Aplikasi statistika Bose-Einstein dibahas untuk menjelaskan kapasitas termal zat padat. Teori Debye dianggap paling tepat karena mempertimbangkan atom bergetar pada frekuensi berbeda-beda dengan batasan maksimum, sehingga hasilnya sesuai dengan eksperimen baik pada suhu rendah maupun tinggi.

1. PAPER
APLIKASI STATISTIKA BOSE-EINSTEIN PADA KAPASITAS
TERMAL ZAT PADAT
Fisika Statistik
Ikmalul Hakim
6/22/2010
Fisika Statistik (Hukum Distribusi Statistik) digunakan dalam mengungkapkan
informasi tentang kumpulan benda banyak melalui lukisan makro dan lukisan mikro.
Fisika statistik banyak diaplikasikan dalam bidang fisika lainnya, antara lain fisika zat
padat, fisika kuantum dan lain-lain. Tetapi dalam paper ini yang akan dibahas hanya
aplikasi Distribusi Statistik Bose-Einstein pada kapasitas termal zat padat. Teori Dulong-
Petit,Einstein dan Debye.

2. Aplikasi Statistika Bose-Einstein | 1
BAB I
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Fisika Statistik (Hukum Distribusi Statistik) digunakan dalam mengungkapkan
informasi tentang kumpulan benda banyak melalui lukisan makro dan lukisan mikro.
Anggapan yang digunakan adalah untuk system yang ada dalam keadaan steimbang,
hasil pengamatan akan banyak ditentukan konfigurasi keadaan makro yang
mencerminkan ragam lukisan mikro paling banyak atau konfigurasi dengan peluang
yang terbesar.
 Lukisan mikro memberi informasi secara tepat staus (keadan fisis )dari masing-
masing partikel penyusun sistem. (Namun hal itu sulit didapat karena jumlah
partikel banyak sekali)
 Lukisan makro memberi informasi yang kurang terperinci tetapi dapat melukiskan
karakteristik kumpulan partikel penyusun system.
Dalam Fisika Statistik dikenal 3 Hukum distribusi Statistik
a. Hukum Distribusi Statistik Maxwell – Boltzmann (M-B)
b. Hukum Distribusi Statistik Bose – Einstein (B-E)
c. Hukum Distribusi Statistik Fermi – Dirac (F-D)
Hukum Distribusi Maxwell-Boltzmann digolongkan sebagai Statistika Klasik artinya
hukum-hukum fisika klasik (Mekanika Newtonian) berlaku. Sedangkan Distribusi B-E
dan F-D merupakan Statistika Kuantum, artinya hukum-hukum kuantum berlaku pada
statistika tersebut.
Dalam penggunaan jenis statistik didasarkan pada jenis penyusun partikel:
 Hukum Distribusi Statistik Maxwell – Boltzmann (M-B) : partikel identik tidak
dapat dibedakan
 Hukum Distribusi Statistik Bose – Einstein (B-E) dan Hukum Distribusi Statistik
Fermi – Dirac (F-D): partikel tidak dapat dibedakan

3. Aplikasi Statistika Bose-Einstein | 2
Pada Statistika Bose – Einstein tidak berlaku larangan Paulli atinya tida ada
pembatasan jumlah partikel yang berada pada suatu status atau keadaan. Sedangkan
Statistika Fermi – Dirac berlaku Asas larangan Paulli.
Fisika statistik banyak diaplikasikan dalam bidang fisika lainnya, antara lain fisika zat
padat, fisika kuantum dan lain-lain. Tetapi dalam paper ini yang akan dibahas hanya
aplikasi Distribusi Statistik Bose-Einstein pada kapasitas termal zat padat.

4. Aplikasi Statistika Bose-Einstein | 3
BAB II
APLIKASI STATISTIKA BOSE-EINSTEIN
1. Hukum Distribusi Statistik Bose-Einstein
Syarat berlakunya hukum distribusi Bose-Einstein adalah sebagai berikut:
 Berlaku untuk partikel-partikel Boson, yaitu semua partikel yang memiliki fungsi
gelombang simetrik: foton, fonon, 4
He dan lain-lain
 Partikel identik tidak dapat dibedakan
 Statistik kuantum
 Tidak berlaku Asas Pauli (tidak ada pembatasan jumlah partikel yang dapat
menempati suatu status)
Hukum Distribusi Bose-Einstein
� =
� � − 1
Dengan � = 1 �� =
Jika suhu rendah maka nilai � �
⋙ 1 sehingga pada kondisi tersebut Hukum
Distribusi Bose-Einstein sama dengan Hukum Distribusi Maxwell – Boltzmann.
Fungsi Distribusi Bose-Einstein
=
1
− 1
2. Kapasitas Termal Zat Padat
Atom-atom pada zat padat tidaklah diam akan tetapi bergetar pada
kedudukan setimbangnya. Energi yang ditimbulkan akibat getaran tersebut sangat
berperan dalam menentukan sifat termal zat padat khususnya untuk bahan yang
bersifat isolator non magnetik. Sedangkan kontribusi lainnya berupa konduksi
elektron terjadi pada bahan logam, dan keberaturan magnetik terjadi pada bahan
magnet.

5. Aplikasi Statistika Bose-Einstein | 4
2.1. Eksperimen Dulong - Petit
Menurut Dulong-Petit (1920), kapasitas termal padatan unsur adalah hampir
sama untuk semua unsur, yaitu sekitar 5,97 cal/mol 0
K. Boltzmann, setengah abad
kemudian, menunjukkan bahwa angka yang dihasilkan oleh Dulong-Petit dapat
ditelusuri melalui pandangan bahwa energi dalam padatan tersimpan dalam atom-
atomnya yang bervibrasi. Energi atom-atom ini diturunkan dari teori kinetik gas.
Molekul gas ideal memiliki tiga derajat kebebasan dengan energi kinetik rata-rata
per derajat kebebasan adalah yang merupakan total energi potensial
1
2
dan
energy kinetik
1
2
sehingga energi kinetik rata-rata dalam tiga dimensi adalah
3 . Energi per mole adalah
= 3�� = 3�
Dengan NA = bilangan Avogadro
k = konstanta Boltzmann
Kapasitas termal pada volume konstan
� =
�
�
= 3�
Sehingga Cv = 3R = 5,97 kal/mol 0
K.
Angka inilah yang diperoleh oleh Dulong-Petit. Pada umumnya hukum
Dulong-Petit cukup teliti untuk temperatur di atas temperatur kamar. Namun
beberapa unsur memiliki kapasitas termal pada temperatur kamar yang lebih
rendah dari angka Dulong-Petit, misalnya B, Be, C, Si. Pada temperatur yang sangat
rendah kapasitas termal semua unsur menuju nol.
2.2. Teori Einstein
Einstein merumuskan Cv secara kuantum dengan asumsi bahwa atom-atom
kristal sebagai vibrator yang bergetar bebas satu sama lain disekitar kedudukan -
setimbangnya. Seakan-akan didalam 1 mol terdapat NA buah atau yang bebas dan
terikat pada titik setimbang tersebut.

6. Aplikasi Statistika Bose-Einstein | 5
Zat padat dipandang sebagai kumpulan osilator harmonis, maasing-masing bergetar
dengan frekuensi yang sama. Energy osilator terkuantisasi sebagai berikut :
= �.
Energi rata-rata osilator
=
�. .
∞
0
−�
−�
∞
0
=
− 1
Energi 1 mol zat adalah
= 3��
− 1
Sehingga
� =
�
�
=
�
�
3��
− 1
= 3��
�
�
1
− 1
= 3��
2
− 1 2
= 3�� 2 − 1 2
= 3�
2
− 1 2
Jadi kapasitas kalor Einstein
� = �
�
��
� ��
� �� −
 Pada suhu tinggi
= − 1 ≈ 1 +
=
− 1
=
1 + − 1
=

7. Aplikasi Statistika Bose-Einstein | 6
Maka
� =
�
��
���� = ��� = �
 Pada suhu rendah
1
Sehingga
� = 3�
2
− 1 2
� = 3�
2
2
� = �
�
��
−� ��
Oleh karena itu Cv mendekati nol pada suhu-suhu rendah. Dan apabila → 0 maka
Cv mendekati nol secara eksponensial.
Teori Einstein diuji secara eksperimen ole Nernst. Dalam ekaperimen pada
suhu-suhu rendah, didapat Cv tidak mendekati nol secara eksponensial
� ~ 3
. Disinilah letak kelemahan teori Einstein.
Gambar.1 Grafik Cv terhadap perubahan temperature model Einstein dan eksperimen
T
Einstein
Eksperimen
Cv
3R

8. Aplikasi Statistika Bose-Einstein | 7
2.3. Teori Debye
Debye beranggapan bahwa tiap atom sebagai vibrator bergetar dengan
frekuensi yang tidak sama dan ada frekuensi maksimum karena jumlah ragam
frekuensi keseluruhan tidak boleh melebihi 3N.
Bila Kristal mempunyai 3N atom yang bervibrasi 3-D maka system tersebut
mempunyai 3N derajat kebebasan. Getarannya akan mempunyai 3N ragam vibrasi
yang masing-masing vibrator mempunyai frekuensi tertentu. Sehingga energi total
sistem tersebut
= �
3�
�=1
=
− 1
3�
�=1
Bentuk tersebut oleh Debye disederhanakan dengan pendekatan dari bentuk diskrit
kedalam bentuk kontinu pada tahun 1912 sehingga menjadi bentuk integral:
=
− 1
∞
0
Dengan rapat keadaan. Pemikiran ini didasarkan pada kenyataan bahwa
ragam frekuensi didalam Kristal sesuai dengan rambatan gelombang bunyi yang
merupakan gelombang elastik berfrekuensi rendah. Kuantum energy gelombang
elastic dalam zat padat disebut fonon. Dalam hal ini panjang gelombang bunyi
sangat besar dibandingkan jarak antar atom. Sehingga kediskritan susunan atom
dalam Kristal dapat diabaikandan menggantikannya dengan medium elastik yang
homogen.
Dengan
= 4� 2
1
��
3
+
1
� 3
Untuk 1 mol zat
3�
0
= 3�
4� 2
1
��
3
+
1
� 3
3�
0
= 3�
4� 2
1
��
3
+
1
� 3
=
9�
3

9. Aplikasi Statistika Bose-Einstein | 8
Sehingga
=
9�
3
2
Maka energi tiap molnya adalah
=
− 1
∞
0
=
− 1
0
9��
3
2
=
9��
3
3
− 1
0
Maka kapasitas termal
� =
�
�
9��
3
3
− 1
0
� =
9��
3
�
�
3
− 1
0
� =
9��
2
3 2
4
− 1 2
0
Jika
� = � = ; = � → = �
� =
9��
2
3 2
�4 �
� − 1 2
�
0
5
�
� =
9��
2
3 2
5
�4 �
� − 1 2
�
0
�
� = 9�
3
�4 �
� − 1 2
�
0
�

10. Aplikasi Statistika Bose-Einstein | 9
� = ��
�
�
� �
� −
�
�
�
 Pada suhu tinggi
�
1 maka secara pendekatan
�
≈ 1 + � ≈ 1
� = 9�
�
3
�4
1 + � − 1 2
�
0
�
� = 9�
�
3
�2
�
0
�
Maka
� = 9�
�
3
1
3
� 3
→ � = �
Harga ini sama dengan teori klasik yang dikemukakan oleh Dulong Petit dan
Einstein.
 Pada suhu rendah
�
→ ∞ maka secara pendekatan
�4 �
� − 1 2
�
0
� ≈
�4 �
� − 1 2
∞
0
� = 24
1
�4
∞
1
=
4�4
15
1
�4
∞
1
=
�4
90
Maka
� = 9�
�
3
4�4
15
� = � �
�
�
Ini merupakan pendekatan yang baik karena mendekati hasil eksperimen.

11. Aplikasi Statistika Bose-Einstein | 10
BAB III
SIMPULAN
Dari latar belakang dan pembahasan Aplikasi Statistika Bose Einstein diatas maka
dapat diambil kesimpulan:
1. Fisika Statistik selalu dimulai dengan sifat-sifat mikroskopik atau atom dalam sistem
untuk menyelidiki sifat makroskopik sistem.
2. Dalam Fisika Statistik dikenal 3 Hukum distribusi Statistik
 Hukum Distribusi Statistik Maxwell – Boltzmann (M-B) → Mekanika Kuantum
 Hukum Distribusi Statistik Bose – Einstein (B-E) → Mekanika Kuantum
 Hukum Distribusi Statistik Fermi – Dirac (F-D) → Mekanika Kuantum
3. Kelemahan teori kapasitas termal Einstein terletak pada kesalahan Einstein
mengambil asumsi bahwa setiap atom sebagai vibrator bergetar dengan frekuensi
yang sama dan nilai frekuensi yang dibolehkan dari nol sampai tak hinnga. Sehinga
pada suhu-suhu rendah nilai Cv Einstein berbeda dari Cv Eksperimen.
4. Teori kapasitas termal dari Debye adalah teori yang paling baik karena mendekati
hasil eksperimen baik pada suhu rendah maupun pada suhu tinggi. Hal ini disebabkan
karena asumsi yang diambil Debye bahwa tiap atom bergetar dengan frekuensi
berbeda dan ada frekuensi maksimum.
Gambar.2 Perbandingan model Debye dan Einstein
T
Einstein
Debye
Cv
3R