Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas y juega un rol importante en diversas disciplinas como ingeniería, física y biología. También describe los tipos de soluciones de una ecuación diferencial, incluyendo la solución general, solución singular y solución particular. Además, explica conceptos como el orden, grado y tipos comunes de ecuaciones diferenciales como las de variables separables, homogéneas, exactas y lineales.
1. Ecuaciones Diferenciales
República bolivariana de Venezuela
Instituto universitario politécnico
“Santiago mariño”
Extensión Barcelona
Escuela: ingeniería de sistema
Profesor:
Beltrán pedro.
Alumna:
Oriana Rodríguez 27838701
2. Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una
función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente
representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y
la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes,
las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas,
incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología.
Si la solución exacta no puede hallarse, esta puede obtenerse numéricamente,
mediante una aproximación usando computadoras. La teoría de sistemas dinámicos
hace énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descritos por ecuaciones
diferenciales, mientras que muchos métodos numéricos han sido desarrollados para
determinar soluciones con cierto grado de exactitud.
3. Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no
trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función
desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función
desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama
ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .
La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene
como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición,
pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar
quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:
4. Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea
derivable. Otro ejemplo es:
Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable
por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.
Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una
ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a y como variable dependiente
y a x como variable independiente se acostumbra expresar en la forma
5. Aplicaciones
El estudio de ecuaciones diferenciales es un campo extenso en matemáticas puras y
aplicadas, en física y en la ingeniería. Todas estas disciplinas se interesan en las
propiedades de ecuaciones diferenciales de varios tipos. Las matemáticas puras se
focalizan en la existencia y unicidad de las soluciones, mientras que las matemáticas
aplicadas enfatiza la justificación rigurosa de los métodos de aproximación de las
soluciones. Las ecuaciones diferenciales juegan un rol muy importante en el modelado
virtual de cualquier proceso físico, técnico, o biológico, por ejemplo, tanto el movimiento
celeste, como el diseño de un puente, o la interacción entre neuronas. Las ecuaciones
diferenciales que se plantean para resolver problemas de la vida real, no necesariamente
son resolubles directamente, es decir, sus soluciones no tienen una expresión en forma
cerrada. Cuando sucede esto, las soluciones se pueden aproximar usando métodos
numéricos
6. Solución de una ecuación diferencial
La resolución de ecuaciones diferenciales no es como aquellas resoluciones de las ecuaciones
algebraicas. Puesto que a pesar de que en ocasiones sus soluciones son poco claras, también puede ser
de interés si estas son únicas o existen.
Para problemas de primer orden con valores iniciales, el teorema de existencia de Peano nos da un
conjunto de condiciones en el cual la solución existe. Para cualquier punto dado (a,b) en el plano xy, y
definida una región rectangular Z, tal que Z = 𝑙, 𝑚 𝑥 𝑛, 𝑝 𝑦 (𝑎, 𝑏) esta en el interior de Z. si tenemos
una diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥, 𝑦) y la condición que x = y cuando x = a, entonces hay una solución local a
este problema si 𝑔 𝑥, 𝑦 y
𝜕𝑔
𝜕𝑥
son ambas continuas en Z La solución existe en algún intervalo con su
centro en a. La solución puede no ser única.
7. Tipos de Soluciones
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en
cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una
identidad. Hay tres tipos de soluciones:
Solución general
La solución general es una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Es un haz de
curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a
una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la
ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el
orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni
de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
8. Solución singular
La solución singular es una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene
particularizando la solución general. Es solución de la ecuación no consistente en una
particular de la general.
Solución particular
Si fijando cualquier punto P(Xo,Yo) por donde debe pasar necesariamente la solución de
la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que
satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el
punto P(Xo,Yo) que recibe el nombre de condición inicial.
9. Función primitiva de una ecuación diferencial
Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas.
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial
La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial.
11. Problema del valor inicial
Un problema de valor inicial es un problema que
busca determinar una solución a una ecuación
diferencia sujeta a condiciones sobre la función
desconocida y sus derivadas especificadas en un valor
de la variable independiente. Tales condiciones se
llaman condiciones iniciales.
Ejemplo ilustrativo
Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en
cualquier punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la
ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5)
Solución:
12. El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.
Ejemplo
Orden de una ecuación diferencial
13. Grado de una ecuación diferencial
El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su
derivada.
Ejemplos
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.
14. Tipos ordinarios de ecuaciones diferenciales
de primer orden
- Ecuaciones con variables separable
Encuentre la solución general de la
ecuación diferencial.
Resolución:
15. Ecuaciones homogéneas
Es homogénea si no contiene términos
que dependen únicamente de su
variable independiente, en caso
contrario es No Homogénea.
Ejemplos:
17. - Ecuaciones exactas
Resolver la ecuación
Resolución:
Para que la ecuación diferencial
sea exacta debe cumplir la
condición
Como cumple la condición se trata de una ecuación
diferencial exacta
18. Se Iguala las dos derivadas con respecto a y. Graficando la solución de la ecuación diferencial para C = 1
19. Ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también
conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un
conjunto de ecuaciones lineales, definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Resolver las siguientes ecuación lineal
Solución:
