1. DERIVADAS Anival Torre ANIVAL TORRE 1

2. y (x, f(x)) x x Definición de derivada La derivada de una función f(x), denotada por f ´(x), es la pendiente de la recta tangente a la función f(x) s . T 2 ANIVAL TORRE

3. y f . (x, f(x)) x x Pendiente de la recta secante a una Curva s . f(x+h) (x+ h, f(x+ h)) Dy Dy T f(x) Dx Dx x+h 3 ANIVAL TORRE

4. Pendiente de la recta tangente a una Curva Suponga que f(x) es contínua, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto P(x, f(x)) es: ANIVAL TORRE 4

5. Recta normal a una gráfica La recta normal a una gráfica en un punto dado es la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto. Ln Lt y = f(x) x1 ANIVAL TORRE 5

6. 6 Reglas de derivación 1. Diferenciación de una constante Si f(x) = c, entonces, f ´(x) = 0 2. Diferenciación de potencias (n Z+) Si f(x) = xn, entonces, f ´(x) = n x n -1 3. Diferenciación para producto con una constante Si h(x) = c f(x), entonces, h´(x) = c f ´(x) ANIVAL TORRE

7. 7 4. Diferenciación de una suma Si h(x) = f(x)+g(x), entonces, h´(x) = f ´(x) + g´(x) 5. La derivada de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma de las derivadas 6. Diferenciación de un producto Si h(x) = f(x)g(x), entonces, h´(x) = f ´(x)g(x) + f(x)g´(x) ANIVAL TORRE

8. 8 7. Diferenciación de un cociente Si h(x) = f(x)/g(x), entonces, h´(x) = f ´(x)g(x) - f(x)g´(x) [g(x)]2 8. Diferenciación de potencias (n Z- ) Si f(x) = x- n, entonces, f ´(x) = -n x- n -1, x  0 De esto se deduce que si r Z-{0}, entonces, Dx[x r] = r x r -1 ANIVAL TORRE

9. 9 Derivada de la función compuesta Si la función g es diferenciable en x y la función f es diferenciable en g(x), entonces la función compuesta f o g es diferenciable en x, y (f o g)´(x) = f ´(g(x)) g´(x) También se le conoce como “regla de la cadena” Si hacemos u = g(x), tenemos: Dx[f(u)] = f ´(u)Dxu Derivada de una Función Idéntica Si f(x)= X; entonces f΄ (x) = 1 ANIVAL TORRE

10. Aplicaciones ANIVAL TORRE 10 Determine la pendiente de las siguientes funciones 1. Y= 2x + 4 2. Y= 4X – 1 3. Y= -3X + 2 4. Y= 3x – 1 5. Y= 4x - 2

11. ANIVAL TORRE 11 Aplicaciones Hallar la derivada de las siguientes funciones 1) f(x) =2x2 en x= 3 2) f(x) = x2 + 2 en x= 2 3). f( x )= x ² - 2x + 1 en x=1 4) f(x) = x³ - 1 en x= 1/3 5) f(x) = en x=4

12. ANIVAL TORRE 12 Aplicaciones 1) Dada y= f(x) = x2 + 5x – 8 , hallar y, y/ x, cuando varia : a) x0= 1 a x1= 1,2 b) x0= 1 a x1= 0,8 2) Dada y= f(x) = x2 - 2x +3 , hallar y, y/ x, cuando varia : a) x0= 1 a x1= 1,5 b) x0= 1 a x1= 2

13. ANIVAL TORRE 13 Aplicaciones Hallar la pendiente de las siguientes curvas: Y = X² en el punto X=2 Y= 2X² - 3X + 1 en el punto X=3 Y = X² + 1 en el punto X=1 Y= 3X² +5X + 2 en el punto X=3 Y= X³ - 3 en el punto X=4

14. ANIVAL TORRE 14 Aplicaciones 1.- Probar que f (x)=ax+b (a,b,ε R; a≠0) es derivable. 2.- Hallar la derivada de f(x) = x² + x 3.- Hallar la derivada de f(x) = x³ + 3x²-4x + 6 4.- Hallar la derivada de f(x) = x² -7x + 4 5.- Hallar la derivada de f(x) = x³ -5x²+2x -9

15. ANIVAL TORRE 15 Aplicaciones 1.- Si f(x) = 3x² + 6x Hallar f΄ (x) 2.- Hallar la derivada de la función f(x) = ( 6x²+1) (x³ -2) 3.-Hallar la derivada de la función 4.-Si f(x) = 5x3 - 7x2+ 3x-9 Hallar f΄ (x) 5.-Hallar la derivada de la función f(x) = ( 2X³-X²) (3x³ +4)

16. ANIVAL TORRE 16 Aplicaciones Obtener la primera derivada las siguientes funciones: 1. y = 4 + 2x – 5x² + 3x³ - 6x4 +9x5 2. y = 1/ x + 3/ x² + 2/ x³ 3. y = 2x1/2 + 6x1/3 +2x3/2 4. y = 2/ x1/2 + 6/ x1/3 – 4/ x3/4 5. y = (3x2)1/3 – 1/ (5x) ½

17. ANIVAL TORRE 17 Aplicaciones Una compañía vende libros y encuentra que sus ingresos totales generados por la venta de x libros , donde x se da en miles esta dado por: I(x) = 20000(x)1/2 /(4 + x3/2 ) a) HALLAR LOS INGRESOS MARGINALES I'(x) b) CALCULAR I'(3)

18. ANIVAL TORRE 18 Aplicaciones 2)La temperatura de una persona durante una enfermedad esta dada por: Donde t es la temperatura en g.f. en el tiempo t, en hr. Hallar la razón de cambio de la temperatura respecto al tiempo. Determine la razón de cambio en t=2 horas.

19. ANIVAL TORRE 19 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y p(x,y) X  sea  un número real cualquiera. tracemos un angulo cuya medida sea  radianes de modo que su vertice este situado en el origen de un sistema cartesiano de coordenadas siendo el eje x el origen de angulos. tomando un punto p(x,y)sobre el otro lado del angulo de 0 se verifica que: sen = y ; cos = x

20. El dominio de sen  y de cos  son numeros reales; el campo de variacion : sen  es: -1<= y<= 1 cos  es: -1<= x<= 1 ANIVAL TORRE 20 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Entonces: tg  = sen / cos  ctg  = cos / sen sec  = 1/cos  csc  = 1/sen 

21. ANIVAL TORRE 21 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1. sen²x+cos²x=1 2. 1+tg²x = sec²x 3. 1+ ctg²x= csc²x 4. sen²x= (1-cos2x) / 2 5. cos²x= (1+cos2x)/2 6. senx.cosx=(sen2x)/2 7. senx.cscx= 1 8. cosx.secx=1 9. tgx.ctgx=1 10. sen2x=2senxcosx 11. cos2x=cos²x-sen²x

22. Derivada de las funciones trigonométricas ANIVAL TORRE 22 Si f(x) = sen x -> f΄(x) = cos x Si f(x) = cos x -> f΄(x) = - sen x Si f(x) = tg x -> f΄(x) = sec² x Si f(x) = ctg x -> f΄(x) = - csc² x Si f(x) = sec x -> f΄(x) = sec x tg x Si f(x) = csc x -> f΄(x) = - csc x ctg x

23. ANIVAL TORRE 23 Seau una funcion derivable Derivada de las funciones trigonométricas

24. ANIVAL TORRE 24 Hallar la primera derivada de las funciones: 1. y=cos² x Solución: Luego : y΄ = 2 cos x (cosx)΄ y΄ = 2 cos x (-senx) y΄ = -2 sen x cosx Ejemplo

25. ANIVAL TORRE 25 2. y=sen² 3x solución: Luego : y΄ = 2 sen 3x (sen3x)΄(3x)΄ y΄ = 2 sen 3x (cos3x)3 y΄ = 6sen 3x (cos3x) Ejemplo

26. ANIVAL TORRE 26 3. y=cos² 5x Solución: Luego : y΄ = 2 cos 5x (cos5x)΄(5X) ΄ y΄ = 2 cos 5x (-sen5x)5 y΄= -10 sen5x cos5x Ejemplo

27. ANIVAL TORRE 27 y=sen² 7x5 solución: Luego : y΄ = 2 sen 7x5DX (sen7x5) y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) DX (7x5) y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) 35x5-1 y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) 35x4 y΄ =70x4sen 7x5 cos7x5 Ejemplo

28. ANIVAL TORRE 28 5.- y=sen³ 2x⁴ solución: y=(sen 2x⁴) ³ Luego : y΄ = 3 (sen 2x⁴)² (sen 2x⁴) ΄ y΄ = 3 (sen 2x⁴)²(cos 2x⁴) (2x⁴) ΄ y΄ = 3 (sen 2x⁴)²(cos 2x⁴) (8x³) y΄ = 24x³ (sen 2x⁴)²(cos 2x⁴) Ejemplo

29. ANIVAL TORRE 29 6. y = ctg(1-2x2) y΄ = -csc2(1-2x2)DX(1-2x2) y΄ = -csc2(1-2x2)(0 -4X2-1 ) y΄ = -csc2(1-2x2)(-4X) y΄ = 4X csc2(1-2x2) Ejemplo

30. ANIVAL TORRE 30 7. y= tg x2 y΄ = sec2x2 DX(x2) y΄ = sec2x2 (2x) y΄ = 2x sec2x2 Ejemplo

31. ANIVAL TORRE 31 8. Y=tg 3x4 y΄ = sec23x4 DX(3x4) y΄ = sec23x4 (12X4-1) y΄ = 12X3 sec23x4 Ejemplo

32. ANIVAL TORRE 32 9. y = tg2 3x5 y = (tg 3x5) 2 Y’= 2 (tang3x5) 2-1DX (tang3x5) = 2 (tang3x5)sec2(3x5)DX(3x5) = 2 (tang3x5)sec2(3x5)(15x5-1) = 2 (tang3x5)sec2(3x5)(15x4) =30 x4 tang3x5sec23x5 Ejemplo

33. ANIVAL TORRE 33 10. y=sen² 7x5 solución: Luego : y΄ = 2 sen 7x5DX (sen7x5) y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) DX (7x5) y΄= 2 sen 7x5 (cos7x5) 35x5-1 y΄ =2 sen 7x5 (cos7x5) 35x4 y΄ =70x4 sen 7x5 cos7x5 Ejemplo

34. ANIVAL TORRE 34 11. y= sen3x+cos2x SOLUCION: Y’= cos3xDX(3X) + (-sen2x) DX(2X) = cos3x(3) - sen2x(2) =3cos3x - 2sen2x Ejemplo

35. ANIVAL TORRE 35 12. f (x) = sen x cos x + tg x Solución: f΄ (x) = ( sen x cos x )΄ + ( tg x )΄ f΄(x) = ( sen x)΄ cos x + sen x ( cos x )΄ + sec² x f΄(x) = cos x cos x + sen x ( -sen x) + sec ² x f΄(x) = cos² x - sen² x + sec² x Ejemplo

36. ANIVAL TORRE 36 Ejemplo

37. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. 37 ANIVAL TORRE

38. 3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. 4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz. 38 ANIVAL TORRE PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

40. Debido a que es muy incómodo trabajar con un número que tiene muchos decimales, se le ha asignado la letra “e”:

41. e = 2,718281828…

42. Para simplificar más esta notación, en logaritmos se utiliza la abreviación de logaritmo natural (ln) para referirse a un logaritmo que tenga este número como base:39 ANIVAL TORRE

43. Fórmulas de Derivación 40 ANIVAL TORRE

45. = 1/(4x3+2) *logae (12x2)

46. = 12x2 /(4x3+2) *logae 41 ANIVAL TORRE

48. dy/dx=2loga(3x3-1)*DXloga(3x3-1)

49. =2loga(3x3-1)*1/(3x3-1) *logae DX (3x3-1)

50. = 2loga(3x3-1)*1/(3x3-1) *logae (9X2)

51. =18X2/ (3x3-1) *loga(3x3-1)* logae42 ANIVAL TORRE APLICACIONES

52. 3. y= ln(5x+3)2 p: 1/u * Dxu Aplicando propiedades de logaritmos: y= 2ln(5x+3) dy/dx= 2DXln(5x+3) = 2*1/(5X+3) DX(5x+3) = 2*1/(5X+3) (5) =2/(5X+3) 43 ANIVAL TORRE APLICACIONES

53. 4. y=loga(5x4+2)2p: 1/u * logae DX u 5. y= ln3 (7x-1)4 p: 1/u * Dx u 44 ANIVAL TORRE APLICACIONES

54. y= ln(x2 +2)²(x3 -3) p: 1/u * Dxu y= ln(3x4 -2)(x2 +5)3 p: 1/u * Dxu 45 ANIVAL TORRE APLICACIONES

55. 8. f(x)= x3 / (5x-7)2 9. f(x)= (2x+3)3 / (3x+4)2 10. y=lnsen2x 11. y=lncos3x2 12. y= ln tangx 46 ANIVAL TORRE APLICACIONES

56. DERIVADAS EXPONENCIALES Si f(x)=ex ; entonces f ’(x)=ex Fórmulas de derivación 47 ANIVAL TORRE

57. Hallar las derivadas de las funciones Y=e2x P: y’= eu du y’ = e2x DX 2X = e2x (2) = 2 e2x 48 ANIVAL TORRE APLICACIONES

58. Y=e3x² P: y’= eu du y’ = e3x² DX 3x² = e3x² ( 6x) =6 e3x² 49 ANIVAL TORRE APLICACIONES

59. 3. y=a3x² P: Y’=kulnk Dxu y’= a3x² ln a .Dx(3x²) = a3x² ln a (6x) = 6x. a3x² ln a 4. y=54x³ y’= 54x³ln 5 .Dx(4x³) = 54x³ln 5 (12x²) = 12x² 54x³ ln 5 50 ANIVAL TORRE APLICACIONES

60. 1. F’(x)= 3x DX(senx) + senx Dx (3x ) = 3x COSX + senx (3x ln3 ) = 3x COSX + 3x ln3 senx = 3x ( COSX + ln3 senx ) 51 ANIVAL TORRE APLICACIONES

61. 52 ANIVAL TORRE APLICACIONES

62. 53 ANIVAL TORRE APLICACIONES

63. 54 ANIVAL TORRE APLICACIONES

64. 6. f(x) = e2x³ + 4(5x³ + 2x) 7. f(x) = e(4x³ + 3x²) + 74x³ 8. f(x)= e 1/3X 55 ANIVAL TORRE APLICACIONES