2. Asignatura: Matemática 1° Medio
PLAN N° 13 - GUIA DE DESARROLLO N° 13
Profesor/a Cristina Venegas Rojas Curso 1° Medio A-B -C
Medio de Comunicación del
Docente.
dua.p.cvenegas@snaeduca.cl Unidad Algebra
Fecha de entrega y /o envío del
trabajo al estudiante
05/10/2020 Fecha de devolución y/o envío
del trabajo al profesor
13/10/2020
CORPORACIÓN EDUCACIONAL
SOCIEDAD NACIONAL DE AGRICULTURA
ESCUELA AGRÍCOLA “SAN JOSÉ” DE DUAO
OA 4
Resolver sistemas de ecuaciones lineales (2x2) relacionados con problemas de la vida diaria y de otras
asignaturas, mediante representaciones gráficas y simbólicas, de manera manual y/o con software educativo
Aprendizaje/s Esperado/s El alumno/a aplica y resuelve sistemas de ecuaciones lineales por el método de :
Igualación y Cramer.
Instrucciones Generales
para el desarrollo de la/s
actividad/es
Instrucciones: Desarrolle los ejercicios que aparecen en la guía, apoyando en los ejemplos que aparecen y en
los siguientes links:
https://www.youtube.com/watch?v=v2hVIibopr4
https://www.youtube.com/watch?v=jZIk90KQo6s
https://www.youtube.com/watch?v=EKRDS9rh9KU
Después de realizado su trabajo enviar su desarrollo al correo dua.p.cvenegas@snaeduca.cl a más tardar el
día martes 13 de septiembre para su revisión, las respuestas las puede desarrollar en un informe en hojas de
papel o de manera digital en la misma guía, además deben estar en la carpeta de trabajos de matemáticas.
Cualquier duda pueden realizarla al correo que aparece más arriba o al WhatsApp +56997440575.
3. Sistemas de ecuaciones
En matemáticas, un sistema de
ecuaciones algebraicas es un conjunto
de dos o más ecuaciones con más de
una incógnita que conforman un
problema matemático que consiste en
encontrar los valores de las incógnitas
que satisfacen dichas operaciones.
4. Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas,
x e y, tiene las siguientes representaciones:
Donde x e y son las incógnitas, y a,b,c,d,e y f son
coeficientes reales (ℝ).
Las incógnitas establecidas en un sistema representan el
punto donde se intersectan las rectas en un plano
cartesiano (x,y).
5. Métodos de resolución de
sistemas de ecuaciones lineales
Existen distintos métodos para resolver sistemas de
ecuaciones lineales y estos son:
Reducción
Sustitución
Igualación
Cramer
Ya se trabajaron en la guía anterior Reducción y
sustitución, así que ahora se trabajarán los métodos de
Igualación y Cramer.
6. El método de igualación:
Este método consiste en despejar la misma incógnita
en las dos ecuaciones y después igualar los
resultados. En primer lugar, elegimos la incógnita que
deseamos despejar. En este caso, empezaré por la «x» y
despejo la misma en ambas ecuaciones.
7. Método de igualación
X + y = 48 Despejamos x = 48 - y
X – 3y = 4 x = 4 + 3y
-y +48 = 3y +4
-y – 3y = 4 -48 x = 48 - y
-4y = -44 x = 48 - 11
y = -44/-4 x = 37
y = 11
X = 37
Y = 11
8. Ejemplos:
2x + 4y = 10
x + 3y = 7
Podemos despejar cualquiera de las 2 variables en este
caso hemos elegido x. Recuerda en cada una de las
ecuaciones.
2x + 4y = 10 x =
10 −4𝑦
2
x + 3y = 7 x = 7 – 3y
Podemos observar que ambas ecuaciones están igualadas
con la incógnita x, así que por transitividad decimos que:
Si x =
10 −4𝑦
2
y x = 7 – 3y, entonces
10 −4𝑦
2
= 7 – 3y
9. Podemos observar que ahora solo nos queda una ecuación con una
sola variable, la cual podemos simplificar y despejar, obteniendo:
Ahora sustituimos el valor de y en cualquiera de las 2 ecuaciones
para obtener el valor de x.
X + 3(2) = 7
X + 6 = 7
X = 7 – 6
X = 1
10 − 4𝑦
2
= 7 − 3𝑦
10 – 4y = 2(7 – 3y)
10 – 4y = 14 – 6y
-4y + 6y = 14 -10
2y = 4
y = 2
11. Método de Cramer
Sistema de Ecuaciones 2×2 – Regla de Cramer
(Método de las Determinantes)
Recordemos que los Sistemas de Ecuaciones Lineales
2×2 son aquellos que se componen de dos ecuaciones
con dos incógnitas, y existen varios métodos para llegar
a su solución en caso de existir.
Vamos a solucionar el siguiente sistema de ecuaciones
lineales 2×2:
12. Antes de iniciar con el paso a paso de este método, es
pertinente recordar qué es una matriz 2×2 y qué es un
determinante.
Una matriz 2×2 no es más que un arreglo de
elementos que posee dos columnas y dos filas
13. Y un determinante de una matriz 2×2 consiste en
restar el producto de las diagonales de la matriz:
Veamos que sí es la resta del producto de las
diagonales:
14. Método de las determinantes (Regla de Cramer)
Paso 1. Se prepara la matriz de los coeficientes y se halla el
determinante.
Identificamos los coeficientes de las incógnitas y construimos
la matriz M con ellos:
Calculamos su determinante:
Bien, ya tenemos que el determinante de la matriz de
coeficientes es -7
:
15. Paso 2. Se prepara la matriz de la incógnita x, y se halla el
determinante
La matriz de la incógnita X es la misma matriz de
coeficientes con una diferencia. En lugar de colocar los
coeficientes de X, se ubican los valores numéricos que
quedaron al otro lado de las ecuaciones.
Veamos:
16. Ya con esto tenemos la Matriz de X, y procedemos a
calcular su determinante:
El determinante de la Matriz X es -49
17. Paso 3. Se prepara la matriz de la incógnita y, y se halla
el determinante
La matriz de la incógnita Y es la misma matriz de
coeficientes con una diferencia. En lugar de colocar los
coeficientes de Y, se ubican los valores numéricos que
quedaron al otro lado de las ecuaciones.
Veamos:
18. Ya con esto tenemos la Matriz de Y, y procedemos a
calcular su determinante:
El determinante de la Matriz Y es -14
19. Paso 4. Hallamos el valor de las incógnitas.
El valor de Y va a ser igual al determinante de la matriz
Y dividido en el determinante de la matriz de
coeficientes:
El valor de X va a ser igual al determinante de la matriz
X dividido en el determinante de la matriz de
coeficientes:
Resolvemos:
20. Paso 5. Verificación de la solución del sistema.
Nuestra solución:
Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las
incógnitas en ambas ecuaciones con la finalidad de verificar que se
cumpla la igualdad en ambos casos:
Se verifica que la solución del sistema si satisface ambas
ecuaciones.
21. Actividad N° 2 Guía 13
Desarrolle los siguientes ejercicios utilizando el
método de Cramer.
x -3y = 2 x + y = 1
x + 5y = 10 2x + y = 0
3x + 4y = 5 x – 5y = 8
x – 9y = -2 -7x + 8y =25
22. Resolución de problemas con
sistemas de ecuaciones
Para resolver problemas en los que se plantee un sistema de
ecuaciones, debemos seguir estos pasos:
1.º Leer atentamente el enunciado, e identificar las
incógnitas.
2.º Traducir el enunciado en varias ecuaciones.
3.º Resolver el sistema e interpretar la solución.
23. Ejemplo:
La suma de la edad de dos niños es 4 años. Si la edad del primero sumada al
triple de la edad del segundo es 10 años. ¿Qué edad tiene cada niño?
Pasos:
1.º Leer atentamente el enunciado, e identificar las incógnitas.→ Números
pedidos, x e y
2.º Traducir el enunciado en varias ecuaciones.
La suma de la edad de dos niños es 4 años → x + y = 4
la edad del primero sumada al triple de la edad del segundo es 10 años →
x + 3y =
10
3.º Resolver el sistema e interpretar la solución.
x+y = 4
x+3y = 10
Utilizamos el método de reducción
Respuesta: Las edades son : 1 y 3 años
24. Ahora resuelva ud. los siguientes problemas siguiendo
las indicaciones planteadas en la diapositiva anterior.
1).- Encontrar dos números cuya suma sea 45 y cuya resta
sea 21.
2).- Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma
de las cifras es 12 y que la primera de ellas es el triple de
la segunda.
3).- Alberto y su padre se llevan 25 años de edad.
Calcular la edad de Alberto sabiendo que dentro de 15
años la edad de su padre será el doble que la suya.
26. Para esta guía se evaluará presentación
(25%) y puntualidad en la entrega(25%) .
Cualquier duda pueden llamar al
número que aparece en el encabezado de
la guía.
Por favor enviar solo diapositivas con
actividades.
Gracias.
