(a,b]位相とコンパクト性

1. 実数全体の集合 R において, 右半開区間全体の集合を B とする. すなわち, B = {[a, b) | a, b ∈ R, a < b}.
B で生成される開集合系を O とする. このとき, 位相空間 (R, O) について次は正しいか. 理由をつけて答えよ.
(1) 位相空間 (R, O) はハウスドルフ空間である.
答え ハウスドルフである
証明
全ての相違なる2点xyに対して半径d(x,y)/2以下のO上の近傍を取れば分離できる。
(2) 位相空間 (R, O) は連結である.
答え 連結でない
証明
Xの部分集合Aが連結であるとはXの開集合U、VでA⊂UUV A∩U∩V＝空集合 A∩U≠空集合 A∩V≠空集合
となるものが存在しないことである。[斎藤]集合と位相参照
V=[-∞,a) U= [a, ∞) とすれば上記を満たすので連結でない。
(3) 閉区間 [0, 1] は位相空間 (R, O) のコンパクト集合である.
答えコンパクトでない。
証明
U(i)=[i/(i+2),(i-1)/(i+1))とすれば[0,1]⊂𝑈𝑖=0から∞
𝑈 𝑖 U[1,2)は無限個の開被覆であるが、１つでも取り去ると開
被覆でない。よってコンパクトでない。