1. BEN AHMED MOHSEN Tรฉlรฉphone :(+216)97619191
Adresse รฉlectronique : omega.center.cp@gmail.com
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1
M1/L3 (รCONOMรTRIE)
Sรฉrie Corrigรฉe Nยฐ
1-รNONCรS
Modรจles รconomรฉtriques ร Une รquation-Rรฉgression Simple
Exercice 1 :
On considรจre les matrices ๐จ =
๐๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐
, ๐ฉ =
๐ ๐
๐ ๐
๐ ๐
๐๐ ๐ช =
๐ ๐ ๐
๐ ๐๐ ๐
๐ ๐๐ ๐
1) Calculer ๐ฉ. ๐จ โ๐ et dรฉduire ๐จโฒ . ๐ฉโฒ โ๐
2) Calculer ๐๐ ๐จ. ๐ฉ ๐๐ ๐๐ ๐ฉ. ๐จ
3) Calculer ๐ชโ๐
4) Soit ๐ซ une matrice de dimension ๐, ๐ ๐๐ ๐ฌ = ๐ซโฒ
. ๐ซ
Montrer que :
a) ๐ฌ est symรฉtrique
b)
๐๐ ๐ฌ = ๐ ๐๐
๐๐
5) On considรจre des matrices carrรฉes ๐จ, ๐ฉ, ๐ช, ๐ซ, ๐ฌ ๐๐ ๐ญ oรน ๐ฌ ๐๐ ๐ญ sont deux matrices non singuliรจres,
dรฉvelopper le produit matriciel suivant : ๐ฟ = ๐จ๐ฉ + ๐ช๐ซ โฒ ๐ฌ๐ญ โ๐ + ๐ฎ๐ฏ
โฒ
Exercice 2 :
On considรจre :
๏ท ๐ฟ ๐, ๐ฟ ๐, โฆ ๐ฟ ๐ ๐ vecteurs colonne de โ ๐
๏ท ๐ le vecteur unitaire de โ ๐ : ๐ = ๐, ๐, โฆ , ๐ โฒ
๏ท La matrice ๐ด ๐
= ๐ฐ ๐ โ
๐
๐
๐๐โฒ
๏ท ๐ฟ une matrice de dimension ๐, ๐ dont lโiรจme
ligne est ๐ฟ๐
โฒ
: ๐ฟ =
๐ฟ ๐
โฒ
โฎ
๐ฟ ๐
โฒ
๏ท ๐ฟ un vecteur colonne de โ ๐ (les moyennes des lignes de la matrice ๐ฟโฒ ou les moyennes des
colonnes de la matrice ๐ฟ
1) Montrer que :
a)
๐ฟโฒ
๐ฟ = ๐ฟ๐ ๐ฟ๐
โฒ
๐
๐=๐
b)
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2
๐ฟโฒ
๐ = ๐ฟ๐
๐
๐=๐
c)
๐ฟ =
๐
๐
๐ฟโฒ ๐
2)
๐ฟ๐ โ ๐ ๐ฟ๐ โ ๐ โฒ
๐
๐=๐
= ๐ฟโฒ ๐ด ๐ ๐ฟ + ๐ ๐ฟ โ ๐ ๐ฟ โ ๐
โฒ
Oรน ๐ est un vecteur de โ ๐
Exercice 3 :
On considรจre une matrice ๐ฟ de dimension ๐, ๐ ; le vecteur ๐ท = ๐ท ๐, ๐ท ๐, โฆ , ๐ท ๐
โฒ et les vecteurs
alรฉatoires ๐ = ๐ ๐, ๐ ๐, โฆ , ๐ ๐
โฒ et ๐ = ๐ ๐, ๐ ๐, โฆ , ๐ ๐
โฒ . On suppose que les ๐๐ข sont iid de ๐ ๐, ๐ ๐ et que
๐ = ๐ โ ๐ฟ๐ท
1) Dรฉterminer, en fonction de ๐ฟ et ๐ le vecteur ๐ท qui minimise ๐๐
๐
๐ par rapport ร ๐ท
(Indication : ๐๐
๐
๐ = ๐โฒ
๐ )
2) Dรฉmontrer que les matrices ๐ด et ๐ท sont symรฉtriques idempotentes ; ๐ท = ๐ฟ ๐ฟโฒ
๐ฟ โ๐
๐ฟโฒ
et
๐ด = ๐ฐ โ ๐ท
3) Dรฉmontrer que ๐ด๐ท = ๐
4) Dรฉterminer en fonction de ๐ด la variance de ๐ avec ๐ = ๐ โ ๐ฟ๐ท
Exercice 4 :
Le tableau suivant fournit des donnรฉes trimestrielles relatives ร la rentabilitรฉ de lโindice boursier
amรฉricain Don Jones ๐น๐ซ๐ฑ = ๐ฟ et la rentabilitรฉ de lโindice boursier europรฉen Euro Stoxx 50 ๐น๐ฌ๐บ = ๐
Relation entre RDJ et RES
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
1990.2 0,0463 0,0252 0,0024 0,0012 0,0006
1990.3 -0,0276 -0,0969 0,0008 0,0027 0,0094
โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ
2005.3 0,0150 0,0767 0,0062 0,0012 0,0059
Somme 1,3753 1,1155 0,1865 0,2162 0,3287
Source : Eurostat
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3
1) Estimer par la mรฉthode du MCO les paramรจtres de la rรฉgression de RES par rapport ร RDJ
2) Tester au risque 5% la significativitรฉ des paramรจtres du modรจle
3) Calculer ๐น ๐
4) Interprรฉter ces rรฉsultats
5) Pour le quatriรจme trimestre 2005, la valeur prรฉvisionnelle de RDJ et 0,0252 ; dรฉterminer la valeur
prรฉvisionnelle de RES pour cette pรฉriode
Exercice 5 :
On considรจre les deux modรจles :
๐ด ๐: ๐๐ = ๐ท ๐ + ๐ท ๐ ๐๐ + ๐๐ ; ๐ = ๐, ๐, โฆ , ๐
Et
๐ด ๐: ๐๐ = ๐๐๐ + ๐๐ ; ๐ = ๐, ๐, โฆ , ๐
1) Dรฉterminer ๐ lโestimateur MCO de ๐ puis calculer ๐ฌ ๐ et ๐ฝ ๐
2) Comparer ๐ฝ ๐ et ๐ฝ ๐ท ๐ oรน ๐ท ๐ est lโestimateur MCO de ๐ท ๐ puis interprรฉter
3) Dรฉmontrer que : ๐๐๐ โ ๐ et dรฉduire que pour le modรจle ๐ด ๐ ; ๐น ๐ nโest pas nรฉcessairement dans
lโintervalle ๐, ๐
Exercice 6 :
Le revenu ๐น ๐ et lโรฉpargne nette ๐ฌ ๐ ont รฉtรฉ mesurรฉs par trimestres pendant 3 ans pour une catรฉgorie
socioprofessionnelle bien dรฉterminรฉe ; aprรจs correction des variations saisonniรจres, exprimรฉes en
millions dโeuros, les indicateurs suivants sont disponibles :
๐น =
๐
๐๐
๐น ๐
๐๐
๐=๐
= ๐๐, ๐ ; ๐น ๐
๐
๐๐
๐=๐
= ๐๐๐๐ ; ๐ฌ =
๐
๐๐
๐ฌ ๐
๐๐
๐=๐
= ๐, ๐ ; ๐ฌ ๐
๐
๐๐
๐=๐
= ๐๐๐ ; ๐ฌ ๐ ๐น ๐
๐๐
๐=๐
= ๐๐๐๐
On suppose que les variables ๐ฌ ๐ et ๐น ๐ sont liรฉes par le modรจle ๐ฌ ๐ = ๐ + ๐๐น ๐ + ๐๐ , les v.a ๐๐ รฉtant de
loi ๐ ๐, ๐ ๐ pour tout ๐ et indรฉpendantes0
1) Calculer ๐ et ๐ , estimateurs des MCO de ๐ et ๐ ; donner un intervalle de confiance de niveau
0,95 pour ๐ et ๐
2) Etudier la validitรฉ du modรจle
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4
3) On dรฉsire tester lโhypothรจse quโune augmentation absolue de 1% du revenu implique une
augmentation absolue de 1% de lโรฉpargne. Ecrire cette hypothรจse en fonction des coefficients de
la rรฉgression et rรฉsoudre le problรจme du test.
4) Mรชme question avec une augmentation relative de1% du revenu.
Exercice 7 :
On possรจde deux รฉchantillons ๐ ๐, ๐ ๐, โฆ , ๐ ๐ et ๐ ๐, ๐ ๐, โฆ , ๐ ๐ de deux variables ๐ฟ et ๐ . Aucune des
deux variables nโรฉtant privilรฉgiรฉe a priori, on considรจre la rรฉgression linรฉaire de ๐ฟ sur ๐ (modรจle A) et
celle de ๐ sur ๐ฟ (modรจle B) :
๐จ ๐๐ = ๐ + ๐๐๐ + ๐๐
๐ฉ ๐๐ = ๐ถ + ๐ท๐๐ + ๐๐
๐๐ Et ๐๐ ; ๐ = ๐, ๐, โฆ , ๐ suivant respectivement les lois ๐ ๐, ๐ ๐
๐
et ๐ ๐, ๐ ๐
๐
.
On dรฉsigne par ๐๐บ ๐
๐ , ๐๐๐๐. ๐๐บ ๐
๐ la quantitรฉ
๐๐ โ ๐ฟ
๐
๐
๐=๐
, ๐๐๐๐. ๐๐ โ ๐
๐
๐
๐=๐
Et par ๐ le coefficient de corrรฉlation linรฉaire entre ๐๐ et ๐๐ .
1) ๐ , ๐ , ๐ถ ๐๐ ๐ท รฉtant les estimateurs MCO de ๐ , ๐ , ๐ถ ๐๐ ๐ท
Montrer que ๐ ๐ท = ๐ ๐ et ๐ถ โ ๐ ๐ โ ๐ฟ = ๐ ๐ ๐ฟ๐
2) ๐น ๐จ
๐
et ๐น ๐ฉ
๐
dรฉsignent les coefficients de dรฉtermination de ๐จ et ๐ฉ ; รฉtablir une relation entre ๐น ๐จ
๐
et ๐น ๐ฉ
๐
3) ๐บ ๐
๐
et ๐บ ๐
๐
รฉtant les estimateurs sans biais de ๐ ๐
๐
et ๐ ๐
๐
, montrer que :
๐บ ๐
๐
๐บ ๐
๐
=
๐บ ๐
๐
๐บ ๐
๐
4) On appelle ๐ ๐จ ๐๐๐๐. ๐ ๐ฉ la statistique de Student utilisรฉe pour tester ๐ฏ ๐: ๐ = ๐ ๐๐๐๐. ๐ท = ๐
Montrer que :
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5
๐ ๐จ
๐
= ๐ โ ๐
๐น ๐จ
๐
๐ โ ๐น ๐จ
๐
Conclure.
Exercice 8 :
Le taux dโรฉquipement des mรฉnages en PlayStation 2 est une variable ๐ ๐ , ๐ reprรฉsentant lโannรฉe
dโobservation, ๐ = ๐ร ๐ป.
On postule pour ๐ ๐ un modรจle de type logistique :
๐ ๐ =
๐
๐ + ๐๐โ๐๐
+ ๐ ๐ , ๐ ๐๐ ๐ รฉ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐รฉ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐.
1) Tracer le graphe de
๐ ๐ =
๐
๐ + ๐๐โ๐๐
๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐
2) Dรฉterminer les รฉquations vรฉrifiรฉes par les estimateurs des moindres carrรฉs ๐ ๐๐ ๐ de ๐ ๐๐ ๐
3) Par un changement de variable appropriรฉ, montrer que le modรจle logistique peut รชtre transformรฉ
en un modรจle linรฉaire que lโon prรฉcisera.
On fournit les donnรฉes suivantes :
๐ 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
๐ ๐
(En %)
2,9 4,4 6,0 8,4 11,8 14,6 18,3
En dรฉduire des estimations ๐โฒ ๐๐๐โฒ de ๐ ๐๐ ๐ ; estimer ๐ฝ ๐โฒ et en dรฉduire un intervalle de confiance
de niveau 0,95 pour ๐.
4) Montrer que si, ๐ ๐ suit exactement un modรจle logistique ๐ ๐ = ๐ ๐ alors
๐ ๐ ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
5) Dรฉduire de la question prรฉcรฉdente que pour tester le modรจle logistique, on doit valider le
modรจle :
๐ ๐ =
๐๐ ๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐
=
๐ ๐+๐ โ ๐ ๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐
= ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
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6
Etudier, ร partir des donnรฉes, lโadรฉquation de ๐ ๐ ร un modรจle logistique. En dรฉduire une prรฉvision pour
le taux dโรฉquipement en PlayStation 2 pour 2005
Exercice 9 :
Lโanalyse dโune sรฉrie temporelle de 12 ans concernant la demande dโhabillement ๐ en fonction du
revenu ๐ des mรฉnages a conduit ร :
๐ณ๐ ๐ ๐ =๐, ๐๐
๐,๐๐
+ ๐, ๐
๐,๐๐
๐ณ๐ ๐ ๐
Peut-on dire que lโรฉlasticitรฉ de la demande dโhabillement soit รฉgale ร lโunitรฉ ?
Exercice 10 :
Soit le modรจle linรฉaire simple :
๐ ๐ณ๐ ๐ซ๐ = ๐ + ๐๐ณ๐ ๐น๐ + ๐๐ ; ๐ = ๐, ๐, โฆ , ๐
Oรน ๐ซ๐ est la dรฉpense alimentaire du mรฉnage ๐, ๐น๐ son revenu disponible. Les ๐๐ constituent des termes
alรฉatoires indรฉpendants, identiquement distribuรฉs selon la loi normale dโespรฉrance mathรฉmatique nulle
et de variance ๐ ๐. Lโestimateur par les MCO du modรจle ๐ , sur un รฉchantillon de 20 mรฉnages, a donnรฉ
les rรฉsultats suivants :
๐ ๐ณ๐ ๐ซ๐ = ๐, ๐๐
๐,๐๐
+ ๐, ๐๐
๐,๐๐๐
๐ณ๐ ๐น๐ ; ๐ = ๐, ๐, โฆ , ๐
Les chiffres entre parenthรจses indiquent les รฉcarts-types estimรฉs des estimateurs de ๐ ๐๐ ๐ .
1) Donner une interprรฉtation รฉconomique des paramรจtres ๐ ๐๐ ๐ .
2) Tester au seuil de 5% lโhypothรจse nulle selon laquelle le paramรจtre ๐ est รฉgal ร lโunitรฉ
3) Tester au seuil de 5% lโhypothรจse nulle selon laquelle ๐ < 1 . interprรฉter รฉconomiquement ce
test
4) Calculer le coefficient de dรฉtermination ๐น ๐
5) Tester la significativitรฉ globale du modรจle
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7
Exercice 11 : (Extrait de lโexamen- ISG SP2007)
Soit le modรจle de rรฉgression simple : ๐ด ๐: ๐ ๐ = ๐ท ๐ + ๐ท ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐ ; ๐ = ๐, ๐, โฆ , ๐ป
1) Sur la base dโun รฉchantillon de 24 observations trimestrielles (de 2000 : ๐ ร 2005๐๐), on a estimรฉ
par les MCO le modรจle ๐ด ๐ . Les rรฉsultats dโestimation sont :
๐ด ๐: ๐ ๐ = ๐๐, ๐๐
๐,๐๐
+ ๐, ๐๐
๐,๐๐
๐ ๐ ; ๐ = ๐, ๐, โฆ , ๐ป
Les valeurs entre parenthรจses sont les ๐ de Student
a) Tester au risque de 5% la significativitรฉ globale du modรจle ๐ด ๐ (on rappelle que pour les
modรจles simples : ๐ญ =
๐บ๐ช๐ฌ
๐บ๐ช๐น ๐ปโ๐
= ๐ ๐ท ๐
๐
)
b) Tester au risque de 5%
๐ฏ ๐ โถ ๐ท ๐ = ๐
๐ฏ ๐ โถ ๐ท ๐ โ ๐
2) On donne ๐ฟ = ๐๐ ; ๐ฝ ๐ฟ = ๐๐๐ ๐๐ ๐ฝ ๐ = ๐๐๐
a) Estimer la variance des rรฉsidus ๐ ๐
b) Dรฉterminer les matrices ๐ฟโฒ
๐ฟ ๐๐ ๐ฟโฒ
๐ฟ โ๐
associรฉes au modรจle ๐ด ๐
c) Dรฉterminer un intervalle de prรฉvision au niveau 95% pour ๐ ๐๐
๐
sachant que ๐ ๐๐ = ๐๐
Exercice 12 : (IHEC SP2010)
On considรจre un modรจle simple ๐๐ = ๐ท ๐ + ๐ท ๐ ๐๐ + ๐๐ . A partir dโune รฉtude รฉconomique portant sur 85
entreprise, un รฉconomรจtre a fournit les rรฉsultats suivants :
๐๐ = ๐๐๐, ๐
๐,๐
+ ๐, ๐
๐๐,๐
๐๐
Les valeurs entre parenthรจses reprรฉsentent les ๐ Student. ๐บ๐ช๐น = ๐๐๐๐, ๐๐
1) Tester au risque de 5% si lโeffet de ๐ฟ sur ๐ est significativement diffรฉrent de zรฉro
2)
a) Calculer la variance estimรฉe des rรฉsidus
b) Calculer la variance estimรฉe de ๐ท ๐
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c) Dรฉduire ๐บ๐ช๐ฌ
d) Construire le tableau dโanalyse de la variance et montrer lโรฉquivalence des rรฉsultats de la
premiรจre question au test de significativitรฉ globale basรฉ sur la loi de Fisher
3) Le coefficient ๐ท ๐ est-il significativement diffรฉrent de -1 ?