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D上の関数の極値の問題
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D上の関数の極値の問題
1.
次の2変数関数f(x,y)の領域D上での極値を求めえよ。 f(x,y)=sin x sin
y sin (x + y) D={(𝑥, 𝑦)| − 𝜋 2 < 𝑥 < 𝜋 2 , − 𝜋 2 < 𝑦 < 𝜋 2 }
2.
次の2変数関数f(x,y)の領域D上での極値を求めえよ。 f(x,y)=sin x sin
y sin (x + y) D={(𝑥, 𝑦)| − 𝜋 2 < 𝑥 < 𝜋 2 , − 𝜋 2 < 𝑦 < 𝜋 2 } 計算 𝑓𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑦𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 𝑦 fy = sinxsin x + 2y fxx = 2sinycos 2x + y fyx = fxy = sin 2x + y fyy = 2sinxcos(x + 2y) となる。H=fxx 𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑥とする。 極値の候補はfx = fy = 0 (x,y)=(0,0)の時 fxx = fyy = fxy = 0からヘッシアンから極値であるか判断できないが、 (0,0)の近傍でf(x,y)はプラスにもマイナスにも丸ので極値でない。 例えばy=-xの時0 x=yの時プラスにもマイナスにもなっている。 x≠0の時 x+2y=0 or±π X+2y=0の時 𝑓𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑦𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 𝑦 =0からy=±π/2 (x,y)=(-(±)2π/3,±π/2)となり (x,y)=(-2π/3,+π/2)のときfxx<0 fyy<0 fxy<0H=9/4>0で極大値でf(x,y)= 3 8 3 (x,y)=(+2π/3,-π/2)のときfxx>0 fyy>0 fxy>0H=9/4>0で極小値でf(x,y)=- 3 8 3
3.
x≠0の時 x+2y=πも同様に (π/3,π/3)で極大値f (π/3,π/3)= 3 8 3 x+2y=-πも同様に (-π/3,-π/3)で極小値f (-π/3,-π/3)=- 3 8 3
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