データ解析のための統計モデリング入門9章後半
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第9回「データ解析のための統計モデリング入門」読書会で発表した時の資料です
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データ解析のための統計モデリング入門9章後半
- 1. Lorem Ipsum Dolor 第9章「GLMのベイズモデル化と 事後分布の推定」後半 @「データ解析のための統計モデリング入門」読書会
- 2. お前だれよ ❖ twitter：wwacky! ! ❖ 次回の会場係です! ❖ 11月にサンフランシスコ行ってきます(仕事です)! ❖ 普段はMac。Windowsは8しか持ってない(伏線)! ! ❖ 丸の内でデータ分析してます! ❖ JOINしてくれる人。募集してます(マジで)
- 3. お品書き ❖ MCMCサンプルで事後分布推定! ❖ 複数パラメータのMCMCサンプリング! の2本立てです! ! ! ! 内容的には、ほとんどツール(WinBUGS)の説明
- 4. お断り ❖ WinBUGSインストール出来ませんでしたー！！！！ XPモードとかも 試したがダメ。! WindowsMeで 育った俺も匙投げ ました。
- 5. ❖ 代わりにStanでやりました（流行ってるっぽいから）! ! ❖ 他の選択肢だとJAGSは割と好き! ❖ OpenBUGSは前使った時に微妙だったから嫌い
- 7. 9.4までの推定をStanで実施 Stanのコード(poisson_reg.stanで保存) Rのコード // 入力データ宣言! data {! ! int<lower=0> N;! ! real x[N];! ! int y[N];! ! real xmean;! }! ! // パラメータの定義! parameters {! ! real beta1;! ! real beta2;! }! ! //モデルの定義! model {! ! beta1 ~ normal(0, 1000);! ! beta2 ~ normal(0, 1000);! ! for (i in 1:N)! ! ! y[i] ~ poisson(exp(beta1 + beta2 * (x[i] - xmean)));! } #初回のみインストール! Sys.setenv(MAKEFLAGS = “-j4")! source('http://mc-stan.org/rstan/install.R', echo = TRUE, max.deparse.length = 2000)! install_rstan()! ! #ライブラリ読み込み! library(rstan)! #データ読み込み! load(“/path/to/kubobook2012/chapter09/d.RData”)! #データを配列に変換しておく! d.list = list(! x = d$x,! y = d$y,! xmean = mean(d$x),! N = nrow(d)! )! # MCMCサンプリング! result.stan = stan(file="poisson_reg.stan", data=d.list, iter=1600, chains=3, warmup=100, thin=3)
- 9. サンプリング結果を可視化 #codaを使ってプロット! library(coda)! result.coda = mcmc.list(lapply(1:ncol(result.stan),function(x) mcmc(as.array(result.stan)[,x,])))! plot(result.coda) lp__は対数尤度のプロット
- 10. で、どう見ればいいの？
- 11. サンプリング結果を可視化 #codaを使ってプロット! library(coda)! result.coda = mcmc.list(lapply(1:ncol(result.stan),function(x) mcmc(as.array(result.stan)[,x,])))! plot(result.coda) ❖ 3試行実施しているので、3色に 分かれてプロットされる! ❖ 試行回数間で比較しても、ほぼ サンプルの分布は一致している ので安定してそう lp__は対数尤度のプロット
- 12. サンプリング結果を可視化 #codaを使ってプロット! library(coda)! result.coda = mcmc.list(lapply(1:ncol(result.stan),function(x) mcmc(as.array(result.stan)[,x,])))! plot(result.coda) lp__は対数尤度のプロット ❖ β1とβ2の周辺事後分布p(β1|Y), p(β1|Y)! ❖ サンプリングした値を使ってカー ネル密度推定した結果がプロット される! ! 周辺事後分布は、もう片方のパラメー タで周辺化してある!
- 13. サンプリング値 ❖ いろいろやりたい時は、サンプ ル値を取り出して使えばおｋ # 実行結果からサンプルを取り出し! post = extract (result.stan, permuted = F)! ! #データフレームに変換! post.m = melt (post)
- 14. (周辺)事後分布の統計量 ❖ MCMCの結果を確認してみる n_eff : the effective sample size! se_mean : the standard error of the mean
- 15. (周辺)事後分布の統計量 とりあえず、推定結果を見るだけなら! ! β1=1.98 β2=0.09
- 16. 他に何が分かるのか？ ❖ 試行毎のばらつき! ❖ でサンプル列間の収束を確認する! ❖ だいたい が1.0に近ければ収束できてる! ❖ 1.1超えてるとヤバイ(9章前半参照)
- 17. 他に何が分かるのか？ ❖ 信頼区間(e.g. 95%信頼区間)! ❖ β1の95%信頼区間は1.81～2.13。β2は-0.05～0.22! ❖ 即ち「β1の値は95%の事後確率で1.81～2.13になる」と 解釈できる! !
- 18. 信頼区間の解釈 推定値が0から離れているかどうか! ! β2の95%信頼区間が-0.05～0.22! ! →信頼区間が0を挟んでいるので、0から離れているとは いえない! ! こういう解釈に使ったこと無いんだけど、やってる人って多 いのか？（一般的な手法なのか誰か知ってる？）
- 20. 複数パラメータのサンプリング ❖ パラメータが複数存在する場合は、1パラメータずつサ ンプリングすればおｋ β1 β2 初期値step1 step2 step3 ・・・ β1,0 β2,0 β2,0を定数として! β1,1サンプリング β1,1を定数として! β2,1サンプリング β2,1を定数として! β1,2サンプリング β1,2を定数として! β2,2サンプリング β2,2を定数として! β1,3サンプリング β1,3を定数として! β2,3サンプリング サンプリングの順序(β1とβ2のどっちからやるか)はどっちでもいい。! 定常分布であれば、部分的なサンプリングも許されている! (逆に言うと、定常でない場合には影響があるので、試行毎の違いはチェックした方がいい)
- 21. ギブスサンプリング ❖ メトロポリス法(8章で出てきたやつ)! ❖ 新しい値の候補を乱数で作り、それに変化するかどうかを決める! ❖ 更新は尤度が上がる場合か、尤度が上がらなくても一定確率で行う! ! ❖ ギブスサンプリング! ❖ 新しい値の確率分布を作り、その確率分布のランダムサンプルを新しい値とする! ! ❖ ギブスサンプリングは、こんなメリットが・・・! ❖ MCMCステップで、「元の値」と「更新された値」の相関が比較的小さい! ❖ 事前共役分布の場合に、事後分布のサンプリングが簡単
- 22. ギブスサンプリング ❖ 今回のポアソン分布に従うモデル式の場合のギブスサンプリング ①初期値をβ1=0, β2=0とする! ! ②β2=0を定数として、β1をサンプリングするための確率分布(全条件付確率)を作成する! ! ! λyi λi) ! p(β1|Y,β2 = 0.0) ∝ i exp(−p(β1) yi! ! i ③p(β1|Y, β2=0.0)からβ1をサンプリングする（β1=2.052がサンプリングされたとする）! ④β1=2.052を定数として、β2をサンプリングするための確率分布(全条件付確率)を作成する! ! ! ! ⑤p(β2|Y, β1=2.052)からβ2をサンプリング! ! ⑥β1とβ2を更新しながら②～⑤を繰り返す サンプリング1step分 尤度✕事前分布からβ2を消しただけ
- 23. 共役事前分布 ❖ ギブスサンプリングは、事前分布が尤度の持つ確率分布 と共役の確率分布だと、計算速度が早くなる 事後分布 ∝ 尤度 ✕ 事前分布 ガンマ分布! ポアソン分布! ガンマ分布! ベータ分布! 二項分布! ベータ分布! ディリクレ分布 多項分布 ディリクレ分布 事前分布が尤度のパラメータと共役関係だと、事後分布の 確率分布が決まるので、事後分布のサンプリングが楽
- 24. 共役事前分布 みどり本9章では事前分布が正規分布なので共役関係では ないが、事前分布がガンマ分布で共役関係だと以下の通り 事後分布 ∝ 尤度 ✕ 事前分布 平均λの! ポアソン分布 パラメータα,βの! ガンマ分布 証明書こうとしたが、LaTexiTが使いづらくて諦めた。すまん！ パラメータα',β'の! ガンマ分布
- 25. 共役分布って使ったほうがいいの？ ❖ 事後分布が確率分布に従っていると、演算が楽になる! →計算速度が上がる! ! ❖ かと言って、推定にかけれる時間とのトレードオフで使 うかどうか考えれば良い! ❖ モデルの分かりやすさを優先とかでも時間が許せば OK
- 26. 発表後追記 ❖ 会場の方から伺ったのですが、Stanはギブスサンプリン グ使ってないらしいです(HMC – Hamiltonian Monte Carloらしい)