimada

e o

Los agrimensores

e ıa
ıan: u
o
o
estimada

Los agrimensores romanos, mensores, atendeban a muchas ocupaciones:
trazaban los l´
ımites de campos, eran ´rbitros de controversias sobre
a
conﬁnes, eran maestros de geometr´ y geodesia. Estas actividades duraron
ıa
a lo largo de todo el Impero, hasta el siglo vi d.C.

e o

Los agrimensores

e ıa
ıan: u
o
o
estimada

Los agrimensores romanos, mensores, atendeban a muchas ocupaciones:
trazaban los l´
ımites de campos, eran ´rbitros de controversias sobre
a
conﬁnes, eran maestros de geometr´ y geodesia. Estas actividades duraron
ıa
a lo largo de todo el Impero, hasta el siglo vi d.C.

Las nocciones de agrimensura romana son resumidas en el Corpus
Agrimensorum Romanum que trata sea de los aspectos legales que de los
aspectos t´cnicos, con muchas partes dedicadas a la geometr´ en
e ıa,
particular a la geometr´ de Euclides
ıa

e o

Los agrimensores en cuanto tćnicos
e

Los agrimensores eran sea juristas, sea tćnicos, sea maestros y te´ricos:
e o
en cuanto tćnicos se ocupaban de la centuriaciń o sea de la division de
e o
la tierra en figuras geom´tricas omogeneas para una asignaciń o otro fin
e o

(centuriaciń in Africa proconsularis)
o
e o

e

(groma, un instrumento de los agrimensores)

e o

e

Sexto Julio Frontino (40-103) es c´lebre por su obra sobre los acueductos
e
de Roma: en esta hubo como modelo el Sobre la arquitectura de Vitruvio,
que a su vez habla de la tradici´n matem´tica helen´
o a ıstica, citando
Arqu´
ımedes y Apolonio

e o

e

e
Arqu´
ımedes y Apolonio

As´ Frontino se coloca entre agrimensura, arquitectura e ingenieria
ı

e o

e

e
Arqu´
ımedes y Apolonio

As´ Frontino se coloca entre agrimensura, arquitectura e ingenieria
ı

Marco Vitruvio Poli´n (i siglo a.C.) es una fuente importante de
o
informaciones por la matem´tica antigua y griega en particular: otro
a
importante estudioso fue Marco Terencio Varr´n (116-27 a.C.) que
o
escribi´ de muchas disciplinas y cuyo libro de geometr´ es perdido y
o ıa
sobrevive en unos fragmentos

e o

Los agrimensores en cuanto te´ricos
o

En el Corpus Agrimensorum es evidente que los mensores hablan de
s´ mismos como de una ´lite tćnica, cuy´ istrucciń ten´ que comprender
ı e e a o ıa
filosof´ geograf´ y matem´tica
ıa, ıa a

e o

o

ı e e a o ıa
ıa, ıa a

Por ejemplo una de las menciones del Contador de arena de Arqu´
ımedes se
halla en la obra de Higino Grom´tico (´poca de Trajano)
a e

e o

o

ı e e a o ıa
ıa, ıa a

ımedes se
a e

Otro mensor bajo Trajano fue Balbus, que combati´ bajo Trajano, y
o
escribi´ un tratado donde se hallan las nocciones de geometr´ euclidiana
o ıa
por primera vez escritas en latin

e o

o

ı e e a o ıa
ıa, ıa a

ımedes se
a e

Otro mensor bajo Trajano fue Balbus, que combati´ bajo Trajano, y
o
escribi´ un tratado donde se hallan las nocciones de geometr´ euclidiana
o ıa
por primera vez escritas en latin

Marco Junio Nipsus (ii d.C.) propone muchos problema geom´tricos, y
e
tambi´n m´dotos de triangulaci´n por medir distancias de objetos
e e o
inacessibles

e o

Ejemplo de Marco Junio Nipsus

“Por un trińgulo rectńgulo cuyo cateto y base sumados sean 23 pies y el
a a
´rea es 60 pies y la hipotenusa de 17 pies, as´ se pueden hallar cateto y
a ı
base. Se multiplique la hipotenusa por s´ misma. Hace 289. Restamos
ı
cuatro ´reas de este, que hace 240. El resto es de 49. De este tomamos la
a
raiz cuadrata, que es 7. Sumamola al cateto y base, o sea a 23 pies. Hace
30 pies. Tomamos la mitad. Hace 15 pies. Esta es la base. [...] el cateto es
8 pies.”

Como se vee la descripciń matem´tica es de natura algor´
o a ıtmica y no
deductiva, como en el caso de los Babilonios, Egipcios, etc´tera
e

e o

Otro ejemplo de Marco Junio Nipsus

Esto lo explicamos en notaci´n moderna: si a, b y c son los lados de un
o
tri´ngulo cualquiera, determinar su area
a

e o


o
a

p p p p
area = −a −b −c
2 2 2 2
siendo p = a + b + c.

e o


o
a

p p p p
area = −a −b −c
2 2 2 2
siendo p = a + b + c.

Esta es la f´rmula de Her´n
o o

e o

Lucius Junius Moderatus Columela (4-70)

e o

Ejemplo de Columela

Hallar el ´rea del arco de circunferencia limitado por una cuerda
a

Columela emplea la f´rmula
o
AB + MC 1
´rea =
a MC + AM 2
2 14

e o

La matematica de los romanos

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