30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
Tích phân hàm phân thức luyện thi đại học
1. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON
MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC
I. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức
Có dạng x
m
(a bx n ) p dx với a, b R , m, n, p Q, n, p 0
Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau.
m 1 m 1
Cụ thể xét bộ ba số p; ; p
n n
TH 1: Nếu p Z thì ta đặt x t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n
m 1 s p
TH 2: Nếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bx n hoặc t a bx n
n r
Đặc biệt
r
- Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bx n
s
r
- Nếu p Z và p 2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p 2 TPTP một lần, khi p 3
s
TPTP hai lần, …
m 1 s a bx n
TH 3: Nếu p Z , p , r , s Z thì ta đặt tr
n r xn
Bài tập giải mẫu:
TH 1: Nếu p Z thì ta đặt x t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n
4
dx
Bài 1: Tính tích phân sau I
1
x 1 x
Giải:
4 1 4 1
dx 1
Ta có I x 1 x 2 dx
1 x 1 x 1
1
Nhận xét: m 1, n , p 1 Z q 2
2
Cách 1:
x t2
Đặt x t
dx 2tdt
1
2. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
x 4 t 2
Đổi cận
x 1 t 1
2 2 2
t dt 1 1 2 4
Khi đó I 2 2 dt 2 2 2 ln t ln 1 t 2 ln
1
1 t 1 t
t 1 t 1
t 1 t 1 3
Cách 2:
x t 1 2
Đặt 1 x t
dx 2 t 1 dt
x 4 t 3
Đổi cận
x 1 t 2
2
t 1 dt 3 dt 3
1 1 3 4
Khi đó I 2 2
2 2 dt 2 ln t 1 ln t 2ln
2
2 t 1 t
t 1 t 2
t 1 t 2 3
m 1 s p
TH 2: Nếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bx n hoặc t a bx n
n r
Đặc biệt
r
- Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bx n
s
r
- Nếu p Z và p 2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p 2 TPTP một lần, khi p 3
s
TPTP hai lần, …
1
Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau I x 3 1 x 2 dx
0
Giải:
1 1
Phân tích I x 3 1 x 2 dx x 2 1 x 2 .xdx
0 0
1 m 1
Nhận xét: m 3, n 2, p 2
2 n
Cách 1:
x2 1 t 2
Đặt t 1 x 2
xdx tdt
x 1 t 0
Đổi cận
x 0 t 1
0 1 1 1
1 1 2
Khi đó I t 1 t 2
2
dt t 1 t dt t
2 2 2
t 4
dt t 3 t 5
3 5 0 15
1 0 0
Cách 2:
2
3. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
x2 1 t
2
Đặt t 1 x dt
xdx
2
x 1 t0
Đổi cận
x 0 t 1
1
0 1 1 1 1 1 3 3 3
1 2 1 2 1 2 12 2 2 2 2
Khi đó I t 1 t dt t 1 t dt t t dt t t
2
21 20 2 0 23 3 15
0
Cách 4:
Đặt x cos t dx sin tdt
2 2
Khi đó I sin 2 t cos 3 tdt sin 2 t 1 sin 2 t cos tdt
0 0
Cách 4.1.
Đặt sin t u cos tdt du
Khi đó
1 1
u 3 u5 1 2
I u 2 (1 u 2 )du u 2 u 4 du
0 0 3 5 0 15
Cách 4.2.
2 2
sin 3 t sin 5 t 2
2
I sin t 1 sin t d sin t 2
2 4
sin t sin t d sin t 2 .
0 0 3 5
0
15
Cách 4.3.
12 1 2 1 cos 4t 12 12
I sin 2 2t costdt cos tdt cos tdt cos 4t cos tdt
40 40 2 80 80
Cách 5:
1 1
1 1
I x2 1 x 2 d 1 x 2 1 x2 1 1 x 2 d 1 x 2
20 20
1 3 1 1
1 1
20
1 x2
d 1 x 1 x2
20
2 2
d 1 x
2 2
dt
Cách 3: Đặt t x 2 xdx
2
7
x 3 dx
Bài 3: Tính tích phân I 3
0 x2 1
Giải :
x2 t 3 1
3 2
Cách 1: Đặt t x 1 3 2
xdx t dt
2
3
4. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
x 7
t 2
Đổi cận
x 0
t 1
3 t 1 .t dt 3
7 2 3 2 2
x 2 .xdx 3 t 5 t 2 2 93
Khi đó I t t dt
4
0
3
x2 1 2 1 t 21 2 5 2 1 10
Cách 2:
x2 t 1
Đặt t x 2 1 dt
xdx
2
x 7
t 8
Đổi cận
x 0
t 1
1 t 1 dt 1 3 3
8 8 2 1 5 2
13 3 3 3 8
Khi đó I 1
t t dt t t
21 3
2 1 25 2 1
t
2
x3 x
Cách 3: Phân tích x 3 x x 2 1 x x x 2 1 3
3 2 3 2
x 1 x 1
Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần
u x 2 du 2 xdx
1 d x 1
2
Đặt x 3 3
dv dx v x 2 1 2
3 2
x 1 2 3 x2 1 4
4
dx
Bài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân I x
7 x2 9
Giải:
Phân tích
4 4 1
dx
x x 9 dx
1 2
I x 2
7 x2 9 7
1 m 1
Nhận xét: m 1, n 2, p 0
2 n
x2 t 2 9
Đặt t x 2 9
xdx tdt
x 4
t 5
Đổi cận
x 7
t 4
4 5 5
xdx tdt dt 1 t 3 5 1 7
Khi đó I x 2 ln ln
7
2
x2 9 4 t (t 2 9) 4 t 9 6 t 3 4 6 4
Cách 2:
4
5. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
x2 t 9
2
Đặt t x 9 dt
xdx
2
25
1 dt
Khi đó I 1
... đến đây liệu ta có thể làm được không, có thể đó bằng cách đặt
2 16
t 9 t 2
1
u 2 t
u t2 … bạn đọc giải tiếp nhé
2udu dt
1
6
Bài 5: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I x5 1 x3 dx
0
Giải:
1 1
3 6 6
I x 1 x
5
dx x 3 1 x 3 x 2 dx
0 0
m 1
Nhận xét: m 5, n 3, p 6 Z 0
n
Cách 1:
dt 2
x dx
3
Đặt t 1 x 3
x3 1 t
x 1 t 0
Đổi cận
x 0 t 1
0 1 1
1 6 1 6 1 6 7 1 t 7 t8 1
Khi đó I t 1 t dt t 1 t dt t t dt
31 30 30 3 7 8 168
Cách 2:
1 1 1 1
6 6 6 7
I x5 1 x3 dx x 2 1 1 x 3 1 x3 dx x 2 1 x 3 dx x 2 1 x 3 dx
0 0 0 0
3 7 3 8
1 1 x 1 1 x
1 1
1 6 7 1 1 1
1 x3 d 1 x 3 1 x3 d 1 x3 . .
30 0 3 7 0 3 8 0 168
2
2
Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau I x x 1 dx
0
Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
du 2 x 1 dx
u x 12
Đặt x2
dv xdx v
2
2 2 2
2 x 2 x 4 x 3 2 34
Khi đó I x 1 x x 1 dx 6 x 3 x dx 6
2
2 0 0 0 4 3 0 3
5
6. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
Cách 2:
x t 1
Đặt t x 1
dx dt
x 2 t 3
Đổi cận
x 0 t 1
Khi đó
3 3
t 4 t 3 3 34
I t 1 t dt t 3 t 2 dt
2
1 1 4 3 1 3
Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích
2
Ta có x x 1 x x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 x
2
x 4 2 x 3 x 2 2 34
Khi đó I x3 2 x 2 x dx
0 4 3 2 0 3
Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
2 2 3 2
Ta có x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
4 3
2
3
2
2
2
3
2
2 x 1 x 1 34
Khi đó I x 1 dx x 1 dx x 1 d x 1 x 1 d x 1
0 0 0 0
4 3 3
m 1 s a bx n
TH 3: Nếu p Z , p , r , s Z thì ta đặt tr
n r xn
2
dx
Bài 7: Tính tích phân sau I
1 x 4 1 x2
Giải:
1 m 1 x2 1 2
Nhận xét: m 2; n 2; p p 2 Z nên đặt t
2 n x2
2 1
x t2 1
1 x2
Đặt 2
t2 tdt
x xdx 2
t 2 1
5
x 2 t
Đổi cận 2
x 1 t 2
Ta có
5
3 2
I
2
dx
2
dx
2
t 2
1 tdt
2
t3
t 1 dt t
2 7 5 8 2
t
. 2 5
1 x4 1 x2 1
x6
1
1 2 t 2
1 5 3 24
2
x2 2
6
7. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
1
Bài 8: Tính tích phân sau: I
1
x x 3 3
dx .
1 x4
3
HD:
1
1 1 1
1 3 1
Ta có I 2 1 . 3 dx x 3 1 x 2 3 dx
1 x x 1
3 3
1 m 1
Nhận xét: m 3, n 2, p 1 Z
3 n
1 dt dx
Đặt t 2 1 3 …. I 6 bạn đọc tự giải
x 2 x
3
dx
Bài 9: Tính tích phân sau I
3 (1 x 2 )3
2
Giải :
3 m 1
Ta có m 0; n 2; p p 1 Z
2 n
1 2
2
x 1 2 t2 1 x
Đặt 2
t
x xdx tdt
(t 2 1) 2
x 3 2 3
t
Đổi cận 3 3
x t 3
2
3 3 3 3
xdx tdt dt 1 1
Khi đó I 2 2 3
1
.t 2 .t 2 3 t t
2 2
3 (1 x ) 1 x 2 2
2 3 (t 1) . 2 3
2
x4. 2
. 3
2
(t 1) 2
3 3
x x
Bài tập tự giải:
2
dx
Bài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân I
1 x x3 1
HD:
3x2 dx dt
Đặt t x3 1 dt dx 2
2 x3 1 x x3 1 t 1
4
dx 1 7
Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân I x ln
7 x2 1 6 4
7
8. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
2
dx
Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân I
2 x x2 1 12
3
Cách 1:
x dx xdx dt dt
Đặt t x 2 1 dt dx 2
và t tanu , u , 2 du .
x2 1 x x2 1 x2 x2 1 t 1 2 2 t 1
1 dx
Cách 2: Đặt t , t 0; dt
cos t 2 x x2 1
1 π 1
C1: Đặt x với t 0; hoặc x
cos t 2 sin t
C2: Đặt x 2 1 t
C3: Đặt x 2 1 t
1
C4: Đặt x
t
C5: Phân tích 1 x 2 1 x 2
1
x3
Bài 4: Tính tích phân I dx 0
1 x2 1
C1: Đặt x tan t
C2: Phân tích x 3 x x 2 1 x
u x 2
C3: Đặt x
dv dx
x2 1
C4: Đặt x t
C5: Phân tích x 3 dx x 2 xdx x 2 1 1 d x 2 1
7
x3 141
Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân I dx
0
3
1 x 2 20
2
x4
Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân I dx
0 x5 1
3
14 3
Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân I x 3 x 2 1 dx
1 5
9
468
Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân I x. 3 1 x dx
1 7
1
2 2 1
Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân I x x 2 1dx
0
3
3
848
Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân I x 3 1.x5 dx
0
105
8
9. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
1
6 3 8
Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân I x3 . x 2 3dx
0
5
1
8
Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân I x5 1 x 2 dx
0
105
1
x 1
Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân I 2
dx ln 2
0 1 x
2
1
2
Bài 14: Tính tích phân I x 2 2 x 3 dx
0
9
3 32 2
Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007) Tính tích phân
3
dx 3
I x x 1
1
2 2
1 3 12
2 3
dx 2 3
Bài 16: Tính tích phân I
3 x2 x 2 1 3 2 2
b. Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức
p
Mở rộng I u m x a bu n x d u x với với a, b R , m, n, p Q, n, p 0
Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau
m 1 s p
Nếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bu n x hoặc t a bu n x
n r
r
Đặc biệt : Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bu n x
s
Ta xét các thí dụ sau đây
ln 5
e2 x
Thí dụ 1. (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau I dx
ln 2 ex 1
Lời giải.
ln 5 ln 5 1
e2 x
Ta có I e 1
ln 2
x
ln 2
dx e x 1 e x 2 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 m 1
m n 1, p 2 Z và u x e x
2 n
x 2
e t 2 1
x
Đặt e 1 t x
e dx 2tdt
x ln 5 t 2
Đổi cận
x ln 2 t 1
2 t 2 1 tdt
2
2 2 2 20
Khi đó I 2
t 3 1
2 t 2 1 dt t 3 2t
1 3
1 1
9
10. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
Cách khác: Đặt e x 1 t
e
1 3ln x .ln x
Thí dụ 2. (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau I dx
1 x
Lời giải.
e e 1
1 3ln x .ln x
Ta có I dx ln x 1 3ln x 3 d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 x 1
1 m 1
m n 1, p 2 Z và u x ln x
2 n
t2 1
ln x
3
Đặt 1 3ln x t 2
dx 2 tdt
x 3
x e t 2
Đổi cận
x 1 t 1
2 2
2 t2 1 2 2 2 t 5 t 3 2 116
Khi đó I t dt (t 4 t 2 )dt
31 3 91 9 5 3 1 135
Cách khác: t 1 3ln x
e
ln x. 3 2 ln 2 x
Thí dụ 3. (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I dx
1 x
Lời giải.
e e 1
ln x. 3 2 ln 2 x
Ta có I dx ln x 1 ln 2 x 3 d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 x 1
1 m 1
m 1, n 2, p 1 Z và u x ln x
3 n
3 2 ln x
Đặt t 3 2 ln 2 x
t dt dx
2 x
x e t 3 3
Đổi cận
x 1 t 3 2
3 3
3 3 3
3 3 3 3 t4 3 3 3
232
2
Khi đó I t.t dt t dt .
2 32 2 4 3
2
8
3 3 23 2
Cách khác: Đặt 2 ln 2 x t
e
ln x
Thí dụ 4. (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau I 2
dx
1 x 2 ln x
Lời giải.
10
11. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
e 2
ln x 2
Ta có I 2
dx ln x 2 ln x d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 x 2 ln x 1
m 1
m 1, n 1, 2 Z , p 2 Z và u x ln x
n
ln x t 2
Đặt t 2 ln x dx
x dt
3
t 2 1 2
3
2 3 3 1
Khi đó I 2
dt 2 dt ln t ln
2 t 2t t t2 2 3
ln 3
e x dx
Thí dụ 5. (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau I 3
0
e x
1
Lời giải.
ln 3 ln 3 1
e x dx
e
x
Ta có I 1 3 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với
3
0
e x
1 0
1 m 1
m 0, n 1, p 1 Z và u x e x
2 n
Đặt t e 1 2tdt e x dx dx 2tdt
2 x
2
tdt 12
Khi đó I 2 3 2. 2 1
2
t t 2
2
dx
Thí dụ 6. Tính tích phân sau I
1 x x3
5
Lời giải.
2 2
dx 1
Ta có I 5 3
x 3 1 x 2 dx đây là tích phân nhị thức với m 3, n 2, p 1 Z
1 x x 1
x2 t 1
Đặt t x 2 1 dt
xdx
2
x 2 t 5
Đổi cận
x 1 t 2
2 2
1 x
Ta có I dx dx
1
3
x x 1 2
1 x 4
x 2
1
1 1 1
5 5
dt 1 1 1 t 5 3 1 5
Khi đó I 2
2
dt ln 2 ln 2 ln
t t 1 2 2 t 1 t 1 t 2 t 1 t 1 8 2 2
2
11
12. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
x 2 dx
Thí dụ 7. Tìm nguyên hàm: I 39
1 x
Lời giải.
x 2 dx 39 m 1
Ta có I 39
x 2 1 x dx đây là tích phân nhị thức với m 2, n 1, p 39 Z 3 Z
1 x n
Đặt t 1 x x 1 t dx dt
Khi đó
2
1 t dt 1 1 1 1 1 2 1 1 1
I 39
39 dt 2 38 dt 37 dt 38
37
C với t 1 x
t t t t 38 t 37 t 36 t 36
2
sin 2 x.cos x
Thí dụ 8. (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I dx
0
1 cos x
Lời giải.
Phân tích
2
sin 2 x.cos x 2
sin x.cos 2 x 2
1
I dx 2 dx 2 cos 2 x 1 cos x d cos x thì đây chính là tích phân nhị thức
0
1 cos x 0
1 cos x 0
với m 2, n 1, p 1 Z và u x cos x
dt sin xdx
Đặt t 1 cos x
cos x t 1
x t 1
Đổi cận 2
x 0 t 2
2
1
t 1 2
1 t2 2
Khi đó I 2 dt 2 t 2 dt 2 2t ln t 2 ln 2 1
2
t 1
t 2 1
2
2
Thí dụ 9. (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I sin x cos x 1 cos x dx
0
Lời giải.
2 2
2 2
Ta có I sin x cos x 1 cos x dx cos x 1 cos x d cos x thì đây chính là tích phân nhị thức với
0 0
m 1, n 1, p 2 Z và u x cos x
sin xdx dt
Đặt t 1 cos x
cos x t 1
12
13. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
x t 1
Đổi cận 2
x 0 t 2
1 2
t 4 t 3 2 17
Khi đó I t 1 t 2 dt t 3 t 2 dt
2 1 4 3 1 12
Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính như
trong lý thuyết
2
sin 2 x sin x
Thí dụ 10. (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I dx
0 1 3cos x
Lời giải.
2
sin x 2 cos x 1 2
1 2
1
Ta có I dx 2 cos x 1 3cos x d cos x 1 3cos x 2 d cos x
2
0 1 3cos x
0 0
I1 I2
m 1
Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức u x cos x với I1 ta có m n 1 2 Z và với I 2
n
m 1
ta có m 0, n 1 1 Z .
n
Vậy chung qui lại ta có thể
t2 1
cos x
3
Đặt 1 3cos x t 2
sin x dx
2dt
1 3cos x
3
x t 1
Đổi cận 2
x 0 t 2
2
4t 2 2 4 2 2 34
Khi đó I dt t 3 t
1
9 9 27 9 1 27
2
sin 3 x
Thí dụ 11. (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I dx
0
1 cos x
Lời giải.
2 2 3 2
sin 3 x 3sin x 4sin x 1
Ta có I dx dx 4cos 2 x 1 1 cos x d cos x thì đây chính là tổng của
0
1 cos x 0
1 cos x 0
m 1
hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m 2, n 1, p 1 Z 3 Z và u x cos x nên ta
n
cos x t 1
đặt t 1 cos x
dt sin xdx
13
14. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
x t 1
Đổi cận 2
x 0 t 2
2
1
4 t 1 1
2
3 2
Khi đó I dt 4t 8 dt 2t 2 3ln t 8t 3ln 2 2
2 t 1 t 1
Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau
e3
ln 2 x 76
Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I x dx
1 ln x 1 15
ln 2 2x
e 2 2
Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau I dx
0
x
e 1 3
e
ln x 42 2
Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I = x. dx
1 1 ln x 3
e
3 2 ln x 10 2 11
Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau I x dx
1 2 ln x 1 3
e
ln x 1
Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau I dx (ln 2 1)
1 x ln x 1
2
2
e
log 3 x
2 4
Bài 7: Tính tích phân sau I dx
1 x 1 3ln x 2 27 ln 3 2
ln 8 ln 8
Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau I e x 1.e 2 x dx e x 1.e x .e x dx
ln 3 ln 3
Bài 9: Tính tích phân sau I
ln 5
e x
1 e x
dx
ln 2 ex 1
2
sin 4 x 3
Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I 2
dx 2 6 ln
0 1 cos x
4
2
3 15
Bài 11: Tính tích phân sau I sin 2 x 1 sin 2 x dx
0
4
2
sin x cos 3 x
Bài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau I dx
0 1 cos 2 x
6
sin 3 x sin 3 3 x 1 1
Bài 13: Tính tích phân I dx ln 2
0
1 cos 3 x 6 3
14
15. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
3
dx 6
Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau I xx 3
ln
0
2
3
x dx 1 1 3 1 3 1 1 1
Bài 15: Tìm nguyên hàm I 10
6
7
8
C
( x 1) 6 ( x 1) 7 ( x 1) 8 ( x 1) 9 ( x 1)9
15