El documento describe el cálculo vectorial y sus aplicaciones en ingeniería, con un enfoque en el diseño de carreteras. Explica que el cálculo vectorial se usa para representar fuerzas y movimientos, y resolver sistemas de ecuaciones. También describe cómo se usan curvas de transición, especialmente la clotoide, para diseñar curvas en carreteras de manera segura y estética.
1. Cálculo Vectorial
Es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores
en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto
de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la
física.
Como sabemos los vectores son muy utilizados para representar tanto fuerzas
como movimientos.
Además, también es muy utilizado para resolver sistemas de ecuaciones. Cualquier
problema medianamente complejo de ingeniería puede convertirse a un sistema
de ecuaciones, que mediante cálculo matricial que está relacionado con el cálculo
vectorial, puede resolverse. Dentro de la ingeniería mecánica que es una de las
ramas de la ingeniería industrial, en esta podemos notar que el cálculo vectorial se
usa mucho en problemas de dinámica y cinemática de mecanismos. Es decir, para
analizar el movimiento (como por ejemplo las velocidades, aceleraciones, etc.) de
cada uno de los elementos que forman cualquier tipo de mecanismo se puede ver
desde la suspensión de un automóvil como hasta el complejo brazo de un robot.
Muchos de los universitarios intentamos buscar una justificación de peso para
demostrarnos que esta materia tiene que ver mucho en nuestra carrera y
sobretodo la gran importancia que tiene. Una justificación o demostración para
esto se centra más en los mecanismos que son como conjuntos de cuerpos o piezas
móviles interconectadas entre sí, y sus movimientos y fuerzas, son representadas
mediante vectores, que deben relacionarse entre sí mediante operaciones
relacionadas con el cálculo vectorial.
El cálculo vectorial también es muy utilizado en el cálculo de estructuras de
edificios y de máquinas
Como nos podemos dar cuenta el cálculo vectorial es fundamental para la
ingeniería industrial pero especialmente en la rama de ingeniería mecánica
2. DISEÑO DE CARRETERAS
En la ingeniería civil, una de las principales aplicaciones del cálculo vectorial se
encuentra en la rama del diseño de vías y carreteras, más específicamente, en la
curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda
carretera se compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas
de transición y la curva como tal.
En las rectas, la curvatura es igual a cero; en las curvas de transición, la curvatura
es variable y en la curva como tal, la curvatura es constante. En este blog, se
intentara explicar y hacer un especial énfasis en las curvas de transición, es decir,
con curvatura variable.
FUNCIÓN:
El objetivo principal de las curvas de transición consiste en evitar varias
discontinuidades en la curvatura de la carretera. Teniendo en cuenta esto, las
curvas de transición deben cumplir con las mismas condiciones de seguridad y de
estética de toda la carretera.
FORMA Y CARACTERISTICAS:
En la mayoría de los casos, la curva más aceptada para el diseño de carreteras es la
clotoide. Esta curva se representa por la ecuación:
Donde:
R es el radio de la curvatura en cualquier punto.
L es la longitud de la curva desde su punto de inflexión y el punto de radio R.
A es el parámetro de la clotoide, este es característico de la clotoide.
3. El punto de inflexión de la curvatura se halla en el momento en que el radio es
infinito.
Otros de los elementos que hacen parte de la clotoide son:
Ro es el radio de la curva circular contigua a la clotoide.
Lo es la longitud total de la curva de transición.
ΔRo es el retranqueo de la curva circular.
Xo, Yo son las coordenadas del punto de unión de la clotoide y de la curva circular,
referidas a la tangente y normal a la clotoide en su punto de inflexión.
Xm, Ym son las coordenadas de la curva circular (retranqueada) respecto a los
mismos ejes.
αL es el ángulo de desviación que forma la alineación recta del trazado con la
tangente en un punto de la clotoide. En radianes, este ángulo es = L/2*R. En grados,
4. este ángulo es = 31.83*L/R. αLo es el ángulo de desviación en el punto de
tangencia con la curva circular.
Ω es el ángulo entre las rectas tangentes a dos clotoides consecutivas en sus puntos
de inflexión.
V es el vértice o punto de intersección de las rectas tangentes a dos clotoides
consecutivas en sus puntos de inflexión.
T es la tangente o distancia entre el vértice y el punto de inflexión de la clotoide.
B es la bisectriz o distancia entre el vértice y la curva circular.
LONGITUD MINÍMA:
La curva de transición debe cumplir con una longitud mínima para cumplir con
varios requerimientos, entre estos están:
LIMITACION DE LA VARIACION DE LA ACELERACIÓN CENTRIFUGA EN EL PLANO
HORIZONTAL
La variación aceptada de la aceleración centrípeta y que no es contrarrestada por
el peralte de la carretera, debe tener un valor máximo, denominado J.
Para efectos de cálculo, suponiendo que la clotoide sea recorrida a una velocidad
constante igual a la velocidad especifica de la curva circular asociada de radio
menor, el parámetro A se puede definir como:
Donde:
Ve es la velocidad específica de la curva circular asociada y de radio menor.
J es la variación de la aceleración centrifuga.
R1 es el radio de la curva circular asociada de radio mayor.
R0 es el radio de la curva circular asociada de radio menor.
5. P1 es el peralte de la curva circular asociada de radio mayor.
P0 es el peralte de la curva circular asociada de radio menor.
Teniendo en cuenta esto, la longitud mínima de la curva debe ser:
Los valores de J aceptados para todo trazado están dados por la siguiente tabla:
LIMITACION DE LA VARIACION DE LA PENDIENTE TRANSVERSAL:
La variación de la pendiente transversal no puede ser mayor al 4%/s, según la
velocidad especifica de la curva de radio menor.
CONDICIONES DE PERCEPCION VISUAL:
Con el fin de que una curva sea lo suficientemente perceptible por el conductor, es
necesario que:
- La variación de azimut entre los extremos de la clotoide, sea mínimo 1/18
radianes.
- El retranqueo de la curva circular debe ser como mínimo 50 centímetros.
En términos de cálculo, las condiciones que se deben cumplir son:
O
6. Donde:
Lmin es la longitud en metros.
R0 es el radio de la curva circular en metros.
Además, es muy recomendable que la variación del azimut entre los extremos de la
clotoide, se como mínimo, la quinta parte del ángulo total de giro entre las
alineaciones rectas consecutivas en que se inserta la clotoide.
Ósea:
Donde:
Lmin es la longitud en metros.
R0 es el radio de la curva circular en metros.
Ω es el ángulo de giro entre alineaciones rectas.
VALORES MAXIMOS:
Es recomendable que los valores mínimos dados no se excedan
considerablemente, de hecho, el máximo factor para excederse es de 1.5.
En las siguientes imágenes podemos observar diversas aplicaciones de la
curvatura en la vida real.
7. Puente Juscelino Kubitschek, Brasilia (Brasil). Aquí se puede observar una calada
con curvas consecutivas muy complicadas, donde su diseño tuvo que haber tenido
en cuenta las numerosas curvaturas en la calzada de tal manera que no se excedan
los valores máximos planteados por la reglamentación.
Las altas velocidades de los automóviles, unidas a unas curvaturas en las
carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto riesgo de accidentalidad en
estos trazados.
8. Construcción de una carretera. Antes de iniciar un proceso constructivo de una
carretera, es necesario que se lleven a cabo una gran cantidad de estudios que
conllevaran posteriormente a un diseño preliminar. En este diseño la curvatura
juega un papel muy importante para garantizar la suficiente seguridad al
conductor.
9. ANDENES INCAS
Andenes incas ubicados de forma circular donde se puede observar el estudio
geométrico que debió tener lugar durante su diseño y construcción.
La civilización inca es conocida por muchas características que la han hecho cada
vez más famosa, pero quizá uno de sus principales logros fue la erradicación del
hambre por medio de innumerables técnicas e investigaciones en el área de la
biología. Los incas aprovecharon en gran cantidad las montañas secas y rocosas de
las que se componía su territorio para construir varios andenes o terrazas que
sirvieran como apoyo a sus cultivos agrícolas.
Para conseguir la construcción de estas estructuras fue necesario un trabajo y un
desarrollo tecnológico muy extenso, ya que debieron construir en primer lugar
varios muros de contención, los cuales posteriormente debieron ser llenados con
piedras o arena para posteriormente colocar en la parte superior una capa de
tierra lo suficientemente fértil.
Además de la construcción y adecuación del territorio sobre el cual se iba a
cultivar, también era necesaria la construcción y el diseño de un gran sistema de
irrigación para hacer de la zona un terreno lo suficientemente fértil y más aun
teniendo en cuenta que estos cultivos debían sostener a una cantidad inmensa de
pobladores de las ciudades.
Por otro lado, con el fin de mantener la humedad en el terreno para así mantener la
fertilidad del mismo, era necesario ubicar una capa de arcilla entre la capa fértil y
el terreno infértil del fondo. Los incas utilizaron también muchos fertilizantes para
mantener la fertilidad de sus terrenos.
10. Los andenes incas son un gran ejemplo del estudio de curvas de contorno. Por
ejemplo, podríamos imaginar una colina de forma cónica donde la base se
encuentra definida por la ecuación:
El vértice del cono de la colina se encuentra ubicado a 5 unidades del origen, al
ubicarlo en el sistema cartesiano. Por otro lado, teniendo en cuenta que la simetría
se mantiene entre la curva de la base y el origen, entonces la ecuación que describe
la superficie de la colina podría ser:
Superficie original dibujada con el programa MapleV.
Teniendo en cuenta esto, podemos definir la curva de contorno de nivel como:
Donde:
z=f(x,y) Es la superficie original en coordenadas cartesianas.
K es un número real.
Cuando se proyectan las curvas de contorno sobre la superficie original, se puede
encontrar un grafico mas aproximado de la situación real.
11. Superficie con las curvas de contorno proyectadas.
Por otro lado, también es posible dibujar el mapa de las curvas de contorno.
Diagrama o mapa de las curvas de contorno.
Finalmente, y después de todo el análisis, es posible recrear un esbozo aproximado
de cómo se verían los andenes sobre la superficie original.
Esbozo de los andenes sobre la superficie real.
Para la proyección de los andenes sobre el piso se identifico en primer lugar el
máximo número entero menor que z, obteniendo así la altura de cada escalón. Es
importante tener en cuenta que los incas no poseían tecnologías tan avanzadas
como los programas computarizados para realizar sus cálculos y diseños, además
el ejemplo presentado es una situación demasiado idealizada, la mayoría de las
veces sucede que los andenes debían ser proyectados sobre montañas que no
obedecían a ecuaciones conocidas, entonces todo el proceso analítico debía ser
reemplazado.
12. Cuando sucedía esto, probablemente lo que se hacia era utilizar los recursos
topográficos que poseían para realizar un esbozo de las curvas de contorno y
posteriormente proyectar los andenes sobre las mismas. Aun en la actualidad, un
proceso de estos requiere un muy arduo trabajo de campo para un equipo
topográfico.
Aun así, las situaciones ideales sirven mucho para estudiar determinados factores
que podrían, por ejemplo, aumentar la productividad de determinadas superficies.
En este caso, el problema deja de ser puramente matemático y pasa a ser un
problema interdisciplinario, donde intervienen ramas del conocimiento como la
ingeniería civil, el análisis de suelos, la biotecnología agrícola, etc.
Pero podría ser un proyecto útil e interesante para la recreación de la agricultura
inca.
Publicado por Calculo Vectorial en 14:06 No hay comentarios:
APLICACIONES
Dentro de las aplicaciones del cálculo vectorial a la ingeniería civil, es posible
encontrar numerosos ejemplos en Latinoamérica, en especial en la parte
geométrica. A manera de ejemplo, se puede nombrar la optimización del área
agrícola en los andenes incas, donde se presenta claramente un ejemplo de curvas
de contorno y de maximización del área.
También se puede nombrar el establecimiento de poblaciones en valles y la
construcción de caminos a través de pasos de montañas, aquí se puede ver una
clara influencia y utilización de los mínimos locales y de puntos de ensilladura. Es
bueno e importante saber y tener en cuenta que las matemáticas son una creacion
de la humanidad y por lo tanto sus usos están completamente dirigidos al
provecho de la humanidad.
A manera de ejemplo, podemos recalcar la importancia que tuvo la matemática en
la civilización egipcia para la construcción de inmensos e imponentes
monumentos. En el continente americano, especialmente en las culturas
prehispánicas utilizaron la geometría en gran cantidad por ejemplo en la
construcción o creacion de los andenes incas o las pirámides mayas.
13. En la realidad de nuestra cotidianidad las matemáticas en general tienen
innumerables aplicaciones pero el problema radica en que en las cátedras donde
se enseñan las matemáticas, se hace desde una realidad muy lejana de la local. Aun
así como en todo no se debe generalizar en ningún momento y hay numerosos
ejemplos de educadores que hacen un muy gran esfuerzo por aterrizar al educando
a una realidad muy cercana a él.
Como ejemplo, los estudiantes que se encuentran ubicados en las zonas rurales
deben aprender sobre aplicaciones relativas a su realidad, como por ejemplo,
aprender a medir la tierra o aproximar el volumen de troncos cortados.Estos
ejemplos no deben ser exclusivos de localidades como estas sino que deben hacer
parte de un núcleo general de aplicaciones que deben hacer parte de la enseñanza
de las matemáticas en cualquier lugar del mundo.
Las matemáticas que son impartidas en Latinoamérica están muy influenciadas
por bibliografías extranjeras, alejando de esta manera al estudiante de la realidad
que debería interesarle. Estos paradigmas se deben romper con el fin de que el
estudiante pueda sentirse cada vez más motivado hacia el estudio de las
matemáticas y que así pueda desempeñarse mucho mejor en las asignaturas
correspondientes.
Es muy común encontrar en varios textos de enseñanza de las matemáticas, que
los enunciados de la mayoría de los ejercicios, hacen referencia a una realidad a
veces muy lejana como naves espaciales o maximización de lucros en grandes
empresas. Obviamente, los textos no se deben hacer a un lado e ignorar la
revolución científico-tecnológica que ha tenido lugar en la raza humana, pero los
temas que se deben tratar, deben enfrentar al estudiante con problemas de su
propia realidad, y deben tratar temas desde los más simples hasta los más
complejos.
El cálculo vectorial puede llegar a ser muy atractivo para un estudiante al cual se le
presenten una serie de problemas relacionados con su cotidianidad. Dentro de los
numerosos ejemplos del uso del cálculo vectorial en Latinoamérica, podemos
destacar los andenes incas, que fueron una serie de terrazas que sirvieron para
14. mejorar considerablemente la agricultura de la cultura inca en épocas
prehispánicas.
La catedral de Maringa en Brasil y su forma cónica son otro gran ejemplo del uso
del cálculo y de la geometría en la realidad latinoamericana. También podemos
encontrar aplicaciones al cálculo vectorial en las montañas, cumbres, lagos y en
general en toda la parte de la orografía que sirvió de mucha ayuda a todas las
civilizaciones para tomar decisiones críticas a la hora de construir sus creaciones.
La aproximación de los espejos de una bahía nos ofrece otra gran muestra de
aplicaciones del cálculo vectorial.
