Makalah ini membahas penerapan sistem persamaan linear aljabar max-plus dalam mengoptimalisasi waktu produksi bakpia Pathok Jaya "25". Sistem linear max-plus waktu invariant dapat digunakan untuk memodelkan dinamika waktu sistem produksi dengan ketidakpastian waktu aktivitas. Teorema input-output sistem linear max-plus waktu invariant digunakan untuk menentukan hubungan antara masukan dan keluaran sistem produksi.

1. Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Oktober 2012
APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
DALAM MENGOPTIMALISASI WAKTU PRODUKSI
BAKPIA PATHOK JAYA “25” DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA
Mustofa Arifin1) dan Musthofa2)
1) Mahasiswa Program Studi Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
2) Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
Email: mustofamath08@gmail.com, musthofa@uny.ac.id
Abstrak
Sistem linear max-plus waktu invariant (SLMI) merupakan Sistem Event
Diskret (SED), di mana waktu aktifitasnya berupa bilangan real. Dalam sistem linear
max-plus waktu invariant (SLMI) terdapat ketidakpastian dalam waktu aktifitasnya,
sehingga waktu aktifitas ini dimodelkan sebagai bilangan real. Makalah ini
membahas tentang penerapan SLMI pada sistem produksi sederhana Bakpia Pathok
Jaya “25” yang bertujuan untuk dalam mengoptimalisasi waktu produksi Bakpia
Pathok Jaya “25” dalam perhitungannya digunakan program matlab.
Kata kunci: Aplikasi, aljabar max-plus, optimalisasi waktu produksi.
Abstract
Max-plus linear system is time invariant (SLMI) is a Discrete Event System
(SED), at which time the activity in the form of real numbers. In the max-plus linear
system time invariant (SLMI) there is uncertainty in the activity, so the activity is
modeled as a real number. This paper focuses on the application of SLMI on a simple
production system Bakpia Pathok Jaya "25" which aims to optimize production time
in Bakpia Pathok Jaya "25" is used in the calculation matlab program.
Keywords: Application, max-plus algebra, optimization of production time.
PENDAHULUAN
Dalam masalah pemodelan dan optimalisasi suatu sistem produksi, terdapat waktu aktifitas yang
belum diketahui. Hal ini misalkan karena sistem produksi masih pada tahap perancangan, data-data mengenai
waktu aktifitas belum diketahui secara pasti maupun distribusinya. Waktu aktifitas ini dapat diperkirakan
berdasarkan pengalaman maupun pendapat dari para ahli maupun operator sistem produksi tersebut. Untuk
itu waktu aktifitas sistem produksi dimodelkan dalam suatu waktu, yang disebut waktu aktifitas (Rudhito,
2003).
Aljabar max-plus (himpunan ¡ ∪ {−∞} dengan ¡ himpunan semua bilangan real yang
dilengkapi dengan operasi maksimum, dinotasikan dengan ⊕ dan operasi penjumlahan yang dinotasikan
dengan ⊗ ) telah dapat digunakan dengan baik untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah-
masalah jaringan, seperti masalah: penjadwalan (proyek),sistem antrian, teori graf, kombinatorik, teori
sistem, teori antrian, dan proses stokastik, lebih detailnya dapat dilihat pada seperti B. De Schutter, et.al
(1998), Heidergott (1999), Bacelli,et.al (2001), Kasie G. Farlow, (2009), dan Rudhito, A. (2003) dan hal
tersebut dijadikan acuan pada makalah ini. Secara khusus makalah ini akan membahas mengenai penerapan
Sistem Linear Max-Plus Waktu Invariant dalam mengoptimalisasi waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya ”25”.
SISTEM EVENT DISKRET (SED)
Aljabar max-plus dapat digunakan untuk menggambarkan secara linear dinamika waktu dari suatu
sistem nonlinear dalam aljabar konvensional, sehingga pembahasan menjadi lebih mudah (Kasie G. Farlow,
2009:11). Pendekatan aljabar max-plus berguna untuk menentukan dan menganalisa berbagai sifat sistem ,
tetapi pendekatan hanya bisa diterapkan pada sebagian klas SED. Sub klas ini adalah sub klas dari waktu
invariant SED deterministik.
Menurut Necoara et.al. (2008: 1), dalam SED keadaan sistem pasti akan bergantung dengan waktu.
Setiap waktu bertambah, maka keadaan sistem dipastikan berubah pula. Sistem yang demikian ini disebut
M–1

2. SLMI SISO
dengan sistem terkendali waktu (time-driven system). Selain sistem tersebut, sering dijumpai pula suatu
sistem yang berkembang berdasarkan kemunculan kejadiannya. Transisi keadaan merupakan hasil dari
kejadian lain yang selaras (kejadian-kejadian yang bertindak sebagai kejadian input bagi transisi keadaan
yang bersangkutan). Dengan kata lain, perubahan keadaan merupakan hasil dari kejadian sebelumnya. Sistem
seperti ini disebut dengan sistem terkendali kejadian (event-driven system).
Tujuan utama dari jenis sistem event diskret dapat dijabarkan menggunakan model Sistem Linear
Max-Plus Waktu invariant sebagai berikut:
x( k +1) = A ⊗x( k ) ⊕B ⊗u ( k ) ………..(1)
y ( k ) =C ⊗x (k ) ………….……………….(2)
SISTEM LINEAR MAX-PLUS WAKTU INVARIANT
Sebuah sistem dikatakan waktu invariant jika respon terhadap suatu urutan input tertentu tidak
tergantung pada waktu mutlak dan deterministik adalah sistem yang operasinya dapat diprediksi secara tepat.
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dan teorema yang memenuhi SLMI:
Definisi 9 (Schutter, 1996 : 156)
Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant adalah SED (Sistem Event Diskret) yang dapat dinyatakan
dengan persamaan berikut:
x(k+1) = A ⊗ x(k) ⊕ B ⊗ u(k+1)……..(9.1)
y(k) = C ⊗ x(k)……….……………… (9.2)
untuk k = 1, 2, 3, ... , dengan kondisi awal x(0) = x0, A ∈ R max , B ∈ R max , dan C ∈ R max . Vektor x(k)∈
n× n n× m l ×n
R n menyatakan keadaan (state), u(k)∈ R m adalah vektor input, dan y(k)∈ R lmax adalah vektor output
max max
sistem saat waktu ke-k.
SLMI seperti dalam definisi di atas secara singkat akan dituliskan dengan SLMI (A, B, C) dan
dituliskan dengan SLMI (A, B, C, x0), jika kondisi awal x(0) = x0 diberikan. SLMI dengan satu input dan
satu output akan disebut SLMI satu input satu output (SISO). Akan tetapi, SLMI dengan lebih dari satu
input dan lebih dari satu output akan disebut SLMI multi input multi output (MIMO).
Teorema 7 (Input-Output SLMI (A, B, C, x0 )) (Schutter, 1996 : 161)
Diberikan suatu bilangan bulat positip p. Jika vektor output y = [y(1), y(2), ... , y(p)] T dan vektor
input u = [u(1), u(2), ... , u(p)] T pada SLMI (A, B, C, x0 ) , maka
y = K ⊗ x0 ⊕ H ⊗ u
dengan
 C ⊗A   C ⊗B ε Lε 
C ⊗ A⊗2   C ⊗ A⊗B C ⊗B Lε 
K =  dan H =  
 M   M M O M 
 ⊗p   ⊗ p −1 
C ⊗ A  C ⊗ A ⊗B C ⊗ A ⊗ p −2 ⊗ B L C ⊗ B 
Bukti:
Jika diberikan kondisi awal x(0) = x0 dan barisan input {u ( k )}∞ 0 , dengan induksi matematik
k=
k
akan dibuktikan berlaku x(k) = ( A ⊗k ⊗ x(0) ) ⊕ ( ⊕( A
i=1
⊗k − i ⊗ B ⊗ u(i) ) untuk k = 1, 2, 3, .......
(7.1)
0
Diperhatikan bahwa x(1) = A⊗ x(0)⊕B⊗ u(1) = A ⊗ x(0)⊕ A ⊗ ⊗B⊗u(1)
1
= ( A ⊗1 ⊗ x(0) ) ⊕ ( ⊕( A
i=1
⊗1−i ⊗ B ⊗ u(i) ).
Jadi, (7.1) benar untuk k = 1.
M–2

3. Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Oktober 2012
n
Misalkan benar untuk k = n yaitu x(n)=( A ⊗n ⊗ x(0))⊕( ⊕A
i=1
( ⊗n −i ⊗B⊗u(i))
maka x(n +1) = A ⊗ x(n) ⊕ B ⊗ u(n +1)
n
= A ⊗ (( A ⊗n ⊗ x(0)) ⊕ ( ⊕A
i=1
( ⊗n −i ⊗ B ⊗u(i)))⊕B ⊗u(n+1)
n
= (( A ⊗n +1 ⊗ x(0))⊕( ⊕A
i=1
( ⊗ ( n +1) −i ⊗ B ⊗ u(i)))⊕B ⊗u(n +1)
n+1
= (( A ⊗n +1 ⊗ x(0))⊕( ⊕( A
i=1
⊗ ( n +1) −i ⊗ B ⊗ u(i)))B⊗u(n+1).
Jadi, (7.1) benar untuk k = n +1.
Akibatnya diperoleh
k
y(k) = (C ⊗ A ⊗k ⊗ x(0)) ⊕ ( ⊕ A
i=1
C⊗ ⊗k −i ⊗ B ⊗ u(i)…………….(7.2)
untuk k = 1, 2, 3, ... .
Diberikan suatu bilangan bulat positip p. Jika didefinisikan y = [y(1), y(2), ... , y(p)]T dan u = [u(1), u(2), ... ,
y(p)]T maka dari persamaan (7.2) diperoleh:
y(1) = C ⊗ A ⊗ x(0) ⊕ C ⊗ B ⊗ u(1)
2
y(2) = C ⊗ A ⊗ ⊗ x(0) ⊕ C ⊗ A ⊗B ⊗ u(1) ⊕ C ⊗ B ⊗ u(2)
M
p p −1 p −2
y(p) = C ⊗ A ⊗ ⊗ x(0) ⊕ C ⊗ A ⊗ ⊗B ⊗ u(1) ⊕ C ⊗ A ⊗ ⊗B ⊗ u(2) ⊕ … ⊕ C ⊗ B ⊗
u(p).
Dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
 y (1)   C ⊗ A   C ⊗B ε L ε 
 y (2)   C ⊗ A ⊗ 2   C ⊗ A⊗B C ⊗B L ε 
 =   ⊗x(0)⊕  ⊗
 M   M   M M O M 
   p  ⊗ p −1 ⊗ p −2 
 y ( p )  C ⊗ A ⊗  C ⊗ A ⊗B C⊗A ⊗B L C ⊗ B
u (1) 
u (2) 
 
 M 
 
u ( p) 
atau y = K ⊗ x(0) ⊕ H ⊗ u ………………….(7.3) dengan
 C ⊗A   C ⊗B ε Lε 
C ⊗ A⊗2   C ⊗ A⊗B C ⊗B Lε 
K =  dan H =  
 M   M M O M 
 ⊗p   ⊗ p −1 
C ⊗ A  C ⊗ A ⊗B C ⊗ A ⊗ p −2 ⊗ B L C ⊗ B 
Dalam sistem produksi, Teorema 7 berarti bahwa jika diketahui kondisi awal sistem dan barisan
waktu saat bahan mentah dimasukkan ke sistem, maka dapat ditentukan barisan waktu saat produk selesai
diproses dan meninggalkan sistem.
Akibat 6 Input-Output SLMI (A, B, C, ε )(Schutter, 1996: 86)
Diberikan suatu bilangan bulat positip p. Jika vektor output y = [y(1), y(2), ... , y(p)] T dan vektor
input u = [u(1), u(2), ... , u(p)] T pada SLMI (A, B, C, ε ) , maka
M–3

4. SLMI SISO
 C ⊗B ε L ε 
 C ⊗ A⊗B C ⊗B L ε 
y = H ⊗ u dengan H =  .
 M M O M 
 ⊗ p −1 ⊗ p −2 
C ⊗ A ⊗B C⊗A ⊗B L C ⊗ B
Bukti: Seperti bukti Teorema 7, dengan mengambil x0 = ε .
Dalam sistem produksi, SLMI (A, B, C, ε ) merupakan keadaan awal sistem. Semua penyangga
dalam keadaan kosong dan tidak ada unit pemrosesan yang memuat bahan mentah atau produk setengah jadi.
Teorema 8 (Rudhito, 2003: 62)
Penyelesaian masalah input paling lambat pada SLMI(A, B, C, ɛ) dengan C ⊗ B ≠ ɛ diberikan oleh
u = [u (1), u (2),..., u ( p )]T dengan −u k ) = max(−y (i ) + H i , k ) , untuk k = 1, 2, …, p.
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(
1≤i ≤ p
Bukti:
K ⊗ ɛ = ɛ, maka K ⊗ ɛ ⊕ H ⊗ u = H ⊗ u. Hal ini mengakibatkan masalah input paling lambat pada
SLMI (A, B, C, ɛ) menjadi masalah menentukan vektor input u terbesar (waktu paling lambat) yang
memenuhi H ⊗ u ≤m y. Masalah ini merupakan masalah menentukan sub penyelesaian terbesar sistem
persamaan linear max-plus H ⊗ u = y. C ⊗ B ≠ ɛ maka komponen setiap kolom matriks H tidak semuanya
sama dengan ɛ. Menurut Teorema 8, apabila H ⊗ u = y diberikan oleh u =[u (1), u (2),..., u ( p)]T dengan
ˆ ˆ ˆ ˆ
−u k ) = max(− y (i) + H i , k ) , untuk k = 1, 2, …, p.
ˆ(
1≤i ≤ p
Teorema 9 (Rudhito, 2003: 64)
Diberikan SLMI (A, B, C, x0) dengan C ⊗ B ≠ ɛ. Jika K ⊗ x0 ≤m y, maka penyelesaian masalah
input paling lambat pada SLMI (A, B, C, x0) diberikan oleh u =[u (1), u (2),..., u ( p )]T dengan
ˆ ˆ ˆ ˆ
−u k ) = max(− y (i) + H i , k ) , untuk k = 1, 2, …, p.
ˆ(
1≤i ≤ p
Bukti:
K ⊗ x0 ≤ m y, maka K ⊗ x0 ⊕ H ⊗ u = y ⇔ H ⊗ u = y. Selanjutnya bukti seperti pada Teorema 8
di atas.
Berikut dibahas mengenai masalah minimisasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C, x0).
Masalah minimisasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C, x0) adalah sebagai berikut.
Teorema 10 (Rudhito, 2003: 65)
Penyelesaian masalah minimasi simpangan maksimum output pada SLMI(A, B, C, ɛ) dengan C ⊗
δ
B ≠ ɛ diberikan oleh u = u ⊗
% ˆ dengan ˆ
u merupakan subpeyelesaian terbesar sistem H ⊗ u = y dan
2
δ = max ( y − H ⊗ u )i .
ˆ
i
Bukti:
K ⊗ ɛ = ɛ, maka K ⊗ ɛ ⊕ H ⊗ u = H ⊗ u. Hal ini mengakibatkan masalah minimasi simpangan
maksimum output ini jadi menentukan vektor input u sedemikian sehingga max ( y − H ⊗ U )i . Masalah
i
ini merupakan masalah optimisasi yang berkaitan dengan sistem persamaan linear max-plus H ⊗ u = y.
Karena C ⊗ B ≠ ɛ maka komponen setiap kolom matriks H tidak semuanya sama dengan ɛ. Menurut
δ
Teorema 2.5, suatu penyelesaian u untuk masalah
% u =u ⊗
% ˆ , dengan δ = max ( y − H ⊗u )i dan
ˆ ˆ
u
2 i
merupakan subpenyelesaian terbesar sistem H ⊗ u = y.
Pembahasan penyelesaian masalah minimasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C, ɛ)
di atas juga dapat diperluas untuk SLMI (A, B, C, x0) dengan x0 ≠ ɛ, seperti diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 11 (Rudhito, 2003: 67)
Diberikan SLMI (A, B, C, x0) dengan C ⊗ B ≠ ɛ. Jika K ⊗ x0 ≤m y, maka penyelesaian masalah
M–4

5. Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Oktober 2012
δ
minimasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C, x0) diberikan oleh u = u ⊗
% ˆ dengan ˆ
u
2
merupakan subpenyelesaian terbesar sistem H ⊗ u = y dan δ = max ( y − H ⊗u )i .
i
ˆ
Bukti:
K ⊗ x0 ≤ m y, maka maka K ⊗ x0 ⊕ H ⊗ u = y ⇔ H ⊗ u = y. Selanjutnya bukti seperti pada
Teorema 9 di atas.
Asumsi-Asumsi Dalam Sistem Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”
Penggunaan SLMI pada sistem produksi Bakpia Pathok Jaya “25” ini diasumsikan sebagai berikut:
1. Waktu perhitungan dilakukan untuk proses produksi secara kontinu.
2. Waktu untuk mempersiapkan bahan-bahan yang akan diproses tidak diperhatikan atau dianggap
0 (u(1) = 0) dimana k = 0 sehingga k dimulai dari 1, 2, 3 …..
3. Waktu dibatasi sampai barang siap untuk dipasarkan sehingga dalam hal ini t ke-16 bernilai 0.
4. Pada input sistem dan antara unit pemrosesan terdapat penyangga (buffer) yang berturut-turut
disebut buffer input dan buffer internal, dengan kapasitas yang cukup besar untuk menjamin
tidak ada penyangga yang meluap (overflow).
5. Suatu unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja untuk suatu produk baru jika telah
menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya.
6. Mesin-mesin bisa bekerja pada kondisi awal dan untuk berikutnya tidak perlu menunggu
kedatangan input karena input sudah selalu tersedia.
7. Suatu unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja untuk suatu produk baru, jika ia telah
menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya.
8. Matriks dalam sistem persamaannya merupakan matriks konstan, yaitu tidak tergantung pada
parameter k sehingga sistemnya merupakan sistem waktu invariant.
9. Dalam sekali produksi menggunakan 200 kg kacang hijau.
10. Diasumsikan kegiatan Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” dilakukan dengan jadwal produksi
yang periodik.
11. Proses produksi tidak mengalami gangguan dan tidak mengalami cacat pada produk.
12. Diasumsikan lama waktu yang dibutuhkan pada proses pengayakan tepung, pembungkusan
bakpia, dan pengepakan bakpia sama untuk pemesanan bakpia dalam jumlah tertentu.
13. Pemesanan bakpia (pack) hanya dalam jangka waktu sehari dibatasi.
14. Diasumsikan kegiatan Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” tidak mendahului jadwal yang telah
ditentukan.
15. Waktu referensi yang digunakan untuk memulai kegiatan produksi Bakpia Pathok Jaya “25”
adalah pukul 07.00 WIB.
16. Sistem kerja dibuat per-shift, sehingga tenaga pekerja tidak terlalu terforsir (waktu istirahat
tersedia).
Bagan Pemodelan Produksi Bakpia Pathok “25”
Berdasarkan hasil penelitian produksi Bakpia Pathok Jaya dapat digambarkan dalam bentuk bagan
seperti di bawah ini (Gambar 1).
M–5

6. SLMI SISO
Gambar 1. Bagan Pemodelan Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”
Keterangan :
ti = waktu proses pemindahan bahan yang akan diproses, i = 1,2, 3,….16
d1 = waktu saat proses penggilingan kacang hijau
d2 = waktu saat proses pengayakan tepung
d3 = waktu saat proses perendaman kacang hijau
d4 = waktu saat proses pencampuran adonan kulit bakpia
d5 = waktu saat proses pemisahan kulit kacang hijau
d6 = waktu saat proses pengepressan adonan kulit bakpia
d7 = waktu saat proses pengukusan kacang hijau
d8 = waktu saat proses pembentukan kulit bakpia
d9 = waktu saat proses penggilingan kacang hijau yang telah dikukus
d10=waktu saat proses pencampuran adonan kacang hijau dengan minyak, gula dan garam
d11 = waktu pendinginan 1 adonan kacang hijau
d12 = waktu pendinginan 2 adonan kacang hijau
d13=waktu proses pembungkusan adonan kacang hijau dengan kulitnya
d14 = waktu proses pemanggangan bakpia
d15 = waktu proses pengepakan bakpia
P1 = penggilingan kacang hijau
P2 = pengayakan tepung
P3 = perendaman kacang hijau
P4 = pencampuran adonan kulit bakpia
P5 = pemisahan kulit kacang hijau
P6 = pengepressan adonan kulit bakpia
P7 = pengukusan kacang hijau
P8 = pembentukan kulit bakpia
P9 = penggilingan kacang hijau yang telah dikukus
P10 = pencampuran adonan kacang hijau dengan minyak, gula dan garam
P11 = pendinginan 1 adonan kacang hijau
P12 = pendinginan 2 adonan kacang hijau
P13 = pembungkusan adonan kacang hijau dengan kulitnya
P14 = pemanggangan bakpia
P15 = pengepakan bakpia
Pemodelan Sistem Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” dengan SLMI Aljabar Max-Plus
Sistem Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” ini terdiri dari 15 unit pemrosesan P1, P2, P3, P4, P5, P6,
P7, P8, P9, P10, P11, P12, P13, P14, dan P15. Kacang hijau dimasukkan ke P1 untuk digiling dan dikirimkan ke P3
untuk dilakukan proses perendaman, dari P3 kemudian dikirimkan sampai dengan P 12 untuk diproses
M–6

7. Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Oktober 2012
pendinginan. Tepung dimasukkan ke P2 untuk dilakukan pengayakan dan dikirimkan sampai dengan P8 untuk
dilakukan pembentukan kulit bakpia. Waktu pemrosesan untuk P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10, P11, P12,
P13, P14,dan P15 berturut-turut adalah d1 = 20, d2 = 20, d3 = 120, d4 = 28, d5 = 30, d6 = 20, d7 = 30, d8 = 25,
d9 = 30, d10 = 30, d11 = 15, d12 = 5, d13 = 15 , d14 = 15, dan d15 = 20 satuan waktu (menit).
Didefinisikan Proses Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” sebagai berikut:
i) u(k+1) : waktu saat bahan baku kacang hijau dan tepung dimasukkan ke sistem untuk
pemrosesan ke-(k+1),
ii) xi(k) : waktu saat bahan kacang hijau maupun tepung di dilakukan pemrosesan ke-i dan
mulai bekerja untuk pemrosesan ke-k,
iii) y(k) : waktu saat produk bakpia ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem.
Waktu saat P1 mulai bekerja untuk pemrosesan ke-(k+1) dapat ditentukan sebagai berikut. Unit
pemrosesan P1 hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan
pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. . Jika bahan mentah
dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke-(k+1), maka bahan mentah ini tersedia pada input unit
pemrosesan P1 pada waktu t = u(k+1) + 3. P1 hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru
segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k.
Waktu pemrosesan pada P1 adalah d1 = 20 satuan waktu (menit), maka produk setengah-jadi ke-k akan
meninggalkan P1 pada saat t = x1(k) + 20. Menggunakan operasi Aljabar Max-Plus maka diperoleh:
x1(k+1) = max (u(k+1) + 3, x1(k) + 20) untuk k = 1, 2, 3, ...15
Dengan alasan yang sama untuk P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10, P11, P12, P13,
P14,dan P15 waktu saat produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem, diperoleh:
x2(k+1) = max (u(k+1) + 2, x2(k) + 20)
x3(k+1) = max (x1(k+1) + 20 + 2, x3(k) + 120)
= max (max (u(k+1) + 3, x1(k) + 20) + 22, max (u(k+1) + 2, x3(k) + 120)
= max ( u(k+1) + 3 + 22, x1(k) + 20 + 22, u(k+1) + 2 , x3(k) + 120)
= max ( x1(k) + 42, x3(k) + 120, u(k+1) + 25)
x4(k+1) = max (x2(k+1) + 20 + 2, x4(k) + 28)
= max (max (u(k+1) + 2, x2(k) + 20) + 22, max (u(k+1) + 2, x4(k) + 28)
= max ( u(k+1) + 2 + 22, x2(k+1) + 20 + 22, u(k+1) + 2 , x4(k) + 28)
= max ( x2(k) + 44, x4(k) + 28, u(k+1) + 24)
M
x15(k+1) = max (x14(k+1) + 15 + 4, x15(k) + 20)
= max (max (u(k+1) + 324, x1(k) + 341, x3(k) + 318, x5(k) + 206, x7(k) + 172, x9(k) +
138, x10(k) + 107, x11(k) + 58, x12(k) + 31,x2(k) + 142, x4(k) + 116,x6(k) + 78, x8(k) +
71, x13(k) + 33, x14(k) + 15) + 19, max (u(k+1) + 4, x15(k) + 20)
= max (max (u(k+1) + 324 + 19, x1(k) + 341 + 19, x3(k) + 318 + 19, x5(k) + 206+19, x7(k)
+ 172 + 19, x9(k) + 138 + 19, x10(k) + 107 + 19, x11(k) + 58 + 19, x12(k) + 31 + 19, x2(k) +
142 + 19, x4(k) + 116 + 19, x6(k) + 78 + 19, x8(k) + 71+ 19, x13(k) + 33 + 19, x14(k) + 15 +
19), max (u(k+1) + 4, x15(k) + 20)
= max (max (u(k+1) + 343, x1(k) + 360, x3(k) + 337, x5(k) + 225, x7(k) + 191, x9(k) +
157, x10(k) + 126, x11(k) + 76, x12(k) + 50, x2(k) + 161, x4(k) + 135, x6(k) + 96, x8(k) +
90, x13(k) + 52, x14(k) + 34), max (u(k+1) + 4, x15(k) + 20)
= max (u(k+1) + 343, x1(k) + 360, x3(k) + 337, x5(k) + 225, x7(k) + 191, x9(k) +
157, x10(k) + 126, x11(k) + 76, x12(k) + 50, x2(k) + 161, x4(k) + 135, x6(k) + 96,
x8(k) + 90, x13(k) + 52, x14(k) + 34, x15(k) + 20)
y(k) = x15(k) + 20 + 0 untuk k = 1, 2, 3, ... .
Analisis Input-Output SLMI dalam mengoptimalisasi Waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”
Berdasarkan pemodelan sistem persamaan linear aljabar maxplus tersebut dapat dituliskan persamaan
matriks dalam Sistem Linear Max-Plus waktu Invariant, persamaan-persamaannya menjadi:
x ( k +1) = A ⊗x ( k ) ⊕B ⊗ ( k ) ………..(1)
u
y ( k ) =C ⊗x (k ) …………….…………….(2)
Matriks A sebagai sistem produksi Bakpia Pathok Jaya “25” yang sedang berlangsung, matriks B waktu
transfer dari awal bahan baku masuk ke sistem produksi sebelum kejadian ke-i, lalu matriks C waktu
kejadian akhir dan waktu transfer sebelum produk Bakpia Pathok Jaya “25” dapat diambil atau selesai
dikerjakan, dan matriks x sebagai deadline waktu untuk tiap pemroses (mesin/manual) bahan sesuai bahan
yang dimasukkan.
M–7

8. SLMI SISO
 20 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε  3 
 ε 20 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε  2 
   
 42 ε 120 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε  25 
   
 ε 44 ε 28 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε  24 
 165 ε 143 ε 30 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε   148 
   
 ε 74 ε 58 ε 20 ε ε ε ε ε ε ε ε ε  54 
199 ε 177 ε 64 ε 30 ε ε ε ε ε ε ε ε   182 
   
x ( k + 1) =  ε 96 ε 70 ε 42 ε 25 ε ε ε ε ε ε ε  ⊗ x ( k ) ⊕  76  ⊗ u ( k + 1)
 232 ε 210 ε 97 ε 63 ε 30 ε ε ε ε ε ε   215 
   
 264 ε 242 ε 129 ε 95 ε 62 30 ε ε ε ε ε   247 
   
 298 ε 276 ε 163 ε 129 ε 96 64 15 ε ε ε ε   281
 315 ε 292 ε 180 ε 146 ε 112 81 32 5 ε ε ε   298
   
 323 124 300 98 188 60 154 53 120 89 40 13 15 ε ε   306 
 341 142 318 116 206 78 172 71 138 107 58 31 33 15 ε   324 
   
 360
 161 337 135 225 97 191 90 157 126 77 50 52 
34 20   343 
 
y(k) = [ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 20] ⊗ x(k)
untuk k = 1, 2, 3, ..., 15 dengan x(k) = [x1(k), x2(k), x3(k), x4(k), x5(k), x6(k), x7(k), x8(k), x9(k), x10(k), x11(k),
x12(k), x13(k), x14(k), x15(k)] T.Dengan perhitungan program matlab maxio diperoleh lama waktu proses
Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” sebagai berikut:
Tabel 1. Perhitungan Waktu Keadaan dan Output Lama Proses Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”
u(k) 1 2 3 4 5 6 7
10 12
x1 20 40 60 80 140
0 0
10 12
x2 21 41 61 81 141
1 1
16 28 40 52 64
x3 42 762
2 2 2 2 2
10 12 15 18
x4 45 73 213
1 9 7 5
16 19 30 42 54 66
x5 785
5 5 5 5 5 5
10 13 15 18 21
x6 75 243
3 1 9 7 5
19 22 33 45 57 69
x7 819
9 9 9 9 9 9
12 14 17 20 22
x8 97 257
2 7 3 1 9
23 26 37 49 61 73
x9 852
2 2 2 2 2 2
26 29 40 52 64 76
x10 884
4 4 4 4 4 4
29 32 43 55 67 79
x11 918
8 8 8 8 8 8
31 34 45 57 69 81
x12 934
5 5 4 4 4 4
32 35 46 58 70 82
x13 942
3 3 2 2 2 2
34 37 48 60 72 84
x14 960
1 1 0 0 0 0
36 39 49 61 73 85
x15 979
0 0 9 9 9 9
38 41 51 63 75 87
y(k) 999
0 0 9 9 9 9
Waktu maksimal produksi dalam sehari kurang lebih 10 jam (600 menit) dengan waktu kerja
dimulai dari pukul 07.00 – 17.00 wib, dari output tabel 1 dengan waktu penyelesaian produksi (menit) ≤
600 menunjukan bahwa dalam sehari Perusahaan Bakpia Pathok Jaya “25” hanya bisa melakukan 3 kali
produksi bakpia karena keterbatasan waktu dan hal ini juga berarti bahwa jumlah bakpia yang bisa dipesan
dalam jumlah yang terbatas yakni sekitar 3750 pack bakpia isi 20 atau 3000 pack bakpia isi 25.
Berikut ini merupakan penjadwalan waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” secara periodik (isi
20/pack):
Tabel 2. Jadwal Periodik Waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”
Proses Kegiatan Produksi WAKTU MEMULAI PRODUKSI (WIB)
M–8

9. Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Oktober 2012
Produksi ke
1 2 3 4 5 6 7
07.0 07.2 07.4 08.0 08.2 08.4
Penggilingan Kacang Hijau 09.00
0 0 0 0 0 0
07.0 07.2 07.4 08.0 08.2 08.4
Pengayakan Tepung 09.01
1 1 1 1 1 1
07.2 09.2 13.2 15.2 17.2
Perendaman Kacang Hijau 11.22 19.22
2 2 2 2 2
07.2 07.5 08.2 08.4 09.1 09.4
Pencampuran adonan kulit bakpia 10.13
5 3 1 9 7 5
09.2 09.5 13.4 15.4 17.4
Pemisahan kulit kacang hijau 11.45 19.45
5 5 5 5 5
07.5 08.2 08.5 09.1 09.4 10.1
Pengepresan adonan kulit bakpia 10.43
5 3 1 9 7 5
09.5 10.2 12.1 14.1 16.1 18.1
Pengukusan kacang hijau 20.19
9 9 9 9 9 9
08.1 08.4 09.0 09.3 10.0 10.2
Pembentukan kulit bakpia 10.57
7 2 7 3 1 9
10.3 12.5 14.5 16.5 18.5
Penggilingan Kacang Hijau (setelah dikukus) 11.02 20.52
2 2 2 2 2
13.2 14.2 16.2 18.2
Pencampuran adonan kacang hijau 11.04 11.34 20.24
4 4 4 4
12.0 13.5 14.5 16.5 18.5
Pendinginan 1 11.38 20.58
8 8 8 8 8
12.2 14.1 15.1 16.1 18.1
Pendinginan 2 11.55 21.14
5 4 4 4 4
12.0 12.3 14.2 15.2 16.2 18.2
Pembungkusan Adonan kacang hijau dengan kulitnya 21.22
3 3 2 2 2 2
12.2 12.5 14.4 15.4 16.4 18.4
Pemanggangan bakpia 21.40
1 1 0 0 0 0
12.4 13.1 14.5 15.5 16.5 18.5
Pengepakan bakpia 21.59
0 0 9 9 9 9
13.0 13.3 15.1 16.1 17.1 19.1
Pengambilan bakpia (produk jadi) 22.19
0 0 9 9 9 9
Dari hasil output matlab file maxio (penerapan definisi 9 dan teorema 7) dengan input waktu yang
diperlukan saat bahan yang dimasukkan untuk diproses dari saat produksi pertama sampai produksi ke-7,
yang memenuhi untuk kegiatan perharinya dengan waktu kerja yang telah ditentukan dari pukul 07.00 wib sd
pukul 17.00 wib yakni tabel 2. Hal tersebut menunjukkan bahwa ketika produksi bakpia dilakukan secara
maksimal dan kontinu maka hasil bakpia perharinya dapat mencapai optimal pada produksi ke-4.
Dari hasil perhitungan matlab kx0 dan Hu diperoleh bahwa:
K ⊗ x0 = [ 380; 410;519;639;759;879;999;1119;1239;1359;1479;1599;1719;1839;1959]
T
H ⊗ u = [ 363,393,502,622, 742,862,982,1102,1222,1342,1462,1582,1702,1822,1942] maka
T
y = [ 380, 410,519,639,759,879,999,1119,1239,1359,1479,1599,1719,1839,1959] karena K ⊗ x0 > H ⊗ u .
T
Dengan hasil tersebut maka y digunakan sebagai batas minimal untuk mengoptimalisasi waktu
produksi bakpia pada program matlab maxioopt, K ⊗ x0 ≤ m y. Dengan syarat tersebut produsen bakpia dapat
menentukan waktu optimal memulai produksi Bakpia Pathok Jaya “25” agar dapat memenuhi permintaan
konsumen yang telah melakukan pemesanan bakpia dengan menentukan waktu pengambilan bakpia sebelum
proses produksi dimulai. Permasalahan tersebut dapat diatasi dengan menggunakan optimalisasi Aljabar
Max-Plus. Waktu produksi bakpia dapat dilakukan optimalisasi dengan menggunakan program matlab
maxioopt. Misalkan konsumen memesan bakpia berturut-turut dengan waktu (menit) yang telah ditentukan
yakni y = [390, 420, 529, 739, 859, 979, 1099, 1219, 1339, 1459, 1479, 1699, 1919, 2039, 2459] T maka
sebelum produsen menentukan waktu optimal (subpenyelesaian terbesar) memulai kegiatan produksi, dengan
perhitungan matlab (penerapan definid 9, teorema 7, teorema 9 dan teorema 11) diperoleh output maxioopt
yang dapat dilihat seperti di bawah ini :
M–9

10. SLMI SISO
u = H T ⊗ (− y )
ˆ
= [ 17,57,166,376, 496, 616, 736,856, 976,1086,1116,1336,1556,1676, 2096 ]
T
y = K ⊗ x(0) ⊕ H ⊗ u
ˆ ˆ
= [ 380, 420,529, 739,859,979,1099,1219,1339,1449,1479,1699,1919, 2039, 2459 ]
T
u = [ 22, 62,171, 381, 501, 621, 741,861, 981,1091,1121,1341,1561,1681, 2101]
T
%
y = K ⊗ x(0) ⊕ H ⊗ u
% %
= [ 385, 425,534, 744,864,984,1104,1224,1344,1454,1484,1704,1924, 2044, 2464 ]
T
Perhitungan tersebut mempermudah produsen dalam menentukan waktu optimal memulai proses
ˆ
Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”, dalam hal ini u dan u merupakan subpenyelesaian terbesar sekaligus
%
ˆ
waktu optimal dalam sistem produksi. u dan u digunakan untuk menentukan jadwal produksi periodik
%
sehingga waktu produksi Bakpia Pathok Jaya “25” dapat dioptimalisasi.
Tabel 3. Jadwal Pemesanan Bakpia Pathok Jaya “25” dengan Waktu Mulai Memasukan Bahan
Sampai Waktu Pengambilan Produk dalam jangka waktu satu hari (WIB)
Waktu
Waktu tercepat Waktu produksi Waktu terlama Waktu produksi
Pemesanan
pengambilan memulai selesai tercepat memulai produksi selesai terlama
Bakpia
(y)
produksi ˆ
y u
% y
%
ˆ
u
1 Pukul 13.30 Pukul 07.17 Pukul 13.20 Pukul 07.22 Pukul 13.25
2 Pukul 14.00 Pukul 07.57 Pukul 14.00 Pukul 08.02 Pukul 14.05
3 Pukul 15.49 Pukul 09.46 Pukul 15.49 Pukul 09.51 Pukul 15.54
4 Pukul 19.19 Pukul 13.16 Pukul 19.19 Pukul 13.21 Pukul 19.24
Waktu optimal bagi produsen untuk memulai proses Produksi dari tabel 3 untuk pemesanan 1 yakni
dengan memilih u karena dengan memulai produksi pada pukul 07.22 maka konsumen yang telah memesan
%
Bakpia Pathok Jaya “25” dapat mengambil pesanannya pada pukul 13.25 wib atau setelahnya, dari hal
tersebut produsen dapat melayani konsumen tepat waktu dengan menggunakan tabel tersebut sebagai acuan
memulai produksi. Selain itu produsen juga bisa memenuhi pemesanan 2 dan 3 tepat waktu dengan memilih
ˆ
u sebagai waktu optimal (subpenyelesaian terbesar). Produksi keempat dan seterusnya tidak bisa dijadikan
acuan karena telah melewati waktu kerja dalam produksi yaitu pukul 07.00-17.00 wib (kecuali ada kerja
lembur). Penjadwalan yang telah dilakukan seperti pada tabel 3 merupakan penjadwalan yang digunakan
produsen untuk mengoptimalisasi waktu input (memasukan bahan-bahan) dan waktu output (penyelesaian
produk bakpia) sehingga tabel tersebut dapat digunakan sebagai salah satu acuan memulai produksi sehingga
waktu produksi bakpia dapat dioptimalisasi sehingga pemesanan bakpia untuk waktu tertentu (ditentukan
pemesan/konsumen) dapat dilayani tepat waktu.
KESIMPULAN
Dari penelitian ini Metode Sistem Linear Max-Plus Waktu Invarian Satu Input Satu Output (SLMI
SISO) pada Sistem Event Diskret (SED) Aljabar Max-Plus yang diterapkan pada Sistem Produksi Perusahaan
Bakpia Pathok Jaya “25 dapat disimpulkan bahwa :
1. Persamaan x(k+1) = A ⊗ x(k) ⊕ B ⊗ u(k+1) dan y(k) = C ⊗ x(k) untuk k = 1, 2, 3, ...15, dapat
digunakan untuk memodelkan proses Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” (pemodelan sesuai
halaman M-7). Selain itu diperoleh juga jadwal periodik Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”
(tabel 2) yang diharapkan dapat menjadi acuan dalam menentukan waktu memulai produksi dan
waktu penyelesaian produk Bakpia Pathok Jaya “25”.
2. Cara mengoptimalisasi waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” dengan metode Sistem Linear
Max-Plus Waktu Invarian (SLMI) ada 2 cara yakni bagi produsen dapat menentukan waktu
mulai produksi dengan memilih diantara u atau u sehingga waktu penyelesaian produk y
ˆ % ˆ
atau y yang mendekati waktu pengambilan pemesanan yang telah ditentukan oleh konsumen
%
ˆ
(seperti tabel 3). Jadi, produsen dapat memilih u atau u (subpenyelesaian terbesar SLMI pada
%
sistem produksi ini) agar dapat mengoptimalisasi waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”
sehingga hasil produksi dapat memenuhi permintaan konsumen dan pesanan bakpia juga dapat
dilayani tepat waktu.
M–10

11. Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Oktober 2012
Referensi
[1] Anton, Howard & Chris Rorres. (2005). Aljabar Linier Elementer edisi 8. (Alih bahasa : Irzam
Harmein, Julian Gressando, editor : Amalia Safitri). Jakarta: Erlangga.
[2] Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J. and Quadrat, J.P. (2001). Synchronization and Linearity. New York:
John Wiley & Sons.
[3] Butkovic, Peter. (2010). Max-linear systems : Theory and Algorithms. New York : Springer
[4] B. Heidergott, B., dkk. ( 2005). Max Plus at Work Chapter 1. Princeton: Princeton
University Press.
[5] De Schutter, B. (1996). Max-Algebraic System Theory for Discrete Event Systems. PhD Thesis. Leuven:
Department of Electrical Engineering, Katholieke Universiteit.
[6] De Schutter B. and T. van den Boom. (2000). Model predictive control for max-plus-linear discrete-
event systems:Extended report & Addendum. A short version of this report has been published in
Automatica, vol. 37, no. 7, pp. 1049–1056. Faculty of Information Technology and System, Delt
University of Technology, Delft.
[7] Farlow, Kasie G. (2009). Max-Plus Algebra. Thesis submitted to the Faculty of the Virginia Polytechnic
Institute and State University
[8] Necoara I., De Schutter B., T. van den Boom, and H. Hellendoor. (2008). Model Predictive Control for
Uncertain Max-Min-Plus-Scaling Systems. International Journal of Control, vol. 81, no. 5, pp. 701–713.
[9] Siang, Jong Jek. (2002). Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta : Andi.
[10] Rudhito, Andy. (2003). Sistem Linear MaxPlus Waktu Invariant. Tesis tidak diterbitkan. Yogyakarta:
Program Pascasarjana Unversitas Gajah Mada. Yogyakarta.
[11] Rudhito, Andy. (2004). “Semimodul atas Aljabar Max-Plus”. Jurnal Sains dan Teknologi SIGMA, 7 (2):
131-139.
[12] Rudhito, Andy. (2005). “Sistem Persamaan Linear Max-Plus”. Jurnal Sains dan Teknologi SIGMA, 7
(2): 157-164.
[13] Subiono. (2010). Aljabar Maxplus dan Terapannya. Surabaya : Jurusan Matematika, FMIPA-ITS,
Surabaya.
Reviewer, Mengetahui,
Dosen Pembimbing,
Dr. Agus Maman Abadi Musthofa, M.Sc
NIP. 197008281995021001 NIP. 198011072006041001
M–11