Rangkuman materi pencerminan geser

1. RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB XII
PENCERMINAN GESER (REFLEXI
GESER)
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah GeometriTransformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015

2. PENCERMINAN GESER (REFLEXI GESER)
12.1 Ketentuan dan beberapa siifat reflexi geser
Telah diketahui hingga sekarang fakta-fakta berikut:
1. Hasilkali (produk) dua translasi adalah sebuah translasi.
2. Hasilkali dua reflexi pada dua garis adalah sebuah rotasi atau sebuah
translasi.
3. Hasilklali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi.
Teorema 12.1
Hasilkali sebuah rotasi dan sebuah translasi adalah sebuah rotasi yang sudutnya
sama dengan sudut rotasi yang diketahui.
Bukti:
Diketahui: rotasi 𝑅 𝐴,𝜑 dan translasi 𝐺 𝐵𝐶
ruas garis 𝐵𝐶̅̅̅̅
Adb : kasus 1 : 𝐺 𝐵𝐶 𝑅 𝐴,𝜑 = 𝑅 𝐸,𝜑
kasus 2 : 𝑅 𝐴,𝜑 𝐺 𝐵𝐶 = 𝑅 𝐸,𝜑
Bukti:
Kasus 1
 Membuat ruas garis 𝐵𝐶̅̅̅̅
 Membuat dua garis sejajar s dan t yang berpotongan tegak lurus dengan 𝐵𝐶̅̅̅̅
 Tarik garis 𝑃𝑄̅̅̅̅ yang sejajar 𝐵𝐶̅̅̅̅ memotong garis s di P dan memotong garis t di
Q, sedemikian hingga 𝑃𝑄̅̅̅̅ =
1
2
𝐵𝐶̅̅̅̅
 Menarik garis r memotong garis s dititik A dan besarnya sudut r ke s adalah
1
2
φ
 Perpanjang garis r sehingga memotong garis t dititik E
Jelas diperoleh sudut dari r ke t adalah
1
2
φ

3. t
Q
A
E
P
B C
r s
Menurut teorema 10.3 𝐺 𝐵𝐶 = 𝑀𝑡 𝑀𝑠 dan menurut teorema 11.2 𝑅 𝐴,𝜑 = 𝑀𝑠 𝑀𝑟
Sehinga diperoleh: 𝐺 𝐵𝐶 𝑅 𝐴,𝜑 = 𝑀𝑡 𝑀𝑠 𝑀𝑠 𝑀𝑟
= 𝑀𝑡 . I . 𝑀𝑟
= 𝑀𝑡 𝑀𝑟
= 𝑅 𝐸,𝜑 …..(1)
Kasus 2
 Membuat ruas garis 𝐵𝐶̅̅̅̅
 Membuat dua garis sejajar t dan s yang berpotongan tegak lurus dengan 𝐵𝐶̅̅̅̅
 Tarik garis 𝑃𝑄̅̅̅̅yang sejajar 𝐵𝐶̅̅̅̅memotong garis t di P dan memotong garis s di
Q, sedemikian hingga 𝑃𝑄̅̅̅̅ =
1
2
𝐵𝐶̅̅̅̅
 Menarik garis r memotong garis t dititik E dan besarnya sudut t ke r adalah
1
2
φ
 Perpanjang garis r sehingga memotong garis s dititik A
Jelas diperoleh sudut dari s ke r adalah
1
2
φ
1
2
𝜑
1
2
𝜑

4. Menurut teorema 10.3 𝐺 𝐵𝐶 = 𝑀𝑠 𝑀𝑡 dan menurut teorema 11.2 𝑅 𝐴,𝜑 = 𝑀𝑟 𝑀𝑠
Sehinga diperoleh: 𝑅 𝐴,𝜑 𝐺 𝐵𝐶 = 𝑀𝑟 𝑀𝑠 𝑀𝑠 𝑀𝑡
= 𝑀𝑟 . I . 𝑀𝑡
= 𝑀𝑟 𝑀𝑡
= 𝑅 𝐸,𝜑 ….(2)
Jadi, terbukti bahwa 𝐺 𝐵𝐶 𝑅 𝐴,𝜑 = 𝑅 𝐴,𝜑 𝐺 𝐵𝐶 = 𝑅 𝐸,𝜑
Akibat : himpunan translasi dan rotasi membentuk grup dengan operasi hasilkali
Andaikan diketahui rotasi 𝑅 𝐴,𝜑 dan reflexi 𝑀𝑠. Apabila A ∈ s maka 𝑅 𝐴,𝜑 = 𝑀𝑡 𝑀𝑠,
t adalah sebuah garis melalui A sehingga sudut dari s ke t adalah
1
2
𝜑
1. Apabila A ∈ s, adb 𝑹 𝑨,𝝋 = 𝑴𝒕 𝑴 𝒔
Dipunyai s sebuah garis
A ∈ s
1
2
𝜑
t
A S
x
s
A
t
r
Q
s
A
B
t
C
P
1
2
𝜑
1
2
𝜑
E

5.  Tarik garis t melalui A sehingga sudut antara s ke t adalah
1
2
φ
Jadi, 𝑅 𝐴,𝜑 𝑀𝑠 = (𝑀𝑡 𝑀𝑠) 𝑀𝑠
= 𝑀𝑡 (𝑀𝑠 𝑀𝑠)
= 𝑀𝑡 . I
= 𝑀𝑡
2. Andaikan A ∉ s
Bukti:
Dipunyai s sebuah garis
A ∉ s
 Tarik garis t tegak lurus s melalui A
 Tarik garis r melalui A sehingga sudut antara r ke t adalah
1
2
φ, maka
𝑅 𝐴,𝜑 𝑀𝑠 = (𝑀𝑟 𝑀𝑡) 𝑀𝑠
= 𝑀𝑟 (𝑀𝑡 𝑀𝑠)
= 𝑀𝑟 𝑆 𝐵 (Teorema 7.1) .......................1)
Dengan {B} = t ∩ s
 Andaikan v sebuah garis melalui B dan tegak lurus r
 Andaikan w sebuah garis melalui B yang sejajar r
Maka 𝑆 𝐵 = 𝑀 𝑤 𝑀𝑣 (Teorema 7.1), sehingga
w
B S
x
t
v
r
c
A
s
t
vw
r
1
2
𝜑
B
A
C

6. 𝑅 𝐴,𝜑 𝑀𝑠 = 𝑀𝑟 𝑆 𝐵 .......................1)
= 𝑀𝑟 (𝑀 𝑤 𝑀𝑣)
= (𝑀𝑟 𝑀 𝑤) 𝑀𝑣
Karena w sejajar r maka 𝑀𝑟 𝑀 𝑤 merupakan sebuah translasi (Menurut
teorema 10.1), sehingga diperoleh:
𝑅 𝐴,𝜑 𝑀𝑠 = 𝐺 𝐵𝐶 𝑀𝑣
Dengan {C} = v ∩ r
Jadi, transformasi tersebut adalah hasilkali sebuah reflexi pada v dan sebuah
translasi sejajar v.
Hasilkali demikian dinamakan reflexi geser
Definisi:
Sebuah transformasi R dinamakan reflexi geser apabila ada garis g dan sebuah
ruas garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅ yang sejajar g sehingga R = 𝐺 𝐴𝐵 𝑀𝑔.
Garis g ini dinamakan sumbu reflexi geser
Oleh karena setiap translasi dapat diuraikan menjadi hasilkali dua reflexi garis,
maka suatu reflexi geser dapat ditulis sebagai hasilkali tiga reflexi garis.
Di atas telah diperlihatkan bahwa 𝑅 𝐴,𝜑 𝑀𝑠 adalah suatu reflexi geser; dengan cara
yang serupa dapat dibuktikan bahwa 𝑀𝑠 𝑅 𝐴,𝜑 adalah suatu reflexi geser.
Jadi diperoleh teorema berikut:
Teorema 12.2
Setiap hasil kali sebuah reflexi pada sebuah garis dengan sebuah rotasi
mengelilingi suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tersebut adalah suatu
reflexi geser.
Bukti :
Diketahui reflexi 𝑀𝑠 dan rotasi 𝑅 𝐴,𝜑 andaikan t sebarang garis melalui s dan r
garis melalui A sehingga besarnya sudut adalah
1
2
φ
Maka 𝑅 𝐴,𝜑 = 𝑀𝑠 𝑀𝑟
Sehingga 𝑀𝑠 𝑅 𝐴,𝜑 = 𝑀𝑠 𝑀𝑡 𝑀𝑟

7. Akibat 1:
Apabila ada ruas garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅ tidak tegak lurus pada garis s, maka hasil kali
suatu geseran GAB dengan reflexi 𝑀𝑠 adalah sebuah reflexi geser.
Bukti :
Tentukan titik C sedemikian sehingga 𝐴𝐶̅̅̅̅ tegak lurus s dan 𝐶𝐵̅̅̅̅ sejajar s
Maka 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ + 𝐶𝐵̅̅̅̅
𝐺 𝐴𝐵 𝑀𝑠 = 𝐺 𝐶𝐵.𝐺 𝐴𝐶 𝑀𝑠 (Teorema 10.7)
= 𝐺 𝐶𝐵 (𝑀𝑟 𝑀𝑠) 𝑀𝑠dengan r // s, dan jarak r,s) =
1
2
AC(teorema 10.3)
= 𝐺 𝐶𝐵 𝑀𝑟 (𝑀𝑠 𝑀𝑠)
= 𝐺 𝐶𝐵 𝑀𝑟 I
= 𝐺 𝐶𝐵 𝑀𝑟
= R ( suatu pencerminan geser kerena r // CB)
Akibat 2:
Apabila ada garis r, s dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada
pasangan yang sejajar, maka setiap hasilkali reflexi-reflexi 𝑀𝑟, 𝑀𝑠 dan 𝑀𝑡 adalah
suatu reflexi geser.
Bukti:
Dipunyai garis r, s, dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada pasangan
yang //
Misalakan perpotongan garis t dan s adalah A, perpotongan garis r dan s adalah B,
dan perpotongan garis t dan r adalah C
A
C B
r
s

8. Reflexikan A terhadap garis r, s, dan t yaitu MrMtMs dan diperoleh A’
Reflexikan C terhadap garis r, s, dan t yaitu MsMtMr dan diperoleh C’
Hubungkan AA’ dan CC’
Bagi garis AA’ menjadi dua bagian yang sama panjang dan titik tengahnya M
Bagi garis CC’ menjadi dua bagian yang sama panjang dan titik tengahnya N
Hubungkan titik tengah garis M dan N sehingga diperoleh sumbu reflexi geser U
Reflexikan A terhadap U sehingga diperoleh A”
Reflexikan C terhadap U sehingga diperoleh C”
Hubungkan AA” dan CC” dan diperoleh panjang AA” = CC”
Jadi, hasilkali reflexi-reflexi 𝑀𝑟, 𝑀𝑠 dan 𝑀𝑡 adalah suatu reflexi geser.
r
s
t
A
C
B
N
C’
U
A’
C
M
A”
C”

9. P
o
Q
P’
B
A
P”
Tugas
1. Diketahui titik –titik A, B, P, Q setiap tiga titik tidak ada yang kolinear.
apabila s = 𝐴𝐵⃡ , lukislah
a. P’ = GAB Ms (P)
b. P”= Ms GAB(P)
c. R sehingga GAB Ms (R) = Q
Penyelesaian:
1. (a) P’ = GABMS(P)
●
Po
= MS(P)
P1 = Mt (Po
) = MtMs(P)
P’ = Mr (P1) = MrMtMs (P) = GABMS(P)
(b) P” = MSGAB(P)
●
rt
P1
P’
P0
A
B
s
P
P
Po
r
r
t
s
Q

10. rt
R
r
A
o
A
o
Po
= Mt (P)
P’ = Mr (Po
) = MrMt(P)
P” = Ms(P’) = Ms MrMt(P) = MSGAB(P)
(c) R sehingga GABMS(R) = Q
MrMtMs (R) =Q
R = MsMtMr (Q)
●
●
●
●
Qo = Mr (Q)
Q’ = Mt (Qo) =Mt Mr (Q)
R = Ms(Q’) = Ms Mt Mr (Q)
2. Diketahui tiga garis r, s, t tidak melalui satu titik dan tidak ada pasangan yang
sejajar jika r ∩ s= { C}, r ∩ t ={A}, s ∩ t ={B} lukiskan:
a. A’= Mt Ms Mr (A)
b. Sumbu reflexi geser R = Mt Ms Mr
Penyelesaian:
(a) A’ = MtMsMr(A)
A
Qo
Q
Q’
P
B
R
s
A
Ao
s
t
r
C
B

11. s
A
B
C
r
A
o
A
’
C
’
B
”
B
o
B
’
R
(b) Sumbu refleksi geser R = MtMsMr
3. Diketahui ΔABC ≅ ΔXYZ, lukislah sumbu s dan ruas garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅
sehingga reflexi geser GAB Ms memetakan ΔABC pada ΔXYZ.
Penyelesaian:
Diketahui :
  ABC   XYZ
 Ruas garis berarah BA
Ditanya : Lukis sumbu S sehingga R = GAB MS Memetakan  ABC pada 
XYZ!
s
t
C
A’
B
A’
r
C’
Ao
A
B’
B’’
R
B0

12. Jawab :
Ket : AB = ½ MN 2 MN
R = GAB MS
= Mq Mp Ms
4. Diketahui garis s, titik A dan ΔDEF. Garis s tidak memotong ΔDEF dan A ada
di dalam ΔDEF.
a. Lukislah ΔD’E’F’ = Ms SA(ΔDEF)
b. Apabila Ms SA suatu reflexi geser lukislah sumbu reflexi geser tersebut
Penyelesaian:
Diketahui : - garis S
- titik A
- ADEF
Ditanya :
a. Lukis  D'
E'
F'
= MS SA ( DEF)
b. Apabila MS SA suatu refleksi geser lukislah sumbu refleksi geser tersebut.
C
A B
X Y
ZC
'
M N
p q
S
A
B
X
C
Y
Z
s
N
qp
M
C’
E
'
D
'
F
'
D E
F
D
o
E
o
F
o
.
S
t
F
ED
Do
Fo
Eo
t
s
F’
E’ D’

13. 5. Diketahui garis s dan titik A tidak pada garis s. lukislah sumbu reflexi geser
Ms RA,90◦
Penyelesaian:
Diket : garis S dan titik A tidak pada garis S
Ditanya : lukislah sumbu refleksi geser Ms RA,go
0
Jawab:
6. Jika A = (0,0), B= (2,1), dan C=(2,5), titik- titik yang diketahui
a. Tentukanlah koordinat pusat rotasi dari transformasi RA,90◦ GBC
b. Jika P= (x,y) tentukan P’= RA,90◦ GBC
Penyelesaian:
Diket : A=(0,0), B= (2,1), C =(2,5) titik ang diketahui
Ditanya : a. tentukanlah koordinat pusat rotasi dari transformasi RA,go ,Gbc
b. jika P= (x,y) tentukan p’= RA,go GBC (P)
Jawab:
RA,go GBC = Mk Mg Ml
= Mk . I. Ml
= Mk . Ml
0
A
D
t
LA
0
K
t
Ao
O
AD
s
L
●
●
● ●
●
B’
C’
Co
C
Bo
5
k
2
-1
-5

14. 7. Buktikan teorema berikut:
1) Apabila R suatu reflexi geser, maka R2
suatu translasi
2) Apabila R suatu reflexi geser, maka R tidak memiliki titik- titik invariant
(titik tetap)
Bukti:
1) Dipunyai sebuah reflexi Mg dan sebuah translasi GAB
Maka R = GAB Mg
Sehingga R2
= R R
= GAB Mg GAB Mg
= GAB Mg Mg GAB
= GAB I GAB
= GAB GAB
= GCD
8. Jika t sumbu x sebuah sistem koordinat orthogonal, A= (2,30) , B= (1,6) titik
yang diketahui. Tentukan peta- peta titik tersebut oleh suatu reflexi geser Mt
GAB. Tentukan pula persamaan sumbu reflexi geser tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui : t sumbu X sistem koordinat orthogonal
A(2,3) dan B(1,6)
Ditanya : tentukan peta titik A dan B oleh reflexi geser Mt.GAB
Tentukan persamaan reflekksi geser tersebut
Jawab:
1. Lukis titik A(2,3) dan B(1,6)
2. Misal garis g melalui C dan tegak lurus 𝐴𝐵⃐ , garis h melalui D dan sejajar
garis g sehingga AB = 2CD
GAB = MhMg
3. Lukis A’ = MhMg (A) dan B’ = MhMg (B)
4. Reflexikan A’ dan B’ terhadap garis t sehingga diperoleh A” dan B”