Есептеудің тиімді тәсілдері» ғылыми жоба

1. Қазақстан Республикасының ғылым және білім министрлігі
Павлодар облысы
«Екібастұз қаласы әкімдігінің білім бөлімінің
№11 жалпы орта білім беретін мектеп» коммуналдық
мемлекеттік мекемесі
Тақырыбы:«Есептеудің тиімді тәсілдері»
Секция:
Орындаған:БисмилдіАқмарал Нариманқызы
5 «Б» сынып оқушысы
«Екібастұз қаласы әкімдігінің білім бөлімінің
№11 жалпы орта білім беретін мектеп» коммуналдық
мемлекеттік мекемесі
Облыс:Павлодар
Қала:Екібастұз
Ғылыми жетекші: Жахай Самсия
математика және информатика пәні мұғалімі
«Екібастұз қаласы әкімдігінің білім бөлімінің
№11 жалпы орта білім беретін мектеп» коммуналдық
мемлекеттік мекемесі
Екібастұз қаласы

2. Мазмұны:
КІРІСПЕ _____________________________________________________1
1. НАТУРАЛ САНДАРДЫ ШАПШАҢ ҚОСУМЕН АЗАЙТУ,
КӨБЕЙТУ МЕН БӨЛУ ӘДІСТЕРІ.
1.1 Натурал сандарды шапшаң қосу мен азайту әдістері. ______________3
1.2 Натурал сандарды шапшаң көбейту мен бөлу әдісі ________________3
1.3 11 санына тез көбейту әдісі ___________________________________3
1.4 5, 25, 125 сандарына шапшаң бөлу әдісі _______________________4
2. ФЕРРОЛЬ ӘДІСІМЕН КӨБЕЙТУ _______________________________4
3. САНДАРДЫ ШАПШАҢ КВАДРАТТАУ ӘДІСІ
3.1. Ондық цифры 5 болатын екі орынды сандарды шапшаң
квадраттау әдісі ___________________________________________5
3.2. Соңғы цифры 5 болатынсандарды шапшаң квадраттау әдісі ______5
4. САУСАҚПЕН САНАУ. КӨБЕЙТУДІҢ ӘР ТҮРЛІӘДІСТЕРІ_______6
5. АМАЛДАРДЫ ТОҒЫЗДЫҚТЫҢКӨМЕГІМЕН ТЕКСЕРУ_________8
6. САНДАРДЫҢ КВАДРАТТАРЫНТАБУДЫҢ ОҢАЙ ӘДІСІ________9
ҚОРЫТЫНДЫ _______________________________________________11
ҚОЛДАНЫЛЫНҒАНӘДЕБИЕТТЕР ______________________________12

3. КІРІСПЕ
Есеп шығаруға үйрету – математиканы оқытудағы ең қиын әрі күрделі
мәселелердің бірі. Қазірге кезде білім беруге деген көзқарас түбегейлі өзгерген.
Соңғы жылдарағы зерттеулер мен тәжірбие көрсетіп отырғандай білім беру
білім, білік, дағдыларды меңгеруге бағытталып отырған жоқ. Мұнда бірінші
орынға білімді қабылдауға деген оқушылардың көзқарасы қойылып отыр. Жеке
тұлғаның қалыптасуымен ақыл ойының дамуы және танымдық белсенділігін
арттыру мәселесі баланың ерте балалық щағынан басталады. Бұл кезде баланың
ойлау қабілеті белсенді түрде қалыптаса бастайды. Баланың алғашқы
салыстыру, жалпылау, жан-жақты талдау жасау, жүйелеу, түрлендіру, зерттеу,
әр алуан категорияларға біріктіру, қорытындылау сияқты біліктері оның
сөйлемді дұрыс, логикалық тұрғыдан айқын құрастыра білуіне байланысты.
Күнделікті өмір тәжірбиеден көріп жүргеніміздей басқа тілді меңгеру үшін
алдымен оның тілдің грамматикасын үйренуден емес, сол тілдегі қолданылатын
сөздерді үйренуден бастаған дұрыс. Әдетте біз есептеуде қиындық келтіретін іс
– әрекеттерден бастаймыз. Мысалы: жазбаша жаттығулар орындаймыз.т.б
мұндай тапсырмалар жалықтырады да және оның ешқендай
қызығушылықтарды тудырмайды. Осындай көп қырлы іс – әрекеттерді
жеңілдету үшін математика сабақтарында тиімді жаттығуларды көбіоек
қолданған дұрыс. Егер есептеудің тиімді тәсілдерін жақсы меңгерсе, онда
есептеудің жазбаша тәсілдерін ешқандай қиындықсыз меңгереалады.
Зерттеу өзектілігі: Күнделікті өмірде кездесетін қарапайым есептеулерге
жылдам есептеудің жолдарынқолдану.
Зерттеудің мақсаты: Күнделікті өмірде және қазіргі қоғамда пайдалы
еңбек еткенде қажет болатын жылдам есептеу дағдысынқалыптастыру
Міндеттері:
Есептерді шешу бойынша шеберлікті жетілдіру;
Жылдам есептеу тәсілдері бойынша білімді қалыптастыру;
Есеп шығаруда жылдам есептеу бойыншанегізгі білімді дамыту факторы
ретінде практикалық іскерлікке қолдану.
Ғылымилығы мен жаңашылдығы: «Математика» пәні бойынша
қосымшазерттеу жұмыстарынапайдалану.
Практикалық қолданысы:
Математикалық білім алудың басты шарты – математикалық мәдениеттіліктің
деңгейін көтеру болыптабылады.
Зерттеу обьектісі:
Шапшаң есептеу әдіс-тәсілдерін қолдану тапқырлыққа, зеректікке, логикалық
ойлай білуге, амалдарды және күнделікті өмірде кездесетін әр адамға қажет
қарапайым есептеулерді тез және тиімді жолдармен орындауғаүйретіп,
ауызша, шапшаң есептеу дағдығаайналып, есептеу жұмысыноңайлатады.
1

4. Математикалық білім алудың басты шарты – математикалық мәдениеттіліктің
деңгейін көтеру болыптабылады.
Математика ең алдымен дұрыс ойлаумәдениетін қалыптастырады,
дамытады, шыңдай түседі.
Американдық педагог – математик Д.Пойа былай деген: «Математиканы білу
деген не? Бұл есептерді шығара білу, онда стандарттық есептерді ғана емес
ойлаудың еркіндігін, сананың салауаттылығын, өз болмысты, тапқырлықты
керек ететін есептерді шығару».
Есеп шығару кезінде жалпылауды үйренеміз, ойлауды, жадыны дамытады,
жалпылама ассоциация қалыптасады.
Шапшаң есептеу әдіс-тәсілдерін қолдану тапқырлыққа, зеректікке,
логикалық ойлай білуге, амалдарды және күнделікті өмірде кездесетін әр
адамға қажет қарапайым есептеулерді тез және тиімді жолдармен орындауға
үйретіп, ауызша, шапшаң есептеу дағдығаайналып, есептеу жұмысын
оңайлатады. Математика пәнін оқуда тез есептеу әдістеріне тоқталамын.
2

5. 1. НАТУРАЛ САНДАРДЫ ШАПШАҢ ҚОСУ МЕН АЗАЙТУ, КӨБЕЙТУ
МЕН БӨЛУ ӘДІСТЕРІ.
1.1Натурал сандарды шапшаң қосу мен азайту әдістері.
Егер бір қосылғышты бірнеше бірлікке арттырса, қосындыны соншабірлікке
кеміту керек, Мысалы:
564 + 292 =564 + ( 292 + 8) – 8 = 564 + 300 – 8 = 864 – 8 = 856.
Егер бір қосылғышты бірнеше бірлікке арттырса, екінші қосылғышты сонша
бірлікке кеміту қосынды мәнін өзгертпейді.
Мысалға:997 + 455 = (997+3) + (455-3) = 1000 +452 = 1452.
Егер азайғышты бірнеше бірлікке арттырса, азайтқышты да сонша бірлікке
арттыру айырма мәнін өзгертпейді.
Мысалы:2454 – 1996=(2454+4)-(1996+4) = 2458-2000= 458
Егер екі санның қосындысынансолсандардыңайырмасыншегерсе,
нәтижесінде екі еселенген кіші санның мәні шығады.
Мысалы:(77+15) – (77-15) = 30 = 2х 15
Егер екі санныңқосындысынасолсандардыңайырмасынқосса, нәтижежде
үлкен санныңекі еселенген мәні шығады.
(54+16) + (54-16) = 2*54 = 108.
Бағандап шапшаң қосу үшін әрбір разрядтыңцифрларынбөлек қосып, бірлігін
ондығыныңастынакелтіріп жазып, содансоңқосу керек.
1.2. Натурал сандарды шапшаң көбейту
мен бөлу әдісі
Көбейтудің қосу мен азайтуға байланысты үлестірімділік заңын пайдаланамыз:
Мысалы:7 х 219 = 7 х (210+9) = 1470+63 = 1533
9 х 186 = 9 х(180+6) = 1620+54 = 1674
5-ке аяқталатын екі таңбалы сандарды көбейтуүшін:
Мысалы:15 х 25 = (15 х20) + (15*5) = 300+75 = 375
45*55= (45*50) + (45*5) = 2250+225 = 2475
1.3. 11 санына тез көбейту әдісі
11-ге көбейтілетін санның соңғы цифрын жазамыз. Тізбектей оңнан солға
қарай цифрларыныңқосындысынтабамыз, содансоңкөбейтілетін санның
бірінші цифрын жазамыз
Мысалы:54*11 = 594
А) 4-ті жазамыз.
Б) 4+5 = 9 жазылады.
В) 5-ті жазамыз
124*11 = 1(1+2)(2+4)4 = 1364
Егер көрші цифрларының қосындысы9-дан артық болса, бірлігі
жазылып, ондығы ойғаалынады, келесі қосындыға бір саны қосылады.
Мысалы:58*11 = 638
А) 8-ді жазамыз
3

6. Б) 5+8 = 13 3-ті жазып, 1-ді ойға аламыз.
В) 5+1= 6, 6-ны жазамыз
Екі орынды санды 111 санына шапшаң көбейту
Оңнан солға қарай тізбектей бірінші көбейткіштің соңғы цифрын жазу керек.
Содан кейін цифрларының қосындысы және цифрларының қосындысы,
соңындакөбейгіштің бірінші цифрынжазу керек.
Мысалы:42*111 = 4(4+2)(4+2) = 4662
68*111 = 7548
А) 8-ді жазамыз
Б) 6+8 = 14, 4-ті жазып, 1-ді ойға аламыз
В)6+8+1 = 15, 5-ті жазып, 1-ді ойға аламыз.
Г) 6+1 = 7
2. ФЕРРОЛЬ ӘДІСІМЕН КӨБЕЙТУ
Көбейтіндінің бірлігін алу үшін көбейткіштердің бірліктерін көбейтеді.
Ондығыналу үшін біреуінің ондығынбірлігіне және керісінше көбейтіп,
қосындығаойғаалған санды қосады, жүздігін алу үшін ондықтарынкөбейтеді.
Бұл әдіс мына теңдіктен шығады:(10а+в) (10с+д) = 100ас+10(ад+вс)+вд
Мысалы: 27*38 = 1026
А) 7*8 = 56, 6-ны жазамыз, 5-ті ойға аламыз
Б)2*8+7*3+5 = 42, 2 жазылады, 4 ойға алынады
В)2*3+4 = 10
Ферроль әдісімен 10-нан 20-ға дейінгі екі орынды сандарды шапшаң көбейту.
Мысалы: 12*14 =168
А) 2*4 =8
Б) 1*2+1*4=6
В) 1*1=1
Осы әдіспен үш орынды санды екі орынды санғакөбейтуге болады.
Мысалы: 125*23 =2875
А) 3*5=15, 5 жазылады, 1 ойға алынады
Б) 2*3+2*5+1=17, 7 жазылады, 1 ойда
В) 2*2+1*3+1=8, 8 жазылады
Г) 2*1= 2, 2 жазылады
1.4 5, 25, 125 сандарына шапшаң бөлу әдісі
Ол үшін сәйкесінше берілген санды 2-ге, 4-ке, 8-ге көбейтіп, 10-ға, 100-ге, 1000-
ға бөлу керек.
Мысалы:220: 5=220*2:10=44
1300:25 =1300*4:100=52
9250:125=9250*8:1000=74
Кейде амалдар тәртібін ауыстыруға болады, әуелі10, 100, 1000 сандарына бөліп,
сосын2, 4, 8 сандарына көбейтуді орындауғаболады.
9, 99, 999 сандарына шапшаң көбейту әдісі
Бірінші көбейткішке екінші көбейткіштегі 9-дар саны қанша болса, сонша ноль
4

7. тіркеп жазады. Содансоң бірінші көбейткішті шегереді.
Мысалы:286*9 =2860-286=2574
23*99=2300-23=2277
18*999=18000-18=17982
3. САНДАРДЫ ШАПШАҢ КВАДРАТТАУ ӘДІСІ
3.1. Ондық цифры 5 болатын екі орынды сандарды
шапшаң квадраттау әдісі
25 санына санның бірлік разрядындағы цифры қосылады, оныңоңжағынан
бірлік разрядтағы санквадратталып тіркеліп жазылады, төрт таңбалы сан
шығатындай тәртіп сақталады. Бұл әдіс мына тепе -теңдікке негізделген:
(50+а) =100(25+а)+а
Мысалы: 51*51=2601
58*58 =3364
а)25+8 =33
б)8*8=64
3.2. Соңғы цифры 5 болатын сандарды шапшаң
квадраттау әдісі
Соңғы 5 цифрынквадраттап, оныңалдына келесі разрядтағы санды өзінен
1-ге артық санмен көбейтіп, 5-тің квадраты 25 саныныңалдына жазады.
Мысалы: 25*25=625 а)5*5=25 б) 2*(2+1) = 6
305*305=93025, а) 5*5=25 б) 30*(30+1) =930
Сонымен,арифметиканыңпайда болуы және дамуы адамдардыңеңбектену
әрекеттерімен,қоғамның дамуымен байланысты.
Біз қолданатын осылайша санау тәсілі,яғни он-оннан топтап санау ондық санау
системасы немесе ондықнумерация деп аталады.
Балалар саусақтарын санап үйренетіні сияқты,адамдар дақоғам дамуының
алғашқы кезеңдерінде санау үшін екі қолыныңон саусағын пайдаланған.
Қазірдің өзінде де «Саусақпен санағандай...»дейміз ғой. Осыданбарып –ондық
санау системасы шыққан.
Алайда кей бір жерлердегі , атап айтқанда , Арифметикадағы тайпалар мен
халықтар санағанда бір қолыныңбес саусағын ғана пайдаланған ,олар бес-
бестен санаған: оларда негізі бес саны болатынбестік санау системасы
қалыптасқан.Бұл системада алғашқы бес санныңғана атаулары бар.Мысалы,
«алты» саның«бес-бір»депатаған т.с.с.
Ең көне санау системасы –екілік санау системасы,ғалымдардыңболжауы
бойынша,бұлсистемаменбір кезде мысырлықтар пайдаланған. Ежелгі
вавилондықтар алпыстық санау системсыменпайдаланған .Ондықсанау
системасында999 миллионға дейінгі барлық натурал сандарды атау үшін
небары 13 сөз ғана қолданылады:бір, екі, үш, төрт, бес, алты, жеті, сегіз, тоғыз,
он , жүз , мың, миллион.
2. Есептеу аспаптары туралы. Орыс есепшоты . Есептеу машиналары. Адам
5

8. ерте кездің өзінде-ақ есептеу жұмысынжеңілдету мақсатымен әр түрлі
құралдар мен аспаптарды пайдаланған. Алғашқы, ең ежелгі «есептеу
машинасы» адам қолдарының саусақтары мен аяқтарының башайлары болған.
Сол арқылы адам едәуір үлкен сандарды есептеуді үйренген. Саусақтарын
түрліше бүгеотырып, адам тек бірліктер мен ондықтарды ғана емес, тіпті
жүздіктер мен мыңдарды кескіндеп көрсете білген. Адам миллионға дейінгі
сандарды осылайша қолдарыменмеңзеп кескіндей білген.
Ежелгі заманда саудагерлер (финикиялық,вавилондық,т.б. саудагерлері) есеп –
қисаптарын жүргізгендеастық дәндерін , ұсақ тастарды ,бақалшақтарды
пайдаланған , сондаоларды кейініректе құм деп аталған арнаулы тақта бетіне
жайып салып есептейтін. Құмды гректер мен римдіктер онан әрі жетілдіре
түсіп, ол өзіміздің қазіргі есепшотымыз тәрізді есептеу тақтасына, есептеу
аспабына айналған. Ең көне есептеу аспаптарыныңбірі – қытайдың «суан –
пан» деп аталатын есепшоты, ол Қытайда казір де қолданылады. Басқа бір ескі
есептеу аспабы – жапон «соробаны».
4. САУСАҚПЕН САНАУ.
КӨБЕЙТУДІҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ.
Саусақтарды бүгіп санау ерте заманда кең қолданылыпкелді. Адамның
саусақтары мен олардыңбуындары, сондай-ақсаусақтарын бүгужәне жазу,
қолдарын бүгу мен жазу олардыңондаған және жүздегенмыңға дейін санай
алуына ғана емес,солсияқты кейбір арифметикалық амалдарды орындауынада
мүмкіндік берді.
Мысалы ежелгі римдіктер 5 пен 10 сандарыныңарасындағы сандарды
саусақпен былайша көбейткен.
Айталық 6-ны 7- ге көбейту керек болсын. Солқолымыздыңжұдырығын
жазбастан, бір-бірлеп саусағымыздыжаза отырып, 6-ға дейін санаймыз. Ал оң
қолымыздыңсаусақтарымендәл соны қайталап , 7-ге дейін санаймыз. Оң
қолдынжазылған екі саусағынсол қолдыңжазылған бір саусағынан үстіне
саламыз. Жазылған саусақ небары 3 –еу болады, бұл-3 ондық, яғни30 болады.
Қалған төртеуі (сол қолдыңбүгілулі тұрғансаусақтары ) 3-ке (оң қолдын
бүгілулі саусақтарына) көбейтіледі, сонда 12 шығады.
Сөйтіп 30+12=42.
Осылайша: 6*8=(1+3)*10+4*2=48
6*9=(1+4)*10+4*1=54
7*7=(2+2)*10+3*3=49
7*8=(2+3)*10+3*2=56
7*9=(2+4)*10+3*1=63
8*8=(3+3)*10+2*2=64
8*9=(3+4)*10+2*1=72
9*9=(4+4)*10+1*1=81
Саусақпен санау орта ғасырдада практикалық өмірде кең тараған болатын.
«Уақытпен санау хақында» кітап жазған Ирландия ғалымы монах Беда
Достопочтенный(673-735) саусақпен санауға бүтін бір тарауды арнаған.
6

9. Мәселен 13-ті 14-ке көбейту былайша орындалатынеді.
1) 10*10=100 екені белгілі. Бұдан кейін:
2) бір қолдың3 саусағын, екінші қолдың 4 саусағынбүгеді
3) 3+4=7 , бұл ондықтар, яғни 7*10=70
4) 3*4=12 бұл бірліктер. Сонымен:
5) 13*14=10*10+7*10+3*4=182.
Орта ғасырдағы арифметикадасаусақтармен санауға байланысты римдік
автор Боэцийден(480-524) бастап, сандар «саусақтарға»(бірліктерге),
«буындарға» (ондықтарға) және «құрамасандарға» (басқа қалған сандарға)
бөлінетін еді. Бұл сияқты атаулар Л.Ф.Магницкийдің «Арифметикасында» да
кездеседі: «саусақтар», «буындар»және «құрамалар». Француздар осы уақытқа
дейін бірліктерді «саусақтар» деп атаған.
Көбейтумен бөлудің көптеген және алуан түрлі ережелерге ерте заманнан-
ақ іс жүзінде қолданылып жүрді. Орыстыңескібір жазбасында«көз ілеспейтін»
деген атаумен ертедегі Үндістанда қолданылып келген «крестпенкөбейту»
деген қызықты әдісі сипатталып баяндалған.
Мысалы, 48-ді 27-ге көбейту үшін:
1) 48× 27
2) 7×8=56
3) 6-ны жазамыз да, 5-ті ойда сақтаймыз 48×27 6
4) 7×4=28; 28+5=33, 33 ойдадейміз, 2×8=16; 16+33=49;
5) 9-ды жазамыз да, 4-ті ойда сақтаймыз: 48×27 96
6) 2×4=8; 8+4=12 дейміз
7) 12-ні жазамыз да көбейтіндіде 48×27=1296
сөйтіп 1296 шығарып аламыз.
Мысырлық математика папирусында бөлшектерді «бірліктерге» жіктеу
таблицалары, кейбір геометриялық фигуралардынаудандарын және көлемдерін
есептеп шығару ережелері, ескерткіштердін салмағын анықтауға берілетін
есептер, статуялар орнату үшін қажетті құрылыс материялдары мен күн санын
табуға берілген және басқа да практикалық есептер бар. Осы папирустарды
зерттей келе натурал сандарды арифметикалық қосужәне азайту амалдары
мысырлықтарданегізінен қазіргі кездегідей орындалатын, ал көбейту мен
бөлуді мысырлықтар тізбектеп екі еселеу мен қосуға келтіретін.
Мысал келтірейік: 15×13.
Шешуі: 1/ 15 15×13=(1+4+8) ×15=15+60+120=195/2 30/3 60/4 120
Сөйтіп, екі баған құрастырамыз,біріншісінің басында1, ал екіншісінің басында
көбейгіш 15 тұратын болсын. Солжақ бағандағы кейбір сандарды қосып, 13
көбейткішті шыққанға дейін , ол сандар бірте-бірте екі еселене береді. Ізделінді
көбейтіндіні шығарып алу үшін қосукерек болатын оң жақ бағананың сандары
сол жақ бағанныңқиғаш сызығыменбелгіленген сандарына сәйкес келеді.
Бөлу көбейтуге кері бағытта келтіріледі: 195:15=(15+60+120):15=1+4+8=13
Көне мысырлықтәсілге «орысшакөбейту тәсілі» деп аталатын тәсіл
жақын, оны революцияғадейінгі деревня шаруалары қолданылыпкелген. Ол
біреуі қайталанып екі еселенетін, ал екіншісі бір саны шыққанға дейін екіге
7

10. айырылатын екі көбейткіштің көбейтіндісін тізбектеп алмастыруға негізделген.
Мысал: 27×16. Көбейткіштердің біреуі бір бағанның басынажазылып, қайтадан
екі еселенеді екінші көбейткіш екінші бағанның басынажазылып қайталап
екіге айырылады.
16
8
108
216 2
432
5. АМАЛДАРДЫ ТОҒЫЗДЫҚТЫҢ
КӨМЕГІМЕН ТЕКСЕРУ.
Ертеде көптеген есептеу әдістері мен арифметикалық амалдарды орындау
оңайға түспеді, Өйткені олар өте күрделі, шұбалаңқы болып, орынмен уақыт
көп кететін болды. Сондықтанол кезде адамдар жүргізгенесептеулерін
қазіргіден гөріжиірек тексеретін еді. Оның үстіне есептеулер қағаз бетінде
емес,құм немесе тозаң себілген есептеу тақтасында орындалатын.Әрбір аралық
есептеуді құммен «сүртіп» отыратын,сөйтіпкелесі есептеуді
орындайтын.Сонындатақтада тек берілген сандар мен табылған нәтиже ғана
қалып отырған.Тексерумақсатыменбарлық есептеуді жаңадан қайталап шығу
оңайға түспеді.Міне сондықтанда әр түрлі тексеру тәсілдері
қолданылды.Тексеруесепшығарудың соңғы кезеңі болыптабылады.
Тексерудің көне тәсілдерінің бірі «тоғыздықтәсілі» деп аталады. Ол тәсілдің
баяндалуы X ғасырдыңөзінде – ақ үнді математиктерінде кездеседі. Онымен
кейіннен ислам елдерінің ғалымдары, ал оданда кейінірек - Еуропа
математиктері де (Леонардо Фибоначчи,т.б.) танысқанболатын. Кез-келген
санды 9-ға бөлгенде, солсан цифрларыныңқосындысынтоғызғабөлгенде
шығатындай, қалдық қалатыны мәлім. Мысалы, 1738 санын 9-ға бөлгенде
қалдық бір қалады. 19=(1+7+3+8); 10=(1+9); сандарын9-ға бөлгендеде сондай
қалдық қалады.1738 санының цифрларынтізбектеп қосуданшыққан бір
таңбалы 1 санын шолақ сан деп атайық. Сондай-ақ бірнеше санның
қосындысынқандай да бір санға бөлгенде шыққан қалдық әр қосылғышты сол
санға бөлгенде шығатын қалдықтардыңқосындысына немесе қосындысын
берген санға бөлгендеқалатын қалдыққа тең болатыны белгілі. Мысалы:
23-ті 7-ге бөлгенде 2 қалдық қалады
85-ті 7-ге бөлгенде 1 қалдық қалады
115-ті 7-ге бөлгенде 3 қалдық қалады
223-ті 7-ге бөлгенде 6 қалдық қалады
Мысалы: 225 358
339 439
546 746
932
20 25
+ 09 + 15
8

11. 10 23
1110 2475
6. САНДАРДЫҢ КВАДРАТТАРЫН ТАБУДЫҢ
ОҢАЙ ӘДІСІ
Бүгінгі ғылыми- технологияныңдамуына байланысты адамзат баласы ой
және дене еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардыңтүр-түрінойлап
табуда. Мысалы, қазіргі кезде электронды есептеу машинасын қолдана
отырып,кез келген күрделі есептің шешімін аз ғана уақыт аралығында табуға
болады. Тіпті, қарапайым есептеу құралы- калькулятордыңөзібүгінгідей нарық
заманында қарапайым халық үшін аса тиімді. Әрине, мұныңбәрі адамның
ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болыптабылады.
Алайда, қалыптасқан жағдайдың пайдасыменқатар зияны да жоқ емес. Атап
айтқанда, бүгінде кез- келген оқушының қарапайым көбейту кестесін біле
бернмеуі мүмкін. Сол себепті де, баланың логикалық ойлау қабілетін дамыту
бүгінгі күннің өзекті мәселелерінің бірі деуге болады.
Ғылымның дамуы шығармашылық өнермен тығыз байланысты.
Шығармашылық өнер дегеніміз- күтпеген сенсациялықжаңалық ойлап табу
ғана емес, соныменқатар, бұрыннанбелгілі жағдайдың бұрынкөңіл бөлінбеген
қалтарыстарына үңілу. Мәселен,100 саныныңквадратын еш ойланбастан табу
ешкімге де қиындықтудырмасы мәлім.Ал,99 саныныңквадратын ешқандай
құралдың,кестенің өмегінсіз есептеу үшін математиктің өзібіршама ойланған
болар еді. Алайда, осы 99 санының квадратында еш қиындықсыз тез арада
есептеуге болады екен.Берілген жағдайда 100 саныныңквадраты 10000 екені
белгілі.Енді, сол10000 санынан 99 және 100 сандарынайырамыз.
992=1002-100-99=9801 (1)
Сонымен, бізге қажетті 99 саныныңквадраты 9801 екнін аса қиналмай-ақ тауып
лдық. Енді, осы қолданған тәсіліміз қандай да бір заңдылыққабағына ма жоқ
па, соны іздестіріп көрейік.Егер, бізге қажетті 99 санын (х-1)2 десек, 99 санын
х-1, ал 100 санын х деп белгілейміз. Сонымен алдыңғы өрнекті былай жазуға
болады:
(х-1)2 =x2-(x-1)-x (2) өрнекті түрлендірсек, (х-1)2=х2-2х+1 (3)
Демек, берілген өрнек(а-b)2=a2-2ab+b2, яғни айырымныңквадраты
заңдылығыныңв=1жағдайы болып табылады. Сонымен, жоғарыдакелтірілген
өрнекке қарап отырыпкелесі анықтаманы қабылдауға болады.
Анықтама1. Қатар екі санның соңғысыныңквадраты белгілі болған жағдайда
алдыңғы санныңквадраты белгілі болған жағдайда алдыңғы санныңквадраты
кейінгі санның өзін айырғанға тең болады.
Аталған анықтаманы керісінше де айтуға болады, яғни, берілген жағдайда 101
саның квадратынтабу үшін 1-өрнекті былай жазуға болады:
1012 =1002+101+100=10000+201=10201 (4)
яғни, (х+1)2=х2+(х+1)+х (5)
(х+1)2=x2+2x+1 (6)
6-өрнек ( а+б)2 = a2+2ab+b2, қосындыныңквадраты заңдылығыныңb=1
9

12. болғандағы салдары болыптабылады.
Анықтама 2. Қатар екі санның алдыңғысыныңквадраты белгілі болған
жағдайда кейінгі санның квадраты алдыңғы санның квадратына алдыңғы сан
мен солсанның өзін қосқанғатең болады. Соныменжоғарыдаатап
көрсетілгендей, кез-келген санның квадраты белгілі болған жағдайда, сол
санның алдындағы және артындағы сандардыңквадраттарынөте оңай тәсілмен
есептеуге болады екен.Дегенмен, біз қабылдаған анықтамалар тек қатар тұрған
сандар үшін берілген. Енді аталған заңдылықтарды басқа да сандар үшін
қолдану мүмкіншілігін іздестіріп көрелік. Айталық бізге 91-109 сандарының
квадратын 100 санын қолдана отырыптабу қажет болды делік 91-98
сандарыныңквадраттарын100 саны арқылы табу үшін 1-өрнекті былай
жазылады:
982=1002-(100+98)* 2
972=1002(100+98)*3
912=1002-(100+91)*9
Сонымен 2,3-өрнектер мынадай жалпы түргеие болады:
(x-a)2=x2-(x+(x-a))*a
(x-a)2= x2-2ax+a2
мұндағы, х-квадраты белгілі сан; а- квадраты белгілі санмен квадраты
анықталтын сан айырымы;мысалы, 98 саны үшін 100-98=2
Жоғарыдакелтірілген 4-өрнек 102-109 сандары үшін былай жазылады:
1022=1002+(100+102) ×2=10404
1032=1002+(100+103) ×3=10609
1092=1002+(100+109) ×9=11881
Демек, 4-өрнекті былай түрлендіруге болады:
(x+a) 2=x2+ ((x+a) +x) ×a
(x+a) 2 = x2+2ax+a2
8,11- өрнектерді кез-келген сан үшін қолдануға болады. Мысалы, 17 санының
квадратын табу үшін 8-өрнекті былай жазуға болады:
172=202-(20+17) ×3=400-111=289
Яғни, 17 санының алдындағы квадраты оңай есептелетін сандардың ең жақыны
15, ал соңындағы сандардан 20-ны алу тиімдірек.
Сонымен,11- өрнекбойынша:
172=152+(15+17) ×2=225+64=289
Қорытакеле, жоғарыдағы анықтамаларды былай жалпылауға болады.
Квадраты белгілі санның алдындағы кез-келген санның квадраты сол санның
квадратынан сол екі санның қосындысынаолардың айырмасын көбейтіп,
айырғанға тең болады.
Және керісінше, квадраты белгілі саннан кейінгі кез-келген санның квадраты
сол санның квадратына сол екі санның қосындысынаолардың айырмасын
көбейтіп, қосқанға тең.
Сонымен, кез-келген санның квадратын қолдана отырып, солсанның
маңайындағы сандардың квадраттарын оңай және ұтымды түрдетабуға болады
екен.
10

13. Іс жүзінде осы тәсілді игерген оқушы есептеу кестесімен калькулятордың
көмегінсіз ақ кез-келген саның квадратын еш қиналмай табылатыны сөзсіз.
Қорытакеле жоғарыдағы анықтамаларды былай жалпылауға болады.
Квадраты белгілі санның алдындағы кез-келген санның квадраты сол санның
квадратынан сол екі санның қосындысынаолардың айырмасын көбейтіп,
айырғанға тең болады.
Және керісінше квадраты белгілі саннан кейінгі кез-келген санның квадраты
сол санның квадратына сол екі санның қосындысынаолардың айырмасын
көбейтіп, қосқанға тең.
Сонымен, кез-келген санның квадратын қолдана отырып, солсанның
маңайындағы сандардың квадраттарын оңай және ұтымды түрдетабуға болады
екен.
Ісжүзінде осы тәсілді игерген оқушы есептеу кестесімен калькулятордың
көмегінсізақ кез-келген сандарғаарифметикалық амалдарды орындауғаболады
және ең тиімді тәсілдер екеніне көз жеткіземіз.
ҚОРЫТЫНДЫ
Бүгінгі ғылыми- технологияныңдамуына байланысты адамзат баласы ой
және дене еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардыңтүр-түрінойлап
табуда.
Есептеудің тиімді тәсілдері ұйымдастырудыңбасты формасы – жұмыстарды
орындау, ептілік, іскерлік, шеберлік дағдысындамыту. Бұл үшін төмендегідей
тиісті талаптарды орындауғатура келеді:
1. Тиімді тәсілдері есептеуде кез-келген жұмыстыңнақты мақсаты болу керек.
Әрбір оқушы жұмыстыңорындалутәртібін жетік білу керек.
2. Есептеудің тиімді тәсілдері оқушылардыңбойындағы танымдыққабілетін,
творчестволықойлау жүйесін қалыптастыруға мүмкіндік береді.
3. Жұмыстыңмазмұны оқушыныңқызығуын, талпынысыноятабілуі тиіс. Яғни
оның тілегі жұмыстыңсоңынадейін бәсендемейтіндей болуы керек.
4. Есептеудің тиімді тәсілдерін оқушылардың дағдылары мен әдістерін жетік
игеріп түсетіндей етіп ұйымдастыруқажет.
Қорытакелгенде, оқушылардың өз бетімен орындайтынжұмыстары:
карточкалар, өздік жұмыстар, есептер шығарту, кестелер толтыруарқылы
жүзеге асады. Тоқсандықбақылау, өздік 5-10 минуттық бақылау жұмыстары
жүргізіледі.
Тіпті, есептеудің қарапайым әдіс-тәсілдерінің пайдалы тұстары анықталды,
бүгінгідей нарық заманында қарапайым халық үшін аса тиімді. Әрине, мұның
бәрі адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылады.
Мен қарастырғанесептеудің тиімді тәсілдері ауызша есептеуге өте жақсы
көмектеседі және де шапшаңдыққа, ұшқырлыққа, жылдам ойлауға жетелейді
деп ойлаймын.
11

14. ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР:
1. Перельман Я.И. «Қызықты алгебра»
2. Математика анықтамалығы
3. «Математика, физика» журналдары.
4. Перельман Я.И. «Қызықтыалгебра»
5. Математика анықтамалығы
6. «Мектептегі матеметика»
7. «Информатика, физика, математика» журналдары.
8. Г.И.Глейзер «Мектептегі математика тарихы»
9. Бидосов Ә. Математиканы оқыту методикасы / Ә. Бидосов.-Алматы:Мектеп.
10. СтойловаЛ.П. Математика. Учебное пособиедля студентов педвузов. – М.,
2000
12