1. Di susun Oleh :
INDAH WIJAYANTI
200813500172
Yb. Matematika
T E O R I G R A F
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS TEKNIK MATEMATIKA DAN IPA
UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI JAKARTA
Jl. Nangka No.58C Tanjung Barat (TB Simatupang)
Jagakarsa, Jakarta Selatan 12530
Februari 2011
MATEMATIKA DISKRIT

2. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 1 -
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), yang dalam hal ini V
adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (verticers atau node) = {v1, v2,
v3,...} dan E himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang
simpul {e1, e2, e3, ...} atau dapat di tulis dengan notasi G = {V,E}.
Dengan definisi demikian graf dapat digunakan untuk berbagai objek
diskrit, terutama graf sering digunakan untuk memodelkan berbagai persoalan
untuk memudahkan penyelesaiannya yang sulit di selesaikan dengan
perhitungan dan pertimbangan biasa. Misalnya seseorang ingin menggambarkan
diagram hubungan relasi kerja seorang pimpinan dengan staf-stafnya, maka sang
pimpinan dapat dijadikan suatu objek diskrit (simpul/vertex), demikian juga staf-
stafnya, dan akan terdapat sisi-sisi (edges) yang menghubungkan satu dan
lainnya untuk menggambarkan hubungan (relationship) antara objek-objek
(simpul) tadi.
Seperti terlihat pada gambar 1,
dimana seorang Pimpinan membawahi Staf1,
dan Staf2 dibawahi Staf 1. Dari sini dapat
dilihat kekuatan graf dalam mendeskripsikan
objek-objek diskrit sehingga graf sampai saat
ini banyak digunakan.
Dengan kekuatannya ini graf
merupakan salah satu cabang penting dalam
matematika yang terus dikembangkan
terutama dalam ilmu komputer dimana
dengan graf dapat merepresentasikan
banyak sekali model persoalan.
Gambar. 1 Relasi dengan
Graf

3. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 2 -
A. Sejarah Graf
Menurut catatan sejarah, graf pertama kali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan jembatan Königsberg (1736).
Masalah jembatan Königsberg
ini adalah : mungkinkah melalui ketujuh
buah jembatan itu masing-masing
tepar satu kali, dan kembali lagi ke
tempat semula? Kemudian tahun 1736
seorang matematikawan Swiss, L.Euler,
adalah orang pertama yang berhasil
menemukan jawaban maslah itu
dengan memodelkan masalah ini ke
dalam graf. Daratan (titik-titik yang
dihubungkan oleh jembatan) dinyatakan
sebagai titik (noktah) yang disebut
simpul (vertex) dan jembatan
dinyatakan sebgai garis-garis yang
disebut sisi (edge). Setiap titik diberi
label huruf A, B, C, dan D. Graf yang dibuat Euler seperti tampak pada gambar
2.b.
Euler mengungkapkan bahwa tidak mungkin seseorang berjalan melewati
tepat satu kali masing-masing jembatan dan kembali lagi ke tempat semula
karena pada graf model jembatan Königsberg itu tidak semua simpul berderajat
genap (derajat sebuah simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul
yang bersangkutan).
Apabila sebuah graf dapat dilalui setiap sisinya masing-masing satu kali
dan kembali lagi ke tempat semula, maka graf tersebut dikatakan memiliki sirkuit
Euler.
Gambar 2.a Jembatan Konigsberg
Gambar 2.b
Graf yang merepresentasikan
Jembatan Konigsberg

4. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 3 -
1.2 Tujuan
Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut :
 Memenuhi salah satu Tugas mata kuliah Matematika Diskrit.
 Mahasiswa dapat menggunakan Teori Graf ini untuk memodelkan
berbagai persoalan untuk memudahkan penyelesaiannya yang sulit di
selesaikan dengan perhitungan dan pertimbangan biasa
 Mahasiswa dapat mengembangkan serta mengaplikasikan Materi
graf ini dalam kehidupan sehari-hari.

5. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 4 -
BAB II
PEMBAHASAN
Graf di simbolkan G. Graf adalah himpunan yang terdiri dari (V,E) atau
G = (V,E) dengan :
V : Himpunan titik / simpul / noktah dan
E : Himpunan sisi / edge yang menghubungkan 2 simpul.
Contoh :
Simbol
1. Simpul (V) : Huruf, angka atau gabung huruf dan angka
2. Edge (E) : e1, e2, e3, ...... n dengan :
e1 : Sisi yang menghubungkan simpul 1 & 2
e2 : Sisi yang menghubungkan simpul 2 & 3.
Contoh Bentuk Graf
Bali
Jakarta
Sragen
Sisi / edge
Simpul
V = {Jakarta, Sragen, Bali}
E = { (Jakarta, Sragen), (Sragen,
Bali), (Jakarta, Bali)}
e3
e2
e1
1
2
3
4
e1 e3
e7
e6
e4
e2
e5
 5
e8
V = {1, 2, 3, 4, 5}
E = { e1, e2, e3, e4, e5, e6,
e7, e8}
Gambar 2.1. a
TEORI GRAF

6. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 5 -
A. ISTILAH dalam GRAF
1. Sisi Paralel / Ganda yaitu Sisi yang terdiri 2 garis dari 2 simpul
Contoh ( pada gambar 1) :
e2 = ( 1, 4 ) e6 = ( 3, 4 )
e3 = ( 1, 4 ) e7 = ( 3, 4 )
2. Loop / Gelang / Kalang yaitu Sisi yang hanya berhubungan dengan 1
simpul
Contoh : e8 = { 4 }
3. Simpul / Titik terasing yaitu simpul yang tidak mempunyai sisi
Contoh : { 5 }
4. Titik Ujung yaitu simpul yang mempunyai sisi dengan titik simpul lain
Contoh : e1 = ( 1, 2 )
Buatlah Graf jika di ketahui :
1. V = {1, 2, 3} dan E = { (1,2), (2,2), (3,2), (1,3) }
Jawab :
2. V = { 1, 2, 3, 4 } dan E = { (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4) }
3. V = { 1, 2, 3, 4 } dan E = { (1,2), (2,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4) }
Jawab:
1 Titik Ujung
2 Titik terminal
2
3
1
Note : Dalam
pembuatangraf letak
titiksimpulnyaboleh
di buat sembarang
Contoh
1
2
4
3
Sisi Tunggal
Gambar. No 2
1
2
4
3
Gambar. No 3
Sisi Ganda

7. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 6 -
4. V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { (1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4), (3,3) }
Jawab
Berdasarkan Sisi ganda dan Loop jenis Graf terdiri dari :
1. Graf Sederhana adalah Graf yang tidak memiliki sisi ganda dan Loop
Contoh : Gambar no. 2
2. Graf tidak Sederhana terbagi dua (2) yaitu :
a. Graf Ganda yaitu graf yang memiliki sisi ganda
Contoh: Gambar No 3
b. Graf Semu yaitu graf yang memiliki Loop
Contoh : Gambar No 4
A. MENGGAMBAR GRAF SEDERHANA
Contoh : Gambarlah graf jika di ketahui 4 titik (simpul) dengan 2 garis
Jawab :
a. Langkah 1 : Cari banyaknya kemungkinan garis yang dapat di buat dari
4 titik dengan Combinasi: (𝑛
𝑟
) =
𝑛!
𝑟!(𝑛−𝑟)!
Maka
(4
2
) =
4!
2!(4−2)!
= 6 buah garis kemungkinan.
b. Langkah 2 : Cari banyak kemungkinan graf yang di buat dari 6 garis di
pilih 2 garis dengan (6
2
)=
6!
2!(6−2)!
= 15 buah kemungkinan
graf
1
2
4
3
3
Loop
Gambar. No 4
JENIS-JENIS GRAF

8. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 7 -
Soal : Gambarlah graf dengan semua kemungkinan yang di buat dari 5
titik dan 4 garis
Jawab : a. Langkah 1 : (5
2) =
5!
2!(5−2)!
= 10 Kemungkinan
b. Langkah 2 : (10
4
) =
10!
4!(10−4)!
= 210 buah kemungkinan graf
Gambar graf :
... dst
B. DERAJAT (Degree)
Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah banyaknya sisi
yang bersisian dengan simpul tersebut.
Simbol : d (V) jika simpulnya V
Contoh
a. 1, 1, 3, 3 b. 1, 2, 2, 3 c. 2, 3, 3, 4
Jawab :
1
5 4
3
2 1
4
3
2 1
3
4
2
5
5
Catatan :
1. Jika pada loop maka
jumlah derajat = 2
2. Total jumlah semua
derajat = Genap
Contoh Gambarlah graf jika di ketahui 4 titik dengan derajat :
d (1) = 2
4
2
1
3
d (2) = 3
d (4) = 2
d (3) = 3
a)
1
4
3
2
d (V1) = 1
d (V3) = 3
d (V2) = 1
d (V4) = 3
b)
1
2
4
3
d (V1) = 1
d (V2) = 2
d (V3) =2
d (V4) = 3

9. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 8 -
Graf G ( V1, V2 ) di sebut graf bipartit jika Graf G (V,E) pada
himpunan simpul G (V) dapat di bagi menjadi himpunan V1 dan V2 serta
sisi E (G) dapat menghubungkan antara V1 dan V2
Syarat Umum graf Bipartit :
1. Terdapat 2 himpunan V1 dan V2
2. Masing-masing simpul pada V1 menghubungkan ke simpul pada V2
3. Tidak ada Relasi antar simpul pada suatu V1 dan V2
4. Jika setiap simpul di V1 menghubungkan semua simpul di V2 di sebut
Graf Bipartit Lengkap.
Simbol Bipartit lengkap : Kn, m
Ket : n = banyaknya simpul pada V1
m = banyaknya simpul pada V2
Banyaknya sisi yang dapat di hubungkan = n . m
c)
1
3
2
4
d (V4) = 4
d (V1) = 2
d (V2) = 3
d (V3) = 3
Contoh Tunjukkan mana yang di sebut Graf Bipartit dan Bipartit lengkap
1.) V1
V2
V4
V3
Jawab :
V1
V2
V3
V4
Karena V1 = { V1, V2 } dan V2 = { V3, V4 }
 Maka Graf tersebut adalah Graf Bipartit
2.)
Karena V1 = { R1, R2 } dan V2 = { L, A, T }
 Maka Graf tersebutadalah GrafBipartit
Lengkap
dengan: Kn.m= K 2.3 = 6 sisi /garis
R2
L
R1
T
e4
e2
e1
e5
e3
e6
GRAF BIPARTITdan SUB GRAF
2, 3, 3, 4

10. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 9 -
.
A. KOMPLEMEN dan SUB GRAF
 Komplemen Graf artinya Selain atau kecuali
 Simbol Komplemen Graf G (V,E)
B. SUB GRAF ( Simbol :  Bagian)
3.) b
c
f
e
d
g
a V1 = { a, b, d } dan V2 = { c, e, f, g }
 Maka Graf tersebutadalah GrafBipartit
Karenatidaksemuaanggota V2 di pasangkan
dengan V1
 a
 b
 c
 c
 e
 f
 g
Contoh
1.)
V1
V3
V2
V4
V2
V1
V4
V3
G (V,E)
G (V,E)
2.) V1
V2 V5
V3 V4 V3
V2
V4
V1
V5
G (V,E) G (V,E)

11. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 10 -
Misalkan G (V,E), suatu graf H di katakan Sub graf dari
G { H, (V,E) }  G (V,E) jika memenuhi syarat sebagai berikut :
1. V (H)  V (G)  Himpunan simpul di H  simpul di G
2. E (H)  E (G)  Himpunan sisi pada H  sisi pada G
3. Setiap sisi pada H harus mempunyai titik ujung pada graf G

C. PATH dan SIRKUIT
Contoh Tunjukkan bentuk Sub graf dari G !
1.)
V1 V3
V2
V4
e1 e2
e5
e3
e4 G (V, E)
V = { V1, V2 V3, V4 }
E = { e1, e2, e3, e4, e5 }
Misal a. H = (V, E)
V = { V1, V2}
E = { e1, e2 }
V1
e1
e4
V2
e1 = Titik Ujung di H = G1
e4 = Titik Ujung di H ≠ G1
 Maka Gambar di samping Bukan Sub graf
e1 = Titik Ujung di H ≠ G2
e4 = Titik Ujung di H ≠ G2
 Maka Gambar di samping Bukan Sub graf
Graf G1
V1
e1
V2
e4
Graf G2
Misal b. H = (V, E)
V = { V1, V2, V4 }
E = { e1, e4 }
V1
e1
e4
V4
 Gambar di samping merupakan Sub graf
karena e1 dan e4 titik ujung di H = G

12. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 11 -
 Path ( Lintasan)
Path yang panjangnya n adalah suatu jalan dari awal V0 ke simpul
akhir Vn dengan barisan berselang-seling antara simpul dan Sisi.
Nama Simpul Sisi / Garis Titik Ujung
Walk  beda / sama  Sama Ujung Beda
Path  Sama  Beda Ujung beda
Path Sederhana  Sama  Beda Ujung beda
Sirkuit  Sama  Beda Ujung sama
Sirkuit Sederhana  Beda  Beda Ujung sama
Catatan :  = Ada / beberapa
 = Semua / Setiap
Syarat Suatu Path / Lintasan :
1. Ujung-ujungnya berbeda
2. Garisnya berbeda dan simpul boleh sama
 Jika garis dan titik simpul berbeda = Path Sederhana
 Jika pada Path sederhana, titik ujungnya sama maka di sebut Sirkuit
Contoh
V1
e5
e3
e1
e4
e2
V3
V2
Jawab:
Path ( Lintasan) Sepanjang 3:
 V1 e1, V2 e4, V3 e5, V3
Sirkuit :
 V1 e1, V2 e4, V3 e3, V1

1. Tunjukkan bentuk Path dan Sirkuit dari Graf berikut !
2. Tunjukkan apakah barisan di bawah ini Walk, Path, Sirkuit atau Sirkuit
Sederhana!
a. V1 e1 V2 e3 V3 e5 V4 e5 V3 e6 V5
Jawab :
Titik Ujung : beda (V1 dan V5 )
Sisi : Sama (  e5 yang sama)
Simpul : Sama (  V2 yang sama)

13. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 12 -
Ingat :
Cara Menentukannya :
 Lihat Titik Ujung
 Sisi / garis
 Simpul
3. Tunjukkan apakah barisan di bawah ini Walk, Path, Sirkuit atau Sirkuit
Sederhana!
a. V1 e1 V2 e3 V3 e4 V3 e5 V4
Jawab :
Titik Ujung : beda (V1 dan V4 )
Sisi : beda ( sisi beda)
Simpul : Sama (  V3 yang sama)
 Deretan baris di atas di sebut Path
b. V2 e3 V3 e5 V10 e6 V3 e7 V2
Jawab :
Titik Ujung : Sama ( V2 )
Sisi : Beda ( sisi beda)
Simpul : Sama (  V3 yang sama)
 Deretan baris di atas di sebut Sirkuit
c. V2 e3 V4 e4 V5 e5 V2
Jawab :
Titik Ujung : Sama (V2 )
Sisi : Beda ( sisi beda)
Simpul : Beda ( simpul beda)
 Deretan baris di atas di sebut Sirkuit Sederhana

14. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 13 -
2.4 SIRKUIT EULER dan SIRKUIT HAMILTON
Lintasan Euler : Path yang melalui sisi tepat 1x
Sirkuit Euler : Lintasan yang ujung awal = ujung akhir
SIRKUIT EULER
Ciri-ciri Sirkuit Euler :
1. Sirkuit yang tepat melewati sisi 1x
2. Simpul awal = Simpul akhir
3. Sisi wajib beda
4. Simpul boleh berulang
5. Graf terhubung yang setiap simpulnya memiliki derajat genap
Contoh 1. Tentukan Lintasan Euler yang di awali V3 !
V1
e5
e4
V4
V3
V2
e1
e2
e3
Jawab :
Lintasan : V3 e1 V1 e2 V2 e3 V3 e4 V4 e5 V1
Sirkuit : V3 e1 V1 e2 V2 e3 V3
2. Tentukan Lintasan Euler dan Sirkuit Euler !
4
5
6
7
3
2
1
Jawab :
Graf di samping memiliki Sirkuit euler karena
graf terhubung dan simpul berderajat genap.
Sirkuit : 1 2 3 4 7 3 5 7 6 5 2 6 1

15. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 14 -
Adalah Sirkuit yang melewati Simpul tepat 1x kecuali titik awal = titik akhir.
A. REPRESENTASI GRAF dalam Matriks
IstilahGraf
3. Tentukan bentuk Lintasan Sirkuit Euler berikut!
Jawab :
Sirkuit Euler :
a. 1 2 6 3 2 4 1 3 5 6 4 5 1 atau
b. 1 2 6 3 2 4 5 3 1 5 6 4 1 atau
c. 1 2 3 6 2 4 6 5 3 1 5 4 1
1
4 2
3
5
6
SIRKUIT HAMILTON
Ciri-ciri Sirkuit Hamilton :
1. Sirkuit yang tepat melewati simpul 1x
2. Simpul awal = Simpul akhir
3. Tidak harus melewati semua sisi
Contoh
2
3
1
4
Tentukan Lintasan Hamilton dari graf di samping!
Serta Sirkuit Hamilton pada graf soal no. 3!
Jawab :
Lintasan Hamilton : 3 1 2 4
Sirkuit Hamilton (no.3) :
a. 1 2 3 6 5 4 1 atau
b. 1 3 6 2 4 5 1 atau
c. 4 6 2 3 1 5 4.

16. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 15 -
1. Graf Berbobot yaitu graf yang sisinya mempunyai nilai tertentu
Contoh:
2. Graf Teratur yaitu graf yang setiap simpul mempunyai derajat sama
Contoh :
Matriks Ketetanggaan
Misalkan G (V,E) dengan simpul n maka G dapat di nyatakan
M = [ aij ] dengan jumlah ordo n
Aturan aij = elemen Matrik 
a) aij = 1 jika Simpul i dan j bertetangga / terhubung
b) aij = 0 jika Simpul i dan j tidak bertetangga
c) aij = 1 jika ada sisi gelang pada simpul yang mengakibatkan
diagonal = 1
Matriks = [
0 1 0
1 0 1
0 1 0
0
0 0
]
d) aij = 2 yaitu aij = Jumlah sisi yang berhubungan pada simpul 2
Matriks = [
0 1 2
1 0 0
2 0 1
1
1 0
]
V3
15
V5
V6
V2
V1 V4
20 30
10
20
25
V2
V1
V1
V3
V2
V1
V3
V4
V2
1
4 2
3
Ingat :
Cara MembuatMatriks
di lihatdari simpulnya
dan jumlah ordo sesuai
dengan jumlah simpul
3
2
4
1
GRAF ISOMORFIK

17. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 16 -
Definisi : 2 buah Graf G1 dan G2 di katakan Isomorfik jika  Korespondensi
satu-satu antara simpul di G1 dan G2 dan antara sisi-sisi di G1 dan G2
Keterangan: Untuk menunjukan 2 graf Isomorfik di tunjukkan dengan:
a). Simpul di G1 berkorespondensi satu-satu dengan simpul di G2
b). Sisi- sisi di G1 berkorespondensi satu-satu dengan sisi di G2
c). Jumlah derajat masing-masing simpul di G1 = G2
Syarat 2 graf Isomorfik :
1. Mempunyai Jumlah Simpul sama
2. Mempunyai Jumlah sisi sama
3. Mempunyai jumlah derajat sama
Contoh Tunjukkan G1 dan G2 Isomorfik !
1.
3
2
1
4
G1
G2
Jawab : A. Untuk Menentukan apakah G1 & G2 Isomorfik di jawab dengan
syarat 2 graf Isomorfik , yaitu :
G1 : Simpul = 4 G2 : Simpul = 4
Sisi = 6 Sisi = 6
Derajat = 12 Derajat = 12
 Semua syarat terpenuhi maka Kedua graf di atas Isomorfik
B. Untuk Menunjukkan apakah G1 & G2 Isomorfik di jawab dengan
menunjukan korespondensinya sebanyak simpul, sisi dan derajatnya
Simpulnya : Sisinya: Derajatnya :
1  a
2  b
3  c
4  d
(1,2)  (a,b)
(2,3)  (b,c)
(3,1)  (c,a)
(3,4)  (c,d)
(4,1)  (d,a)
(4,2)  (d,b)
d (1) : 3 = d (a)
d (2) : 3 = d (b)
d (3) : 3 = d (c)
d (4) : 3 = d (d)
a
d
b
c

18. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 17 -
Adalah graf yang tidak berarah terhubung yang tidak memiliki sirkuit.
Jadi, Ada 2 Syarat Graf Pohon :
2.
e
d
a
c
b
G2
2
5
4
3
1
G1
Jawab : Korespondensi satu-satu dari G1 & G2 di tulis sebanyak simpul, sisi
dan derajatnya
Simpulnya : Sisinya: Derajatnya :
1  a atau
2  b
3  c
4  d
5  e
1  c
2  b
3  a
4  d
5  e
(1,2)  (a,b)
(1,3)  (a,c)
(2,3)  (b,c)
(1,4)  (a,d)
(3,4)  (c,d)
(4,5)  (d,e)
d (1) : 3 = d (a)
d (2) : 2 = d (b)
d (3) : 3 = d (c)
d (4) : 3 = d (d)
d (5) : 1 = d (e)
GRAF POHON (Tree)
Syarat Graf pohon :
1. Terhubung
2. Tidak memiliki Sirkuit
Contoh
1.
Tentukan apakah Graf berikut merupakan Graf Pohon !
Jawab :
Graf di samping merupakan graf Pohon karena
graf terhubung dan tidak memiliki sirkuit
2
4. 5.
3.
1.
Anak (akar)

19. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 18 -
A. POHON BINER
Adalah pohon yang setiap titiknya hanya memiliki paling banyak 2
anak (akar).
Ekspresi Aljabar dalam bentuk Pohon
2.
V7
V8
V9
V6
V4 V5
V3
V2
V1
Jawab :
Graf di samping bukan graf Pohon karena
graf tidak terhubung (V5 dan V6)
3.
2
1
3
4
5 6
Jawab :
Graf di samping bukan merupakan graf
Pohon karena terdapat sirkuit yang
menghubungkan V1 , V2 dan V3
Langkah-langkahnya :
1. Perhatikan Operator Utama (+, -, x, : ) sehingga
operasinya membagi 2 persamaan kanan dan kiri
2. Kerjakan persamaan kiri dan kanan seperti langkah 1
Contoh Nyatakan Operasi berikut dalam bentuk pohon !
2. 2 x 4 1. (a – b) + c
4
2
x
c
b
x
x
a

20. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 19 -
3. (x-y) x 2 +
𝑢
𝑣
4.
(𝑥−𝑧)
4
- (x+y) v
v
z
+
x
y
:
u
-
x
v
4
-
:
z
x
x
-
x
v
4
+
:
w
-
5
x
y
y
+
5.
(4+𝑦)
4
𝑥 𝑤 + (5 - v)
+
4

21. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 20 -
BAB III
Latihan Soal

22. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 21 -

23. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 22 -

24. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 23 -

25. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 24 -

26. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 25 -

27. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 26 -

28. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 27 -

29. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 28 -

30. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 29 -

31. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 30 -

32. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 31 -

33. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 32 -

34. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 33 -

35. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 34 -

36. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 35 -

37. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 36 -

38. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 37 -

39. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 38 -

40. Matematika Diskrit
T E ORI GR AF
- 39 -