Zlatni presek u matematici i njegove primene u prirodi i umetnosti

1. Златни пресек

2. Шта је златни пресек?

3. Став 1:
У сваком паралелограму допуне
паралелограма на дијагонали су једнаке

4. Став 2:
Ако се дата дуж преполови и продужи за
извесну дуж биће збир правоугаоника чија је
једна ивица дата дуж са продужењем, а друга
ивица једнака том продужењу и квадрата на
половини дате дужи једнак квадрату на дужи
састављеној од половине прве дужи и додате
друге дужи

5. Став 3:
Дату дуж поделити тако да правоугаоник
обухваћен целом дужи и једним одсечком буде
једнак квадрату на другом одсечку

6. Став 4:
Ако је нека дуж подељена непрекидно,
биће квадрат збира мањег дела и
половине већег дела пет пута већи од
квадрата на половини већег дела
Став 5:
Ако је нека дуж подељена непрекидно,
биће збир квадрата на целој дужи и
на мањем делу једнак троструком
квадрату на већем делу

7. Став 6:
Ако је рационална дуж подељена непрекидно,
биће сваки од делова ирационалан,
тзв. апотома

8. Став 7:
Ако код једнакостраног и једнакоуглог петоугла
две дужи спајају углове преко једног, оне деле
једна другу непрекидно и њихови већи делови
једнаки су страни петоугла

9. Став 8:
Збир стране шестоугла и десетоугла уписаних
у исти круг подељен је непрекидно и већи део
је страна шестоугла
Став 9:
Ако је у круг уписан једнакостран петоугао,
биће квадрат стране петоугла једнак збиру
квадрата стране шестоугла и стране
десетоугла уписаних у исти круг

10. Како уз помоћ златног пресека
конструисати правилан десетоугао
и правилан петоугао?

11. Шта ће мени златни пресек?
Могу ли да применим
стечено знање?

12. Сусрећем ли се са златним
пресеком негде у
свакодневном животу?

13. Знате ли до
чега сам дошао?
Luca Pacioli (XV vek)
Број   1,618
омогућава нам
Божанску пропорцију
Шта је то златни
правоугаоник?
Какве везе он има са
правилним полиедрима?

14. Распоредимо три
подударна златна
правоугаоника на
следећи начин:
Објасните како добијамо следећа три правилна полиедра!
Сваки правоугаоник код кога су странице у размери
 :1 назива се златни правоугаоник

15. Још једна особина златног правоугаоника је
да одсецањем квадрата од златног правоугаоника
добијамо златни правоугаоник
Овај поступак можемо понављати неограничени
број пута

16.  Ако у сваки одсечен квадрат упишемо
четвртину круга добићемо спиралу
 Ова спирала је вештачка јер је само
добра апроксимација праве златне
спирале

17. Златна спирала у природи -
природа у златној спирали?
морска шкољка
породица красуљака
55 спирала
карфиол
5 спирала
шишарка
13 спирала

18. Мој низ је
рекурзиван:
f1=0, f2=1,
fk+2= fk +fk+1
Leonardo Pisano
Fibonacci (1170-1250)
Јесте ли чули за
Фибоначијеве бројеве?
Када се n неограни-
чено повећава fn+1: fn
се приближава 
Знате ли да се природа
понаша у складу
са мојим бројевима?

19. филотаксија
(уређење листова)
феномен Фибоначијевих бројева у ботаници
 брест 1/2-ска
 буква и лешник 1/3-ска
 храст и кајсија 2/5-ска
 јаблан и крушка 3/8-ска
 врба и бадем 5/13-ска

20. Гранање биљака на одређеном ступњу развоја
у складу је са Фибоначијевим бројевима

21. Adolf Zeising (1810-1876)
први указао на важност златног пресека у уметности
цео поступак - пропорционисање човечје фигуре -
састоји се у што тачнијој конструкцији златног пресека
пропорционисање човечје лобање
користећи златни пресек

22. Спровели смо истраживање
на случајном узорку од
250 слика,
60 аутора из 20. века
проф. Владимир Конечни
Критеријум за процену лепоте у
различитим епохама
је златни пресек
велики број сликара
на својим платнима при-
мењивао је златни пресек

23. Leonardo da Vinci (1451-1519)
у својим сликама исказао специфичну страст
према златном пресеку

24. Da Vinчijeva “geometrijska rekreacija”
na nedovrшenom platnu Saint Jerome

25. Француски нео-импресиониста Seurat(1859-1891)
“напада” свако своје платно златним пресеком.
“Купачи”

26. “”Тајна вечера” унутар златног правоугаоника.
Златни пресек је коришћен за позиционирање фигура
Салвадор Дали
(1904-1989)

27. Златни пресек у архитектури
Партенон
основни делови грађевине постављени су на златним правоугаоницима

28. Златни пресек у музици
златни пресек “у служби” Страдиваријеве виолине