1. CAPITULO 3: La Derivada
Ejercicios Propuestos 3.1
1) a) 2.5 b) 2.3 c) 2.1 d) f ´( 2 ) = 2
1
2) f ´( 3 ) =
2
3) a) f ´( x ) = 3 b) f ´( x ) = −2 c) f ´( x ) = 2 x + 2 d) f ´( x ) = −4 x + 1
e) f ´( x ) = 6 x
2
f) f ´(x) = −3
2
(3x + 2) − 32
Ejercicios Propuestos 3.2
1) f ´(1) = 2 2) No existe 3) No existe 4) a = 6 , b = −4
5) a = 3 , b = −1 6) a = c − 2 ∧ b = 3 − 2c ∧ c∈R
Ejercicios Propuestos 3.3
2
a) f ´( x ) = 4 x
− 23
1) 3
+
− 3e x
x
b) f ´( x ) = 5 x + 3 x + 4 x
4 2
c) f ´( x ) = 2 x + cos x (1 − x − cos x ) − senx (1 + x − senx )
x 2 − 1 cos x ( x + 1)
2
d) f ´( x ) = 2
−
x senx xsen 2 x
e x ⎡(1 + x )( senx + 1) − x cos x ⎤
⎣ ⎦
e) f ´( x ) =
( senx + 1)
2
xe x
f) f ´( x ) = ⎡( x + 2 ) ln x + 1⎤
2 ⎣ ⎦
2) y = 4 x + 1
13
3) y = −3 x +
4
4) y = 2 x + 1 ; y = −2 x + 9
5) y = 12 x + 81 ; y = 12 x − 44
6) P (3,9)
7) 3 5
8) 50!
10
9)
49
Ejercicios Propuestos 3.4
x −1 −x
1. a) f ´( x ) = b) f ´( x ) =
( 2 x − 3)
3
x2 − 2x + 2 2
4e 2 x 2x
c) f ´( x ) = d) f ´( x ) =
(e + 1) (x − 1) (x + 1)
2 1 3
2x 2 2 2 2
⎛ senx ⎞ ⎛ cos x cos 2 x + 2 senxsen 2 x ⎞
2
e) f ´( x ) = 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ cos 2 x ⎠ ⎝ cos 2 2 x ⎠
2x 8
f) f ´( x ) = g) f ´( x ) =
( x + 1) ln ( x + 1) x ( x − 4)
2 2

2. − (sin 4 x ) e 1+ cos 2 2 x
3. ( f g )´(x) =
1 + cos 2 2 x
4. a) 4 b) −8 c) 2 d) -10 e) −6
5. 16
Ejercicios Propuestos 3.5
1. a)
d4
dx 4
[cos(x )] = 48x sin (x )+ (16x
2 2 2 4
) ( )
− 12 cos x 2
d 2 ⎡ xsen2 (πx ) ⎤ 2π (sin 2πx + πx cos 2πx )
b) ⎢ ⎥=
dx 2 ⎢ 1 + x ⎥
⎣ ⎦ (1 + x )3
c)
dx n
dn
[ ]
xe x = ne x + xe x
n⎛ 5 ⎞ 5 (n!)
d) Dx ⎜ ⎟=
⎝ 4 − x ⎠ (4 − x )n +1
n ⎡1 + x⎤ 2(n!) 30 ⎡ 1 +x⎤ 2(30!)
e) Dx ⎢ ⎥= entonces Dx ⎢1 − x ⎥ =
⎣ 1 − x ⎦ (1 − x )n +1 ⎣ ⎦ (1 − x )31
⎧(− 1) +1 (n sin x + x cos x ) ;
n +1
dn
[x sin x] = ⎪
2 si n es impar
f) ⎨ entonces
dx n ⎪(− 1) +1 (n cos x − x sin x ) ;
n
⎩ 2 si n es par
d 35
[x sin nx] = −35 sin x − x cos x
dx35
d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤ 2(1 − 2 x )
2. ⎢x ⎜ ⎟⎥ =
dx ⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎥ (1 + x )4
⎣ ⎦
3. an (n!)
4. p( x ) = 2 x − 3 x + 3 x − 1
3 2
Ejercicios Propuestos 3.6
y y
1. a) y´= − 3 b) y´= −
x x ( y + 1)
y 2e xy y
c) y´= − d) y´=
xye xy + 1 sec y tan y + sec2 y − x
2y
e) y´= −
(
x 2+ y )
3. y = −5
3 x+ 8 4. y = x − 2 5. y = − x + 2
5
6. y = − x + 2 7. x = 0 8. y = 3 x
2
48 xy 2 − 9 x 4 1
9. (1,1) 10. y´´= 11. y´´= 4 1
3
64 y 3x 3 y 3
12. y´´= −3

3. Ejercicios Propuestos 3.7
t +1
1. a) y´= tan(t ) b) y´=
(
t t2 +1 )
2. y = x + 4 −π a 3. y = 3x − 1 4. y = 3 x + 41
2 8 8
5. y = 5 x 6. a) y´´= cos t , b) y´´´= cos t
Ejercicios Propuestos 3.8
1. y = 2x − 2 2. y = − 3x + 8 3. y = − 3 x + 2 2
4. y − 3 3 =
12 3 + 3
2
x− 3
12 − 3 3
( 2
)
Ejercicios Propuestos 3.9
1. 1 2. 1 3. 2 4. 3
16 5 3
5. x − 5 y + 5 = 0 6. x − 11 y − 9 = 0 7. 2ax + y − 2a (a + 1) = 0 8. 3
9. a) y´= arcsin x +
x
−
1
b) y´= arctg x (2 )
1 − x2 x2 + 1
c) y´=
4
d) y´= e
(
arctg x 3 + senx )⎡
⎢ 3x 2 + cos x ⎤⎥
3 cos x + 5
⎣ (
⎢1 + x3 + senx 2 ⎥
⎦ )
Ejercicios Propuestos 3.10
sec5 x 3 tgx + 1 ⎡ 1 sec x 3 x 2 csc x3ctgx3 ⎤
1. a) y´= ⎢5tgx + + ⎥
csc x3 − 4 ⎢ ⎣ 3 senx + cos x 2 csc x3 − 4 ⎥ ⎦
1 − x2 ⎡ 3 20 + 15 x3 ⎤
3
4 2 x
b) y´= x3 cos 4 x ⎢ − tg 4 x − − ⎥
( 5 4x
4 x − x3 ⎢
⎣ )
3 1− x 2
4 x + x3 ⎥⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤
⎢ 1 2 xe x2 2 3 ⎥⎢ x −1 ⎛ 2 ⎞⎥
c) y´= ⎢ + − − ⎥⎢ arcsen⎜ e x ⎟⎥
⎢ 2(x − 1) 3(x + 2) 2(x + 3) ⎥ ⎢ 3 ⎜ ⎟⎥
⎛ x2 ⎞ ⎥ ⎢ (x + 2)2 (x + 3)3 ⎝ ⎠
2
⎢ arcsen⎜ e ⎟ 1 − e 2 x ⎥
⎢ ⎜ ⎟ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
x ⎡ 1⎤
d) y´= x 3 3 x ⎢ln 3 ln x + ⎥
⎣ x⎦
⎡n ⎤
e) y´= x n n x ⎢ + ln n ⎥
⎣x ⎦
⎧ ⎡ ⎤⎫
⎪ ⎡ ⎢ ⎥⎪
⎪ 2 ⎤
⎪ 2 arctan x ⎢ arcsin(sin x) ⎥ ⎢ 1 1 ⎪
⎥⎪
f) y´= y ⎨ ln + 2 arctan 2 x sin x cos x ⎢ − ⎥⎬
⎢ ⎥
⎪ 1 + x2 ⎢ arccos
⎥ ⎢ ⎛ 2 ⎞ 4 x arccos⎛ cos 2 x ⎞ 1 − cos 4 x ⎥⎪
⎪ ⎣ ⎦ ⎢ arcsin⎜ sin x ⎟ 1 − sin ⎜ ⎟ ⎥⎪
⎪
⎩ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎪
⎭
⎡ ⎤
(
g) y´= arcsin 1 + e 2 x( ) sec x ⎢
(
sec x tan x ln arcsin 1 + e 2 x +( ) 2 sec xe x ⎥
⎢
⎢
⎣ (
arcsin 1 + e 2 x − 2 + e 2 x ) ( ) ⎥
⎥
⎦
⎡ 3 cos 3 x arctan(cos 3 x ) 3 sin 3 x ln(ln(sin 3 x )) ⎤
h) y´= [ln(sin 3 x )]arctan(cos 3 x ) ⎢ − ⎥
⎣ ln(sin 3 x ) sin 3 x 1 + cos 2 3 x ⎦
2 x (x + y ) − y x 2 + y 2 ( )
i) y´=
(x + y )(x 2 ) (
+ y 2 ln (x + y ) + y x 2 + y 2 − 2 y (x + y ) )
( x⎡
) (
j) y´= 1 + x 2 ⎢ln 1 + x 2 +
⎢
2x2 ⎤
⎥
1 + x2 ⎥
)
⎣ ⎦

4. 2. (ln 2)x − y + 1 = 0
3. x+ y−2 = 0
4. 14
Misceláneos
1. a) V b) V c) F d) V e) V
f) V g) V h) V i) F j) F
k) F l) F m) V n) F o) V
p) F q) F r) F s) F t) V
u) V v) F w) F
2. a) y´=
( )
cos y − 2 xy 2 + 2 x sin x 2 + y 2 ecos (x
) 2
+ y2
2 x y − 2 y sin (x + y )e (
2 ) + x sin y
2 2 cos x 2 + y 2
⎡ ln (x + 1) 2 x ln x ⎤
b) y´= (x + 1) ⎢
ln x 2
+
(x + 1)⎥⎥⎦
2
2
⎢
⎣ x
cos(ln (cos x + e ))ln (cos x + e )(3e − sin x )
2 3x 3x 3x
c) y´=
sin (ln (cos x + e ))(cos x + e )
2 3x 3x
1
d) y´= 3
x y 1
2 + − y 2 arctan
y y2 + 1 y
⎛ x e ⎞ xx x x
e) y´= x ⎜ e ln x +
ex ⎟ + e x (ln x + 1)
⎜ x ⎟
⎝ ⎠
f) y´=
cos x + x
−
(2 )
x + 1 sin x + x
2 x 4 x+ x
6
g) y´=
4 − 9 x2
x2 + 2 1 + arctan x ⎡ x
3
1⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎛ ex ⎞⎤
h) y´= ⎢ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎥
4
1 + ex ⎢ x + 2 3 ⎝ 1 + arctan x ⎠ 1 + x
2 2 4 ⎜ 1 + ex
⎝
⎟⎥
⎠⎦
⎣
⎡ 2x ⎤
y´= ( sin 3 x ) ⎢1 + x 4 ln ( sin 3x ) + 3arctan x cot an3x ⎥
arctan x 2 2
i)
⎣ ⎦
2
x
1 2 arctan x earctan
j) y´= +
x 1 − ln 2 x 1 + x2
x( y − x )
k) y´=
2 x 2 + xy + y 2
l) y´= e
tan x
(sec 2
x tan e x + e x sec2 e x )
2 y
−
x x+ y
m) y´=
ln (x + y ) +
y
x+ y
3. 2 f ( x) f ´(x )
4. a = 2c ∧ b = 1 ∧ d = c + 1 ∧ c ∈ R
5. y = −2 x + 2 3
[
6. Dx (g
e
f )](1) =
2
7. y = x ∧ y = − x
8. y = −6 x + 5

5. 9. f es derivable en (−1,0 ) ∪ (0,1) ∪ (1,2 )
10. k = −8 ∨ k = 3
d3 y
11. = − 1− t2
dx 3
d3y 1
12. =−
dx3 t =1
8
13. a = −3 , b = −4 , c = 1
14. y = 2 x − 2
3 3
15. y = 1 x + 3
2 2
2
d y 2
16. =
dx 2
e (cos t − sin t )3
t
dy
17. =π2 −2
dx
2
18. f ´(1) =
27
3
19. y = x − 2a⎜
⎛ 2⎞
⎟
⎝ 2 ⎠
20. a = c + 1 ∧ b = 1 ∧ c ∈ R
21 y = x + 1
22. y = 6 x − 6
23. y = − 1 x + 3
2 2
24. y = 3x − 1
25. De F (x ) tenemos F ´(x) = cos x f (cos x ) − sin x f ´(cos x )
2
y como F ´(− x) = cos(− x ) f (cos(− x )) − sin 2 (− x ) f ´(cos(− x )) = F ( x)
Por tanto F ´(x) es PAR
26. k = −7
d 50 ⎡ 1 − x ⎤ 2(50!)
27. ⎢ ⎥=
dx50 ⎣1 + x ⎦ (1 + x )51
28. y = − x + 3
29. y = − x − 1
4
⎡ d −1 ⎤
f ⎥ (4 ) =
1
30. ⎢
⎣ dx ⎦ 15