Geometría del Espacio Parte II para estudiantes de Bachillerato

1. By Miguel Pérez Fontenla, December 2011
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2. ALGEBRA LINEAL
GEOMETRIA DEL ESPACIO II
Usando textos con licencia de Santillana Educación S.L.

3. El espacio euclídeo ℝ3

4. Coordenadas de un vector en ℝ3
1 4
   3 x, y, z / x, y, z  0,0,0 , 3, 1, 2 , 7 3 , ,
4 , 2, , e ,...
3 5

5. Coordenadas de un vector en ℝ3

6. Sistemas de referencia en ℝ3
Definimos sistema de referencia euclídeo del espacio (o también llamado
 
sistema de referencia ortonormal) al conjunto formado por R O, i, j , k donde
•O es  punto cualquiera fijo que denominamos origen de coordenadas
  un
• i, j, k son los vectores de su base canónica de V3

7. Ecuaciones de la recta en ℝ3
• Ecuación vectorial
• Ecuación paramétrica
• Ecuación continua
• Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
• Ecuación implícita o cartesiana

8. Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación vectorial
 
  
OP OA u
x, y, z a1, a2 , a3 u1, u2 , u3

9. Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación paramétrica
x a1 u1
x, y , z a1 , a2 , a3 u1 , u2 , u3 y a2 u2
z a3 u3

10. Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación continua
x a1 u1
x, y , z a1 , a2 , a3 u1 , u2 , u3 y a2 u2
z a3 u3
x a1
u1
x a1 u1
y a2 x a1 y a2 z a3
y a2 u2
u2 u1 u2 u3
z a3 u3
z a3
u3

11. Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación implícita (o cartesiana)
x a1 y a2
x a1 y a2 z a3 u1 u2 u2 x u2 a1 u1 y u1a2 u2 x u1 y u1a2 u2 a1 0
u1 u2 u3 y a2 z a3 u3 y u3a2 u2 z u2 a3 u3 y u 2 z u2a3 u3a2 0
u2 u3

12. Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ejemplo
Calcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por A(3,1,2) y tiene un vector

director u 1, 2,1

13. Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ejemplo. Solución
Calcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por A(3,1,2) y tiene un vector

director u 1, 2,1
•Vectorial x, y, z 3,1,2 1,2,1
•Paramétrica x 3 1
y 1 2
z 2 1
•Continua x 3
x 3 1
y 1 y 1
y 1 2 x 3 z 2
2 2
z 2 1
z 2
•Implícita
x 4 y 1
5 3 3x 12 5 y 5 3 x 5 y 7 0
y 1 y 1 3z 6 y 3z 7 0
z 2
3

14. Ecuaciones de la recta en ℝ3

15. Ecuaciones del plano en ℝ3
• Ecuación vectorial
• Ecuación paramétrica
• Ecuación General o implícita

16. Ecuaciones del plano en ℝ3

17. Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuación vectorial del plano

18. Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones paramétricas

19. Ecuaciones del plano en ℝ3

20. Ecuaciones del plano en ℝ3

21. Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuación general o implícita.

22. Ecuaciones del plano en ℝ3

23. Ecuaciones del plano en ℝ3

24. Ecuaciones del plano en ℝ3

25. Ecuaciones del plano en ℝ3

26. Ecuaciones del plano en ℝ3
Plano que pasa por 3 puntos