Rangkuman materi Hasilkali Transformasi

1 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB V
HASILKALI TRANSFORMASI
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015

VVG
VVF


:
:
HASIL KALI TRANSFORMASI
Definisi: Andaikan F dan G dua transformasi, dengan
Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F
didefinisikan sebagai
(G o F)(P) = G [F(P)], VP .
Teorema 5.1: Jika F : VV dan G : VV masing-masing suatu transformasi,
maka hasilkali H= G o F : VV adalah juga suatu transformasi.
Bukti :
i. Harus dibuktikan bahwa H= G o F : VV ada.
1) Jelas adalah seluruh bidang V
Jadi ada sehingga H = G o F : V V ada.
ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1) H surjektif, 2) H injektif.
1) Misal H(y) = (G o F)(y) = x
Akan dibuktikan H(y) = x surjektif.
Ambil sebarang x V.
Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya
x V z V G(z) = x.
Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya
pada z V y V z = F(y).
Jadi ada y V (G o F)(y) = H(y) = x.
Jadi H surjektif.
2) Ambil x, y dengan x y H(x) H(y)
Andaikan H(x) = H(y) maka (G o F)(x) = (G o F)(y)
Karena G injektif maka F(x) = F(y).

Karena F injektif maka x = y.
Ini suatu kontradiksi.
Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.
Jadi H injektif.
Berdasarkan i dan ii maka H= G o F : V V adalah suatu transformasi.
Catatan:
Hasil kali J = F o G : VV adalah juga suatu transformasi.
Bukti :
i. Harus dibuktikan bahwa J = F o G : VV ada.
Jadi ada sehingga J = F o G : VV ada.
ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1). J surjektif, 2). J injektif.
1) Misal J(y) = (F o G)(y) = x.
Akan dibuktikan J(y) = x surjektif.
Ambil sebarang x V.
Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya
x V z V F(z) = x.
Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya
pada z V y V z = G(y).
Jadi ada y V (F o G)(y) = J(y) = x.
Jadi J surjektif.
2) Ambil x, y dengan x y J(x) J(y).
Andaikan J(x) = J(y) maka (F o G)(x) = (F o G)(y)
Karena F injektif maka G(x) = G(y).
Karena G injektif maka x = y.
Ini suatu kontradiksi dengan x y.
Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.
Jadi J injektif.
Berdasarkan i dan ii maka J = F o G : VV adalah suatu transformasi.

Contoh:
Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : V V yang didefinisikan
sebagai berikut.
1. Jika X g maka T(X) = X.
2. Jika X g maka T(X) adalah titik tengah ruas garis dari X ke g yang tegak
lurus.
a. Buktikan T suatu transformasi.
1) Adb T surjektif
Kasus 1: Untuk X g
Menurut definisi maka X’= X karena T(X) = X’ = X.
Jadi X’ V X V T(X) = X’ = X.
Kasus 2 : Untuk X g
Ambil sebarang titik X’ V.
Menurut teorema dasar geometri Euclides: ada satu garis yang tegak lurus
pada garis tertentu melalui titik di luar garis tersebut.
Dengan demikian, dapat dibuat sebuah segmen garis yang tegak lurus g
melalui X’. Namai .
Menurut postulat geometri Euclides: sebuah segmen dapat diperpanjang
sehingga sama dengan segmen tertentu.
X = T(X)
g
Gambar 1
X
X
’
g
Gambar 2

Jadi dapat dibuat perpanjangan segmen sepanjang segmen tersebut
sehingga diperoleh titik X dengan = .
Karena = dan V bidang euclides maka ada X tunggal dengan X’
Dengan X’ adalah titik tengah dan X’ adalah satu-satunya titik
tengah .
Ini berarti X adalah prapeta dari X’.
Jadi X’ V X V T(X) = X’.
Jadi T surjektif.
2) Adb T injektif
Ambil sembarang titik X, Y dengan X
X Y
jelas ruas garis ortogonal X ke g ruas garis
ortogonal Y ke g
Ditunjukkan X Y
Andaikan .
Maka T(X) adalah titik tengah ruas garis ortogonal Y ke g dan X ke g.
T(Y) adalah titik tengah ruas garis ortogonal X ke g dan Y ke g.
Ruas garis ortogonal X ke g berpotongan ruas garis ortogonal Y ke g.
Jadi X = Y
Kontradiksi dengan X Y.
Haruslah X Y .
Jadi T adalah injektif.
Dari 1) dan 2) didapat T adalah transformasi.
a. Apakah T suatu isometri?
Penyelidikan:
Ambil sebarang titik .

Kasus 1: dan dengan
Jelas T(P) = P’ = P Q = Q’ = T(Q).
Jadi P’Q’ = PQ.
Kasus 2: dan .
Jelas T(P) = P’ = P.
Jelas T(Q) = Q’ dengan Q’ adalah titik tengah ruas garis ortogonal dari Q ke
Q’.
Jadi PQ P’Q’= PQ’.
PR! Kasus 3 : dan , dengan Q tidak segaris
Kasus 4 : dan . dengan
Berdasarkan kasus 1 dan kasus 2, diperoleh bahwa T bukan isometri.
b. Ambil transformasi kedua misalnya sebagai berikut: Ambil sebuah garis
h  g dan Mh adalah refleksi pada garis h. Jadi hasilkali Mh[T(X)] = Y
juga suatu transformasi sehingga Y = (Mh o T)(X).
Apakah hasilkali ini isometri?
h
P=T(P) Q=T(Q)
g
Gambar 3
Q
g
Q’=T(Q
)
P=T(P)
Gambar 4
X
g
X’=T(X) Y
Gambar 5
X
X’=T(X)

Adb. (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X)
Bukti:
Dari gambar 5, ambil garis g misalkan sebagai sumbu X suatu koordinat
ortogonal dan garis h sebagai sumbu Y. Titik potong h dan g sebagai titik
asal.
Misalkan X = (x,y) maka T(X) = (x,
2
1
y) dan Mh[T(X)] = (-x,
2
1
y).
Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(X)] = (-x,
2
1
y).
Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)].
Sehingga apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (-x, y) dan T[Mh(X)] = (-x,
2
1
y).
Jadi (T o Mh)(X) = T[Mh(X)] = (-x,
2
1
y).
Karena Mh[T(X)] = T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X) yang
berlaku untuk setiap XV.
Jadi (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X).
Jadi hasilkali ini isometri.
Mh(X) =(-x,y)X(x,y)
y
x
sb. X
O
sb. Y
X’=T(X) Y
Gambar 6
TETAPI SIFAT KOMUTATIF TIDAK SELALU BERLAKU

Bukti:
Ambil garis g dan garis h yang tidak tegak lurus pada g.
Jelas bahwa Mh[T(X)] T[Mh(X)].
Jadi (Mh o T)(X) (T o Mh)(X).
Berdasarkan hal di atas dapat dikatakan bahwa apabila S dan T transformasi
maka S o T T o S.
Buktikan bahwa pada gambar 7, Mh[T(X)]  T[Mh(X)].
Bukti:
Dari gambar 7, ambillah garis g sebagai sumbu X suatu sistem koordinat
ortogonal dan garis h sebagai grafik persamaan y = x . Titik potong h dan g
kita ambil sebagai titik asal O.
T[Mh(X)]
Mh(X)
Mh[T(X)]
>
>
h
Gambar 7
g
X
X’=T(X)
X(x,y)
x
y
O
sb.
Y
Mh(X)
Mh[T(X)]
>
>
y=x
Gambar 8
sb. X
X’=T(X)
T[Mh(X)]

Misalkan X = (x,y) maka T(x) = (x,
2
1
y) dan Mh[T(x)] = (
2
1
y, x).
Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(x)] = (
2
1
y, x).
Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)].
Apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (y, x) dan T[Mh(X)] = (y,
2
1
x).
Oleh karena Mh[T(X)] T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X) (T o Mh)(X) yang
berlaku untuk setiap XV.
Jadi Mh[T(X)] T[Mh(X)].
Hasil kali transformasi tidak hanya terbatas oleh dua transformasi. Andaikan
T1, T2, T3 adalah transformasi. Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita dapat
menyusun terlebih dahulu hasil kali T1 o T2 kemudian kalikan dengan T3.
Hasilkali transformasinya dapat kita sebagai T3(T2T1).
Jadi andaikan P’ = T1(P), P” = T(P’), P”’ = T3(P”), maka
[T3(T2T1)](P) = T3[T2T1(P)]
= T3[T2{T1(P)}]
= T3[T2(P’)]
= T3(P’’)
= P’’’
Selain cara di atas kita juga dapat mengalikan sebagai berikut:
[(T3T2 )T1](P) = (T3T2 ) [T1(P)]
= (T3T2)(P’)
= T3 [T2(P)]
= T3(P’’)
= P”’
Jadi hasilkali transformasi bersifat asosiatif. Kita dapat mengatakan bahwa
T3(T2T1) = (T3T2)T1 = T3T2T1.

g
g
PEMBAHASAN SOAL
BAB V HASILKALI TRANSFORMASI
1). Diketahui : garis-garis g dan h dan titik-titik P,Q dan K.
Lukislah :
a). A = Mg[Mh(P)]
b). B = Mh[Mg(P)]
c). C = Mh[Mh(P)]
d). D = Mg[Mh(K)]
e). R sehingga Mh[Mg(R)] = Q
f). Apakah Mg Mh = Mh Mg?
Penyelesaian:
a)
b)
Q
P
h
A = Mg[Mh(P)]
Mh(P)
B = Mh[Mg(P)]
P
Mg(P)
h

g
Q
P
h
K = D= Mg[Mh(K)]
Mh(Q)
Q = Mh[Mg(R)]
c)
d)
e)
f) Tidak, sebab terlihat pada nomor (a) dan (b), diperoleh
Mg[Mh(P)]  Mh[Mg(P)]. Selain itu, sifat komutatif tidak berlaku secara
umum pada hasilkali transformasi. Pembuktian dapat dilihat di materi.
2). Diketahui : T dan S isometri
Selidiki :
a). TS sebuah isometri
P = Mh[Mh(P)]
Mh(P)
h
g
P
h
g
R

b). TS = ST
c). Jika g sebuah garis maka g’ = (TS)(g) juga sebuah garis.
d). Jika g // h dan g’ = (TS)(g), h’ = (TS)(h) maka g’ // h’
Penyelesaian :
a). T dan S adalah isometri-isometri sehingga T dan S adalah suatu
transformasi
Berdasarkan teorema “Jika F : V  V dan G : V  V masing-masing
suatu transformasi, maka hasil kali H = GF : V  V adalah juga suatu
transformasi”, maka TS juga transformasi.
Adb. TS isometri.
Ambil sebarang titik A, BV.
Jelas S(A) = A’, S(B) = B’.
Karena S isometri maka AB = A’B’.
Jelas T(A’) = A”, T(B’) = B”.
Karena T suatu isometri maka A’B’ = A”B”.
Diperoleh AB = A’B’ = A”B”.
Jelas TS(A) = T[S(A)] = T(A’) = A” dan
TS(B) = T[S(B)] = T(B’) = B”.
Karena AB = A”B” maka TS sebuah isometri.
Jadi TS adalah suatu isometri.
b). Adb TS = ST
Didefinisikan T(P) = P’ dan T(Q) = Q’.
Misalkan |PQ| = |P’Q’| |PQ| = |T(P) S(Q)|.
TS(P) = P’ dan ST(P) = P’.
Karena TS(P) = ST(P) = P’ maka TS = ST = 1.
Jadi TS = ST.
c). Apabila g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis.
Telah diketahui bahwa TS sebuah isometri.
Berdasarkan teorema “sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”.
Maka g’ = TS(g) adalah sebuah garis.

Jadi pernyataan “jika g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis”
benar.
d). Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’.
Karena TS sebuah isometri, berdasarkan teorema “sebuah isometri
mengawetkan kesejajaran dua garis” sehingga diperoleh g’// h’ dengan g’
= TS(g), h’ = TS(h), g // h .
Jadi pernyataan “Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’”
benar.
3). Diketahui : garis-garis g dan h, A g, B h, C  h
Lukislah :
a). Mg[Mh( ABC)]
b). Mh[Mg(  ABC)]
c). K sehingga Mg[Mh(K)] = K
d). R sehingga Mh[Mg(R)] = D
Penyelesaian:
a).
Mh(A) = A’
Mh(B) = B (karena B h )
g
h
A
C
B
A’
C’
C”
A”
B”

Mh(C) = C’
Mg(A’) = A”
Mg(B’) = B”
Mg(C’) = C”
Jadi, Mg[Mh(ABC)] = A”B”C”.
b).
Mg(A) = A’ = A (karena A g )
Mg(B) = B’
Mg(C) = C’
Mh(A’) = A”
Mh(B’) = B”
Mh(C’) = C”
Jadi, Mh[Mg(ABC)] = A”B”C”.
c). Akan dilukis K sehingga Mg[Mh(K)] = K.
Mg[Mh(K)] = K  (MgMh)(K) = K.
Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik
potong antara garis g dan garis h. Oleh karena itu K adalah titik potong
garis g dan garis h.
g
h
K
g
h
A = A’
C
B
A”
C”
C’
B”
B’

d). Akan dilukiskan titik R sehingga Mh[Mg(R)] = D.
Karena D h maka D’ = Mh(D) = D.
Diperoleh Mg(R) = D.
Jadi, R adalah prapeta D oleh Mg
4). Diketahui : garis-garis g, h, k dengan g // k
Lukislah :
a). g’ = Mh[Mg(g)]
b). g’ = Mg[Mh(g)]
c). k’ = Mg[Mh(k)]
Penyelesaian:
a) g’= Mh[Mg(g)]
Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q serta namai
titik perpotongan garis g dan h di R . Setelah mendapatkan pencerminan P
di P’, R di R dan Q di Q’, hubungkan titik P’, R, dan Q’ menjadi suatu
garis yaitu garis g’.
g
h
R
D
g’
Q
R
Q’
P
P’h g
k

b) g’= Mg[Mh(g)]
Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q.
c) k’= Mg[Mh(k)]
Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik A dan B. namai titik
perpotongan garis h dan k di C.
g
’ Q’’
P’’
Q
R
Q’
P
P’h g
k
k’
A’’
B’’
B’
A’
B
C
A
h g
k

5). Diketahui : dua garis g dan h yang berpotongan
Lukislah :
a). k sehingga Mg[Mh(k)] = g
b). m sehingga Mh[Mg(m)] = g
c). n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h
Penyelesaian:
a) k sehingga Mg[Mh(k)] = g
Mg[Mh(k)] berarti k dicerminkan terlebih dulu terhadap garis h kemudian
hasilnya dicerminkan terhadap garis g. Karena hasil pencerminan
terhadap garis g adalah g maka (Mh(k)) = g.
b) m sehingga Mh[Mg(m)] = g
Mh[Mg(m)] berarti m dicerminkan terhadap garis g terlebih dulu kemudian
hasilnya dicerminkan terhadap garis h.
Misalkan Mg(m) = i.
Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah g berarti Mh[Mg(m)] =
Mh(i) = g.
Karena hasil pencerminan Mg(m) = i maka g merupakan sumbu antara i
dan m.
g
h
k

c) n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h.
Misalkan Mh[Mg(n)] = l sehingga l membagi sama besar sudut lancip
antara g dan h, serta Mg(n) = k.
Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah l berarti Mh[Mg(n)] =
Mh(k) = l.
Karena hasil pencerminan Mg(n) =k maka g merupakan sumbu antara k
dan m.
6). Diketahui : padanan S dan T sebagai berikut
Daerah asal S adalah g, S(X) adalah titik tengah AX
m
i
g
h
n
k
h
g
l

Daerah asal T adalah daerah di luar lingkaran l dan T(X) =
lBX
Ditanyakan :
a). TS(P)
b). Daerah asal dan daerah nilai TS
c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q l
d). Apakah ST ada? Jika ya, tentukan daerah asal dan daerah nilainya
Penyelesaian:
a). Ambil P g sehingga S(P) pertengahan AP.
TS(P) = T[S(P)].
TS(P) perpotongan lingkaran l dengan BS(P) .
b). Karena TS(X) = T[S(X)] berarti daerah asal T adalah S, sementara
daerah asal S adalah g. Jadi, daerah asal TS di g.
Daerah nilai S adalah S(X) yaitu pertengahan AX. Daerah nilai T(X)
adalah lBX , dan untuk TS(X) maka ll BS(X)
Jadi, daerah nilai TS adalah pada lingkaran l.
c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q l
B
TS(P)
A
P
g
S(P)
l
B
Q
A
R
g
S(R)
l

d). Ambil sebarang titik P
Maka T(P) di l karena daerah hasil T di l.
S[T(P)] tidak ada karena T(P) ,l sementara daerah asal S di g.
Jadi, ST tidak ada.
7). Diketahui : garis g adalah sumbu X sebuah sumbu ortogonal dan
  xyyxh  , .
Ditanyakan :
a). Persamaan garis Mh[Mg(g)]
b). P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3)
c). Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1)
d). R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y)
e). Besarnya  ROR” apabila O titik asal
Penyelesaian:
a). Mh[Mg(g)] = Mh(g)
= Mh    Rxx ,0,
Ingat! misalkan diketahui titik A (a, b), maka penerminan A terhadap
garis y = x adalah A’ (b, a).
Jadi Mh[Mg(g)] =   Rxx ,,0 .
Jadi, diperoleh Mh[Mg(g)] adalah sumbu-Y sebuah sistem sumbu
ortogonal.
Jadi persamaan garis Mh[Mg(g)] adalah x = 0.
b). Akan ditentukan P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3)
Mh[Mg(P)] = Mh[Mg(0,3)]
= Mh[(0,-3)]
= (-3,0)
Jadi P” = (-3,0).

c). Akan ditentukan Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1)
Mh(Q) = Mh(3,-1)
= (-1,3)
Diperoleh Q” = Mg[Mh(Q)]
= Mg(-1,3)
= (-1,-3)
Jadi Q” = (-1,-3).
d). Akan ditentukan R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y)
R” = Mg[Mh(R)]
= Mg[Mh(x, y)]
= Mg(y, x)
= (y,-x)
Jadi R” = (y,-x).
e). m( ROR”) = ...?
Cara 1
Misalkan m( ROR”) = α
          
 
 






270αatau90α
0αcos
0αcos2
αcos222
αcos2
αcosOR"OR2OR"ORRR"
22
2222222222
2222222222
222
yx
yxxyyxxxyyyxyx
xyyxxyyxxyyx
Jadi, m( ROR”) = 90
Cara 2
Menentukan besar  ROR” dengan O adalah titik asal R(x, y) dan R’’(y,
-x).
R dicerminkan dulu terhadap garis g = sumbu X, dilanjutkan
dicerminkan terhadap garis h.
O(0,0)
R(x,y)
α)
R”(y,-x)

Persamaan garis yang melalui O dan R adalah
x
x
y
y
x
x
y
y
R
R
RR






0
0
0
0
Persamaan garis yang melalui O dan R’’ adalah
x
x
y
y
x
x
y
y
R
R
RR ''
''
'''' 0
0
0
0






Karena xyR '' dan yxR '' maka diperoleh ''OROR  .
Jadi  ROR” = 90.
8). Diketahui : dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P
Buktikan : Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P
Bukti :
Garis g dan h berpotongan di titik P, maka P g dan P h
  Diketahui Mg[Mh(A)] = P ..........(i)
Akan dibuktikan jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P
Karena P ,g menurut definisi pencerminan,
Mg(P) = P ..........(ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh
Mg[Mh(A)] = P = Mg(P)  Mh(A) = P ..........(iii)
Karena P ,h menurut definisi pencerminan,
Mh(P) = P ..........(iv)
Dari (iii) dan (iv) diperoleh
Mh(A) = P = Mh(P) A = P
Jadi, jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P (terbukti)
  Diketahui A = P
Akan dibuktikan jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P
Karena A = P dan P ,h menurut definisi pencerminan,
Mh(A) = Mh(P) = P
Karena P ,g menurut definisi pencerminan,
Mg(P) = P = Mg[Mh(A)] sehingga Mg[Mh(A)] = P

Jadi, jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P (terbukti)
Dari   dan   diperoleh :
Jika dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P, maka
Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P (terbukti).
9). Diketahui : andaikan g sumbu X dan h =   xyyx ,
S adalah padanan yang didefinisikan sebagai berikut :
Jika P g maka S(P) = P, jika P g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis
tegak lurus dari P pada g
Ditanyakan :
a). Buktikan S suatu transformasi!
b). Jika P = (x,y) sebuah titik sembarang, tentukan koordinat-koordinat titik
S[Mg(P)]!
c). Selidiki apakah S Mg = Mg S?
d). Selidiki apakah S Mh = Mh S?
Penyelesaian:
a). Akan dibuktikan S suatu transformasi.
S : V  V
Akan dibuktikan S bijektif.
(i). Akan dibuktikan S surjektif.
(1). Untuk P g .
Ambil sebarang PV.
Jelas prapeta P = P sebab S(P) = P.
(2). Untuk P g .
Oleh karena V bidang euclide maka terdapat dengan tunggal P.
dengan P PT dimana T g dan PT g.
Sehingga PX = XT.
Karena PX = XT maka X merupakan titik tengah PT.

Jadi, X adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g
atau X = S(P), karena X = S(P) maka P prapeta dari X.
Dari (1) dan (2) diperoleh S surjektif.
(ii). Akan dibuktikan S injektif.
Ambil sebarang P, QV dengan P  Q.
(1). Untuk P, Q g .
Jelas S(P) = P dan S(Q) = Q.
Karena P  Q maka S(P)  S(Q).
(2). Untuk P g dan Q g .
Jelas S(P) = P dan S(Q) = X, dimana X titik tengah ruas garis
tegak lurus dari Q pada g, maka X g .
Karena P g dan X g maka P  X atau S(P)  S(Q).
(3). Untuk P, Q g .
Jelas S(P) = Y, dimana Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari
P pada g dan S(Q) = X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q
pada g.
Andaikan S(P) = S(Q) atau Y = X.
Karena Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g,
misalkan ruas garis tersebut dinamakan PT dimana T g .
Maka Y PT dan PY = YT
Karena X = Y maka X PT dan PX = XT ..........(*)
Karena S(Q) = X maka X titik tengah ruas garis tegak lurus dari
Q pada g, maka X UQ dan QX = XU ..........(**)
Dari (*) dan (**) diperoleh PT dan UQ berimpit.
Karena T g dan U g maka T = U dan P = Q, hal ini
kontradiksi dengan P  Q.
b). Diketahui P = (x, y).
(i). Untuk P g .
Mg(P) = P maka S[Mg(P)] = P.

(ii). Untuk P g .
Mg(P) = (x,-y).
S[Mg(P)] = )
2
1
,( yx  .
c). Akan diselidiki apakah S Mg = Mg S.
Ambil sebarang P = (x, y).
(i). Untuk P g .
[S(P)]M(P)][MS
P(P)M[S(P)]MmakaPS(P)
PS(P)(P)][MSmakaP(P)M
gg
gg
gg







[S(P)]M(P)][MS
)
2
1
,(M[S(P)]Mmaka)
2
1
,(S(P)
)
2
1
,(S(P)(P)][MSmaka),((P)M
gg
gg
gg









yxyx
yxyx
Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh [S(P)]M(P)][MS gg  atau S Mg = Mg S.
d). Akan diselidiki apakah S Mh = Mh S.
Ambil sebarang P = (x, y).
(i). Untuk P g .
(P)][MS[S(P)]M
),0([S(P)]Mmaka)0,(S(P)
)
2
1
,0((P)][MSmaka),0((P)M
hh
h
hh







xx
xx
(P)][MS[S(P)]M
),
2
1
([S(P)]Mmaka)
2
1
,(S(P)
)
2
1
,((P)][MSmaka),((P)M
hh
h
hh









xyyx
xyxy
Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh (P)][MS[S(P)]M hh  atau S Mh 
Mh S.
10). Diketahui : g =   0, yyx dan h =   xyyx ,
S transfomasi (yang didefinisikan seperti nomor 9)

A = (2,-8) dan P = (x, y)
Tentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut :
a). Mh Mg S(A) d). Mh S Mg(P)
b). Mg S Mh(A) e). S2
Mh(P)
c). S Mh S(A) f). S M2
g(P)
Penyelesaian:
a). A = (2, -8)
A’ = S(A)
Sesuai definisi S (jika P g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis
tegak lurus dari P pada g) maka A’ adalah titik tengah garis yang melalui
A dan  g.
A’ = )4,2()
2
)8(0
,
2
22
( 

.
Jadi, S(A) = (2,-4).
A” = MgS(A) = Mg(2,-4)
Sesuai definisi pencerminan, maka garis g adalah garis sumbu titik (2, -4)
dan A”. Misal:
A” = (a, b), maka:
4,2)2
2
,
2
1()0,2()
2
4
,
2
2
()0,2( 

 ba
baba
Jadi, A” = MgS(A) = Mg(2,4) = (4,2)
Selanjutnya A” (4,2) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx ,
diperoleh A’” (2,4).
Jadi koordinat titik Mh Mg S(A) adalah A’” (2,4).
b). Diketahui A(2,-8) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx , .
diperoleh A’ (-8,2)
Selanjutnya A’ ditransformasikan terhadap S. Karena A’ g , maka hasil
transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A’ dan  g.

Titik potong garis yang melalui A’ dan  g adalah P(-8,0).
Diperoleh titik A’(-8,2) dan P(-8,0).
Jelas x1 = -8 dan y1 = 2, x2 = -8 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A’ dan P
adalah
Diperoleh = y = 2.
Jadi hasil transformasi A’ terhadap S adalah A” (x, y) = A” (-8, .2) =
A” (-8,1).
Kemudian A” (-8,1) dicerminkan terhadap garis g =   0, yyx
diperoleh A’” (-8,-1).
Jadi koordinat titik Mg S Mh(A) adalah A’” (-8,-1).
c). Diketahui A(2,-8) ditransformasikan terhadap S. Karena A g , maka hasil
transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A dan  g.
Titik potong garis yang melalui A dan  g adalah P(2,0).
Diperoleh titik A(2,-8) dan P(2,0).
Jelas x1 = 2 dan y1 = -8, x2 = 2 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A dan P
adalah
Diperoleh = y = 8.

Jadi hasil transformasi A terhadap S adalah A’ (x, y) = A’ (2, .8) = A’
(2,4).
Selanjutnya A’(2,4) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx ,
diperoleh A”(4,2).
Kemudian A”(4,2) ditransformasikan terhadap S. Karena A” g , maka
hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A” dan
 g.
Titik potong garis yang melalui A” dan  g adalah P(4,0).
Diperoleh titik A”(4,2) dan P(4,0).
Jelas x1 = 4 dan y1 = 2, x2 = 4 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A” dan P
adalah
Diperoleh = y = 2.
Jadi hasil transformasi A” terhadap S adalah A”’ (x, y) = A’” (4, .2) =
A’” (4,1).
Jadi koordinat titik S Mh S(A) adalah A’” (4,1).
d). Diketahui titik P (x, y).
Titik P (x, y) dicerminkan terhadap garis g =   0, yyx diperoleh P’
(x, -y).
Selanjutnya P’(x, -y) ditransformasikan terhadap S.
(i) Untuk P’ g .
Diperoleh P’’(x, -y) = P’(x, -y).
Kemudian P’’(x, -y) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx ,
diperoleh P”’(-y, x).

Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’(- y, x).
(ii) Untuk P’ g ,.
Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang
melalui P’ dan  g.
Titik potong garis yang melalui P’ dan  g adalah Q (x, 0).
Diperoleh titik P’(x, -y) dan Q (x, 0).
Jelas x1 = x dan y1 = -y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’
dan Q adalah
Diperoleh = y.
Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (x, y).
Kemudian P”(x, y) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx ,
diperoleh P”’( y, x).
Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’( y, x).
e). Diketahui P(x, y).
Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx , diperoleh P’(y,
x).
Selanjutnya P’(y, x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil
transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’ dan  g.
Titik potong garis yang melalui P’ dan  g adalah Q (y, 0).
Diperoleh titik P’(y, x) dan Q (y, 0).

Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q
adalah
Diperoleh = x.
Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (y, x).
Kemudian P” (y, x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil
transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P” dan  g.
Titik potong garis yang melalui P” dan  g adalah Q (y, 0).
Diperoleh titik P” (y, x) dan Q (y, 0).
Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan
Q adalah
Diperoleh .
Jadi hasil transformasi P” terhadap S adalah P”’ (y, x).
Jadi koordinat titik S2
Mh(P) adalah P”’ (y, x).
f). Diketahui titik P(x, y).

Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis g =   0, yyx diperoleh
P’(x, -y).
Selanjutnya P’(x, -y) dicerminkan terhadap garis g =   0, yyx
diperoleh P’’(x, y).
Kemudian P’’(x, y) ditransformasikan terhadap S.
(i) Untuk P’’ g .
Diperoleh P’’’(x, y) = P’’(x, y).
Jadi koordinat titik S M2
g(P) adalah P’’’(x, y).
(ii) Untuk P’’ g ,.
Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang
melalui P’’ dan  g.
Titik potong garis yang melalui P’’ dan  g adalah Q (x, 0).
Diperoleh titik P’’(x, y) dan Q (x, 0).
Jelas x1 = x dan y1 = y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’
dan Q adalah
Diperoleh = y.
Jadi hasil transformasi P’’ terhadap S adalah P”’ (x, y).
Jadi koordinat titik S M2
g(P)adalah P”’ (x, y).
11). Diketahui : andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus
A, B, C adalah tiga buah titik, sehingga Mg(A) = B dan Mh(A) = C
Ditanyakan : tentukan titik-titik
a). M3
g(A) c). MhMgMhMhMg(A)
b). MhMgMh(A) d). M2
gM3
h(A)
Penyelesaian:
B(x,y)A(-x,y)
g
h

Misalkan seperti gambar berikut:
a). M3
g(A) = (MgMgMg)(A) c). MhMgMhMhMg(A)
= (MgMg)[Mg(A)] = (MhMgM2
h)[Mg(A)]
= (MgMg)(B) = (MhMgM2
h)(B)
= Mg[Mg(A)] = (MhMg)[M2
h(B)]
= Mg(A) = (MhMg)(B)
= B = Mh[Mg(B)]
= Mh(A)
= C
b). (MhMgMh)(A)= (MhMg)[Mh(A)] d). M2
gM3
h(A) = (M2
gMh)[M2
h (A)]
= (MhMg)(C) = (M2
gMh)(A)
= Mh[Mg(C)] = M2
g[Mh(A)]
= Mh(D) = M2
g(C)
= B = C
12). Diketahui : dua garis, g // h, titik-titik P dan Q, P g dan P h
Ditanyakan :
a). Lukislah P” = MgMh(P) dan Q” = MgMh(Q)!
b). Berbentuk apakah segiempat PP”QQ”?
c). Buktikan pendapat anda!
Penyelesaian:
a).
g h
Q
PP’ = Mh(P)
Q’ = Mh(Q)
MgMh(P) = P”
MgMh(Q) = Q”

b). Segiempat PP”Q”Q berbentuk jajargenjang
c). g // h, P” = MgMh(P), dan Q” = MgMh(Q)
Jadi, Q"P" = MgMh(PQ)
Karena pencerminan suatu isometri, maka Q"P" // PQ dan Q"P" = PQ ,
dengan demikian segiempat PP”Q”Q suatu jajargenjang (berdasarkan
teorema “segiempat yang memiliki sepasang sisi yang sejajar dan sama
panjang adalah jajargenjang”).
13). Diketahui : g =   ,3, yyx h =   ,1, yyx dan k sebuah garis yang
melalui A = (1,4) dan B = (-1,-2)
Tentukanlah :
a). Persamaan k’ = MgMh(k)
b). Luas segiempat AA”BB” apabila A” = MgMh(A) dan B” = MgMh(B)
c). Koordinat P” = MgMh(P), P” = MgMh(P) apabila P = (x, y)
d). Nilai  dalam persamaan garis   α,  yyxh apabila
  ,2,  xyxg A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-3,1)
Penyelesaian:
a). k’ = MgMh(k)
Karena A(1,4) k dan B(-1,-2) k , sehingga A”=MgMh(A) k dan
B”=MgMh(B) k .
Diperoleh A” = MgMh(A) = Mg[Mh(1,4)] = Mg (1,-6) = (1,12), dan
B” = MgMh(B) = Mg[Mh(-1,-2)] = Mg (-1,0) = (-1,6).
Misal A” = ),( 11 yx dan B” = ),( 22 yx sehingga x1 = 1 dan y1 = 12, x2 = -
1 dan y2 = 6
Persamaan garis k’:

11
1
126
12
12
1
12
1










 xy
xx
xx
yy
yy
93
3312
)1(312
2
1
6
12









xy
xy
xy
xy
Jadi, persamaan garis 93:'  xyk
b). Dari gambar dapat dilihat bahwa AA”B”B membentuk bangun
jajargenjang dengan alas(a) = 2 dan tinggi(t) = 8.
Diperoleh luas jajargenjang = a x t = 2 x 8 = 16
Jadi, luas AA”B”B = 16 satuan luas.
c). Diketahui titik P ),( yx .
Pencerminan titik P terhadap garis h =   ,1, yyx  Mh(P) =
P’ )','( yx
A”(1,12)
A(1,4)
B(-1,-2)
B”(-1,6)
4
6
12
1
-2
-1

Karena garis h =   ,1, yyx merupakan sumbu PP’, sehingga -1
merupakan titik tengah dari y dan y’:
2'2'1
2
'


yyyy
yy
dan xx '
Jadi, koordinat titik P’(x, -y – 2).
Pencerminan titik P’ terhadap garis g =   ,3, yyx  Mg[Mh(P)] =
P” )","( yx
Karena garis g =   ,3, yyx merupakan sumbu P’P”, sehingga 3
merupakan titik tengah dari y’ dan y”:
8")2(6"'6"6"'3
2
"'


yyyyyyyy
yy
Dan xxx  '"
Jadi, koordinat titik P”(x, y + 8).
d).   α,  yyxh ,   ,2,  xyxg A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-
3,1), berapa ?
Pencerminan titik A terhadap garis   2,  xyxg : Mg(A) = A’ )','( yx
Karena garis   2,  xyxg merupakan sumbu AA’ (dari definisi
pencerminan), sehingga x = 2 merupakan titik tengah 5 dan x’ sedangkan
y’ = 1 (tetap).
1'4'52
2
'5


xx
x
Jadi, A’ = Mg(5,1) = (-1,1)
Pencerminan titik A’ terhadap garis   α,  yyxh : A” = Mh(A’) =
Mh(-1,1) = (-3,1)
Karena garis   α,  yyxh merupakan sumbu A’A” (dari definisi
pencerminan), sehingga x =  merupakan titik tengah -1 dan -3
sedangkan y” = y = 1.
2αα
2
)3(1



Jadi, 2α  .
Jadi, persamaan garis   2,  yyxh
14). Diketahui : dua garis, g  h, Q ,hg  dan sebuah titik P ,g dan P h
Ditanyakan :
a). Lukislah A = MgMh(P)
b). Selidiki apakah Q titik tengah ?AP
c). Lukislah B = MhMg(P)
Penyelesaian:
a). A = MgMh(P)
b). Misalkan Mh(P) = P’
Maka PP' memotong h di titik R dan AP' memotong g di titik S.
Karena P’ adalah pencerminan dari P maka PR = RP’ dan PP' h.
Karena A adalah pencerminan dari P’ maka P’S = SA dan AP'  g.
Karena PP' h dan g  h maka PP'// g sehingga RP’ = QS.
Karena AP' g dan g  h maka AP' // h sehingga P’S = RQ.
Perhatikan PRQ dan QSA
PR = RP’ dan RP’ = QS maka PR = QS
m(PRQ) = m(QSA) = 90
RQ = P’S dan P’S = SA maka RQ = SA
Jadi berlaku aturan S Sd S.
AMh(P)=P’
P
Q
g
h
R
S

Berdasarkan sistem aksioma kekongruenan maka PRQ  QSA.
Akibatnya PQ = QA.
Karena PQ = QA dan PQ PA dan QA PA maka Q tengah-
tengah PA.
Jadi, titik Q pada pertengahan PA.
c). B = MhMg(P)
15). Diketahui : h adalah sumbu-X dan g sumbu-Y sebuah sistem sumbu
ortogonal
A = (4,-3) dan P = (x,y)
Tentukanlah :
a). Koordinat-koordinat MhMg(A) dan MgMh(A)
b). Koordinat-koordinat MhMg(P)
c). Apakah MhMg dan MgMh?
Penyelesaian:
a). MhMg(A) = Mh[Mg(A)]
= Mh[Mg(4,-3)]
= Mh(-4,-3)
= (-4,3)
MgMh(A) = Mg[Mh(A)]
= Mg[Mh(4,-3)]
= Mg(4,3)
= (-4,3)
P Mg(P)
Bg
h

b). MhMg(P) = Mh[Mg(x, y)]
= Mh(-x, y)
= (-x,-y)
c). MgMh(P) = Mg[Mh(x, y)]
= Mg(x,-y)
= (-x, -y)
Ternyata MhMg(P) = (-x,-y) = MgMh(P).
Jadi, MhMg(P) = MgMh(P).

Rangkuman materi Hasilkali Transformasi

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Rangkuman materi Hasilkali Transformasi

Semelhante a Rangkuman materi Hasilkali Transformasi (20)

Último

Último (20)

Rangkuman materi Hasilkali Transformasi