Enviar pesquisa
Carregar
Matrices
•
0 gostou
•
1,288 visualizações
Cesar Mendoza
Seguir
Denunciar
Compartilhar
Denunciar
Compartilhar
1 de 17
Baixar agora
Baixar para ler offline
Recomendados
Matrices matematica
Matrices matematica
Carlitos Avila
Matrices
Matrices
Veronica Real
Matrices
Matrices
Myriam Chavez
Semana 1 Matrices I
Semana 1 Matrices I
guest6e7d8d4
Módulos algebra de matrices (1)
Módulos algebra de matrices (1)
Rudy Medina
Matrices+y+determinantes 1
Matrices+y+determinantes 1
Enamorando a mi Novia
Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
algebra
Matrices
Matrices
cesarelo
Recomendados
Matrices matematica
Matrices matematica
Carlitos Avila
Matrices
Matrices
Veronica Real
Matrices
Matrices
Myriam Chavez
Semana 1 Matrices I
Semana 1 Matrices I
guest6e7d8d4
Módulos algebra de matrices (1)
Módulos algebra de matrices (1)
Rudy Medina
Matrices+y+determinantes 1
Matrices+y+determinantes 1
Enamorando a mi Novia
Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
algebra
Matrices
Matrices
cesarelo
Matrices
Matrices
ujgh
Fundamentos de algebra matricial ccesa007
Fundamentos de algebra matricial ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
4 matrices
4 matrices
0300012671
Teoria De Matrices Y Determinantes
Teoria De Matrices Y Determinantes
Fco Alejandro
Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
silesilfer
Presentacion Matrices
Presentacion Matrices
jmorenotito
Matrices 2011
Matrices 2011
Norma Acosta
Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
David Narváez
Las matrices
Las matrices
Nazareth Edgardo
Clasificacion matrices
Clasificacion matrices
jesusamigable
Teoria elemental de matrices ccesa
Teoria elemental de matrices ccesa
Demetrio Ccesa Rayme
Introduccion al Calculo Matricial Ccesa007.pdf
Introduccion al Calculo Matricial Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
Clasificación y operaciones de matrices
Clasificación y operaciones de matrices
algebragr4
Presentacion sobre matrices rosa depena
Presentacion sobre matrices rosa depena
Rosa Cristina De Pena Olivares
Matriz powerpoint
Matriz powerpoint
UNMSM
Teoría de matrices
Teoría de matrices
Ruben Dario Lara Escobar
propiedades de matrices y determinantes
propiedades de matrices y determinantes
plincoqueoc
Operaciones matrices
Operaciones matrices
grueda5
Antecedentes al álgebra lineal y matrices. Presentación diseñada por el MTRO....
Antecedentes al álgebra lineal y matrices. Presentación diseñada por el MTRO....
JAVIER SOLIS NOYOLA
Matrices
Matrices
Jose Rafael Martinez Martinez
Columbus power matrices
Columbus power matrices
larissaruizdesanta
Bases ortonormales
Bases ortonormales
Saracereza
Mais conteúdo relacionado
Mais procurados
Matrices
Matrices
ujgh
Fundamentos de algebra matricial ccesa007
Fundamentos de algebra matricial ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
4 matrices
4 matrices
0300012671
Teoria De Matrices Y Determinantes
Teoria De Matrices Y Determinantes
Fco Alejandro
Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
silesilfer
Presentacion Matrices
Presentacion Matrices
jmorenotito
Matrices 2011
Matrices 2011
Norma Acosta
Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
David Narváez
Las matrices
Las matrices
Nazareth Edgardo
Clasificacion matrices
Clasificacion matrices
jesusamigable
Teoria elemental de matrices ccesa
Teoria elemental de matrices ccesa
Demetrio Ccesa Rayme
Introduccion al Calculo Matricial Ccesa007.pdf
Introduccion al Calculo Matricial Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
Clasificación y operaciones de matrices
Clasificación y operaciones de matrices
algebragr4
Presentacion sobre matrices rosa depena
Presentacion sobre matrices rosa depena
Rosa Cristina De Pena Olivares
Matriz powerpoint
Matriz powerpoint
UNMSM
Teoría de matrices
Teoría de matrices
Ruben Dario Lara Escobar
propiedades de matrices y determinantes
propiedades de matrices y determinantes
plincoqueoc
Operaciones matrices
Operaciones matrices
grueda5
Antecedentes al álgebra lineal y matrices. Presentación diseñada por el MTRO....
Antecedentes al álgebra lineal y matrices. Presentación diseñada por el MTRO....
JAVIER SOLIS NOYOLA
Matrices
Matrices
Jose Rafael Martinez Martinez
Mais procurados
(20)
Matrices
Matrices
Fundamentos de algebra matricial ccesa007
Fundamentos de algebra matricial ccesa007
4 matrices
4 matrices
Teoria De Matrices Y Determinantes
Teoria De Matrices Y Determinantes
Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Presentacion Matrices
Presentacion Matrices
Matrices 2011
Matrices 2011
Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Las matrices
Las matrices
Clasificacion matrices
Clasificacion matrices
Teoria elemental de matrices ccesa
Teoria elemental de matrices ccesa
Introduccion al Calculo Matricial Ccesa007.pdf
Introduccion al Calculo Matricial Ccesa007.pdf
Clasificación y operaciones de matrices
Clasificación y operaciones de matrices
Presentacion sobre matrices rosa depena
Presentacion sobre matrices rosa depena
Matriz powerpoint
Matriz powerpoint
Teoría de matrices
Teoría de matrices
propiedades de matrices y determinantes
propiedades de matrices y determinantes
Operaciones matrices
Operaciones matrices
Antecedentes al álgebra lineal y matrices. Presentación diseñada por el MTRO....
Antecedentes al álgebra lineal y matrices. Presentación diseñada por el MTRO....
Matrices
Matrices
Destaque
Columbus power matrices
Columbus power matrices
larissaruizdesanta
Bases ortonormales
Bases ortonormales
Saracereza
Matrices
Matrices
Erika Avila
Demostración Propiedades de determinantes
Demostración Propiedades de determinantes
Victor Abundio
Clase 4.3 mbe matrices
Clase 4.3 mbe matrices
cannabianman
Matrices simétricas y anti simétrica
Matrices simétricas y anti simétrica
ivancr26
Ejercicios resueltos base ortonormal
Ejercicios resueltos base ortonormal
algebra
Destaque
(7)
Columbus power matrices
Columbus power matrices
Bases ortonormales
Bases ortonormales
Matrices
Matrices
Demostración Propiedades de determinantes
Demostración Propiedades de determinantes
Clase 4.3 mbe matrices
Clase 4.3 mbe matrices
Matrices simétricas y anti simétrica
Matrices simétricas y anti simétrica
Ejercicios resueltos base ortonormal
Ejercicios resueltos base ortonormal
Semelhante a Matrices
7 algebra lineal dos
7 algebra lineal dos
Licda. Mirna Lorena Sorto Alvarez
5 repaso de_matrices
5 repaso de_matrices
Gonzalo Alarcon
5 repaso de_matrices
5 repaso de_matrices
Rudy Medina
Semana 02 analisis vectorial unac 2010 a plus
Semana 02 analisis vectorial unac 2010 a plus
Walter Perez Terrel
Repaso matrices
Repaso matrices
Rodrigo Paniagua
Algebra+lineal+matriz+2011
Algebra+lineal+matriz+2011
gjsim140110
Matrices
Matrices
mathbmc
10 Matrices (ContinuacióN)
10 Matrices (ContinuacióN)
Alfa Velásquez Espinoza
07
07
Josue Segama
Repaso de algebra matricial
Repaso de algebra matricial
Rodrigo Paniagua
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Christiam3000
Matemáticas ( con sonido)
Matemáticas ( con sonido)
Andrea080475
Material producto escalar y vectorial
Material producto escalar y vectorial
Carlos Ayazo Baron
Unidad 2 matrices
Unidad 2 matrices
joder
Unidad 2 matrices
Unidad 2 matrices
joder
Tema i. vectores
Tema i. vectores
manu Mac
Tema i. vectores
Tema i. vectores
manu Mac
Magnitudes Físicas
Magnitudes Físicas
Keyler Zambrano
Matrices y determinantes
Matrices y determinantes
Carlos Iza
Vectores en el plano
Vectores en el plano
Dam L
Semelhante a Matrices
(20)
7 algebra lineal dos
7 algebra lineal dos
5 repaso de_matrices
5 repaso de_matrices
5 repaso de_matrices
5 repaso de_matrices
Semana 02 analisis vectorial unac 2010 a plus
Semana 02 analisis vectorial unac 2010 a plus
Repaso matrices
Repaso matrices
Algebra+lineal+matriz+2011
Algebra+lineal+matriz+2011
Matrices
Matrices
10 Matrices (ContinuacióN)
10 Matrices (ContinuacióN)
07
07
Repaso de algebra matricial
Repaso de algebra matricial
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Matemáticas ( con sonido)
Matemáticas ( con sonido)
Material producto escalar y vectorial
Material producto escalar y vectorial
Unidad 2 matrices
Unidad 2 matrices
Unidad 2 matrices
Unidad 2 matrices
Tema i. vectores
Tema i. vectores
Tema i. vectores
Tema i. vectores
Magnitudes Físicas
Magnitudes Físicas
Matrices y determinantes
Matrices y determinantes
Vectores en el plano
Vectores en el plano
Mais de Cesar Mendoza
Roots of polynomials
Roots of polynomials
Cesar Mendoza
System of linear equations
System of linear equations
Cesar Mendoza
System of linear equations
System of linear equations
Cesar Mendoza
Metodos jacobi y gauss seidel
Metodos jacobi y gauss seidel
Cesar Mendoza
Metodos jacobi y gauss seidel
Metodos jacobi y gauss seidel
Cesar Mendoza
Metodos iterativos
Metodos iterativos
Cesar Mendoza
Metodos iterativos
Metodos iterativos
Cesar Mendoza
Mtodositerativosgauss seidelconrelajacin-100720193455-phpapp01
Mtodositerativosgauss seidelconrelajacin-100720193455-phpapp01
Cesar Mendoza
METODO JACOBI Y GAUSS SEIDEL
METODO JACOBI Y GAUSS SEIDEL
Cesar Mendoza
Metodos jacobi y gauss seidel
Metodos jacobi y gauss seidel
Cesar Mendoza
Metodo gauss seidel
Metodo gauss seidel
Cesar Mendoza
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales (2)
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales (2)
Cesar Mendoza
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales
Cesar Mendoza
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales
Cesar Mendoza
Mais de Cesar Mendoza
(14)
Roots of polynomials
Roots of polynomials
System of linear equations
System of linear equations
System of linear equations
System of linear equations
Metodos jacobi y gauss seidel
Metodos jacobi y gauss seidel
Metodos jacobi y gauss seidel
Metodos jacobi y gauss seidel
Metodos iterativos
Metodos iterativos
Metodos iterativos
Metodos iterativos
Mtodositerativosgauss seidelconrelajacin-100720193455-phpapp01
Mtodositerativosgauss seidelconrelajacin-100720193455-phpapp01
METODO JACOBI Y GAUSS SEIDEL
METODO JACOBI Y GAUSS SEIDEL
Metodos jacobi y gauss seidel
Metodos jacobi y gauss seidel
Metodo gauss seidel
Metodo gauss seidel
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales (2)
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales (2)
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales
Métodos directos para solución de sistemas ecuaciones lineales
Matrices
1.
Capítulo 1
Matrices Uso de las matrices: w Realizar cálculos de manera eficiente w Resolver sistemas de ecuaciones lineales (sels) w Representar objetos abstractos como “transformaciones lineales”, “ cambios de bases”, “formas cuadráticas”, etc. ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
2.
1.1. Definiciones w Matriz
A es un arreglo rectangular de escalares a11 a12 ... a1n a a22 ... a2 n A = 21 = a M M M M ij am1 am 2 ... amn Elemento aij , ij-ésimo elemento m renglones, n columnas tamaño m × n •Matrices A y B son iguales (A=B) si son del mismo tamaño y los elementos correspondientes son iguales ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
3.
1.2. Adición de
matrices y multiplicación con escalares Sean A = aij , B = bij matrices del mismo tamaño •Suma A+ B a11 + b11 a12 + b12 K a1n + b1n a + b a22 + b22 K a2 n + b2 n 21 21 M M M am1 + bm1 am 2 + bm 2 K amn + bmn •Multiplicación por escalar kA = k aij •Negativa de A, − A = (−1) A •Resta A − B = A + (− B ) ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
4.
1.3. Multiplicación de
Matrices •Sean A = aij , B = bij •Número de columnas de A igual al número de renglones de B (e.g. A es m p x y B es p x n) p •AB es una matriz m x n con cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + L + aip bpj = ∑ aik bkj k =1 a11 L a1 p b11 L bij L b1n c11 L c1n M M M M M M M ai1 L aip M M M = cij M M M M M M M a L amp bp1 L b pj L b pn cm1 L cmn m1 •AB no está definido si A es m x p y B es q x n y p?q ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
5.
1.3. Multiplicación de
Matrices •Multiplicación no es conmutativa, i.e. en general, AB? BA •Asociativa, (AB)C=A(BC) •Distributiva por la derecha, A(B+C)=AB+AC •Distributiva por la izquierda, (B+C)A=BA+CA •Multiplicación por escalar conmuta, k(AB)=(kA)B=AkB ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
6.
1.4. Matriz Transpuesta w
La transpuesta de A, AT, se obtiene escribiendo las columnas de A como renglones. w Si A=[aij], tamaño m x n, entonces AT=[bij], tamaño n x m, donde bij=aji •Algunas propiedades • (A+B)T=AT+BT • (AT)T=A • (kA)T=kAT • (AB)T=BTAT ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
7.
1.5. Matriz Cuadrada w
Mismo número de renglones y columnas, n x n (orden n) w Diagonal (o diagonal principal), conjunto de elementos con mismos índices, i.e. a11, a22, …, ann w Traza de A, tr(A) es la suma de los elementos diagonales Algunas propiedades: Sean A, B matrices cuadradas n tr(A+B)= tr(A)+ tr(B) n tr(kA)= k tr(A) T n tr(A )= tr(A) n tr(AB)= tr(BA) ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
8.
1.6. Matriz Identidad
(Unitaria) w I o In : matriz cuadrada con unos en la diagonal w AI=IA=A w Si B es m x n, entonces BIn=ImB=B w Función delta de Kronecker 0 si i ≠ j δ ij = 1 si i = j ∴ Matriz Identidad I = δ ij ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
9.
1.7. Matriz Invertible w
Definición Matriz cuadrada A es invertible (no singular), si existe matriz B (la inversa de A, A-1) tal que AB=BA=I •Teorema Si B existe, entonces es única •Demostración Sean B1, B2 matrices cuadradas que son inversas de A Entonces AB1 = B1 A = I y AB2 = B2 A = I Entonces B1 = B1 I = B1 ( AB2 ) = ( B1 A) B2 = IB2 = B2 ∴ B1 = B2 ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
10.
1.7. Matriz Invertible w
Algunas propiedades. A y B invertibles AB es invertible y ( AB) −1 = B −1 A−1 En general ( A1 A2 L Ak ) −1 = Ak−1 Ak−−1 L A2−1 A1−1 1 ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
11.
Fórmula para obtener
la Inversa de una Matriz de Orden 2 a b ax1 + by1 = 1 Sea A = Sistema de c d ecuaciones ax2 + by2 = 0 lineales Buscar 4 escalares x1 , x 2 , y1 , y2 tal que cx1 + dy1 = 0 (capítulo 2) a b x1 x2 1 0 cx2 + dy2 = 1 = c d y1 y2 0 1 Resolviendo para x1 , x2 , x3 y x4 d −b Haciendo operaciones x1 = ; x2 = ad − bc ad − bc ax1 + by1 ax2 + by2 1 0 −c a = y1 = ; y2 = cx1 + dy1 cx2 + dy2 0 1 ad − bc ad − bc ad − bc determinante de A ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
12.
w Teorema
n det(A)=0 si y solo si A no tiene inversa w Encontrar la inversa de una matriz de orden n es equivalente a encontrar la solución de un SEL de orden n w Como encontrar estas soluciones de manera eficiente? n Respuesta: parte del material del capítulo 2 ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
13.
1.8. Algunas Matrices
Especiales Matriz cuadrada diagonal D = ( dij ) . Elementos no diagonales son cero D = diag (d11 , d 22 ,L , d nn ) Matriz cuadrada triangular (superior) A = ( aij ) Elementos por debajo de la diagonal son cero. Esto es, aij = 0 para i > j Algunas propiedades para A = ( aij ) , B = ( bij ) , triangulares de orden n 1. A+b, kA, AB son triangulares con diagonales ( a11 + b11 ,K , ann + bnn ), ( ka11 ,K , kann ), ( a11b11 ,K , ann bnn ) respectivamente 2. A es invertible si y solo si cada elemento diagonal aii?0. Si A-1 existe, entonces es triangular •Idem para matrices triangulares inferiores ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
14.
1.8. Algunas Matrices
Especiales w Matriz Simétrica. A=AT. Elementos simétricos con respecto a la diagonal son iguales (aij=aji) •Matriz antisimétrica. –A=AT. Elementos simétricos con respecto a la diagonal son los complementos (negativos) (aij=-aji). Como aii=-aii, entonces aii=0 ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
15.
1.8. Algunas Matrices
Especiales Matrices Ortogonales Haciendo operaciones •Matriz cuadrada A es ortogonal si y solo si AT=A-1 a12 + a2 + a3 = 1 2 2 → u1 • u1 = 1, paralelos Esto es, AAT=ATA=I a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0 → u1 • u2 = 0, ortogonales a1c1 + a2 c2 + a3 c3 = 0 •Porqué ortogonal? b12 + b22 + b32 = 1 c12 + c2 + c3 = 1 2 2 Sean u1 = ( a1 , a2 , a3 ), u2 = (b1 , b2 , b3 ), a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0 a1c1 + a2 c2 + a3 c3 = 0 u3 = (c1 , c2 , c3 ) vectores que forman b1c1 + b2 c2 + b3 c3 = 0 b1c1 + b2 c2 + b3 c3 = 0 los renglones de A i.e. Entonces AAT = I ui • u j = 1 = δ ij si i = j a1 a2 a3 a1 b1 c1 1 0 0 ui • u j = 0 si i ≠ j b1 b2 b3 a2 b2 c2 = 0 1 0 c ∴ u1, u2, u3 son vectores unitarios 1 c2 c3 a3 b3 c3 0 0 1 y ortogonales entre si (conjunto ortonormal de vectores) ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
16.
1) AAT =
I = AT A 2) AAT → renglones de A es conjunto ortonormal de vectores 3) AT A → columnas de A es conjunto ortonormal de vectores Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes 1. A es ortogonal 2. Renglones de A son un conjunto ortonormal 3. Columnas de A son un conjunto ortonormal Definición. Matriz Normal A es normal si conmuta con su transpuesta. Esto es AAT = AT A Teorema Si A es simétrica y ortogonal, entonces A es normal ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
17.
Ejemplo matriz normal
Normal? si 6 −3 Simétrica? no (por inspección) A= 3 6 Ortogonal? no AT ≠ A−1 A = ad − bc = 45 a b A= −11 6 3 c d A = 45 −3 6 6 −3 6 3 45 0 1 d −b AA = T = A = -1 3 6 −3 6 0 45 A −c a 6 3 6 −3 45 0 A A= T = −3 6 3 6 0 45 ©Dr. Arturo Sanchez Carmona
Baixar agora