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乱数のたのしい話
- 3. よい乱数 • なるべくバラバラ • 予測しにくい • どの数字も同じように出てくる
- 4. 乱数と圧縮 • 予測できるのであれば予測ルールを使って 数列を省略表記できる – 圧縮できる • 理想の乱数 – その数列より短い情報で表現できない – 圧縮できない – アルゴリズムで書けない
- 5. 擬似乱数 • アルゴリズムによって乱数を生成する • アルゴリズムは乱数列よりも短い – 圧縮されてる – 理想の乱数ではない
- 6. 疑似乱数いろいろ • 線形合同法 • メルセンヌ・ツイスター • XorShift
- 7. 線形合同法 • s = (a × s + b) mod m • よいところ – 計算が簡単 – メモリを食わない • 数値の選び方(周期がmになる) – m = 2^n – a = 4 x + 1 – b = 奇数 https://gist.github.com/kishida/96c4abaa266aad76b867
- 8. 線形合同法の欠点 • 下位ビットに規則性がある • 多次元で疎に分布 • 周期があまり長くできない https://gist.github.com/kishida/63dc54a1a01062014339
- 9. メルセンヌ・ツイスタ • 周期がとても長い – 2^19937-1 – メルセンヌ素数 • 高次元(623次元)に均等分布 • すべてのビットがランダム • 名前がかっこいい
- 10. XorShift • XorとShiftだけでできる • 実装簡単 • 周期も長い • メモリも食わない
- 11. 疑似ではない乱数 • 神はサイコロを振らない – アインシュタイン • 実は神はサイコロを振る • 量子効果は本質的にランダム • そこらへんのノイズはランダム • Linux – /dev/random • Core i(Ivy Bridge以降) – rdrand
- 12. 乱数をなにに使うか • ゲーム • シミュレーション • ルールの弱点をなくす • まじめに計算したら答えが出ない問題
- 13. シミュレーション • 現実はいろいろな要素がからんで複雑な動き をする • たくさんあると何らかの分布に落ち着く • その分布に従う乱数を使えばいい
- 15. ルールの弱点をなくす • クイックソート – 平均計算量 O(n log n) – ソート済のリストに対してはO(n^2) quickSort :: Ord a => [a] -> [a] quickSort [] = [] quickSort (p:xs) = (quickSort less) ++ [p] ++ (quickSort more) where less = [ x | x <- xs, x < p ] more = [ x | x <- xs, p <= x ] (「ふつうのHaskell」より)
- 16. ルールの弱点をなくす • アルゴリズムの弱点がバレると攻撃に 使われる • クイックソートのピボットをランダムに選ぶ – 弱いリストが来ることはほとんどありえない • 乱数を使うけど結果は正しい – ラスベガスアルゴリズム
- 17. まじめに計算したら答えが出ない問題 • 素数かどうか判定する • 最適化問題 – 焼き鈍し法 – 遺伝アルゴリズム – ニューラルネットワーク
- 18. 素数かどうか判定する • それより小さい数で割ってみる – 大きさnの数についてnに比例する時間がかかる – nがm桁のときn = 10^m – m桁の数について10^mの時間がかかる • 指数時間
- 19. フェルマーテスト • フェルマーの小定理を使う – a^(p-1) ≡ 1 (mod p) – aのp-1乗をpで割った余りは1 • pを素数、aをpの倍数ではない整数(aとpは互いに素) • nが素数かどうか判定するアルゴリズム – 適当な数aを選ぶ(2 <= a < n) – nとaに公倍数があれば合成数 – a ^ (n – 1) mod nが1以外なら合成数 – 何回か違うaで試す http://d.hatena.ne.jp/nowokay/20081111#1226388552
- 20. フェルマーテスト • たまに間違う – 合成数と判定されたものは必ず合成数 – 素数と判定されたものがたまに合成数 • 偽素数(カーマイケル数) • 乱数を使ってたまに間違うアルゴリズム – モンテカルロアルゴリズム – 判定のどちらかだけ間違う • 片側誤りモンテカルロアルゴリズム http://d.hatena.ne.jp/nowokay/20081111#1226388552
- 22. 最適化問題の解法 • 焼き鈍し法 – シミュレーテッド・アニーリング • 遺伝アルゴリズム
- 23. 巡回セールスマン問題 • Travelling Salesman Problem(TSP) • セールスマンがすべての都市を巡回する ための最短路を求める • まじめに計算するとちょう時間がかかる – n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1
- 25. TSPを遺伝アルゴリズムで解いてみる • 賢いランダム • 成績がいいやつを かけあわせる https://gist.github.com/kishida/25c2348211c4a4620789
- 26. 遺伝アルゴリズム • 遺伝子型と表現型を決める – 表現型 • 実際に求めたい組み合わせ • TSPの場合は都市番号 – ex: a -> c -> d -> e -> b -> a – 遺伝子型 • 遺伝アルゴリズムで表現 しやすい型 • TSPの場合、残りのうち 何番目か – ex:12221 a b e c d
- 27. 遺伝アルゴリズム • 初期集団を作成 – 遺伝子型をランダムに作成 • 遺伝子をかけあわせる – ほかの遺伝子とつなぎかえる • 突然変異 – 一部をランダムに変える • 淘汰 – 成績いい遺伝子を残す – 上位だけを残すと過適合するので 下位のものも残るようにする • 何世代か繰り返す
- 28. まとめ • 乱数を使うと、通常のアルゴリズムでは 解けない問題が解ける • だいたいいろいろパラメータがある – 調節はまる • なんでうまく動くかわからない – 理解力があったとしても！ • 乱数たのしい！