TRANSFORMACIONES LINEALES
METODO DE GAUSS-JORDAN
NUCLEO NULIDAD IMAGEN Y RANGO DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
RELACION DE MATRICES CON TRANSFORMACIONES LINEALES
2. TRANSFORMACIONES LINEALES :
Si V y W son espacios vectoriales y F una función que asocia un vector
único en W, con cada vector en V, se dice que F aplica V y W y se escribe F : V
w.
Además si F asocia el vector W al vector V se escribe W: F(v) y se dice que
W es la imagen de V bajo F.
Entonces podemos definir a una transformación lineal como:
3. Si F: v W es una transformación lineal, entonces para v1,
v2 cualesquiera en V y cualesquiera escalares k1 y k2, se tiene:
o F(k1V1 + k2V2+…+knVn)= k1F( V1) + k2F( V2) +…+knF(Vn).
4. METODO DE GAUSS – JORDAN
El método de GAUSS – JORDAN o la eliminación de Gauss -
Jordan, es un algoritmo del algebra lineal para determinar las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices
e inversas.
Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss
cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del
sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una
incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la
matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.
El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de
transformación hasta obtener una matriz diagonal.
5. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar
los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
anotando como matriz que también es llamada matriz aumentada:
a1 + b1 + c1 d1
a2 + b2 + c2 d2
a3 + b3 + c3 d3
A continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz
equivalente a la original, (Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices
simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación
se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso).
La cual es de la forma: 1 0 0
0 1 0
0 1 0
6. NUCLEO:
El núcleo es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial V, cuyo vector
correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero.
N (f) = { v Є V | f (v) = 0w }
Notación: Núcleo se denota N(f)
Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, el
núcleo esta formado por todos aquellos vectores que tienen como correspondiente el vector cero
en W.
V W
v1
v5
v9
0w
f
.
.
.
.
.
.
N
(f)
Sean:
V,W: Espacios
Vectoriales
v1,v5,v9
0w
Vectores
7. Ejercicio # 1:
Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo.
f : R2 R3
(x, y) f (x, y) = (x-y,2x, y+x)
Solución:
Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:
N f : {x, y / f (x, y) = (x-y,2x, y+x) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones
: y luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos las restricciones del
núcleo. Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones reemplazadas.
X = 0
Y = 0
En este caso, el núcleo de la función es el cero vector.
R2
(x, y)
R3
f (x, y) = (a, b, c)
f
x – y = 0
2x = 0
x + y = 0
1 -1 0
2 0 0
1 1 0
N f : {(x, y)/ x = 0 y = 0}
N f : {(0, 0)}
8. Ejercicio # 2.
Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo.
f : R2 R3
(x, y) f (x, y) = (a, a+b+c, b+c)
Solución:
Diagrama:
Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:
N f : {a+bx+cx2 / f (a+bx+cx2) = (a, a+b+c, b+c) = (0,0,0)}
Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz
ampliada, y al resolverla obtenemos las restricciones del núcleo y finalmente expresamos el
núcleo con las restricciones remplazadas.
P(2)
(a+bx+cx2 )
R3
f (a+bx+cx2 ) = (a, b, c)
f
1 0 0 0
2 1 1 0
0 1 1 0
a = 0
a+ b+c = 0
b+c = 0
a = 0
b+c=0
b=-c
N f : { a+bx+cx2 / a=0 b= -c }
<
N f : { -cx+cx2/ c Є R }
N f : { c (-x+x2) / c Є R }
N f : { (-x+x2))}
9. Ejercicio # 3
Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo.
f : R3 M2
(x, y, z) f (x, y, z) =
Solución:
Diagrama:
Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:
R3
(x, y, z)
M2
f (x, y, z) =
f
1 0 -2 0
2 1 2 0
2 1 2 0
3 1 0 0
x-2z = 0
2x+y+2z= 0
2x+y+2z= 0
3x+y= 0
N f : {x, y, z / f (x, y, z) = = }
Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra
matriz ampliada, y al resolverla obtenemos las restricciones del núcleo y finalmente
expresamos el núcleo con las restricciones remplazadas.
x-2z=0 x=2z
y+6z=0 y=-6z
N f : {x, y, z / x=2z y=-6z }
<
N f : { 2z,-6z,z / z Є R }
N f : { z (2,-6,1) / z Є R }
N f : {2,-6,1}
x-2z 2x+y+2z
2x+y+2z 3x+y
a b
c d
0 0
0 0
x-2z 2x+y+2z
2x+y+2z 3x+y
10. NULIDAD Y RANGO O IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Definición (rango de una transformación lineal)
Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L ( V,W ). El rango de T se define
como la dimensión de la imagen de T :
r( T ) = dim ( im (T) ).
Definición (nulidad de una transformación lineal)
Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L ( V,W). La nulidad de T se
define com la dimensión del núcleo de T: nul ( T) = dim ( ker (T )).
Teorema de la nulidad y el rango de una transformación lineal.
Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F, dim( V ) < + ∞, y sea T ∈ L (V,W).
Entonces dim ( im (T)) < + ∞ y
nul( T ) + r( T) = dim (V), IGUALDAD (1)
Esto es,
dim(im(T)) + dim(ker(T)) = dim(V).
Demostración. Sea u1,...,ud una base de ker ( T). Los vectores u1,...,ud son linealmente
independientes y el espacio V es de dimensión finita, por lo tanto existen vectores
a1 ,...,ar ∈ V tales que la lista u1,...,ud , a1,...,ar es una base de V. Para todo j ∈{1,...,r}
pongamos
bj =T (aj).
11. RELACION ENTRE MATRICES CON LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las
bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el
conocimiento de dichas bases. Cualquier transformación lineal T : V W
Entonces puede representarse mediante una matriz:
T(x) = A x.
Se supone que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo
tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico
respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2el conjunto {(1, 0),
(0, 1)}.
1) ¿ Matriz C?
Transformado de (1, 0) = (1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz de la transformada es: C = 1 0
0 -1
2) ¿ Matriz N?
Transformado de (1, 0) = (-1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz de la transformación es: N = -1 0
0 -1
12. 3) Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5 P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2,
transformando P5 en P3 (polinomios de grado ≤4 en polinomios de grado ≤ 2).
Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}
Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:
13. CONCLUSIONES
En investigaciones realizadas las Transformaciones lineales
aparecen frecuentemente en el álgebra lineal y otras ramas de
la matemática. Tales funciones cumplen ciertas propiedades y
de ellas se obtienen numerosos resultados, tanto en las
matemáticas como en otras áreas del saber. Por ejemplo en
geometría se usan para definir homotecias, en finanzas para
convertir un conjunto de activos a otro, en dibujos o gráficas,
para cambiar el punto de vista aplicando una rotación o una
proyección.
Como podemos notar he allí la importancia de la aplicación
de las transformaciones lineales para el mejor desarrollo de
nuestras profesiones simplificando las tareas y problemas que
se nos presentan en el futuro porvenir.
14. BIBLIOGRAFIA
Ejercicios de algebra Lineal, Serrano, ML., Fernández, Z., Arias de
Velasco, L., Los autores, 1999
https://es.wikipedia.org/wiki/Aplicación_lineal
Transformaciones lineales
http://es.slideshare.net/algebralineal/transformaciones-
lineales-4784959
Relación en matrices con las transformación lineales
http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/tl/matriz.html
