entrega de ejercicios para la prof(a) Alba Espinoza

1. 1. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a
coordenadas polares
a. (2, 8)
r = √푥2 + 푦2 = √22 + 82 = √20 = 4,47
휃 = tan−1 8
2
= tan−1 4 = 75,9°
a.- Coordenadas polares (4,47, 75,9°)
b. (-5, -6)
r = √(−5)2 + (−6)2= √61 = 7,81
휃 = tan−1 −6
= tan−1 1,2 = 50°
−5
b. -Coordenadas polares (7,81, 50°)
c. (√2 ,
1
5
)
r = √(√2)
2
+ (
1
5
2
= √51
)
25
= 1,42
휃 = tan−1
1
5
√2
= tan−1 1
5√2
= 8°
c.- coordenadas polares (1,42, 8°)
2. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar r= 1+ sin∅
Tomamos el área comprendida entre θ = 0 ; θ = π
r π 2
0
a. A1= 2∫
1
2
dθ
(1 + sen θ)2 π
o
A1= 2∫
1
2
d휃
(1 + 2 푠푒푛∅ + 푠푒푛2 휋
0
A1= 2∫
1
2
휃) 푑휃
휋
0
A1= ∫ 푑휃
휋
0
+ 2 ∫ 푠푒푛
휃푑휃 + ∫
1−푐표푠휃
2
푑휃
휋
0
휋 − 2 푐표푠휃|0
A1= 휃|0
휋 +
1
2
휋 −
휃 |0
1
2
휋
푠푒푛휃|0
A1= 휋 − 0 − 2[cos 휋 − cos 0] +
1
2
[휋 − 0] −
1
2
[푠푒푛 휋 − 푠푒푛 0]
A1= 휋 − 2(−1 − 1) +
휋
2
−
1
2
(0)
A1= 휋 + 4 +
휋
2
A1 =
3
2
휋 + 4
El ejercicio anterior esta correspondido entre los 휃 valores
θ = π ; θ =
3
2
π
퐴2=
1
2
3
2
휋
∫ (1 + sen θ)2
휋

2. 퐴2=
1
2
3
2
휋
− 2 푐표푠휃|휋
[휃|휋
3
2
휋
+
1
2
3
2
휋
−
휃|휋
1
2
3
2
휋
]
푠푒푛휃|휋
퐴2=
1
2
[
3
2
3
2
휋] − [푐표푠 (
1
4
휋) − 푐표푠 휋]+
[
3
2
휋 − 휋] −
1
4
3
2
[푠푒푛 (
휋) 푠푒푛 휋]
퐴2=
1
4
휋 − 1 +
1
16
휋 +
1
4
퐴2=
5
16
휋 −
3
4
3. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a
coordenadas polares:
a. (2,
휋
4
)
b. (−8,
3휋
2
)
−1
2
c. (
,
5휋
4
)
Nota: al momento de la realización me puede dar cuenta de que el enunciado
estaba mal por lo tanto lo realiza de tal forma: de polares a rectangulares
a. (2,
휋
4
) → 푟 = 2 ; 휃 =
휋
4
cos 휃 =
푥
푟
휋
4
→ 푥 = 푟 cos 휃 ; 푥 = 2 . cos (
) = 1,41
푠푒푛 휃 =
푦
푟
→ 푦 = 푟 푠푒푛휃 = 2 푠푒푛
휋
4
= 1,41
a.- coordenadas rectangulares (1,41 ; 1,41)
b. (−8,
3휋
2
)
푟 = −8 ; 휃 =
3휋
2
푥 = cos 휃 = −8 . cos
3휋
2
= 0
푦 = 푟 푠푒푛 휃 = −8 . 푠푒푛
3휋
2
= 8
b.- coordenadas cartesianas (0, 8)
c. (
−1
2
,
5휋
4
)
푥 = 푟 cos 휃 =
−1
2
푐표푠 (
5휋
4
) = 0,35
푦 =
−1
2
푠푒푛 (
5휋
4
) = 0,35
c.- coordenadas rectangulares (0,35 ; 0,35)
4. Calcular el área que encierra la cuerva de ecuación polar r = 4cos (2휃)

3. 퐴 = 2 ∫
1
2
푟2 푑휃
휋
0
휋
퐴 = ∫ (4 cos 휃)2 푑휃
0
휋
퐴 = ∫ 16 푐표푠2휃 푑휃
0
휋
퐴 = 16 ∫ 푐표푠2 휃 푑휃
0
1 + cos 2 휃
= 16 ∫ (√
2
2
)
휋
0
푑푥 = 16 ∫
1 + 푐표푠2
2
휋
0
푑휃
휋
퐴 = 8 ∫ (1 + 푐표푠2휃)푑휃 = 8 (∫ 푑휃
0
휋
+ ∫ cos 2휃 푑휃
0
)
휋
0
휋 +
퐴 = [휃|0
1
2
휋 ]
푠푒푛2휃|0
퐴 = [(휋 − 0) +
1
2
(푠푒푛2휋 − 푠푒푛20)] = 8휋
5. Transformar la siguiente ecuación e variable polar a rectangulares r =
2cos(3휃)
Multiplicando ambos lados por r
푟(푟) = 푟(2 cos(3휃))
푟2 = 2 푟 푐표푠(3휃)
Tenemos que 푟2 = 푥2 + 푦2 sustituyendo tenemos
푥2 + 푦2 = 2푟 cos(3휃)
푥2 + 푦2 = 2푥
푥2 − 2푥 + 푦2 = 0
푥2 −
2
2
푥 + 12 − 1 + 푦2 = 0
(푥 − 1)2 + 푦2
6. Transformar la sigues de variables rectangulares a variable polares
푥2 − 2푦2 = 4(푥 + 푦)2
푥2 − 2푦2 = 4(푥2 + 2푥푦 + 푦2)
푥2 − 2푦2 = 4(푥2 + 푦2 + 2푥푦)
Tenemos que 푟2 = 푥2 + 푦2
x = cos휃 ; y = r sen휃
Sustituyendo en la ecuación tenemos
(푟 푐표푠휃)2 − 2(푟 푠푒푛휃)2 = 4(푟2 + 푟 푐표푠휃 . 푟 푠푒푛휃)
푟2푐표푠2휃 − 2푟2푠푒푛2휃 = 4푟2 + 4푟2푐표푠휃 . 푠푒푛휃
푟2. (푐표푠2휃 − 2푠푒푛2휃) 4푟2(1 + 푐표푠휃 . 푠푒푛휃)
푐표푠2휃 − 2푠푒푛2 = 4(1 + 푐표푠휃 . 푠푒푛휃)