1. Н.В. Дорофеев, Е.С. Шубин
Домашняя работа
по алгебре
за 7 класс
к задачнику «Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 2 :
Задачник для общеобразоват. учреждений /
А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.
— 6-е изд., испр.» — М.: «Мнемозина», 2003 г.

2. ГЛАВА 1. Математическая модель,
математический язык
§ 1. Числовые и алгебраические выражения
№1
а) 3,5 +4,5=8; б) 3,5+(−4,5)= –1; в) −3,5 +4,5=1; г) –3,5+(−4,5)=−8.
№2
а) 3,5–4,5=−1; б) 3,5−(−4,5)=8; в) −3,5−4,5=−8; г) –3,5−(−4,5)=1.
№3
а) 15+7,5=22,5;
1 3 1 183 16 549 − 80 469 4
б) 36,6−5 =36 −5 = − = = = 31 ;
3 5 3 5 3 15 15 15
7 5 137 7 959 19
⋅3 =
в) 13,7·3,5= 13 ⋅ = = 47 ;
10 10 10 2 20 20
2 1 23 7 23 2
г) 7 : 2 = : = =3 .
3 3 3 3 7 7
№4
а) 1,5 · 3 = 4,5; б) −1,5 · 3 = −4,5; в) 1,5 · (−3)=−4,5; г) −1,5 · (−3)=4,5.
№5
а) 1,5 : 3 = 0,5; б) −1,5 : 3 = −0,5; в) 1,5 : (−3)=−0,5; г) −1,5 : (−3)=0,5.
№6
⎛ 1 1⎞
а) ⎜ 2 + 3 ⎟ ⋅ 6 = 35; ;
⎝ 2 3⎠
1 1 5 10 15 + 20 35 35 6
1) 2 + 3 = + = = 35; 2) ⋅6 = ⋅ = 35;
2 3 2 3 6 6 6 1
1 1 1
б) 2 + 3 ⋅ 6 = 22 ;
2 3 2
1 10 6 1 5 20 5 + 40 45 1
1) 3 ⋅ 6 = ⋅ = 20 ; 2) 2 + 20 = + = = = 22 ;
3 3 1 2 2 1 2 2 2
1 1 1
в) 2 ⋅ 6 + 3 = 18
2 3 3
1 5 6 1 15 10 45 + 10 55 1
1) 2 ⋅ 6 = ⋅ = 5 ⋅ 3 = 15 ; 2) 15 + 3 = + = = = 18 ;
2 2 1 3 1 3 3 3 3
1 1
г) 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 15 .
2 3
1 5 2 10 1 10 3 30
1) 2 ⋅2 = ⋅ = = 5 ; 2) 3 ⋅ 3 = ⋅ = = 10 ; 3) 5 + 10 = 15.
2 2 1 2 3 3 1 3
2

3. №7
1 1 1
а) (4 + 3 ) :113 = ;
3 5 15
1 1 13 16 65 + 48 113 8 8 113 1 1
1) 4 + 3 = + = = =7 ; 2) 7 :113 = ⋅ = ;
3 5 3 5 15 15 15 15 15 113 15
1 1
б) 17 : (4 − 3 ) = 15 ;
3 5
1 1 13 16 65 − 48 17 2
1) 4 − 3 = − = = =1 ;
3 5 3 5 15 15 15
2 17 15 17 15
2) 17 :1 = 17 : = 17 ⋅ = ⋅ = 15 ;
15 15 17 1 17
⎛ 1⎞ ⎛ 2 2⎞
в) ⎜ 6 − 7 ⎟ ⋅ ⎜ + ⎟ = −1 ;
⎝ 8⎠ ⎝9 3⎠
1 6 57 48 − 57 9 1 2 2 2+6 8
1) 6 − 7 = − = = − = −1 ; 2) + = = ;
8 1 8 8 8 8 9 3 9 9
1 8 9 8
3) −1 ⋅ = − ⋅ = −1 ;
8 9 8 9
⎛ 1 ⎞ ⎛ 14 3⎞ 1
г) ⎜15 − 4 ⎟ ⋅ ⎜ 3 − 2 ⎟ = 7 ;
⎝ 8 ⎠ ⎝ 15 ⎠5 4
1 15 33 120 − 33 87 7
1) 15 − 4 = − = = = 10 ;
8 1 8 8 8 8
4 3 59 13 59 − 49 10 2 7 2 87 2 29 1
2) 3 − 2 = − = = = ; 3) 10 ⋅ = ⋅ = =7 .
15 5 15 5 15 15 3 8 3 8 3 4 4
№8
1 1
а) 7 : 2 + 4 :1 = 6; ;
3 3
1 7 7 7 3 1 4 4 4 3
1) 7 : 2 = : = ⋅ = 3 ; 2) 4 :1 = : = ⋅ = 3; 3) 3 + 3 = 6 ;
3 1 3 1 7 3 1 3 1 4
⎛ 2 1⎞ 4 4
б) ⎜12 − 6 ⎟ : 7 = ;
⎝ 5 5⎠ 3 5
2 1 62 31 31 1 1 3 31 31 31 4 4
1) 12 − 6 = − = =6 ; 2) 6 : 7 = : = ⋅ = ;
5 5 5 5 5 5 5 4 5 4 5 31 5
1 1 5
в) 8 − 4 : 3 = 7 ;
7 7 8
1 5 29 29 29 8 8 1 1 1
1) 4 : 3 = : = ⋅ = = 1 ; 2) 8 − 1 = 7 ;
7 8 7 8 7 29 7 7 7 7
3

4. 1 6 1 3 14
г) 2 ⋅ − 2 : 5 = 1 ;
3 7 4 4 23
1 6 7 6 1 3 9 23 9 4 9
1) 2 ⋅ = ⋅ = 2 ; 2) 2 : 5 = : = ⋅ = ;
3 7 3 7 4 4 4 4 4 23 23
9 46 − 9 37 14
3) 2 − = = =1 .
23 23 23 23
№9
а) (0,018 + 0,982) : (8 · 0,5 – 0,8) = 0,3125;
1) 0,018 + 0,982 = 1; 2) 8 · 0,5 − 0,8 = 4 − 0,8 = 3,2; 3) 1 : 3,2 = 0,3125;
273 ⋅ 51 ⋅ ( −22 ) ⎛ 10000 ⎞
б) 27,3 ⋅ 5,1 ⋅ ( −2, 2 ) : ( −0,0018 ) = ⋅⎜− ⎟=
1000 ⎝ 18 ⎠
273 ⋅ 51 ⋅ 220 273 ⋅ 51 ⋅ 220
= = = 97 ⋅ 17 ⋅ 110 = 170170 ;
18 3⋅3⋅ 2
в) (0,008 + 0,992) : (5 · 0,6 – 1,4) = 1 : (3 – 1,4) = 1: 1,6 = 0,625;
135 ⋅ 91 ⋅ ( −33) −100000
г) 13,5 ⋅ 9,1 ⋅ ( −3,3) : ( −0,00013) = ⋅ =
10 ⋅ 10 ⋅ 10 13
= 135 · 3300 · 91 : 13 = 135 · 3300 · 7 = 3118500.
№ 10
1 1 1 4
а) 3 + 2,5 ⋅ 16 = 43 ; б) 2 ⋅ 2 − 2, 4 = 3,6 ;
3 3 7 5
1 4 15 14
1) 2,5 · 16 = 40; 1) 2 ⋅ 2 = ⋅ = 3 ⋅ 2 = 6 ;
7 5 7 5
1 1
2) 3 + 40 = 43 ; 2) 6 – 2,4 = 3,6;
3 3
⎛ 6 25 ⎞ 6 1
в) (24 +5,6) · (24 – 5,6) = 544,64; г) ⎜1 − ⎟ :1 = ;
⎝ 19 38 ⎠ 19 2
6 25 50 − 25 25
1) 24 + 5,6 = 29,6; 1) 1 − = = ;
19 38 38 38
25 6 25 19 1
2) 24 – 5,6 = 18,4; 3) 29,6 · 18,4 = 544,64; 2) :1 = ⋅ = .
38 19 38 25 2
№ 11
1 1 1
а) 2 + 2, 4 ⋅ 15 = 2 + 36 = 38 ;
3 3 3
2 9
б) 2 ⋅ 1 − 1, 25 = 2 ;
25 16
2 9 52 25 52 13
1) 2 ⋅ 1 = ⋅ = = = 3, 25 ;
25 16 25 16 16 4
2) 3,25 – 1,25 = 2;
4

5. в) (25 + 5,2) · (25 – 5,2) = 30,2 · 19,8 = 597,96;
⎛ 8 1⎞ 1 2
г) ⎜ 4 − 1 ⎟ :1 = 2 ;
⎝ 15 3 ⎠ 3 5
8 1 68 4 68 − 20 48 1
1) 4 −1 = − = = =3 ;
15 3 15 3 15 15 5
1 1 16 4 16 3 12 2
2) 3 :1 = : = ⋅ = = 2 .
5 3 5 3 5 4 5 5
№ 12
1 4 28 3 1 2 7 14 21
а) 9 : = ⋅ =7; б) 2 + ⋅ 7 = + = = 7 ;
3 3 3 4 3 3 3 3 3
⎛ 2 1 ⎞ 16 1 16 16 35
в) ⎜ 4 − 1 ⎟ : = 3 : = ⋅ = 7 ;
⎝ 5 5 ⎠ 35 5 35 5 16
1 2 13 41 17 103 123 + 85 − 103 105
г) 8 + 5 − 6 = + − = = =7;
5 3 15 5 3 15 15 15
№ 13
а) 2 – 4,5 = –2,5;
б) (2,3 + (–14,8)) : 5 = –12,5 : 5 = –2,5;
⎛ 1 2⎞ 1 ⎛ 19 22 ⎞ 75 95 − 132 75 37 75
в) ⎜ 3 − 4 ⎟ ⋅ 2 = ⎜ − ⎟ ⋅ = ⋅ =− ⋅ = −2,5 ;
⎝ 6 5 ⎠ 37 ⎝ 6 5 ⎠ 37 30 37 30 37
г) 6 + 2,4 – 10,9 = 8,4 – 10,9 = –2,5.
№ 14
а) Переместительный закон сложения.
б) Переместительный закон умножения.
в) Сочетательный закон сложения.
г) Распределительный закон сложения относительно умножения.
№ 15
1 2 1 1 1 1 2 1
а) + 2 + 1 + 1 = 6; 1) + 1 = 2 ; 2) 2 + 1 = 4 ; 3) 4 + 2 = 6;
2 3 2 3 2 2 3 3
2 3
б) 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 289 ;
5 7
2 17 3 11
1) 3 ⋅ 5 = ⋅ 5 = 17 ; 2) 2 ⋅ 7 = ⋅ 7 = 17 ; 3)17 ·1 7 = 289.
5 5 7 7
⎛ 3 2 1⎞ ⎛ 3 2⎞ 1 3− 4 1
в) ⎜ − + ⎟ = ⎜ − ⎟ ⋅ 14 + ⋅ 14 = ⋅ 14 + 7 = − ⋅ 14 + 7 = 6 ;
⎝ 14 7 2 ⎠ ⎝ 14 7 ⎠ 2 14 14
⎛ 22 2⎞ ⎛ 2 6⎞ 2 8 1
г) ⎜12 + 24 − 16 ⎟ : 2 = ⎜ 12 + 24 ⎟ : 2 − 16 : 2 = 36 : 2 − 8 =
⎝ 39 15 ⎠ ⎝ 9 9⎠ 5 9 5
4 1 166 41 830 − 369 461 11
= 18 − 8 = − = = = 10 .
9 5 9 5 45 45 15
5

6. № 16
а) 4,16 + 2,5 + 6,04 + 3,5 = 4,16 + 6,04 + 2,5 + 3,5 = 10,2 + 6 = 16,2;
б) 7,3 + 1,6 – 0,3 – 0,6 = 7,3 – 0,3 + 1,6 – 0,6 = 7 + 1 = 8;
в) –1,06 + 0,04 – 7,04 + 2,16 = – 1,06 + 2,16 –7 = 1,1 – 7 = –5,9;
г) 18,9 – 6,8 – 5,2 – 4,1 = 12,1 – 4,1 – 5,2 = 8 – 5,2 = 2,8.
№ 17
а) 7,8 · 6,3 + 7,8 · 13,7 = 7,8 · ( 6,3 + 13,7 ) = 7,8 · 20 =15,6
б) 6,95 · 3,42 · 5,05 = 6,95 · 3,42 · ( 5 + 0,05 ) = 6,95 · ( 17,1 + 0,171 ) =
= ( 7 – 0,05 ) · 17,271 = 120,897 – 0,86355 = 120,03345;
в) 17,96 · 0,1 – 0,1 · 81,96 = 0,1 · ( 17,96 – 81,96 ) = 0,1 · (– 64 ) = – 6,4;
г) 4,03 · 27,9 – 17,9 · 4,03 = 4,03 · ( 27,9 – 17,9 ) = 4,03 · 10 = 40,3.
№ 18
1 1 1 15
а) 7 ⋅ 6,8 + 7 ⋅ 3, 2 = 7 ⋅ ( 6,8 + 3, 2 ) = ⋅ 10 = 75 ;
2 2 2 2
3 3 3 3
б) 42, 4 ⋅ − 2, 4 ⋅ = ⋅ ( 42, 4 − 2, 4 ) = ⋅ 40 = 30 ;
4 4 4 4
1 1 1 1
в) 32,5 ⋅ − 16,5 ⋅ = ⋅ ( 32,5 − 16,5 ) = ⋅ 16 = 4 ;
4 4 4 4
1 1
г) 6 · 4,8 + 6 · 5, 2 = 6, 2 · (4,8 + 5, 2) = 6, 2 · 10 = 62.
5 5
№ 19
а) а · 60 · 60 = а · 3600 – секунд в а часах;
б) X · 24 · 60 = X · 1440 – минут в X сутках;
2 м.
в) X · 1000 : 60 = X · 166 – ;
3 мин.
г) u : 1000 · 3600 = u · 36 : 10 = u · 18 : 5 = 3,6 · u км/ч.
№ 20
а) x = –3,5; 3x = 3 · (–3,5) = –10,5; б) x = –1; 3x = 3 · (–1) = –3;
4 4 12 5 1 1 3 10
в) x = ; 3x = 3 ⋅ = = 1 ; г) x = 3 ; 3x = 3 ⋅ 3 = ⋅ = 10 .
7 7 7 7 3 3 1 3
№ 21
а) y = –1; –5y = –5 · (–1) = 5; б) y = 0; –5y = –5 · 0 = 0;
в) y = 1; –5y = –5 · 1 = –5; г) y = 3,4; –5y = –5 · 3,4 = –17.
№ 22
а) a = 3, d = 2; 48a + 12d = 48 · 3 + 12 · 2 = 144 + 24 = 168;
б) u = 6, v = 1; u – 3uv = 6 – 3 · 6 · 1 = 6 – 18 = –12;
в) z = –8, t = –2; 8z – 11t = 8 · (–8) – 11 · (–2) = –64 + 22 = –42;
г) p = –3, q = 6; 5p – 4q = 5 · (–3) – 4 · 6 = –15 – 24 = –39.
6

7. № 23
1 1
A 1 2 3 − –3 –2 –1
4 4
1 1
B 1 3 2 − –2 –3 –1
3 3
1 1
2A–2B 0 –2 2 − –2 2 0
6 6
1) 2 · 1 – 2 · 1 = 2 – 2 = 0; 2) 2 · 2 – 2 · 3 = 4 – 6 = –2;
1 1 1 2 3−4 1
3) 2 · 3 – 2 · 2 = 6 – 4 = 2; 4) 2 ⋅ − 2 ⋅ = − = =− ;
4 3 2 3 6 6
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 2⎞ 4−3 1
5) 2 ⋅ ⎜ − ⎟ − 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = − − ⎜ − ⎟ = = ;
⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠ 2 ⎝ 3⎠ 6 6
6) 2 · (–3) – 2 · (–2) = –6 + 4 = –2; 7) 2 · (–2) – 2 · (–3) = 6 – 4 = 2;
8) 2 · (–1) – 2 · (–1) = –2 + 2 = 0.
№ 24
1 1
A 1 2 3 − –3 –2 –1
4 4
1 1
B 1 3 2 − –2 –3 –1
3 3
5 5
2AB–1 1 11 11 − 11 11 1
6 6
1) 2 ·1 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1; 2) 2 · 2 · 3 – 1 = 12 – 1 = 11;
1 1 1 1 1 5
3) 2 · 3 · 2 – 1 = 12 – 1 = 11; 4) 2 ⋅ ⋅ − 1 = ⋅ − 1 = −1 = − ;
4 3 2 3 6 6
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 1 5
5) 2 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ − 1 = ⋅ − 1 = − 1 = − ;
⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠ 2 3 6 6
6) 2 · (–3) · (–2) – 1 = 12 – 1 =11; 7) 2 · (–2) · (–3) – 1 = 12 – 1 =11;
8) 2 · (–1) · (–1) – 1 = 2 – 1 =1.
№ 25
a+b = 10, c = 7.
а) a + b +2 · c = 10 + 2 · 7 = 10 + 14 = 24;
б) (a + b) : 2 – c = 10 : 2 – 7 = 5 – 7 = –2;
a + b + c 10 + 7 17 1
в) = = = 8 = 8,5 ;
2 2 2 2
7 ( a + b ) + 2c 7 ⋅ 10 + 2 ⋅ 7 70 + 14 84 1
г) = = = = 4 = 4, 2 .
3c − 1 3⋅ 7 −1 21 − 1 20 5
№ 26
а) Если a – b = 12, то b – a = –1 · (a – b) = –1 · 12 = –12;
б) Если c – d = 0, то d – c = 0.
7

8. № 27
a − b2
2
–?
a −b
a 2 − b 2 12 − 22 1 − 4 3
а) a = 1, b = 2; = = = = 3 ; a + b = 1+ 2 = 3 ;
a −b 1− 2 −1 1
32 − 12 9 − 1 8
б) a = 3, b = 1; = = = 4 ; a + b = 3+1= 4 ; ;
3 −1 2 2
a 2 − b 2 1, 42 − 12 0,96
в) a = 1,4, b = 1; = = = 2, 4 , a + b =1,4 + 1 = 2,4;
a−b 1, 4 − 1 0, 4
a 2 − b2 9 −1 8
г) a = –3, b = 1; = = = −2 ; a + b = –3 + 1 = –2.
a −b −3 − 1 −4
№ 28
2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y 2 2 ⋅ 22 − 2 ⋅ 32 2 ⋅ 4 − 2 ⋅ 9 −10
а) x=2, y=3; = = = =2;
( x − y )( x + y ) ( 2 − 3)( 2 + 3) −1 ⋅ 5 −5
32 12 9 2
2⋅ 2 − 2⋅ 2 −
1 2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y 2 2 3 = 2 9 = 77 36 = 2 ;
б) x=1,5, y= ; =
3 ( x − y )( x + y ) ⎛ 3 1 ⎞⎛ 3 1 ⎞ 11 ⋅ 7 18 77
⎜ − ⎟⎜ + ⎟ 6 6
⎝ 2 3 ⎠⎝ 2 3 ⎠
2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y2 2 ⋅ −22 − 2 ⋅ 02 8
в) x = –2, y = 0; = = =2
( x − y )( x + y ) ( −2 − 0 )( −2 + 0 ) 4
г) x = 1,3, y = –0,5;
2 ⋅ 1,32 − 2 ⋅ ( −0,5 )
2
2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y2 2 ⋅ 1,69 − 2 ⋅ 0, 25 2,88
= = = =2.
( x − y )( x + y ) (1,3 + 0,5 )(1,3 − 0,5) 0,8 ⋅ 1,8 1, 44
№ 29
а) x = 7, y = 4; 5x – 3y = 5 · 7 – 3 · 4 = 35 – 12 = 23;
б) x = 6,5, y = 2,1; 5x – 3y = 5 · 6,5 – 3 · 2,1 = 32,5 – 6,3 = 26,2;
2 2 2 2
в) x = 12 , y = 9 ; 5x – 3y = 5 · 12 – 3 · 9 ⋅ = 62 – 29 = 33;
5 3 5 3
г) x = 18, y = 7,4; 5x – 3y = 5 · 18 – 3 · 7,4 = 90 – 22,2 = 67,8.
№ 30
6a + 7b 6 ⋅ 20 + 7 ⋅ 12 120 + 84 204
а) a = 20, b = 12; = = = = 17 ;
3a − 4b 3 ⋅ 20 − 4 ⋅ 12 60 − 48 12
6a + 7b 6 ⋅ 2, 4 + 7 ⋅ 0,8 14, 4 + 5,6 20
б) a = 2,4, b = 0,8; = = = =5;
3a − 4b 3 ⋅ 2, 4 − 4 ⋅ 0,8 7, 2 − 3, 2 4
6a + 7b 6 ⋅ 10,8 + 7 ⋅ 6 64,8 + 42 106,8 5
в) a = 10,8, b=6; = = = = 12 ;
3a − 4b 3 ⋅ 10,8 − 4 ⋅ 6 32, 4 − 24 8, 4 7
8

9. 6a + 7b 6 ⋅ 12 + 7 ⋅ 5,6 72 + 39, 2 111, 2 3
г) a = 12, b=5,6; = = = =8 .
3a − 4b 3 ⋅ 12 − 4 ⋅ 5,6 36 − 22, 4 13,6 17
№ 31
а) x = 8, y = 3; x 2 + 2 xy + y 2 = 64 + 2 · 8 · 3 + 9 = 64 + 48 + 9 = 121;
( x + y )2 = 112 = 121 ;
б) x = 7,6, y = 1,4; x 2 + 2 xy + y 2 = 57,76 + 2 · 7,6 · 1,4 + 1,96 =
= 57,76 + 21,28 +1,96 = 81; ( x + y ) 2 = 92 = 81 ;
в) x = 10, y = 2,6; x 2 + 2 xy + y 2 = 100 + 2 · 10 ·2,6 + 6,76 =
= 100 + 52 + 6,76 = 158,76; ( x + y )2 = 12,62 = 158,76 ;
г) x = 1,5, y = 3; x 2 + 2 xy + y 2 = 2,25 + 2 · 1,5 · 3 + 9 =
= 2,25 + 9 + 9 = 20,25; ( x + y ) 2 = 4,52 = 20, 25 .
№ 32
а) a = 13, b = 12; a – b = 13 – 12 = 1;
a 2 − 2ab + b 2 132 − 2 ⋅ 13 ⋅ 12 + 122 169 − 312 + 144
= = =1;
a−b 13 − 12 1
б) a = 2,4, b = 2,3; a – b = 2,4 – 2,3 = 0,1;
a 2 − 2ab + b 2 2, 42 − 2 ⋅ 2, 4 ⋅ 2,3 + 2,32 5,76 − 11,04 + 5, 29
= = = 0,1 ;
a−b 2, 4 − 2,3 0,1
в) a = 3,5, b = 2,5; a – b = 3,5 – 2,5 = 1;
a 2 − 2ab + b 2 3,52 − 2 ⋅ 3,5 ⋅ 2,5 + 2,52 12, 25 − 17,5 + 6, 25
= = =1;
a−b 3,5 − 2,5 1
г) a = 7,4, b = 3,6; a – b = 7,4 – 3,6 = 3,8;
a 2 − 2ab + b 2 7, 42 − 2 ⋅ 7, 4 ⋅ 3,6 + 3,62 54,76 − 53, 28 + 12,96
= = = 3,8
a −b 7, 4 − 3,6 3,8
№ 33
а) x – любое число; б) а – не равно нулю;
в) y – любое число; г) b – не равно нулю.
№ 34
а) x – не равно (–3); б) а – не равно (–2);
в) d – не равно (–9); г) c – не равно (–13).
№ 35
а)z – не равно 3; б) t – не равно 2; в) m – не равно 9; г) n – не равно 6.
№ 36
а) 5x = 150; б) 6x = –54; в) –0,7x = 343; г) –0,5x = –0,25;
x = 150 : 5; x = –54 : 6; x = 343 : –0,7; x = –0,25 : (–0,5);
x = 30; x = –9; x = –490; x = 0,5.
9

10. № 37
1 1 1
а) 7x + 9 = 100; б) 1,4x – 0,8 = 7; в) ⋅ x − = ; г) 17,5x – 0,5 = 34,5;
2 3 6
1 1 1
7x = 100 – 9; 1,4x = 7 + 0,8; ⋅ x = + ; 17,5x = 34,5 + 0,5;
2 6 3
1 1
x = 91 : 7; x = 7,8 : 1,4; x= : ; x = 35 : 17,5;
2 2
4
x = 13; x= 5 ; x = 1; x = 2.
7
№ 38
а) 13x + 9 = 35 + 26x; 13x – 26x = 35 – 9; x = 26 : (–13); x = 2;
7 2 7 2 1
б) ⋅ x + 3 = ⋅ x + 5 ; ⋅x− ⋅x =5−3; ⋅x =2 ; x = 6;
9 3 9 3 3
в) 0,81x – 71 = 1,11x +1; 0,81x – 1,11x = 1 + 71; –0,3x = 72; x = –240;
2 1 1 1 1 1
г) ⋅ y − ⋅ y = ⋅ y − 5 ; ⋅ y − ⋅ y = −5 ; − ⋅ y = −5 ; y = 60.
3 2 4 6 4 12
№ 39
а) u = –1,5, v = 2,4;
(1,5 + 2, 4) 2 = 0,92 = 0,81; 1,52 + 2, 42 = 2, 25 + 5,76 = 8,01 ;
б) u = 3,1, v = –0,8;
(3,1 + (0,8)) 2 = 2,32 = 5, 29; 3,12 + (0,8) 2 = 9,61 + 0,64 = 10, 25 ;
в) u = 14, v = 1,4;
(14 + 1, 4) 2 = 15, 42 = 237,16; 142 + 1, 42 = 196 + 1,96 = 197,96 ;
г) u = –1,2, v = –2,8;
(1, 2 + (2,8)) 2 = 42 = 16; 1, 22 + 2,82 = 1, 44 + 7,84 = 9, 28 .
№ 40
а) 3x – 2 = 10; 3x = 12; x = 12 : 3; x = 4;
б) 4y –1 = 3y + 5; 4y – 3y = 5 + 1; y = 6.
№ 41
а) 2 · 5k = 4k + 12; 10k – 4k = 12; 6k = 12; k = 2;
б) p + 3 = 4 · (7p – 33); p + 3 = 28p – 132; p – 28p = –132 –3;
–27p = –135; p = 5.
№ 42
5 1 5 2 1 2 1 5
а) ⋅ = ; б) 1 + − 1 = + = ;
2 3 6 3 6 3 6 6
11 2 2 2 5 5 5
в) ⋅ : = ⋅ = ; г) (–10 + 15) : 6 = 5 : 6 = .
6 11 5 6 2 6 6
10

11. № 43
4 9 25 9 − 25 16 1
а) −5 + 1 = − = = − = −3 ;
5 5 5 5 5 5
7 3 3 7 ⋅ 16 ⋅ 3 16 1
б) − : ⋅ = − = − = −3 ;
5 16 7 5⋅3⋅7 5 5
1
в) (–17 + 1) : 5 = –16 : 5 = −3 ;
5
⎛ 1 ⎞ 32 7 − 40 32 32 32 16 1
г) ⎜ −20 + 3 ⎟ ⋅ = ⋅ =− ⋅ = − = −3 .
⎝ 2 ⎠ 165 2 165 2 165 5 5
№ 44
⎛ 7 17 ⎞ 1 5
а) ⎜ 8 − 2 ⎟ ⋅ 2,7 − 4 : 0,65 = 9 ;
⎝ 12 36 ⎠ 3 6
7 17 21 17 4 1
1) 8 − 2 = 8 − 2 = 6 = 6 ;
12 36 36 36 36 9
1 55 27 33 1
2) 6 ⋅ 2,7 = ⋅ = = 16 ;
9 9 10 2 2
1 13 20 20 2
3) 4 : 0,65 = ⋅ = =6 ;
3 3 13 3 3
1 2 33 20 99 − 40 56 5
4) 16 − 6 = − = = =9 ;
6 3 2 3 6 6 6
⎛ 11 13 ⎞ 8
б) ⎜1 + ⎟ ⋅ 1, 44 − ⋅ 0,5625 = 2,32 ;
⎝ 24 36 ⎠ 15
11 13 33 26 59
1) 1 + =1 + =1 ;
24 36 72 72 72
59 131 144 131 ⋅ 2 262
2) 1 ⋅ 1, 44 = ⋅ = = = 2,62; ;
72 72 100 100 100
8 8 5625 375 15 ⋅ 25 3
3) ⋅ 0,5625 = ⋅ = = = = 0,3 ;
15 15 10000 1250 50 ⋅ 25 10
4) 2,62 – 0,3 = 2,32;
⎛ 8 21 ⎞ 1 2
в) ⎜ 6 − 4 ⎟ ⋅ 4,5 − 2 : 0,52 = 5 ;
⎝ 15 45 ⎠ 6 15
8 21 24 21 3 1
1) 6 −4 =6 −4 =2 =2 ;
15 45 45 45 45 15
1 31 9 31 45 31 ⋅ 3 93
2) 2 ⋅ 4,5 = ⋅ = ⋅ = = = 9,3 ;
15 15 2 15 10 10 10
1 13 52 13 25 25 1
3) 2 : 0,52 = : = ⋅ = =4 ;
6 6 100 6 13 6 6
11

12. 1 93 25 279 125 154 2
4) 9,3 − 4 = − = − = =5
6 10 6 30 30 30 15
⎛ 9 12 ⎞ 8
г) ⎜ + 1 ⎟ ⋅ 1,32 − ⋅ 0,1625 = 2, 24 ;
⎝ 22 33 ⎠ 13
9 12 27 24 51 17
1) +1 = +1 =1 =1 ;
22 33 66 66 66 22
17 39 132 39 ⋅ 6 234
2) 1 ⋅ 1,32 = ⋅ = = = 2,34 ;
22 22 100 100 100
8 8 1625 125 1
3) ⋅ 0,1625 = ⋅ = = = 0,1 ; 4) 2,34 – 0,1 = 2,24.
13 13 10000 1250 10
№ 45
а) 18 · (182 – 122) = 18 · (324 – 144) 18 · 180 = 3240 ;
⎛ 18 + 12 ⎞ 12 4
б) 12 : ⎜ ⎟ = 12 :15 = = = 0,8 ;
⎝ 2 ⎠ 15 5
в) 18 + 18 : 12=18 + 1,5 = 19,5; г) 18 · 12 – 18 : 12 = 216 – 1,5 = 214,5.
№ 46
⎛ 7, 2 − 6, 4 ⎞
а) 7, 2 ⋅ ⎜ ⎟ = 7, 2 ⋅ 0, 4 = 2,88 ;
⎝ 2 ⎠
( )
б) 6, 4 : 7, 22 − 6, 42 = 6, 4 : ( 51,84 − 40,96 ) = 6, 4 :10,88 =
6, 4
10,88
=
0,1 1 100 10
= = ⋅ = ;
0,17 10 17 17
36 5 9 36 9 283 + 45 333 13
в) 7,2 + 7,2 : 6,4 = 7,2 + ⋅ = 7,2 + = + = = = 8 = 8,325 ;
5 32 8 5 8 40 40 40
г) 7,2 · 6,4 – 7,2 : 6,4 = 46,08 – 1,125 = 44,955 .
№ 47
A –3 –2 –1 0 1 3 6
B 2 4 6 3 5 –2 0
C 7 –3 5 –2 4 1 8
A2 + 2 BC + 7 4 13 34 1 3 6 15
1 − − 1
2 2 7 49 57 5 5 11 44
A + 3B + C
( A + B)( B + C ) 1 1 1 1 1
–9 2 1 –1 1
( A + B)2 2 5 3 2 3
B( A + B + C ) 1
–3 2 –5 –6 −7 3 –42
ABC 2
( A + 3B )CA2 12 8 9 5 15 5 3
1 3 1 3 −1
A2 B 2 + 2C 19 9 25 13 16 7 13
12

13. № 48
⎛ 1 ⎞
⎜ 2 : 2 − 1,8 ⎟ ⋅ 0, 4 + 0,3
а) ⎝ 10 ⎠ – дробь равна нулю;
3,15 : 22,5
1 21 21
1) 2 : 2 = : 2 = = 1,05 ;
10 10 20
2) 1,05 – 1,8 = –0,75; 3) –0,75 · 0,4 = –0,3; 4) –0,3 + 0,3 = 0;
⎛ 1 ⎞ 1 1
⎜ 1, 24 − 1 ⎟ ⋅ 2,5 − :
б) ⎝ 25 ⎠ 6 3
– дробь не равна нулю;
1, 4 : 0,1 − 2
1
1) 1, 24 − 1 = 1, 24 − 1,04 = 1, 2 ; 2) 1,2 · 2,5 = 3 ;
25
1 1 1 3 1
3) : = ⋅ = = 0,5 ; 4) 3 – 0,5 = 2,5;
6 3 6 1 2
Числитель дроби не равен нулю, значит и сама дробь не равна нулю.
№ 49
а) 3,5 · 1, 24 – дробь не имеет смысла;
⎛3 ⎞
10 + 1, 6 : ⎜ · 0, 4 − 0, 4 ⎟
⎝5 ⎠
3 3 2 6
1) ⋅ 0, 4 = ⋅ = = 0, 24 ; 2) 0,24 – 0,4 = –0,16;
5 5 5 25
3) 1,6 : (–0,16) = 160 : (–16) = –10; 4) 10 + (–10) = 0;
Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь не имеет смысла;
б) 4, 2 : 2 − 1 – дробь смысла не имеет;
1 5 ⎛ 1 1⎞
+ ⋅ ⎜ 0,8 ⋅ − ⎟
9 9 ⎝ 6 3⎠
1 4 1 4 2 2 1 2 − 5 −3 1
1) 0,8 ⋅ = ⋅ = = ; 2) − = = =− ;
6 5 6 30 15 15 3 15 15 5
3) 5 ⋅ ⎛ − 1 ⎞ = − 5 ⋅ 1 = − 1 ;
⎜ ⎟
⎛ ⎞
4) 1 + ⎜ − 1 ⎟ = 0 ;
9 ⎝ 5⎠ 9⋅5 9 9 ⎝ 9⎠
Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь смысла не имеет.
№ 50
а) 7 · 6 + 24 : 3 – 2 = 42 + 8 – 2 = 48 – наименьшее;
б) 7 · (6 + 24 : (3 – 2)) = 7 · (6 + 24) = 7 · 30 = 210 – наибольшее.
№ 51
а) (1 + 23 – 4) · 5 = 20 · 5 = 100; б) 111 – 11 = 100;
в) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 = 100; г) (1 + 23 – 4) · 5 – 6 + 7 + 8 – 9 = 100.
№ 52
1) 4 + 4 – 4 – 4 = 0; 2) 4 : 4 –4 + 4 = 1; 3) 4 : 4 + 4 : 4 = 2;
4) (4 + 4 + 4) : 4 = 3; 5) (4 – 4) · 4 + 4 = 4; 6) (4 · 4 + 4) : 4 =5;
7) (4 + 4) : 4 + 4 =6; 8) 44 : 4 – 4 = 7; 9) 4 · 4 – 4 – 4 = 8;
10) 4 + 4 + 4 : 4 = 9; 11) (44 – 4) : 4 = 10.
13

14. § 2. Что такое математический язык
№ 53
а) a + b; б) с – d; в) x · y; г) t : v.
№ 54
а) (z + x) : 2; б) (p – q) : 2; в) x 2 ; г) y 3 .
№ 55
а) x + a · b; б) y – a : b; в) a · (b + c); г) z : (x – y).
№ 56
а) (m + n ) : 3; б) (p – q) · 2; в) (x + y) · 2 · z; г) p : (a + b) : 2.
№ 57
а) (a + b) 2 ; б) ( x − y )3 ; в) t 2 − w2 ; г) c3 + d 3 .
№ 58
m+n c−d m2 + n2 p3 − q3
а) ; б) ; в) ; г) .
m⋅n 2 ⋅ (c + d ) m⋅n 2 ⋅ ( p + q)
№ 59
а) Сумма чисел x и 2; в) Произведение чисел 8 и z;
б) Разность чисел c и d; г) Частное от деления числа p на q.
№ 60
а) Сумма квадратов чисел a и b; б) Разность квадратов чисел x и y;
в) Сумма кубов чисел z и t; г) Разность кубов чисел m и n.
№ 61
а) Квадрат суммы чисел s и p; б) Квадрат разности чисел u и v;
в) Куб суммы чисел p и q; г) Куб разности чисел f и q.
№ 62
а) Отношение суммы чисел x и y к числу 2;
б) Отношение разности чисел a и b к числу 2;
в) Отношение произведения чисел x и y к их удвоенной разности;
г) Отношение суммы чисел x и y к их произведению.
№ 63
а) a + b = b + a; б)ab = ba;
в) a + (b + c) = (a + b) + c; г) a + (b – c) = (a + b) – c.
№ 64
а) Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала приба-
вить к нему первое слагаемое, а затем к полученной сумме второе сла-
гаемое.
б) Чтобы из числа вычесть сумму двух других чисел, можно сначала
вычесть первое слагаемое, а затем из полученной разности вычесть дру-
гое слагаемое.
14

15. в) При сложение любого числа а с нулюм, полусается тоже самое число а.
г) При умножение любого числа а на еденицу, получается тоже самое
число а.
№ 65
а) При умножении любого числа а на ноль получается ноль.
б) Частное от деления нуля на любое число а не равное нулю, получает-
ся ноль.
в) При делении любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а.
г) При умножении любого числа а не равного нулю на частное от деле-
ния единицы на это же самое число а, получается еденица.
№ 66
а) Произведение числа 3 и квадрата суммы чисел x и y.
б) Произведение числа 2 и квадрата суммы чисел a и b.
в) Произведение числа 2 и квадрата разности чисел p и q.
г) Произведение числа 3 и квадрата разности чисел z и r.
№ 67
а) Отношение квадрата разности чисел m и n к числу 2.
б) Отношение квадрата суммы чисел t и w к числу 2.
в) Отношение куба суммы чисел a и b к числу 3.
г) Отношение квадрата разности чисел p и q к числу 4.
№ 68
а) (a + b) · c = a · c + b · c; б) x · (y – z) = x · y – x · z;
в) a – (b +c) = (a – b) – c; г) a – (b – c) = (a – b) + c
№ 69
a a⋅c a x a⋅x
а) = , где с не равно нулю; б) ⋅ = ;
b b⋅c b y b⋅ y
a c a c a d a⋅d
в) = , где с не равно нулю; г) : = ⋅ =
b b b d b c b⋅c
№ 70
a⋅ p b ⋅ 100
а) b = ; б) a = ;
100 p
a c a c δ χ α β
в) Если = , то ad=bc; г) Если = , то = и = .
b d b d β α χ δ
§ 3. Что такое математическая модель
№ 71
а) x · y = 9; б) a : b = 2; в) b = c; г) 2 · p = 3 · q.
№ 72
1
а) a – 18 = b; б) b + 39 = c; в) x : y = 6; г) a : b = .
29
15

16. № 73
а) a + b = 43; б) m – n = 214; в) a + b + 6 = ab; г) p – q – 17 = p : q.
№ 74
а) a + b = d – c; б) a – d = b + c; в) a = b + c + d; г) a + b = 2 · (c – d).
№ 75 № 76 № 77 № 78
t – v = 3. 3 · x = 2 · y. 5 · b = 6 · a. x+25>3 · x – 15.
№ 79 № 80 № 81 № 82
z z+6
0,5⋅a<0,5⋅a + b. x–5,8=y + 14,2. x+3,7=1,5 x–5,36. = .
3 4
№ 83 № 84 № 85 № 86
5a + 3b = m. (x+7) · 3–4,7=x (x–8) · 2=y + 8. x+4⋅x+x+50=470
№ 87 № 88 № 89
x x + 2,5
c+4,8=1,4⋅c–5,2 d+15=4 · d + 3. = .
5 4
№ 90
а) На чайных весах на одной чаше лежит яблоко весом x кг., а на дру-
гой чаше лежит апельсин весом y кг. Весы находятся в равновесии.
б) Стоимость одного килограмма яблок – b рублей, а стоимость одного
килограмма апельсинов – a рублей. Причем апельсины в два раза доро-
же яблок.
в) Три килограмма огурцов стоят столько же, скольео два килограмма
помидоров. При этом известно что 1 кг. Огурцов стоит с рублей, а один
килограмм помидоров d рублей.
г) В первом цехе работает 6 бригад по m человек в каждой, а во втором
цече работает 11 бригад по n человек в каждой. При этом известно что
число рабочих в обоих цехах одинаково.
№ 91
а) Первое число равно а, второе число равно b. Если из первого числа
вычесть единицу, а второе оставить без изменений то получатся два
одинаковых числа.
б) В одной корзине лежит а персиков, а в другой b персиков. Если в
первую корзину положить два персика, то в корзинах персиков станет
поровну
в) В первом букете z гвоздик, во втором в два раза больше. Когда к пер-
вому букету добавили три гвоздики, число гвоздик в обоих букетах ста-
ло поровну.
г) У Кости x марок, а у Васи y марок. Если Костя добавит в свою кол-
лекцию 3 марки, то у него станет марок в коллекции в два раза меньше,
чем у Васи в коллекции.
16

17. № 92
а) В первой бригаде работает a человек, а во второй бригаде работает b
человек. Если в первую бригаду придет 7 человек, то в обоих бригадах
число человек станет равное.
б) Первый спортсмен пробежал дистанцию за a секунд, а второй спорт-
смен пробежал дистанцию за b секунд. При этом первый спортсмен
пробежал дистанцию на 3 секунды быстрее.
в) Первое число равно а, второе число равно b. Если к первому числу
прибавить 2, а ко второму 8 то получатся одинаковые результаты.
г) В первой корзине лежало а кг. Мандаринов, а во второй b кг. Манда-
ринов. После того как из первой корзины взяли три кг. мандаринов, а во
вторцю добавили 1 кг., то мандаринов в корзинах станет поровну.
№ 93
а) Первое число равно а, второе число равно b. При этом известно, что
первое в 4 раза больше второго.
1
б) Первое число равно x, второе число равно y. При этом второго
3
числа равна первому числу.
в) На стройке работало 5 бригад по d человек в каждой. После того, как
на работу пришло еще двое человек, рабочих стало с.
г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если второе число умно-
1
жить на 3 и вычесть из него 4, то его часть будет равна первому числу.
7
№ 94
а) В саду 7 участков. На каждом растет по x яблонь. После того как на
каждом участке посадили по одной яблоне, деревьев в саду стало равно y.
б) Первое число равно a, второе число равно b. Удвоенная сумма этих
чисел равна 3.
в) Расстояние от пункта А до пункта B – с км., а от пункта B до пункта
С – d км. Из пункта А в пункт B выехало 3 велосипедиста, а из пункта B
в С путь продолжили только два велосипедиста. В общей сложности
велосипедисты проделали путь 8 км.
г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если первое число
умножить на три, а второе на семь, то их сумма будет равнятся 12.
№ 95
Пусть x км/ч – скорость велосипедиста.
Тогда (x +18) – скорость мотоциклиста.
5 · x = (x + 18) · 2; 5 · x – 2 · x =2 · 18; 3 · x = 36;
x = 12 км/ч – скорость велосипедиста.
18 + 12 = 30 км/ч – скорость мотоциклиста.
5 · 12 = 60 км – расстояние между городами.
Ответ: 12, 30, 60.
17

18. № 96
Пусть x квартир в первом доме.
Тогда (x + 86) квартир во втором доме.
x + x + 86 = 792; 2 · x = 706; x = 353 – квартир в первом доме.
353 + 86 = 439 – квартир во втором доме.
Ответ: 353; 439.
№ 97
Пусть x трехкомнатных квартир в доме.
Тогда (x + 10) – двухкомнатных квартир в доме,
(x – 5) – однокомнатных квартир в доме.
x + x +10 + x – 5 = 215; 3 · x = 210;
x = 70 – трехкомнатных квартир.
70 + 10 = 80 – двухкомнатных квартир.
70 – 5 = 65 – однокомнатных квартир.
Ответ: 65.
№ 98
Пусть x мест в малом зале.
Тогда 3 · x мест в большом зале.
3 · x + x = 460; 4 · x =460; x = 115 – мест в малом зале.
115 · 3 = 345 – мест в большом зале.
Ответ: 345.
№ 99
Пусть x книг на второй полке.
Тогда 2 · x книг на второй полке.
2 · x + x = 48; 3 · x = 48; x = 16 – книг на второй полке.
2 · 16 = 32 – книг на первой полке.
Ответ: 32.
№ 100
Пусть x деталей изготовил ученик за один день.
Тогда 3 · x деталей изготовил мастер за один день.
(x + 3 · x) · 2 = 312; 4 · x = 156;
x = 39 – деталей изготовляет ученик за один день.
3 · 39 = 117 – деталей изготовляет мастер за один день.
Ответ: 117, 39.
№ 101
Пусть x деталей изготовили на первом станке.
Тогда (x + 10) деталей изготовили на втором станке.
x + x +10 = 346;
2 · x = 336;
x = 168 – деталей изготовили на первом станке.
168 + 10 = 178 – деталей изготовили на втором станке.
Ответ: 168; 178.
18

19. № 102
Пусть x тонн зерна собрали с первого участка.
Тогда 1,2 · x тонн зерна собрали со второго участка.
1,2 · x + x = 39,6; 2,2 · x = 39,6;
x = 18 тонн зерна собрали с первого участка.
1,2 · 18 = 21,6 тонн зерна собрали со второго участка.
Ответ: 18; 21,6.
№ 103
Пусть x – это число.
Тогда имеем: x + 23 = 7 · (x – 1); x + 23 = 7 · x – 7; –6 · x = –30; x = 5;
Ответ: 5.
№ 104
Пусть x лет дочке.
Тогда (x + 25) – лет маме,
x +25 + x = 35; 2 · x = 10; x = 5 – лет дочке; 5 + 25 = 30 – лет маме.
№ 105
Пусть x яблонь на первом участке.
Если с первого участка пересадить на второй одну яблоню, то
(x – 1) – на первом останется, 3 · (x – 1) на втором.
x – 1 + 3 · (x – 1) = 84; 4 · (x – 1) = 84; x – 1 = 21;
x = 22 – на первом участке.
84 – 22 = 62 – на втором.
Ответ: 22; 62.
№ 106
c
а) a + b = 7 · a · b; б) x = 3 · y + 1; в) 3 ⋅ (c − d ) = ; г) a = 12 · b + 5.
d
№ 107
а) N=10 · a+b; б) M = 100 · a+10 · b+c; в) a · 1000 + b · 10; г) 100 · r + 7.
№ 108
Пусть t часов был в пути первый теплоход.
Тогда (t – 3) часов был в пути второй теплоход.
22 · t + 26 · (t – 3) = 306; 48 · t = 306 + 78; t = 384 : 48;
t = 8 часов был в пути первый теплоход.
8 – 3 = 5 часов был в пути второй теплоход.
Ответ: 8; 5.
№ 109
Пусть x книг на первой полке.
Тогда 2 · x – книг на первой полке.
2 · x – 5 – книг на третей полке.
x + 2 · x + 2 · x – 5 =75; 5 · x = 80;
x = 16 – книг на второй полке.
19

20. 2 · 16 = 32 – книг на первой полке.
32 – 5 = 27 – книг на третей полке.
Ответ: 36; 18; 31.
№ 110
Пусть x – рабочих во втором цехе.
Тогда 1,5 · x – рабочих в первом цехе.
1,5 · x + 110 – рабочих в третем цехе.
x + 1,5 · x + 1,5 · x + 110 = 310; 4 · x = 200;
x = 50 – рабочих во втором цехе.
1,5 · 50 = 75 – рабочих в первом цехе.
75 + 110 = 185 – рабочих в третем цехе.
Ответ: 75; 50; 185.
№ 111
Пусть x см. – AB.
Тогда 2 · x см. – BC.
(x + 4) см. – AC.
x + 2 · x + x + 4 = 44; 4 · x = 40; x = 10 см. – АB.
2 · 10 = 20 см. – BC. 10 + 4 = 14 см. – АС.
Ответ: 10; 20; 14.
№ 112
Пусть x учеников учится в старших классах.
Тогда 3 · x учеников учится в начальных классах.
6 · x учеников учится в средних классах.
x + 3 · x + 6 · x = 900; 10 · x = 900;
x = 90 – учеников учится в старших классах.
3 · 90 = 270 – учеников учится в начальных классах.
6 · 90 = 540 – учеников учится в средних классах.
Ответ: 270; 540; 90.
№ 113
Пусть x учеников всего.
x
Тогда – учеников изучает математику.
2
x
– учеников изучает природу.
4
x
– учеников размышляет.
7
x x x x x x 28 ⋅ x − 14 ⋅ x − 7 ⋅ x − 4 ⋅ x
+ + +3= x ; x− − − =3; =3;
2 4 7 2 4 7 28
3⋅ x
= 3 ; x = 28 – учеников всего.
28
Ответ: 28.
20

21. № 114
Пусть x – дней отработали.
Тогда (30 – x) – дней не работали.
48 · x = 12 · ( 30 – x); 48 · x + 12 · x = 12 · 30; 60 · x = 360;
x = 6 дней отработали.
Ответ: 6.
№ 115
Пусть x – учеников всего.
⎛ x x ⎞
Если придет ⎜ x + + + 1⎟ учеников, то
⎝ 2 4 ⎠
x x 3⋅ x 11 ⋅ x
x + x + + +1= 100; 2 · x + = 99 ; = 99 ; 11 · x = 396;
2 4 4 4
x = 36 – учеников всего.
Ответ: 36.
№ 116
Пусть x – мужчин; 4 алтына = 12 коп.; 120 гривен = 1200 коп.
Тогда (120 – x) – женщин; 3 алтына = 9 коп.
12 · x + (120 – x) · 9 = 1200; 12 · x + 1080 – 9 · x = 1200;
3 · x = 1200 – 1080; x = 40 – мужчин. 120 – 40 = 80 – женщин.
Ответ: 40; 80.
ГЛАВА 2. Степень с натуральным
показателем и ее свойства
§ 4. Что такое степень с натуральным показателем
№ 117
а) 3 · 3 · 3 · 3 = 34; в) 0,5 · 0,5 = ( 0,5 )2;
б) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 76; г) 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 = ( 8,4 )5.
№ 118
а) x8; б) y5; в) z6; г) q3.
№ 119
4 2
⎛ 2⎞ ⎛ 7⎞
а) (–4)5; б) ⎜ − ⎟ ; в) (–2,5)3; г) ⎜ −5 ⎟ .
⎝ 3⎠ ⎝ 8⎠
№ 120
а) (– c )4; б) (– d )3; в) (– r )5; г) (– s )6.
№ 121
а) ( ab )4; б) ( pq )3; в) ( mn )5; г) ( xy )6.
№ 122
а) ( c – d )3; б) ( z + t )2; в) ( p – q )4; г) ( x + y )6.
21

22. № 123
2 3
⎛ 1⎞ ⎛1⎞
а) 135 · 53; б) 0,72 · ⎜ − ⎟ ; в) (– 0,45 )2 · 73; г) 2
⎜ ⎟ · 0,1 .
⎝ 2⎠ ⎝ 9⎠
№ 124
2 3
⎛3⎞ ⎛ 1⎞
а) 53 · 73; б) (– 0,3 )3 · ⎜ ⎟ ; в) ( 7,95 )2 · 133; г) 2
⎜ −2 ⎟ · ( 17,8 ) .
⎝5⎠ ⎝ 3⎠
№ 125
а) x · x · x · x · x · x · x · x; в) (– y )3 · (– y )3 · (– y )3 · (– y )3;
б) (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ); г) ( 3b )2 · ( 3b )2 · ( 3b )2.
№ 126
а) 4pq · 4pq; в) (z – x) · (z – x) · (z – x);
2 2
⎛ a⎞ ⎛ a⎞ 5c 5c 5c 5c 5c
б) ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ ; г) · · · · .
⎝ b⎠ ⎝ b⎠ 6d 6d 6d 6d 6d
№ 127
а) 2; б) 4; в) 32; г) 16.
№ 128
а) 27; б) 0; в) –8; г) 1.
№ 129
а) 25; б) –5; в) –125; г) –3125.
№ 130
1 1
а) 1; б) 81; в) ; г) .
16 81
№ 131
а) 35 = 405; б) (– 0,5)4 = 0,0625;
3 2 2
⎛3⎞ 27 ⎛ 1⎞ ⎛8⎞ 64 15
в) ⎜ ⎟ = ; г) ⎜1 ⎟ = ⎜ ⎟ = =1 .
⎝ 4⎠ 64 ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ 49 49
№ 132
1
а) 9 см2; б) 49 см2; в) 2,25 см2; г) см2.
16
№ 133
27 3
а) 2197 м3; б) 64 м3; в) 0,216 м3; г) м.
343
№ 134
3 4
⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ 1
а) (– 3)5 = – 405; б) ⎜ ⎟ = ; в) (–0,4)2 = 0,16; г) ⎜ ⎟ = .
⎝2⎠ 8 ⎝5⎠ 625
22

23. № 135
а) 171 = 17; б) 115 = 1; в) 321 = 32; г) 072 = 0.
№ 136
а) – 72 = – 49; б) (– 1)4 = 1; в) (– 0,5)3 = – 0,125; г) – 82 = – 64.
№ 137
3 2
⎛ 1⎞ 1 ⎛ 3⎞ 9
а) ⎜ − ⎟ = − ; б) ⎜ − ⎟ = ;
⎝ 4⎠ 64 ⎝ 10 ⎠ 100
3
⎛ 2⎞ 8
в) − ⎜ − ⎟ = ; г) – (– 0,1)4 = – 0,0001.
⎝ 3⎠ 27
№ 138
а) 3 · (– 4)2 = 3 · 16 = 48; в) 81 · 71 = 8 · 7 = 56;
б) (– 2)5 · 3 = – 32 · 3 = – 96; г) (– 0,5)2 · (– 2)2 = 0,25 · 4 = 1.
№ 139
2 3
⎛3⎞ 1 9 4 3 ⎛ 2⎞ ⎛ 8 ⎞
а) ⎜ ⎟ ⋅ 1 = ⋅ = ; б) 34 · ⎜ − ⎟ = 81 · ⎜ − ⎟ = 3 · (– 8) = – 24;
⎝4⎠ 3 16 3 4 ⎝ 3⎠ ⎝ 27 ⎠
3 2
⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛3⎞ 2 9 5 3
в) 1 : ⎜ − ⎟ = 1 : ⎜ − ⎟ = – 27; г) ⎜ ⎟ · 1 = ⋅ =
⎝ 3⎠ ⎝ 27 ⎠ ⎝5⎠ 3 25 3 5
№ 140
0, 24 0,0016 1 1
а) = = 0,00004 ; в) = = −1000 ;
40 40 ( −0,1) 3
( −0,001)
1,8 1,8 1,6 1,6
б) 2
= = 20 ; г) 2
= = 10 .
( 0,3) 0,09 ( 0, 4 ) 0,16
№ 141
2 2
⎛ 1⎞ ⎛ 11 ⎞ 121 21
а) ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = =4 ;
⎝ 5⎠ ⎝5⎠ 25 25
3 3
⎛ 1⎞ ⎛ 10 ⎞ 1000 1
б) ⎜ −3 ⎟ = ⎜ − ⎟ = − = −37 ;
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 27 27
4 4
⎛ 2⎞ ⎛ 5⎞ 625 58
в) ⎜ −1 ⎟ = ⎜ − ⎟ = =7 ;
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 81 81
2 2
⎛ 1⎞ ⎛ 21 ⎞ 441 9
г) ⎜ 5 ⎟ = ⎜ ⎟ = = 27 .
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 16 16
№ 142
а) 29; б) 1845; в) (– 5)17; г) (– 9)12.
23

24. № 143
а) x7; б) ( ab )45; в) ( z – y )105; г) ( r + s )31.
№ 144
а) 6 m; б) (– 7) n; в) a r; г) b m.
№ 145
а) ( xy ) n; б) (– cd ) m; в) ( m – n ) r; г) ( t + v ) n.
№ 146
а) c r · d n; б) (– a) n · b r; в) ( a – b ) m · ( x – z ); г) ( p – q ) 2 · ( x – y) m.
№ 147
Пусть S – площадь одной стороны.
Тогда 6 · S – полная поверхность.
S = 7 · 7 = 49 см2; 6 · 49 = 294 см2 – полная поверхность.
Ответ: 294 см2.
№ 148
Пусть S – площадь пола, P – площадь одной стены, S = 9 = 3 · 3.
Так как пол квадратный, то сторона квадрата равна трем.
P = 3 · 3 = 9 м2; 9 · 4 = 36 м2 – потребуется обоев.
Ответ: 36 м2.
№ 149
Пусть S – площадь пола.
S = 4 · 4 = 16 м2; 16 · 200 = 3200 г. = 3,2 кг. – потребуется краски.
Ответ: 3,2 килограмма.
№ 150
Пусть S – площадь стороны куба, V – объем куба.
S = 40 · 40 =1600 см2 = 0,16 м2; V = 1600 · 40 = 64000 см3 = 0,064 м3;
Ответ: 0,064 м3.
№ 151
а) 3 · 24 + 2 · 34 = 3 · 16 + 2 · 81 = 48 + 162 = 210;
б) 7 · 32 + 3 · 72 = 7 · 9 + 3 · 49 = 63 + 147 = 210;
в) 5 · 33 + 3 · 52 = 5 · 27 + 3 · 25 = 135 + 75 = 210;
г) 7 · 52 + 5 · 72 = 7 · 25 + 5 · 49 = 175 + 245 = 420.
№ 152
а) 7 · 103 – 8 · 102 = 7 · 1000 – 8 · 100 = 7000 – 800 = 6200;
б) 92 · 3 + 100 · (0,1)2 = 81 · 3 + 100 · 0,01 = 243 + 1 = 244.
№ 153
2
⎛1⎞ 1 1 1 2+3 5
а) ⎜ ⎟ · 27+(0,1)4 · 5000 = ⋅ 27 + 0,0001 ⋅ 5000 = + = = ;
⎝9⎠ 81 3 2 6 6
2
⎛1⎞ 1
б) 100 : 52 – ⎜ ⎟ · 128 = 100 : 25 – ⋅ 128 = 4 − 2 = 2 .
⎝8⎠ 64
24

25. № 154
3 3 3 3
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛8⎞ ⎛5⎞ 512 125 387 1
а) ⎜ 2 ⎟ – ⎜1 ⎟ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ = − = = 14 ;
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 27 27 27 3
4 2 4 2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 33 ⎞ 625 1089 1714 89
б) ⎜ −1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = ⎜ − ⎟ – ⎜ ⎟ = + = = .
⎝ 4⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 16 ⎠ 256 256 256 128
№ 155
а) 228 = 2 · 114 = 2 · 2 · 57 = 2 · 2 · 3 · 19 = 22 · 3 · 19;
б) 432 = 2 · 216 = 2 · 2 · 108 = 2 · 2 · 2 · 54 = 24 · 27 = 24 · 33;
в) 600 = 2 · 300 = 2 · 2 · 150 = 23 · 75 = 23 · 5 · 15 = 23 · 52 ·3;
г) 752 = 2 · 376 = 2 · 2 · 188 = 2 · 2 · 2 · 94 = 24 · 47.
№ 156
а) 3969 = 3 · 1323 = 3 · 3 ·441 = 3 · 3 · 3 ·147 = 34 ·49 = 34 · 72;
б) 64800 = 2 · 32400 = 2 · 2 · 16200 = 23 · 8100 = 23 · 90 · 90 =
= 23 · 9 ·10 · 9 · 10 = 23 · 32 · 5 · 2 · 32 · 5 · 2 = 25 · 34 · 52;
в) 21600 = 2 · 10800 = 2 · 2 · 5400 = 2 · 2 · 2 · 2700 = 2 3 · 27 · 100 =
= 23 · 3 · 3 · 3 · 10 · 10 = 23 · 33 · 2 · 5 · 2 · 5 = 25 · 33 · 52;
г) 17640 = 2 · 8820 = 2 · 2 · 4410 = 2 · 2 · 2 · 2205 = 23 · 5 · 441 =
= 23 · 5 · 3 · 147 = 23 · 5 · 3 · 3 · 49 = 23 · 5 · 32 · 72.
№ 157
а) 22 · 23 и 22 + 3; б) 32 · 31 и 32 + 1;
2 3 5
1) 2 · 2 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 ; 1) 32 · 31 = 3 · 3 · 3 = 33;
2+3 5
2) 2 =2. 2) 32 + 1 = 33.
Ответ: числа равны. Ответ: числа равны.
в) 71 · 72 и 71 + 2; г) 41 · 43 и 41 + 3;
1 2 3
7 ·7 =7·7·7=7 ; 1) 41 · 43 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44;
1+2 3
7 =7. 2) 41 + 3 = 44.
Ответ: числа равны. Ответ: числа равны.
§ 5. Таблица основных степеней
№ 158
N 1 2 3 4 5 6
3n 3 9 27 81 243 729
5n 5 25 125 625 3125 15625
7n 7 49 343 2401 16807 117649
№ 159
2 2
4 ⎛2⎞ 25 ⎛ 5 ⎞
а) 16 = 42; б) = ⎜ ⎟ ; в) 0,81 = (0,9)2; г) =⎜ ⎟ 2
.
49 ⎝ 7 ⎠ 64 ⎝ 8 ⎠
№ 160
3 3
1 ⎛1⎞ 343 ⎛ 7 ⎞
а) 125 = 53; б) = ⎜ ⎟ ; в) – 0,216 = (– 0,6)3; г) = ⎜− ⎟ .
64 ⎝ 4 ⎠ 512 ⎝ 8 ⎠
25

26. № 161
а) 1; б) 1; в) – 1; г) 1.
№ 162
а) 0; б) 0; в) – 1; г) 0.
№ 163
а) (– 1)10 + 012 + 145 = 1 + 0 + 1 = 2;
б) (– 1)6 + (– 1)7 – 08 = 1 – 1 – 0 = 0;
в) 012 + 141 + (– 1)11 = 0 + 1 – 1 = 0;
г) 0502 – 114 + 113 + (– 1)2 = 0 – 1 + 1 + 1 = 1.
№ 164
а) (– 1)4 + (– 1)3 + (– 1)2 + (– 1) = 1 – 1 + 1 – 1 = 0;
б) (– 1)7 + 18 + 015 + 119 + (– 1)4 = –1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 2;
в) (– 1)2 – (– 1)3 – (– 1)4 – (– 1)5 = 1 – (– 1) – 1 – (– 1) = 2;
г) (– 1)12 + 01 – 124 + 03 – (–1)5 = 1 + 0 – 1 + 0 + 1 = 1.
№ 165
а) 103 = 1000; б) 104 = 10000; в) 105 = 100000; г) 107 = 10000000.
№ 166
а) 1000000000 = 109; б) 10 = 101; в) 1000000 = 106; г) 10 n.
№ 167
2
⎛ 1⎞ 1
а) (– 2)5 = –32; б) (– 3)4 = 81; в) (– 0,5)3 = – 0,125; г) ⎜ − ⎟ = .
⎝ 4⎠ 16
№ 168
а) (– 2,5)2 + 1,52 = 6,25 + 2,25 = 8,5;
4 2
⎛ 2⎞ ⎛2⎞ 16 4 16 − 4 12 4
б) ⎜ − ⎟ – ⎜ ⎟ = − = = = ;
⎝ 3⎠ ⎝9⎠ 81 81 81 81 27
в) (– 0,5)3 + (– 0,4)2 = –0,125 + 0,16 = 0,035;
2 3
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 1 3+ 4 7
г) ⎜ − ⎟ – ⎜ − ⎟ = −⎜− ⎟ = + = = .
⎝ 6⎠ ⎝ 3⎠ 36 ⎝ 27 ⎠ 36 27 108 108
№ 169
а) a2 ≥ 0; б) – a2 ≤ 0; в) (x + 5)2 ≥ 0; г) –3 · (x – 7)2 ≤ 0.
№ 170
а) x2 + y2 ≥ 0; б) (a + 51)2 + (b2 – 13)2 ≥ 0;
в) 5 · (a2 + b2) ≥ 0; г) –94 · (x + y)2 ≤ 0.
№ 171
а) 2 r = 512; б) 5 m = 625; в) 7 m = 343; г) 3 r = 729
r=9 m=4 m=3 r=6
Ответ: 9 Ответ: 4 Ответ: 3 Ответ: 6
26

27. № 172
а) 3 · 104 + 4 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 4 =
= 30000 + 40000 + 7000 +200 + 80 + 4 = 77284;
б) 8 · 106 + 9 · 103 + 5 = 8000000 + 9000 + 5 = 8009005;
в) 1 · 104 + 1 · 102 + 1 = 10000 + 100 + 1 = 10101;
г) 3 · 105 + 5 · 103 + 4 · 102 + 8 = 300000 + 5000 + 400 + 8 = 305408.
№ 173
а) 17285 = 10000 + 7000 + 200 + 80 + 5 =
= 1 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 5;
б) 213149 = 200000 + 10000 + 3000 + 100 + 40 + 9 =
= 2 · 105 + 1 · 104 + 3 · 103 + 1 · 102 + 4 · 10 + 9;
в) 1495643 = 1000000 + 400000 + 90000 + 5000 + 600 + 40 + 3 =
= 1 · 106 + 4 · 105 + 9 · 104 + 5 · 103 + 6 · 102 + 4 · 10 + 3;
г) 75003400 = 70000000 + 5000000 + 3000 + 400 =
= 7 · 107 + 5 · 106 + 3 · 103 + 4 · 102.
№ 174
а) При а = 1, а2 = 12 = 1, (– а)2 = (– 1)2 = 1, – а2 = – 12 = – 1.
При а = – 1, а2 = (– 1)2 = 1, (– а)2 = 12 = 1, – а2 = – (– 1)2 = – 1.
При а = 0, а2 = 02 = 0, (– а)2 = (– 0)2 = 0, – а2 = – 02 = 0.
При а = 10, а2 = 102 = 100, (– а)2 = (– 10)2 = 100.
– а2 = – 102 = – 100.
б) При b = 1, b4 = 14 = 1, (– b)5 = (– 1)5 = – 1, – b5 = – 15 = – 1.
При b = 0, b4 = 04 = 0, (– b)5 = (– 0)5 = 0, – b5 = – 05 = 0.
При b = –1, b4 = (– 1)4 = 1, (– b)5 = 15 = 1, – b5 = – (– 1)5 = 1.
При b = 10, b4 = 104 = 10000, (– b)5 = (– 10)5 = – 100000.
– b5 = – 105 = – 100000.
в) c2 + (– c)3 + c4.
При c = 1, 12 + (– 1)3 + 14 = 1 – 1 + 1 = 1.
При c = 0, 02 + (– 0)3 + 04 = 0 + 0 + 0 = 0.
При c = 10, 102 + (– 10)3 + 104 = 100 – 1000 + 10000 = 9100.
При c = –1, (– 1)2 + 13 + (– 1)4 = 1 + 1 + 1 = 3.
г) d4 – d2 + d + 1.
При d = –1, (– 1)4 – (– 1)2 + (– 1) + 1= 1 – 1 – 1 + 1 = 0.
При d = 0, 04 – 02 + 0 + 1= 0 – 0 + 0 + 1 = 1.
При d = 1, 14 – 12 + 1 + 1= 1 – 1 + 1 + 1 = 2.
При d = 10, 104 – 102 + 10 + 1= 10000 – 100 + 10 + 1 = 9911.
№ 175
−24 24 16 16 48 16 64 1
а) − = − − = − − = − = −7 ;
3 9 3 9 9 9 9 9
б)
( −2 )2 − 52 =
4 25 2 25
− = −
23 3
= − = −5 ;
3 4 8 4 4 4 4 4
2
27

28. в)
( −2 )3 − 3 8 3
=− − =−
32 + 15
=−
47 7
= −2 ;
5 2
5 4 20 20 20
2
14 24 14 16 14 − 48 34 7
г) 3
− 2
= − = =− = −1 .
3 ( −3) 27 9 27 27 27
№ 176
а) 322 > 0; б) (– 54)2 > 0;
3 2
⎛1⎞ ⎛1⎞
в) 32 и 23; г) ⎜ ⎟ и ⎜ ⎟ ;
⎝ 3⎠ ⎝2⎠
3 2
⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ 1
1) 32 = 9; 2) 23 = 8. 1) ⎜ ⎟ = ; 2) ⎜ ⎟ = .
⎝ 3⎠ 9 ⎝2⎠ 4
2 3
⎛1⎞ ⎛1⎞
Ответ: 32 > 23. Ответ: ⎜ ⎟ > ⎜ ⎟ .
⎝2⎠ ⎝ 3⎠
№ 177
а) (– 17,2)2 > (– 17,2)3; в) (– 0,3)3 < (– 0,3)2;
4 4 2 4
⎛ 3⎞ ⎛3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞
б) ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ ; г) ⎜ − ⎟ > ⎜ ⎟ .
⎝ 5⎠ ⎝5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝5⎠
№ 178
1
а) (– 7)3 < (– 0,4)3 < ( )3 < (– 1,5)2;
7
1 3
б) (−1 )3 < (− )3 < (– 1,8)2 < (– 2,1)2;
3 7
2
в) (− )3 < (0,8)3 < (– 1,1)2 < (– 1,5)2;
3
3 3 2
г) (− ) < (0,3)2 < (− ) 2 2 < (– 1,2)2.
4 5
№ 179
а) 2 n = 1024; 3 r =81; б) 7 n = 49; 5 r = 625.
n =10; r = 4; n = 2; r = 4;
n + r = 10 + 4 = 14. n + r = 2 + 4 = 6.
Ответ: 14. Ответ: 6.
№ 180
а) 22x = 128; б) 3 x – 3 = 243; в) 5 x : 2 = 125; г) 2 2 – 3x = 256;
2x = 7; x – 3 = 5; x : 2 = 3; 2 – 3x = 8;
x = 3,5. x = 8. x = 6. x = –2.
Ответ: 3,5. Ответ: 8. Ответ: 6. Ответ: –2.
28

29. § 6. Свойства степеней с натуральными показателями
№ 181
а) x2 · x3 = x5; б) y6 · y4 = y10; в) z5 · z12 = z17; г) t10 · t24 = t34.
№ 182
а) a5 · a = a6; б)b · b6 = b7; в)c7 · c = c8; г)d n · d = d n+1.
№ 183
а) s3 · s5 · s8 = s3 + 5+ 8 = s16; б) r14 · r12 · r51 = r14 + 12 + 51 = r67.
в) m13 · m8 · m = m13 + 8 + 1 = m22; г) n4 · n · n10 = n4 + 1 + 10 = n15.
№ 184
а) u15 · u23 · u · u7 = u15 + 23 + 1 + 7 = u46; б) r4 · r12 · r51 = r4 + 12 +51 = r67;
в) v3 · v9 · v4 · v = v3 + 9 + 4 + 1 = v17; г) q13 · q8 · q7 · q21 = q13 + 8 + 7 + 21 =q49.
№ 185
а) ( a – b )3 · ( a – b )2 = ( a – b )3 + 2 = ( a – b )5;
б) ( c + d )7 · ( c + d )8 = ( c + d )7 + 8 = ( c + d )15;
в) ( q + r )15 · ( q + r )8 = ( q + r )15 + 8 = ( q + r )23;
г) ( m – n )5 · ( m – n )4 = ( m – n )5 + 4 = ( m – n )9.
№ 186
а) ( ax )5 · ( ax )7 · ( ax ) = ( ax )5 + 7 + 1 = ( ax )13;
б) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17;
в) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17;
г) (– pq)13 · (– pq) · ( pq ) = (– pq)13 + 1 · ( pq ) = ( pq )15.
№ 187
а) x7 · x18; б) x9 · x16; в) x24 · x; г) x · x24.
№ 188
а) r3 · ∗ = r11; б) ∗ · r14 = r10; в) r13 · ∗ · r18 = r43; г) ∗ · r21 · r11 = r40;
11 – 3 = 8; 10 – 14 = –4; 43 – 13 – 18 = 12; 40 – 21 – 11 = 8;
r3 · r8 = r11; r –4 · r14 = r10; r13 · r12 · r18 = r43; r8 · r21 · r11 = r40.
№ 189
а) r12 · ∗ · r3 · ∗ = r26; в) ∗ · r7 · ∗ · r9 · r13 = r48;
26 – 12 – 3 = 11; 48 – 7 – 9 – 13 = 19;
11 = 5 + 6; 19 = 9 + 10;
r12 · r5 · r3 · r6 = r26; r9 · r7 · r10 · r9 · r13 = r48;
б) r44 · ∗ · r · ∗ = r51; г) r · r14 · ∗ · r20 · ∗ = r72;
51 – 44 – 1 = 6; 72 – 1 – 14 – 20 = 37;
6 = 3 + 3; 37 = 17 + 20;
r44 · r3 · r · r3 = r51; r · r14 · r17 · r20 · r20 = r72.
№ 190
а) 25 · 24 = 25 + 4 = 29 = 512; б) 33 · 32 = 33 + 2 = 35 = 243;
в) 72 · 7 = 72 + 1 = 73 = 343; г) 9 · 92 = 91 + 2 = 93 = 729.
29

30. № 191
а) 4 · 2 = 22 · 2 = 22 + 1 = 23; б) 32 · 8 = 25 · 23 = 25 + 3 = 28;
в) 64 · 512 = 26 · 29 = 26 + 9 = 215; г) 16 · 32 = 24 · 25 = 24 + 5 = 29.
№ 192
а) 5 · 25 = 5 · 52 = 51 + 2 = 53; б) 53 · 625 = 53 · 54 = 53 + 4 = 57;
в) 54 · 125 = 54 · 53 = 54 + 3 = 57; г) 59 · 3125 = 59 · 55 = 59 + 5 = 514.
№ 193
а) a = (– 13)9 · (– 13)8; б) a = (– 17)17 · (– 17)71;
9 + 8 = 17 – нечетное. 17 + 71 = 88 – четное.
Ответ: отрицательное. Ответ: положительное.
в) а = (– 28)2 · (– 28)6; г) а = (– 43)41 · (– 43)14;
2 + 6 = 8 – четное. 41 + 14 = 55 – нечетное.
Ответ: положительное. Ответ: отрицательное.
№ 194
а) x · 73 = 75; б) 122 · x = 123; в) 46 · x = 48; г) x · 56 = 59;
5 3 3 2 8 6
x=7 :7; x = 12 : 12 ; x=4 :4; x = 59 : 56;
2 1 2
x=7; x = 12 ; x=4; x = 53;
x = 49. x =12. x =16. x = 125.
Ответ: 49. Ответ: 12. Ответ: 16. Ответ: 125.
№ 195
а) x7 : x4 = x7 – 4 = x3; б) y16 : y12 = y16 – 12 = y4;
в) z13 : z = z13 – 1 = z12; г) m28 : m27 = m28 – 27 = m1 = m.
№ 196
а) a12 : a10 : a = a12 – 10 – 1 = a1 = a; б) b45 : b15 : b29 = b45 – 15 – 29 = b1 = b;
3 3–1–1 1
в) c : c : c = c = c = c; г) d43 : d14 : d5 = d43 – 14 – 5 = d24.
№ 197
а) (a – b)3 : (a – b)2 = (a – b)3 –2 = (a – b)1 = (a – b);
б) (z + r)13 : (z + r)8 : (z + r)3 = (z + r)13 – 8 – 3 = (z + r)2;
в) (c + d)8 : (c + d)5 = (c + d)8 – 5 = (c + d)3;
г) (m – n)42 : (m – n)12 : (m – n)29 = (m – n)42 – 12 – 29 = (m – n)1 = (m – n).
№ 198
а) 1013 : 108 = 1013 – 8 = 105 = 100000; б) 1217 : 1216 = 1217 – 16 = 12;
в) (–324)3:(–324)2=(– 324)3 – 2 = –324; г) 0,75127:0,75126=0,75127 – 26=0,751;
№ 199
78 0,67
а) 5
= 73 = 343; б) 5
= 0,62 = 0,36;
7 0,6
4
⎛ 1⎞
6
( −0, 2 ) = (– 0,2)4 = 0,0016; ⎜1 ⎟ 1
⎛ 1⎞ 1
г) ⎝ ⎠3 = ⎜1 ⎟ = 1 .
3
в)
( −0, 2 )2 ⎛ 1⎞ ⎝ 3⎠ 3
⎜1 ⎟
⎝ 3⎠
30

31. № 200
18 17 18 −17
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1
а) ⎜1 ⎟ : ⎜1 ⎟ = ⎜1 ⎟ =1 ;
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3
6 4 6−4 2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 15 ⎞ 225 29
б) ⎜ −2 ⎟ : ⎜ −2 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ = ⎜− ⎟ = =4 ;
⎝ 7 7 ⎠ 7 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 7⎠ 49 49
23 21 23− 21 2
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 29 ⎞ 841 31
в) ⎜ 3 ⎟ : ⎜3 ⎟ = ⎜3 ⎟ = ⎜ ⎟ = = 10 ;
⎝ 9⎠ ⎝ 9⎠ ⎝ 9⎠ ⎝ 9 ⎠ 81 81
15 14 15 −14 1
⎛ 7⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ 7⎞ 7
г) ⎜ −1 ⎟ : ⎜ −1 ⎟ = ⎜ −1 ⎟ = ⎜ −1 ⎟ = −1 .
⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8⎠ 8
№ 201
а) x5 : x2 = x3; б) x18 : x7 = x11; в) x49 : x36 = x13; г) x104 : x5 = x99.
№ 202
а) x52 : x10 : x2 = x52 – 10 – 2 = x40; б) r44 · r20 · r : r14 = r44 + 20 + 1 – 14 = r51;
в) x45 : x30 : x15 · x = x45 – 30 – 15 + 1 = x; г) x100 : x26 : x = x100 – 26 – 1 = x73.
№ 203
а) 128 n : 12856 = 12842; n – 56 = 42; n = 98; Ответ: 98.
б) 2163 : 216 n = 216; 3 – n =1; n = 2; Ответ: 2.
в) 395 n : 395 = 3959; n – 1 = 9; n = 10; Ответ: 10.
г) 5484 : 548 n = 5483; 4 – n = 3; n = 1; Ответ: 1.
№ 204
а) x : 25 = 23; б) 36 : x = 34; в) 78 : x = 74; г) x : 52 = 5;
x = 23 · 25; x = 36 : 34; x = 78 : 74 x = 5 · 52;
x = 28; x = 32; x = 74; x = 53;
x = 256. x = 9. x = 2401. x = 125.
Ответ: 256. Ответ: 9. Ответ: 2401. Ответ: 125.
№ 205
73 ⋅ 712 1015 ⋅ 107
а) 14
= 73+12 −14 = 71 = 7 ; б) = 1015 + 7 – 19 = 103 = 1000;
7 1019
15 ⋅ 1513 4312 4312
в) 12
= 151 + 13 – 12 = 152 = 225; г) 6 5
= = 4312 −11 = 43 .
15 43 ⋅ 43 4311
№ 206
16 17
⎛7⎞ 7 ⎛7⎞
( 0,3) 3
⋅ 0,3 12 15 ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ 2
0,3 ⎛7⎞ 49
б) ⎝ ⎠ 15 = ⎝ ⎠15 = ⎜ ⎟ =
8 8 8
а) 13
= 13
= 0,32 = 0,09 ; ;
0,3 0,3 ⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎝ 8⎠ 64
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝8⎠ ⎝8⎠
31

32. 3 2 5
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
5 4 ⎜ ⎟
9 ·⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4
0,09 ⋅ 0,09 0,09 ⎝ 3⎠ = ⎝ 3⎠ = ⎛1⎞ = 1 .
= 0,09 = 0,0081 ;г) ⎝ ⎠
2 3
в) = ⎜ ⎟
0,09 7
0,09 7 1 1 ⎝ 3⎠ 81
3 3
№ 207
x 5 ⋅ x8 x13 y 7 ⋅ y9 y16
а) = = x10 ; б) = = y11 ;
x3 x3 y5 y5
c12 ⋅ c10 c 22 d 18 ⋅ d 12 d 30
в) 21
= 21
=c; г) 15
= 15
= d 15 .
c c d d
№ 208
а) ( x3 )2 = x3 · 2 = x6; б) ( x5 )6 = x5 · 6 = x30;
в) ( x7 )12 = x7 · 12 = x84; г) ( x10 )13 = x10 · 13 = x130.
№ 209
а) ( 28 )5; б) ( 210 )4; в) ( 220 )2; г) ( 24 )10.
№ 210
а) ( m6 )3; б) ( m16 )3; в) ( a18 )3; г) ( b7 )3.
№ 211
а) ( 73 )2 = 73 · 2 = 76 = 117649; б) ( 33 )2 = 33 · 2 = 36 = 729;
в) ( 42 )3 = 42 · 3 = 46 = 4096; г) ( 22 )5 = 22 · 5 = 210 = 1024.
№ 212
а) ( a6 )5 = a6 · 5 = a30; б) ( b2 )7 = b2 · 7 = b14;
в) ( z4 )3 = z4 · 3 = z12; г) ( p12 )2 = p12 · 2 = p24.
№ 213
а) ( a3 )6 · a4 = a3 · 6 + 4 = a22; б) b5 · ( b3 )4 = b5 + 3 · 4 = b17;
в) c6 · ( c2 )3 = c6 + 2 · 3 = c12; г) ( d8 )4 · d23 = d8 · 4 + 23 = d55.
№ 214
a 2 ⋅ a5 : a6 a 2 + 5− 6 a b13 ⋅ b12 : b3 b13+12 −3 b 22 1
а) 7 8 14
= 7 + 8 −14
= =1 ; б) 20 4
= 20 + 4 −1
= 23
= ;
a ⋅a :a a a b ⋅b :b b b b
z 3 ⋅ z17 q 43 ⋅ q 2 z 3+17 q 43+ 2
в) ⋅ = 19 ⋅ 44 = z ⋅ q ;
z19 q 44 z q
m79 ⋅ m 4 m63 ⋅ m57 m79 + 4 m63+ 57 1
г) ⋅ = ⋅ = 16 ⋅ m 24 = m8 .
m99 m96 m99 m96 m
№ 215
а) y3; б) y6; в) y10; г) y20.
№ 216
а) ( x5 )4 · ( x6 )7 = x5 · 4 + 6 · 7 = x20 + 42 = x62;
б) ( y8 )2 · ( y12 )3 = y8 · 2 + 12 · 3 = y16 + 36 = y52;
32

33. в) ( z13 )3 · ( z5 )9 = z13 · 3 + 5 · 9 = y39 + 45 = y84;
г) ( t25 )2 · ( t10 )4 = t25 · 2 + 10 · 4 = y50 + 40 = y90.
№ 217
а) ( z5 )6 : z7 = z5 · 6 – 7 = z30 – 7 = z23; б) ( p3 )4 : p10 = p3 · 4 – 10 = p12 – 10 = p2;
в) ( u14 )3 : u20 = u14 · 3 – 20 = u42 – 20 = z22;
г) ( q8 )6 : q70 = q8 · 6 – 70 = q48 – 70 = q– 22.
№ 218
( x3 ) ( y5 ) ⋅ ( y 2 ) = y5⋅7+ 2⋅4 = y 43 = y ;
4 7 4
⋅ x7 x3⋅4 + 7 x19 4
а) = = =x ; б)
x15 x15 x15
( y3 ) y 3⋅14
14
y 42
( c3 ) ⋅ c5 = c3⋅5+5 = c20 = c2 ; ( d 2 ) ⋅ d15 = d 2⋅3+15 = d 21 = d 9 .
5 3
в) г)
( c6 ) c c (d 4 )
6⋅3
3 18 3
d 4⋅3 d 12
№ 219
а) ( x3 )n = x 3n; б) ( yn )5 = y5n; в) (– a4 )2n = a8n; г) (– b3 )6n = b18n.
№ 220
( ) (56 )
5 3
26 ⋅ 23 26 + 3⋅5 221 ⋅ 58 56⋅3+8 526
3
а) 18
= 18
= 18
=2 =8 ; б) 22
= 22
= 22
= 54 = 625 ;
2 2 2 5 5 5
в)
(3 )
6 2
=
36⋅2
=
312
= 37 = 2157 ; г)
47 ⋅ 16
=
47 + 2
=
49
=4.
( )
3 3+ 2 5 2 4 2⋅4
3 ⋅9 3 3 4 4 48
§ 7. Умножение и деление степеней
с одинаковыми показателями
№ 221
а) (2a)4 = 24 · a4; б) ( 3b )5 = 35 · b5; в) ( 6n )3 = 63 · n3; г) ( 8n )2 = 82 · n2.
№ 222
а) (– 2p)3 = (– 2)3 · p3; б) (– 5q)4 = (– 5)4 · q4;
в) (– 7c)2 = (– 7)2 · c2; г) (– 3d)5 = (– 3)5 · d5.
№ 223
а) ( mn )6 = m6 · n6; б) ( ab )4 = a4 · b4; в) ( pq )3 = p3 · q3; г) (cd)10=c10 ·d10.
№ 224
а) (– ac )17 = (– a)17 · c17; б) (– am )8 = (– a)8 · m8;
в) (– rs )3 = (– r)3 · s3; г) (– xy )12 = (– x)12 · y12.
№ 225
а) ( xy3 )2 = x2 · y6; б) ( a2bc3 )4 = a8 · b4 · c12;
в) ( p3cd6 )18 = p54 · c18 · d108; г) ( u5v4t7 )8 = u40 · v32 · t56.
33

34. № 226
а) ( 3p2r8 )5 = 35 · p10 · r40; б) ( 6a5bx3 )3 = 63 · a15 · b3 · x9;
в) ( 10a2b5 )4 = 104 · a8 · b20; г) ( 4r5q8p9 )2 = 42 · r10 · q16 · p18.
№ 227
а) 36a2 = (6a)2; б) 49b2 = (7b)2; в) 81c2 = (9c)2; г) 64d2 = (8d)2.
№ 228
а) a2 · b2 · c2 = (abc)2; б) x3 · y3 · z3 = (xyz)3;
в) m5 · n5 · s5 = (mns)5; г) p12 · q12 · r12 = (pqr)2.
№ 229
а) 16 · x4 · y4 · z4 = (2xyz)4; б) 125 · c3 · d3 · z3 = (5cdz)3;
в) 81 · m · p · q = (9mpq) ; г) 32 · r5 · s5 · q5 = (2rsq)5.
2 2 2 2
№ 230
а) a2 · b10 = (ab5)2; б) x8 · y12 = (x4y6)2;
в) x2 · y4 · z24 = (xy2z12)2; г) p8 · q10 · z30 = ( p4q5z15 )2.
№ 231
а) x4 · y6 = (x2y3)2; б) 16 · q18 · r34 = (4q9r17 )2;
в) 81 · c8 · d16 · f28 = ( 9c4d8f14 )2; г) 121 · m12 · n16 · r54 = ( 11m6n8r27 )2.
№ 232
а) 23 · 53 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 103 = 1000;
б) 1 ; в) 0,66 · 56 = (0,6 · 5)6 = 36 = 729;
3
3 3 3 3 3 3
⎛ 35 ⎞ ⎛6⎞ ⎛2⎞ ⎛ 35 · 6 · 2 ⎞ ⎛ 35 · 12 ⎞ ⎛1⎞ 1
г) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = .
⎝ 24 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 24 · 7 · 5 ⎠ ⎝ 24 · 35 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 8
№ 233
12 17 4 5 ⎛ c5 ⎞
⎛a⎞ a12 ⎛c⎞ c17 ⎛ a⎞ a4 ⎛ c⎞
а) ⎜ ⎟ = ; б) ⎜ ⎟ = ; в) ⎜ − ⎟ = ; г ) ⎜ − ⎟ = −⎜ 5 ⎟ .
b
⎝ ⎠ b12 d
⎝ ⎠ d 17 ⎝ ⎠b b4 ⎝ d⎠ ⎜d ⎟
⎝ ⎠
№ 234
6 2
⎛ 2a ⎞ 26 · a 6 64a 6 ⎛ 7x ⎞ 7 2 · x 2 49 x 2
а) ⎜ ⎟ = 6 6 = 6
; б) ⎜ ⎟ = 2 2 = ;
⎝ 3b ⎠ 3 ·b 729b ⎝ 8y ⎠ 8 · y 64 y 2
5 3
⎛ c ⎞ c5 c5 ⎛ 3m ⎞ 33 · m3 27 m3
в) ⎜ ⎟ = 5 5
= 5
; г) ⎜ − ⎟ = − 3 3 = − .
⎝ 2d ⎠ 2 ·d 32d ⎝ 5n ⎠ 5 ·n 125n3
№ 235
2 2
⎛ 35 ⎞ 310 59049 ⎛ 25 ⎞ 210 1024 399
а) ⎜ 2 ⎟ = 4 = ; б) ⎜ 2 ⎟ = 4 = =1 ;
⎜7 ⎟ 7 2401 ⎜5 ⎟ 5 625 625
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34

35. 4 2
⎛ −b 2 ⎞ b8 b8 ⎛ ( −3)3 ⎞ 36 729
в) ⎜ ⎟ = 4 = ; г) ⎜ ⎟ = 4 = .
⎜ 8 ⎟ 8 4096 ⎜ 2⎟
(−7) ⎠ 7 2401
⎝ ⎠ ⎝
№ 236
8 8 9 3 4
3 ⎛3⎞ 79 ⎛ 7 ⎞ m3 ⎛ m ⎞ c4 ⎛ c ⎞
а) = ⎜ ⎟ ; б) 9 = ⎜ ⎟ ;
8
в) =⎜ ⎟ ; г) =⎜ ⎟ .
5 ⎝5⎠ 11 ⎝ 11 ⎠ 8 ⎝2⎠ 16 ⎝ 2 ⎠
№ 237
а) b3x3=(bx)3; б) 25a4=(5a2)2; в) 32x10y5 = (2x2y)5; г) 16a8b12 = ( 2a2b3 )4.
№ 238
а) 85 · 0,1255 = (8 · 0,125)5 = 15 = 1; б) 46 · 0,256 = (4 · 0,25)6 = 16 = 1;
в) 54 · 0,44 = (5 · 0,4)4 = 24 = 16; г) 1,257 · 87 = (1,25 · 8)7 = 107 = 10000000.
№ 239
3 3 3 3
⎛ 5⎞ ⎛ 7⎞ ⎛⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎞⎞ ⎛5⎞ 125 17
а) ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ = =4 ;
⎝ 7 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝⎝ 7 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ 3 ⎠ 27 27
10 10 10
⎛ 7⎞ ⎛ 8⎞ ⎛⎛ 7 ⎞ ⎛ 8 ⎞⎞
б) ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ ⎟ = 110 = 1 ;
⎝8 ⎠ 7 8 ⎝ ⎠
7 ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
6 6 6 4 4 4
⎛5⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 5 12 ⎞ ⎛3⎞ ⎛8⎞ ⎛ 3 8⎞
в) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ · ⎟ = 26 = 64 ; г) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ · ⎟ = 24 = 16 .
⎝6⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝6 5 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4 3⎠
№ 240
56 ⋅ 125 56 ⋅ 53 59 311 ⋅ 27 311 ⋅ 27 314
а) = = =5; б) = = = 32 = 9;
(5 )
4 2 4 8 6 2 6
25 5 9 (3 ) 312
25 ⋅ 8 25 ⋅ 23 28 16 (24 )6 224
в) = = = 22 = 4 ; г) = = = 24 = 16 .
43 (22 )3 26 47 ⋅ 64 (22 )7 ⋅ 26 220
№ 241
а)
28 ⋅ 38
=
( 2 ⋅ 3)8 = 68 = 62 = 36 ; б)
35 ⋅ 45
=
( 3 ⋅ 4 )5 = 125 = 122 = 144 ;
66 66 66 123 123 123
в)
711 ⋅ 911
=
( 7 ⋅ 9 )11 = 6311 = 63 ; г) 28 ⋅ 88
=
( 2 ⋅ 8)8 = 168 = 16 .
6310 63 10 10
63 167 167 167
№ 242
а)
27 2 ⋅ 94
=
27 2 ⋅ (32 )4
=
( 27 ⋅ 3)2 ⋅ 36 = 36 = 729 ;
812 812 812
102 1012 1012
б) = = = 106 = 1000000 ;
26 ⋅ 56 ( 2 ⋅ 5 )6 106
35