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1.
MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Ferdinand
P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek Lecture Notes: Brock E. Barry U.S. Military Academy CHAPTER Copyright © 2015 McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. 2 Esfuerzo y Deformación – Carga Axial
2.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Contents Stress & Strain: Axial Loading Normal Strain Stress-Strain Test Stress-Strain Diagram: Ductile Materials Stress-Strain Diagram: Brittle Materials Hooke’s Law: Modulus of Elasticity Elastic vs. Plastic Behavior Fatigue Deformations Under Axial Loading Concept Application 2.1 Sample Problem 2.1 Static Indeterminate Problems Concept Application 2.4 Problems Involving Temperature Change Poisson’s Ratio Multiaxial Loading: Generalized Hooke’s Law Dilatation: Bulk Modulus Shearing Strain Concept Application 2.10 Relation Among E, n, and G Composite Materials Sample Problem 2.5 Saint-Venant’s Principle Stress Concentration: Hole Stress Concentration: Fillet Concept Application 2.12 Elastoplastic Materials Plastic Deformations Residual Stresses Concept Applications 2.14, 2.15, 2.16 2 - 2
3.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzo y Deformación: Carga Axial 2 - 3 • La idoneidad de una estructura o máquina puede depender de las deformaciones en la estructura, así como de las tensiones inducidas bajo la carga. Los análisis estáticos por sí solos no son suficientes. • Considerar las estructuras como deformables permite determinar las fuerzas y reacciones de los miembros que son estáticamente indeterminadas. • La determinación de la distribución de esfuerzos dentro de un miembro también requiere la consideración de deformaciones en el miembro. • El Capítulo 2 se ocupa de la deformación de un miembro estructural bajo carga axial. Los capítulos posteriores se ocuparán de las cargas de torsión y de flexión pura.
4.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzo Normal 2 - 4 strain normal stress L A P Fig. 2.1 Varilla cargada axialmente sin deformar y deformada. L A P A P 2 2 Fig. 2.3 Se requiere el doble de carga para obtener la misma deformación cuando se duplica el área de la sección transversal.. L L A P 2 2 Fig. 2.4 La deformación se duplica cuando se duplica la longitud de la varilla manteniendo la carga P y el área de la sección transversal A.
5.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Ensayo Esfuerzo-Deformación 2 - 5 Photo2.2 Máquina de ensayo universal utilizada para ensayar probetas de tracción. Photo 2.3 Probeta de ensayo de tracción alargada con carga P y longitud deformada L > L0.
6.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Diagrama Esfuerzo-Deformación: Material Ductil 2 - 6 Photo 2.4 Ductile material tested specimens: (a) with cross-section necking, (b) ruptured. Fig. 2.6 Stress-strain diagrams of two typical ductile materials.
7.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Diagrama Esfuerzo-deformación: materiales frágiles 2 - 7 Fig 2.7 Stress-strain diagram for a typical brittle material. Photo 2.5 Ruptured brittle materials specimen.
8.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Hooke’s Ley: Modulo de Elasticidad 2 - 8 • Por debajo del límite elástico Elasticity of Modulus or Modulus Youngs E E • La resistencia se ve afectada por la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de fabricación, pero la rigidez (módulo de elasticidad) no. Fig 2.11 Stress-strain diagrams for iron and different grades of steel.
9.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Elastico vs. Plastico Comportamiento 2 - 9 • Si la deformación desaparece cuando se elimina la tensión, se dice que el material se comporta elásticamente. • Cuando la deformación no vuelve a cero después de eliminar la tensión, se ha producido una deformación plástica del material.. • El mayor esfuerzo para el que esto ocurre se llama límite elástico.. Fig. 2.13 Stress-strain response of ductile material load beyond yield and unloaded.
10.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Fatiga 2 - 10 • Las propiedades de fatiga se muestran en -N diagramas. • Cuando el esfuerzo se reduce por debajo del límite de resistencia, las fallas por fatiga no ocurren durante ningún número de ciclos • Un elemento puede fallar debido a la fatiga a niveles de tensión significativamente inferiores a la resistencia última si se somete a muchos ciclos de carga. Fig. 2.16 Typical -n curves.
11.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek CONSIDERACIONES DE DISEÑO
12.
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McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Deformations Under Axial Loading 2 - 12 AE P E E • De Hooke’s Ley: • De la definición de Esfuerzo: L • Resolviendo para deformación, AE PL • Con variación en la carga, sección transversal o propiedades de los materiales, i i i i i E A L P Fig. 2.17 Undeformed and deformed axially-loaded rod.
13.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Ejemplo 2 - 13 Determine la deformación de la varilla de acero que se muestra bajo las cargas dadas. psi 10 29 6 E SOLUCION: • Divida la varilla en componentes en los puntos de aplicación de carga. • Aplicar un análisis de cuerpo libre en cada componente para determinar la fuerza interna • Evalúe el total de las defermaciones de los componentes.
14.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek 2 - 14 SOLUTION: • Divide la varilla en tres componentes: 2 2 1 2 1 in 9 . 0 in. 12 A A L L 2 3 3 in 3 . 0 in. 16 A L • Aplique el análisis de cuerpo libre a cada componente para determinar las fuerzas internas, lb 10 30 lb 10 15 lb 10 60 3 3 3 2 3 1 P P P • Evaluar la deformación total, in. 10 9 . 75 3 . 0 16 10 30 9 . 0 12 10 15 9 . 0 12 10 60 10 29 1 1 3 3 3 3 6 3 3 3 2 2 2 1 1 1 A L P A L P A L P E E A L P i i i i i in. 10 9 . 75 3 Ejemplo:
15.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Ejemplo: 2 - 15 La barra rígida BDE está soportada por dos eslabones AB y CD. El eslabón AB está hecho de aluminio (E = 70 GPa) y tiene un área de sección transversal de 500 mm2. El enlace CD está hecho de acero (E = 200 GPa) y tiene un área de sección transversal de (600 mm2). Para la fuerza de 30 kN que se muestra, determine la deformación (a) de B, (b) de D y (c) de E. SOLUCION: • Aplique un análisis de cuerpo libre a la barra BDE para encontrar las fuerzas ejercidas por los vínculos AB y DC. • Evalúe la deformación de los elementos AB y DC o los desplazamientos de B y D. • Calcule la geometría para encontrar la deflexión en E dadas las deflexiones en B y D.
16.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek 2 - 16 Free body: Bar BDE n compressio F F F tension F F F M AB AB AB CD CD CD B kN 60 kN 60 m 2 . 0 m 4 . 0 kN 30 0 0 M kN 90 kN 90 m) 2 . 0 ( m 6 . 0 ( kN) 30 0 0 D SOLUTION: Displacement of B: m 10 514 Pa 10 70 m 10 500 m 3 . 0 N 10 60 6 9 2 6 - 3 AE PL B mm 514 . 0 B Displacement of D: m 10 300 Pa 10 200 m 10 600 m 4 . 0 N 10 90 6 9 2 6 - 3 AE PL D mm 300 . 0 D Ejemplo
17.
Copyright © 2015
McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek 2 - 17 Displacement of D: mm 7 . 73 mm 200 mm 0.300 mm 514 . 0 x x x HD BH D D B B mm 928 . 1 E mm 928 . 1 mm 7 . 73 mm 7 . 73 400 mm 300 . 0 E E HD HE D D E E Ejemplo
18.
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19.
Copyright © 2015
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20.
Copyright © 2015
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21.
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McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek 2 - 21 • Requerir que los desplazamientos debidos a las cargas y debidos a la reacción redundante sean compatibles, kN 577 N 10 577 0 10 95 . 1 10 125 . 1 0 3 3 9 B B R L R E R E • Encuentre la reacción en A debido a las cargas y la reacción en B kN 323 kN 577 kN 600 kN 300 0 A A y R R F kN 577 kN 323 B A R R Concept Application 2.4
22.
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McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Problems Involving Temperature Change 2 - 22 • Un cambio de temperatura da como resultado un cambio en la longitud o esfuerzo térmico. No hay esfuerzo asociado con la deformación térmica a menos que los apoyos restrinjan el alargamiento. expansion thermal of t coefficien AE PL L T P T • Trate el soporte adicional como redundante y aplique el principio de superposición. 0 P T • La deformación térmica y la deformación del soporte redundante deben ser compatibles. T E A P T AE P AE PL L T 0 Fig. 2.26 (partial) Fig. 2.27 Método de superposición para encontrar la fuerza en el punto B de la barra restringida AB que experimenta expansión térmica. (a) Longitud inicial de la varilla; (b) longitud de la barra expandida térmicamente; (c) la fuerza P empuja el punto B de vuelta a la deformación cero.
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McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Ejemplo • Problema estáticamente indeterminado, se desprende la barra de su soporte en B y se deja pasar por el cambio de temperatura. • La deformación correspondiente es: • Se aplica la Fuerza desconocida RB
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McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek EJEMPLO • Por equilibrio estático: • Después de la aplicación de la Carga de los 10kips la posición de la barra es A’BC’D’, : por triángulos semejantes tenemos
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McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek EJEMPLO De la ecuación de deformación Sabemos que: Por sustitución tenemos:
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McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek EJEMPLO Sustituimos FCE en la ecuación por equilibrio estático: Hallamos la deflexión en el punto D:
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McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek EJEMPLO Se utiliza el método de superposición considerando a RB como redundante:
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McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Debido al incremento de Temperatura de 50 deg – 20 deg= 30 deg, la longitud del cilindro del latón aumenta en :
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McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek EJEMPLO Hallamos la deflexión: De la primera ecuación por estática tenemos que:
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McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display. MECHANICS OF MATERIALS Seventh Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek RELACION DE POISSON (n) Para un material homogéneo e isotrópico se pueden relacionar la deformación lateral con la axial mediante la relación de poisson.
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