Lecture 11 precodificación y ecualización

Universidad Nacional de Ingeniería
Comunicaciones II
Conferencia 11: Precodificación y Ecualización
UNIDAD III: TRANSMISIÓN DIGITAL DE SEÑALES BANDA BASE
Instructor: Israel M. Zamora, P.E., MS Telecommunications Management
Profesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.
Universidad Nacional de Ingeniería
2S 2009 - I. ZamoraU n i III-Conf11: Precodificac1ión y Ecualización

Outline
• Precodificación
– Codificación diferencial
– Aleatorización
– Sustitución de secuencias de 0’s
• Ecualización
– Zero Forcing Equalizer

Aspectos adicionales de la precodificación
• En la conferencia 9 hablamos de una de las funciones relevantes de la
precodificación relativa al acotamiento de los niveles para los impulsos de
señalización.
• La precodificación es un procesamiento que se realiza sobre los datos,
previo a la codificación de línea (señalización) propiamente tal.
• Los objetivos buscados mediante la precodificación pueden ser variados, como se
verá a continuación:
– la codificación diferencial tiene por objeto evitar ambigüedades en la recepción de
señalización polar.
– La aleatorización de tiene por objetivo introducir un número mayor de transiciones para
facilitar la sincronización.
– La sustitución de secuencias de 0’s binarias tiene el mismo objetivo.
– La extensión del código en comunicaciones ópticas también es una forma de sutitución.
– La precodificación en el código duobinario tiene por objetivo evitar la propagación de
errores.

Codificación diferencial
• Cuando se Tx datos por líneas de comunicaciones muy largas es fácil que se invierta
la polaridad de los datos Tx, ya sea porque se invierten los alambres, o por múltiples
regeneraciones y/o procesamientos de la información (MUX/DEMUX) a lo largo
del trayecto.
• Esto no afecta la señalización bipolar (de 3 estados), como es el caso de la
duobinaria o la AMI.
• Sin embargo sí afecta a los datos que se envían en forma polar. En este caso es
conveniente introducir una precodificación, cuyo objetivo es el de evitar esa
ambivalencia.

Codificación diferencial
• Con codificación diferencial, los datos de entrada dk no se Tx directamente. En
cambio se Tx los datos ek = dk Å ek-1, donde Å es un sumador de módulo 2 (compuerta
OR-exclusivo).
• En el diagrama de bloque de Tx, el precodificador se ubica de la siguiente forma:
-1 = Å k k k e d e
Retardo T
(Z-1)
Codificador
de Línea
k d
Å
Formateo
Codificación
Fuente
PRECODIFICADOR DIFERENCIAL

Codificación diferencial: Esquema Tx-Rx
-1 = Å k k k e d e
Retardo TS
(Z-1)
Codificador
de Línea
k d
Å
Formateo
Codificador
Fuente
PRECODIFICADOR DIFERENCIAL
Repetido
r/Regene
-rador
DECODIFICADOR DIFERENCIAL
Retardo TS
(Z-1)
Codificador
de Línea
k eˆ
Å
ˆ ˆ ˆ 1 - = Å k k k d e e
Formateo
Decodificador
Fuente

Codificación de línea diferencial
• Se puede mostrar que esta codificación provee protección polaridad en la recepción mediante el
siguiente ejemplo:
•Codificación
•Secuencia de entrada dk: 1 1 0 1 0 0 1
•Secuencia codificada ek=dkÅek-1: 1 0 1 1 0 0 0 1
•Decodificación con polaridad correcta en el canal
k eˆ
•Secuencia recibida : ˆ 1 0 1 1 0 0 0 1
•Secuencia decodificada d = e ˆ Å : e
k k ˆ k - 1 1 1 0 1 0 0 1
•Decodificación con polaridad invertida
k eˆ
•Secuencia recibida : d ˆ = e ˆ Å e
0 1 0 0 1 1 1 0
•Secuencia decodificada k k : ˆ k - 1 1 1 0 1 0 0 1
Observe que la decodificación en ambos casos
es correcta, aún en el caso que se invierta la polaridad.
Observe que la decodificación en ambos casos
es correcta, aún en el caso que se invierta la polaridad.

Código Polar NRZ-M
• El código polar NRZ-M es un esquema en que se envía una Marca (nivel lógico “1”) transmitiendo un
símbolo de polaridad opuesta al previo
1 0 1 1 1 0 1
tiempo
x( t ) = A b Π æ t -
kT
hT(t)
A
-T/2 T/2
1 0 1 1 1 0 1
tiempo
b k kT t δ b (t) x å¥
con h (t) A Π(t/T ) T = ×
H ( f ) AT sinc( fT ) T =
2
R d X =
t d t
( ) ( )
T
( ) å¥
=-¥
= -
k
=-¥
ö çè
÷ø
k
k T
2 =
S (f ) H S (f ) X T B
S (f ) =
d B
S ( f ) [d 2A2T sin c2 ( fT)] X =
2
T

Código Polar NRZ-M
Componente CC: No tiene √
Contenido LF: Sí tiene X
Ancho de Banda: BW=fS ±
Sincronización: No tiene X
Transparencia: No tiene X
Detección de errores: No tiene X

Aleatorizadores de datos (Scrambling)
• En general, un aleatorizador (scrambler) tiende a hacer los datos mas aleatorios al remover largas
cadenas de 1´s o 0´s. No garantizan transparencia, pero destruyen largas secuencias de 1’s y 0’s,
que ocurren frecuentemente, por ejemplo, cuando el canal respectivo está ocioso.
• La aleatorización puede ser útil en la extracción de la información de temporización cuando se
remueven las cadenas largas de 0´s de los datos binarios.
• Su uso es primariamente para prevenir el acceso no autorizado a los datos y son óptimos para tal
propósito.
• Paradójicamente, la optimización puede en realidad resultar en la generación de largas cadenas de
ceros en los datos. En tal caso, la red debe encargarse de estas largas cadenas de ceros usando
técnicas de supresión de ceros que estudiaremos posteriormente.
• Básicamente son registros de desplazamientos realimentados y se pueden implementar en HW, lo
que los hace muy rápidos.
• Al igual que en el codificador diferencial, en el Tx el registro de desplazamiento de largo n es
retroalimentado.
• En cambio, en el Rx, el registro de desplazamiento de largo n es alimentado hacia adelante.
2S 2009 - I. ZamoraU n i III-Conf11: Precodificac1i0ón y Ecualización

k d
Å
-3 -5 = Å Å k k k k e d e e
Formateo
Codificador
Fuente
T T
Å
T T T
ALEATORIZADOR
Codificador
de Línea
Repetido
r/Regene
-rador
k eˆ
ˆ ˆ ˆ 3 5 - - = Å Å k k k k d e e e
Formateo
Decodificador
Fuente
DESALEATORIZADOR
Decodificador
de Línea
Å
T T
Å
T T T

S
Å
T = S ÅTD-3 ÅTD-5
Formateo
Codificador
Fuente
T T
Å
T T T
ALEATORIZADOR
Codificador
de Línea
Repetido
r/Regene
-rador
Tˆ
Tˆ ) D D ( Sˆ
= 1Å -3 Å -5
Formateo
Decodificador
Fuente
DESALEATORIZADOR
Decodificador
de Línea
Å
T T
Å
T T T

S T = S ÅTD-3 ÅTD-5
Codificador
Fuente
Formateo Å
Codificador
de Línea
T T
Å
T T T
• Sea S= 100000111101 una secuencia de entrada, con T siendo la salida.
T = S Å(D-3 Å D-5 )S = S Å FS En la primera pasada. Iterativamente obtenemos:
T = S Å FS Å FS 2 Å= (1Å F Å F2 Å)S con F = (D-3 Å D-5 )
F2 = (D-3 Å D-5 )(D-3 Å D-5 ) = (D-6 Å D-8 Å D-8 Å D-10 ) = (D-6 Å D-10 )
F3 = (D-3 Å D-5 )(D-6 Å D-10 ) = (D-9 Å D-11 Å D-13 Å D-15 )
F4 = (D-6 Å D-10 )(D-6 Å D-10 ) = (D-12 Å D-20 )
• Esto debe evaluarse hasta llegar al coeficiente que supere D-12 (largo de la secuencia)
T = (1Å D-3 Å D-5 Å D-6 Å D-9 Å D-10 Å D-11 Å D-12 Å D-13 Å D-15 Å D-20...)S
• Lo que permite calcular la salida T en función de versiones retardadas de S.

Ejemplo: Aleatorizadores de datos (Scrambling)
• Para S= 100000111101… la secuencia de entrada de 12 bits, tendremos la secuencia de salida T de
12 bits, según se muestra:
T = (1Å D-3 Å D-5 Å D-6 Å D-9 Å D-10 Å D-11 Å D-12...)S
Secuencia de desplazamiento
S 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 …
SD-3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 …
SD-5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 …
SD-6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 …
SD-9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 …
SD-10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 …
SD-11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 …
SD-12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …
T=SSD-n 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 …
La secuencia de salida a los 12 bits es, por tanto, T= 100000111101…

Sustitución de secuencias cero
• Tiene por objetivo introducir un número mayor de transiciones para facilitar la
sincronización.
• BnZS: Binary n Zero Substitution
• BnZs es un esquema de señalización que aumenta las capacidades del código
AMI (también llamado bipolar en algunos textos) reemplazando las secuencias
de n 0’s binarios consecutivos por una secuencia preestablecida de símbolos
que violan la regla AMI. De esta forma se incrementa la densidad de unos en
el código transmitido.
• El código B3ZS es utilizado en los sistemas DS-3 de EE.UU.

Propiedades del esquema BnZS
• En el código bipolar B3ZS-NRZ-L, los 1 binarios se transmiten en forma alternada, y los
0’s se transmiten como nivel 0. Sin embargo, cuando ocurre una secuencia de 3 0’s
sucesivos, se los reemplaza con una secuencia de 1’s y 0’s de acuerdo a la siguiente regla
de codificación:
( ) å¥
=-¥
x (t) = b δ t -
kT
b k k
±
î í ì
=
d se Tx un 1 binario
0 se Tx un 0 binario
bk
Número de 1´s desde el
último reemplazo
Polaridad
pulso previo
Impar Par
- 00- +0+
+ 00+ -0-
1 1 0 0 0 1 1
0 0 0 0
tiempo
Contenido LF: No tiene √
Sincronización: Tiene √
Transparencia: Tiene √
Detección de errores: Se mantiene

Propiedades del esquema código bipolar HDB3-NRZ-L
• En el código bipolar HDB3 (B4ZS-NRZ-L), los 1’s binarios también se transmiten en forma
alternada, mientras que los 0’s binarios se transmiten como nivel 0, excepto cuando ocurre una
secuencia de 4 0’s sucesivos, en cuyo caso se los reemplaza según la siguiente regla:
( ) å¥
=-¥
x (t) = b δ t -
kT
b k k
±
î í ì
=
d se Tx un 1 binario
0 se Tx un 0 binario
bk
Número de 1´s desde el
último reemplazo
Polaridad
pulso previo
Impar Par
- 000- +00+
+ 000+ -00-
Contenido LF: No tiene √
Sincronización: Tiene √
Transparencia: Tiene √
Detección de errores: Se mantiene
1 0 1 1 1 0 1
tiempo

ECUALIZACIÓN
• Como hemos estudiado en conferencias anteriores, en muchos canales de comunicaciones (por
ejemplo, los establecidos en las redes telefónicas y redes inalámbricas) pueden caracterizarse como
filtros lineales de banda limitada con una respuesta al impulso dada por hc(t):
( ) ( ) j ( f )
C C
H f = H f e qc
• Donde hc(t) y HC(f) son pares de transformadas de Fourier, con |HC(f)| la respuesta en magnitud del
canal, y qc(f) es la respuesta en fase del canal. A efecto de lograr una característica de transmisión sin
distorsión a lo largo del canal, es necesario que dentro del ancho de banda de la señal, |HC(f)| debe ser
constante. También qc(f) debe ser una función lineal de la frecuencia, lo cual es decir que el retardo
debe ser constante para todas y cada una de las componentes espectrales de la señal transmitida.
• Si HC(f)| no es constante dentro del ancho de banda de la señal, se tiene entonces distorsión en
amplitud. Si qc(f) no es una función lineal de la frecuencia dentro del ancho de banda de transmisión de
la señal, tenemos distorsión de fase.
Pulso en el Tx CANAL
Pulso en el Rx
• Cuando se transmite una secuencia de pulsos, tal distorsión se manifiesta en sí misma como una
dispersión o “derrame” de modo que un pulso en la secuencia demodulada recibida no estará bien
definido. Por ejemplo, el estudio que hemos hecho sobre ISI es una forma en que se manifiesta la
dispersión.

ECUALIZACIÓN
• Example of a frequency selective, slowly changing (slow fading)
channel for a user at 35 km/h

ECUALIZACIÓN
• Example of a frequency selective, fast changing (fast fading)
channel for a user at 35 km/h

ECUALIZACIÓN
• De hecho el solapamiento o derrame (ISI), es uno de los mayores obstáculos para alcanzar
transmisiones de alta velocidad confiables sobre canales de banda limitada.
• Por ello, los sistema de comunicaciones actuales implementan técnicas que contrarrestan muchas
forma de manifestación de ISI. Entre estas técnicas se encuentra la ECUALIZACIÓN.
• Ecualización se refiere, en un sentido amplio, a cualquier procesamiento de señal o filtrado que esté
diseñado para eliminar o reducir ISI.
• Existen dos categoría de ecualización que se muestra en el diagrama de abajo:
CATEGORÍAS DE ECUALIZACIÓN
1) Máximum-likelihood sequence estimation (MLSE)
2) Ecualization with filters
a) Transversal or decision feedback
b) Preset or Adaptive
c) Symbol spaced o fractionally spaced
Aunque hemos indicado la ecualización como una función del receptor también es común su
implementación en etapas de repetición de comunicaciones digitales, en dispositivos conocidos como
Repetidores Regenerativos, o Digitpeaters.

ECUALIZACIÓN: Repetidor Generativo
• El Repetidor Regenerativo es un dispositivo intermedio de comunicaciones digitales que permite la
extensión y alcance de cobertura de la comunicación.
• Sus funciones son:
– Restaurar la forma de onda de los pulsos de entrada por medio de un ECUALIZADOR
– Extraer la información de temporización y sincronización requerida para el muestreo oportuno en el receptor.
– Toma de decisiones con base en las muestras de los pulsos.
Fuente Destino
El mismo pulso
pero distorsionado
g
T
t=T
REPETIDOR
Repetidor
Regenerativo
Si ro>g
T
entonces S==> “1” g
ro(T)
Pulso
original
que
representa
un “1”
por el canal
Instante de
muestreo
Pulso regenerado
para un “1”

ECUALIZACIÓN: Repetidor Generativo
• Un repetidor completo también incluye capacidades para separar la señales DC de las AC, generalmente
implementado con acoplamiento de transformadores. En la gráfica de abajo se muestra un diagrama
esquemático de un repetidor regenerativo.
Preamplificador
y ecualizador
Muestreo y
Decisión Regenerador
Extracción de
Información de
Temporización
Medio de Transmisión
Ruido
• Normalmente los pulsos que viajan grandes distancias, aún de pocas decenas de metros, pueden sufrir
atenuación y distorsión considerables debido al medio de transmisión.
• La distorsión está en la forma de dispersión, causada por la atenuación de las componentes de alta frecuencias
del tren de pulsos.

ECUALIZACIÓN
• La primera categoría MLSE, conlleva la realización de mediciones de hc(t) y luego proveer una forma
de ajustar el receptor al entorno de transmisión.
• Al final del día, el objetivo es permitirle al detector obtener una buena estimación de la información
enviada por el transmisor con base en la secuencia de pulsos demodulados distorsionados.
• En un receptor MLSE, las muestras distorsionadas no son restauradas o directamente compensada en
alguna forma, sino que mas bien, la técnica de mitigación para el receptor MLSE consiste en ajustarse
en alguna forma que pueda tratar mejor con las muestras distorsionadas.
• La segunda categoría de Filtros Transversales, utiliza filtros para compensar los pulsos
distorsionados. En este caso, el detector encuentra una secuencia de muestras demoduladas que el
ecualizador ha modificado o “limpiado” de los efectos ISI.
• La ecualización con filtros, la forma mas popular consiste en considerar el filtro de ecualización como
un dispositivo lineal que contiene solo elementos transversales de ecualización con alimentación hacia
delante (Transversal equalizers), o combinado con elementos con alimentación hacia atrás (Decision
feedback equalizers).
• Los filtros de ecualización pueden agruparse de acuerdo a la naturaleza automática de su operación, la
cual puede ser Preset o Adaptive.
• También pueden ser agrupados según la tasa de resolución de actualización.

ECUALIZACIÓN: SRRC
Square-Root Raised Cosine (SRRC) filter and Equalizer
• Baseband system model
Tx filter Channel
h t
( )
t
H f
h t
( )
c
H f
• Equivalent model
r(t) Rx. filter
n(t)
Detector
n y
y(t)
t = nT
{ } k aˆ
h t
( )
r
H f
k b d (t kT) x(t) Equalizer
p t
( )
P f
h t
( )
e
H f
P( f ) H ( f )H ( f )H ( f ) T C R =
å -
k
h t
( )
e
H f
1 b
T b ( )
2 b T
3 ( )
R
( )
C
Equivalent system
nˆ(t)
y(t)
Detector
n y
t = nT ( )
filtered noise
å -
k
k b d (t kT) Equalizer
( )
E
1 b
2 b 3 T b
( )
E
nˆ(t) n(t) h (t) r = *
{ } k y(t) aˆ

ECUALIZACIÓN: SRRC
• En general, podemos expresar la condición de transmisión definiendo la función de trasferencia con
base en las funciones de transferencia del filtro de transmisión (generador de forma de onda), la
función de transferencia propia del canal, la función de transferencia del filtro de recepción y,
agregando ahora, la función de transferencia del ecualizador, de modo que la función de transferencia
resultante sea también un filtro de coseno elevado (raised-cosine filter):
No ISI en el instante de muestreo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RC H f H f H f H f H f T C R E =
• En condiciones reales, en los sistemas prácticos no se cuenta con el detalle y precisión necesaria de la
función de transferencia del canal HC(t) y su respuesta al impulso hc(t) por lo que no es posible diseñar
el receptor para que produzca cero ISI con base en esa información. Por tanto, lo usual es conocer (u
obtener) las funciones de transferencias del transmisor y receptor, por lo tanto, se hace una
aproximación con base en estos dos elementos. En este caso se le denomina: Square-Root Raised
Cosine (SRRC) filter and Equalizer.

ECUALIZACIÓN: SRRC
Es decir, forzamos y nos proponemos diseñar e implemenar un
Filtro de ecualización que cumpla la siguiente condición de
operación con relación a la función de transferencia del canal:
H f =
H f H f
( ) ( ) ( )
T R
RC
H f = H f = H f =
H f
( ) ( ) ( ) ( )
RC SRRC
R T
H ( f )H ( f ) =1 E C
Taking care of ISI
caused by tr. filter
Por tanto:
• De esta forma, HT(t) y HR(t) cada una tienen una función de transferencia que es la raíz cuadrada del
coseno elevado. Entonces, la función de trasferencia del ecualizador necesario para que compense las
distorsiones del canal es simplemente la función inversa de la función de transferencia del canal:
( ) 1
E = Taking care of ISI
H f
( )
H f
C
caused by channel
( ) 1 j f
( )
H f = - q
H f
( )
C
E
e C

ECUALIZACIÓN: SRRC
• Square-root Raised-Cosine (SRRC) pulse shaping
Baseband tr. Waveform
t/T
Amp. [V]
First pulse
Second pulse
Data symbol
Third pulse

ECUALIZACIÓN: SRRC
• Raised Cosine pulse at the output of matched filter
Baseband received waveform at
the matched filter output
(zero ISI)
t/T
Amp. [V]

ECUALIZACIÓN
Equalization using
MLSE (Maximum likelihood sequence
estimation)
Filtering
Transversal filtering
Zero-forcing equalizer
Least or Minimum mean square error (MSE) equalizer
Decision feedback
Using the past decisions to remove the ISI contributed
by them
Adaptive equalizer

TRANSVERSAL FILTERING
• Previamente se analizó que, para poder generar un código de línea que cumpliera con ciertas
especificaciones de contenido espectral, se podía escoger una señalización adecuada y un pulso de
forma de onda apropiada.
• La forma de onda del pulso se puede lograr mediante Filtros Lineales. Sin embargo, el diseño de
estos filtros para que cumplan con determinadas especificaciones resulta ser difícil. Es más fácil
sintetizar las formas de onda mediante el empleo de filtros transversales.
• Zero-Forcing Equalizer:
• Este tipo de filtro transversal retoma el principio que no es necesario eliminar o minimizar ISI de
los pulsos vecinos en el sentido absoluto para todo tiempo t, sino que lo fundamental es lograr que
ISI sea cero o un nivel mínimo posible que pueda ser despreciable en la detección, únicamente en
los instantes de muestreo del detector.
• Por ello, este filtro se conoce como forzador de cero por adoptar este principio, es decir, se satisface
el criterio de Nyquist para cero ISI o ISI controlada.
• Least Mean Square Error (LMSE) equalizer:
• Otro enfoque a la ecualización , es el método LMSE que no trata de forzar que los pulsos sean cero
en los un cierto número de puntos. Mas bien, se minimiza los valores cuadráticos medios de los
errores de las muestras de salida.

ZERO FORCING EQUALIZER
• Este tipo de ecualizador de tipo filtro transversal considera que el canal introduce ISI.
• En conferencia anteriores hemos manifestado la preocupación real de la presencia de ISI cuando
esto ocurre en los momentos que el detector muestrea la intensidad de los pulsos recibidos en t=nT,
con lo cual se manifiesta distorsión
• En el sentido práctico, hablamos de lóbulos laterales (ver figura de abajo) que no pasan por cero en
los tiempos de muestreo de los pulsos adyacentes al lóbulo principal. La distorsión puede verse
como ecos positivos o negativos que ocurren antes y después del lóbulo principal.
Eco Eco Eco
No ISI No ISI ¡¡¡ ISI !!! ¡¡¡ ISI !!! ¡¡¡ ISI !!! No ISI
Pulso ideal
Pulso real

• Al avanzar el pulso por el registro se puede formar la señal digital, que, al ser filtrada a la salida, da
lugar a la forma de onda deseada. Los instantes de interés para evitar el ISI tiene que ser tal que t =
T, ya que se quiere forzar a que el pulso valga cero en los instantes T salvo en el instante de interés
para él mismo.
• Los filtros transversales tienen su nombre por su apariencia.

• Otra forma de presentación del mismo filtro anterior (observe que se usa T):
x(t)
y(t)

• Para lograr la función de transferencia deseada del tipo coseno-elevado, el filtro de ecualización
debe tener una respuesta en frecuencia HE(f) de modo que la respuesta real de canal cuando se
multiplica por HE(f) produce HRC(f). En otras palabras, el filtro de ecualización debe generar un
conjunto de ecos de cancelación.
• El filtro mostrado abajo es la forma mas común y popular de implementación de un filtro de fácil
ajuste.
y(t)
x(t)
NOTA: En el diagrama se muestra el caso particular de una transmisión con señalización binaria (M=2),
razón por la que los tiempos mostrados corresponden a los tiempos de bit Tb. En el caso generar donde M>2
corresponde usar T.
corresponde usar T.

x(t)
y(t)
Pulso disperso con ISI en los instantes
de muestreo de pulsos vecinos.
Pulso ecualizado sin presencia de
ISI en los instantes de muestreo de
pulsos vecinos.
corresponde usar T.
corresponde usar T.

• El proceso inicia fijando las ganancias de derivación c0=1 y cn=0 (n¹0) para todos los valores de k
en el filtro transversal de las diapositivas 33 o 34. De esta forma la salida del filtro será la misma
que la entrada pero retardada por NT.
• Para el pulso individual x(t) de entrada mostrado en la figura de la diapositiva 34 y 35 con las
derivaciones fijadas anteriormente, tendremos el pulso de salida y(t) que será exactamente x(t-NT),
es decir, x(t) retardado por NT.
• Note que para c0=1 y cn=0 (n¹0) el pulso x(t) también representa la salida del filtro y(t).
• Se requiere que el pulso de salida y(t) cumpla con el criterio de Nyquist o el criterio de ISI
controlada, según el caso.
• Para el criterio de Nyquist el pulso de salida y(t) debe tener valores de cero en todos los instantes
múltiplos de T, mostrado en la figura c en diapositiva 35). No obstante, se muestra la situación
general donde esta condición no se cumple tal como ilustra la figura b en la misma diapositiva.
• A tal efecto, se deben ajustar las ganancias de derivación cn’s, con lo cual se genera un
desplazamiento adicional de los pulsos de amplitud apropiada que forzará al pulso de salida
resultante a ser cero en los instantes t=0, T, 2T, 3T,….
• El pulso y(t) de la figura c de la diapositiva 35 es por tanto, la suma de las formas de onda
retardadas, es decir, cnx(t-kT), obviando el retardo NT.

• Por tanto:
N
å-
y(t) = c x(t -
kT)
n k =
N
• Tomando las muestras de y(t) en t=nT tenemos que:
N
å-
y(nT) = c x[(n -
k)T]
n k =
N
n = 0, ±1, ± 2, ± 3,...
• Usando una notación mas conveniente x(n) para denotar x(nT) y denotar y(nT), podemos
expresar como:
N
å-
y(n) = c x[(n -
k)] n n = 0, ±1, ± 2, ± 3,...
k =
N

• El criterio de Nyquist requiere que las muestras y(n)=0 para n¹0, y que y(n)=1 para n=0.
• Esta condición nos lleva al siguiente conjunto infinito de ecuaciones simultáneas en términos de
2N+1 variables.
• El sistema no es humanamente posible de resolver. No obstante, podemos especificar los valores de
y(n) pero en 2N+1 puntos tal que:
1 0
î í ì
=
n
n = ± , ± ,.., ±
N
=
y(n)
0 1 2
• En realidad no hay una solución única. Esto debe entenderse como que el pulso y(t) podrá tener
• En realidad no hay una solución única. Esto debe entenderse como que el pulso y(t) podrá tener
ISI¹0 en instantes de muestreo en los N pulsos precedentes y en los N pulsos antecedentes.
ISI¹0 en instantes de muestreo en los N pulsos precedentes y en los N pulsos antecedentes.
• Debido que el pulso en realidad decae o se atenúa rápidamente, tal interferencia ISI mas allá del N-ésimo
• Debido que el pulso en realidad decae o se atenúa rápidamente, tal interferencia ISI mas allá del N-ésimo
pulso (antes o después) puede despreciarse, en general, cuando N>2.
pulso (antes o después) puede despreciarse, en general, cuando N>2.

• La condición de Nyquist produce un conjunto de 2N+1 ecuaciones simultáneas en 2N+1 variables
que pueden expresarse en forma matricial como se muestra:
ù
ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú
û
c
é
ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê
c
c
c

0
c
1
c
c
ë
ù
û
é







ë
x[ 0 ] x[- 1 ] x[- 2
N]
x[ 1 ] x[ 0 ] x[- 2 N 1
]
x[N- 1 ] x[N- 2 ] x[-N- 1
]
x[N] x[N- 1
] x[-N]
x[N + ] x[N] x[-N +
]
+
=
ù
û
é
ë
-
1
-
1
-
N
N
-

N
N
1 1
x[ 2 N- 1 ] x[ 2 N- 2 ] 
x[ 1
]
x[ N] x[ N- ] x[ ]
2
1
2 2 1 0
0
0

0
1
0

0
0

• Las ganancias de derivación cn´s se obtienen al resolver este conjunto de ecuaciones.

EJEMPLO: ZERO FORCING EQUALIZER
• Para el pulso recibido x(t) en la figura de abajo, diseñe un ecualizador tipo “zero forcing” de tres
derivaciones (2N+1=3).
1
0.05 0.1
-0.2 -0.3
• SOUCIÓN:
• A efecto de diseñar el filtro, encontramos que N=1, es decir, se require ISI=0 un periodo de
muestreo antes y un periodo de muestreo después del instante de muestreo del pulso recibido
indicado en el problema. A tal efecto debemos construir la matriz de condiciones de ecualización,
donde es necesario determinar los valores desde x[-2N] hasta x[2N], o, con N=1, es igual a
determinar los valores x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2]. De la gráfica tenemos:
a x
= =
[0] 1
a x
= = -
[1] 0.3
a x
= =
[2] 0.1
0
1
2
a x
= - = -
[ 1] 0.2
-
a x
1
= - =
[ 2] 0.05
2
-

• El arreglo matricial, se vuelve una matriz 3x3, mostrada abajo:
ù
ú ú ú
û
c
é
x[ 0 ] x[- 1 ] x[- 2
]
0
é -
ê ê ê
c
c
ë
ù
ú ú ú
û
é
= -
ê ê ê
ë
ù
ú ú ú
û
ê ê ê
ë
0
1
1
x[ 1 ] x[ 0 ] x[ 1
]
x[ 2 ] x[ 1 ] x[ 0
]
1
0
• Substituyendo estos valores en el arreglo matricial, tenemos:
ù
ú ú ú
û
c
é
1 0.2 0.05
0
é -
ê ê ê
c
c
ë
ù
ú ú ú
û
é
ê ê ê
-
- -
ë
0.3 1 0.2
-
=
ù
ú ú ú
û
ê ê ê
ë
0
1
1
0.1 0.3 1
1
0
• Este sistema de tres ecuaciones lineales de tres variable puede resolverse en cualquier método
convencional, por ejemplo, usando el método de Gauss, de determinantes o por sustitución
convencional. Recuerde que el arreglo matricial es equivalente al arreglo de ecuaciones
mostrados abajo:
- + =
c 0.2c 0.05c 0
-
1 0 1
- + - =
0.3c c 0.2c 1
- -
1 0 1
- + =
0.1c 0.3c c 0
-
1 0 1

• Independiente del método de resolución adoptado, el resultado es el mostrado en seguida:
= -
c 0.210
1
=
c 1.13
0
=
c 0.318
1
• Estos valores de coeficientes de derivación aseguran lo deseado:
- =
x
[ 1] 0
=
x
[0] 1
=
x
[1] 0
• La figura muestra los resultados anteriores:

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