Problemas2 (algunas soluciones)

Índice general
1. ECUACIONES CUADRÁTICAS 2
2. ECUACIONES BICUADRADAS 5
3. ECUACIONES RECÍPROCAS 7
4. INECUACIONES 8
5. ECUACIONES CON RADICALES 12
6. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 13
7. INECUACIONES CON RADICALES 14
8. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 16
9. INECUACIONES CON DOS VARIABLES 17
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TE LLEVARÁ A LA VÍDEO SOLUCIÓN ALOJADA EN YOUTUBE.
1

Cap´ıtulo 1
ECUACIONES CUADRÁTICAS
№ 2 CepreUNI 2020-I.
En la ecuación cuadrática
x2
+ (a + 2)x + 2a = 0 ,
calcule la suma de los valores de a, para
que la diferencia de las ra´ıces sea 6.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución: Factorizando por aspa simple
la ecuación tenemos
(x + 2)(x + a) = 0
luego las ra´ıces son −a y −2, queremos
que la diferencia de ra´ıces sea 6, entonces
−a − (−2) = 6 ∨ −2 − (−a) = 6
a = −4 ∨ a = 8
luego la suma de los valores de a es 4.
№ 3 CepreUNI 2018-II.
Respecto a la ecuación cuadrática
mx2
− 6x − 3m = 0 , m ∈ R+
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Sus ra´ıces son reales.
II. La suma de sus ra´ıces es positiva.
III. Una ra´ız es positiva y la otra, nega-
tiva.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) FVV E) VFF
Sean x1 y x2, ra´ıces de la ecuación x2
+
3x + 1 = 0. Calcule el valor de
T = (xx2
1 + xx1
2 ) (xx1
1 + xx2
2 )
A) 32 B) 21 C) 0 D) − 16 E) − 24
V´ıdeo solución.
Un comerciante compra un determinado
número de lapiceros por 180 soles y los
vende todos menos 6 con una ganancia de
2 soles en cada lapicero. Sabiendo que con
el dinero recaudado en la venta podr´ıa ha-
ber comprado 30 lapiceros más que antes,
determine el precio de cada lapicero (en
soles).
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
La figura adjunta es la gráfica de la
parábola:
y = mx2
− (m + n)x − 2m − 4 .
2

Determine el conjunto de todos los va-
lores reales que toma “ n ”
A) 2; −∞ B) −∞; 2] C) −∞; −2
D) −∞; 2 E) R
Solución: Rpt.- −∞; 2
Sean x1 y x2 las ra´ıces de la ecuación:
ax2
+ bx + c = 0
Calcule:
(ax1 + b)(ax2 + b)
(bx1 + c)(bx2 + c)
A)
b
a
B) −
b
a
C)
c
a
D) −
c
a
E)
a
c
Solución: Rpt.-
a
c
Si x1 y x2 son las ra´ıces de la ecuación
5x2
− 5x + 1 = 0
entonces, el valor de E =
1
x1
+
1
x2
es
A) 5 B) 1 C)
1
5
D) −
1
5
E) − 5
Solución: Rpt.- 5
Dada la ecuación de segundo grado:
x2
− 2x + 4m − m2
− 3 = 0
¿cuál es el conjunto de valores de m para
que las ra´ıces sean positivas?
A) ∅ B) R C) 2; 5 D) 3; 4 E) 1; 3
Dadas las ecuaciones cuadráticas:
x2
− 5x + n = 0
x2
− 7x + 2n = 0 , n ∈ N .
Si una de las ra´ıces de la segunda ecua-
ción es el doble de una de las ra´ıces de
la primera ecuación, entonces, ¿cuál es el
producto de las 4 ra´ıces?
A) 28 B) 36 C) 64 D) 72 E) 80
Para qué valores de n, la ecuación x2
−
nx + 7 = 0 tiene como ra´ıces a los núme-
ros “ a ” y “ b ” que cumplen:
1
a
+
1
b
+ a2
+ b2
=
160
7
.
Como respuesta calcule la suma de los va-
lores de n.
A) −
1
2
B) −
1
5
C) −
1
7
D) −
1
10
E) −
1
12
Determine los valores de “ m ” para que
las ra´ıces de la ecuación cuadrática x2
+
mx − 2m + 2 = 0 sean mayores que 1
A) −∞; −3 − 2
√
6 B) −∞; −4 − 2
√
6
C) −∞; −5 − 2
√
6 D) −∞; −6 − 2
√
6
E) −∞; −2
√
6
Si se sabe que la ecuación cuadrática ax2
+
3x + 2 = 0 tiene 2 ra´ıces reales. Halle la
suma de las inversas de dichas ra´ıces.
A) −
3
2
B) −
1
2
C)
1
2
D) 1 E)
3
2
Solución: Rpt.- −
3
2
Halle los valores de a para los cuales la
ecuación
a2
x2
+ (a + 1)x
x2 + 2x + 2
= 1
no tenga ra´ıces.
A) −
7
9
; 0 B) −
1
2
; 0 C) −
1
2
; 2
D) −
7
9
; 1 E) −
1
2
; 1
7
9
; 1
3

Si m > n, x1 y x2 (x1 > x2) son las ra´ıces
de la ecuación
1
x
+
1
m + 1
=
1
x + m + n + 2
−
1
n + 1
.
Halle el valor de
x2 + 1
x1 + 1
.
A) mn B)
n
m
C)
1
mn
D)
m
n
E) 1 +
m
n
Solución: Rpt.-
m
n
Dadas la ecuaciones con variable x,
x2
+ px + q = 0 (1.1)
x2
− p2
x + pq = 0 (1.2)
En las cuales, las ra´ıces de la segunda
ecuación son iguales a las de la primera
ecuación aumentada en 3.
Halle los valores de p y q, en ese orden,
que cumplen la condición indicada.
A) 2; −3 B) − 2; 3 C) − 2; −3
D) 3; 2 E) 2; 3
Solución: Rpt.- 2;3
№ 17 Si las ecuaciones cuadráticas son
equivalentes (tienen las misma soluciones)
(−2a + 3)x2
+ 9x + 6 = 0
3x2
+ (2 − 5b)x − 2 = 0 .
Determine el valor de ab
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
№ 18 Admisión UNI 2004-I.
¿Qué cantidad es necesaria aumentar a las
ra´ıces de la ecuación
a
b
−
b
a
x2
+ 2(a + b)x +
a
b
+
b
a
= 1
para que las cantidades resultantes sean
iguales en magnitud pero de signos opues-
tos.
A)
a − b
ab
B)
ab
a − b
C)
a + b
ab
D)
ab
a + b
E)
b − a
ab
Solución: Rpt.-
ab
a − b
№ 19 En qué intervalo debe variar k de
modo que una de sus ra´ıces de la ecuación
x2
− 4x − k = 0
se encuentre en el intervalo 2; 6
A) 2; 6 B) −4; 12 C) −6; −2
D) 6; 12 E) −4; 2
4

Cap´ıtulo 2
ECUACIONES BICUADRADAS
En la ecuación bicuadrática siguiente:
(a + 13)x
a
2 −3
+ (b − a)x
b
3 −1
+ b = 0
se cumple que 3a − 2b > 12.
Si x1, x2, x3, x4 son sus ra´ıces, halle el valor
de T = x4
1 + x4
2 + x4
3 + x4
4
A) 9 B) 12 C) 14 D) 23 E) 41
Solución: Rpt.- 14
Al resolver la ecuación
ax4
+ bx2
+ c = 0
donde a, b, c ∈ Z y son primos entre si, una
de sus soluciones es
10 +
√
11
2
. Calcule
el valor de T = a + b + c
A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21
Si las ra´ıces de la ecuación bicuadrada
x4
− (a + 1)x2
+ a = 0
están en progresión aritmética, halle el
máximo valor de a.
A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12
Dada la ecuación rec´ıproca y bicuadrática
x4
+ ax2
+ b = 0, si una de sus ra´ıces es
1 +
√
2, halle el valor de P = a2
+ b2
.
A) 5 B) 17 C) 25 D) 37 E) 50
De la ecuación x4
− (k − 5)x2
+ 9 = 0, se
sabe que el producto de tres de sus ra´ıces
es 3. Halle el valor de k.
A) 7 B) 9 C) 13 D) 15 E) 17
Sean x1 y x2 las ra´ıces de la ecuación bi-
cuadrada
x4
−(b−a)(x3
+1)+(x−1)3
−c(x+3)−7 = 0 .
Calcule:
1
x2
1
+
1
x2
2
A) 6 B) 2 C)
1
2
D)
1
3
E) 0
Si el producto de las ra´ıces negativas de:
2x4
− (4m + 1)x2
+ 2m = 0
es 2. ¿cuál es la suma de las ra´ıces positi-
vas?
A)
3
2
√
2 B) 2
√
2 C)
5
2
√
2
D) 3
√
2 E) 5
√
2
Si “ a ” es una ra´ız de la ecuación bicua-
drada
x4
+ x2
+ 2 = 0
Calcule el valor de E = a6
+ a2
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
5

Dada la ecuación bicuadrada 3x4
+ ax2
+
4 = 0. Se sabe que dos de sus ra´ıces son
x1 = 2 y x2 = −
1
√
b
, b > 1. Calcule el
valor de S = a + b.
A) − 10 B) − 8 C) − 6
D) − 4 E) − 2
Halle la suma de las ra´ıces positivas de la
ecuación bicuadrada
x4
+ (n2
+ 2n − 3)x3
− (n2
+ 32)x2
+
(n2
+ n − 6)x + (5n4
− 5) = 0
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Solución: Rpt.- 9
6

Cap´ıtulo 3
ECUACIONES RECÍPROCAS
Si
3x2
+ (3k + 4)x + 5 − k = 0
tiene soluciones rec´ıprocas y
2x2
+ (2p − 1)x − 36p = 0
tiene soluciones simétricas. Indique el me-
nor número entero que satisface la inecua-
ción (k − 6p)x < −6
A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 1
Solución: Rpt.- 5
Sea S = {x1; x2; x3; x4; x5} el conjunto so-
lución de la ecuación
2x5
− 7x4
+ 6x3
− 6x2
+ 7x − 2 = 0
tal que {x4; x5} ∩ R = ∅. Halle el valor de
K =
x4 + x5
x1x2x3
A) − 2 B) − 1 C) −
1
2
D) 1 E) 3
Dada la ecuación rec´ıproca
x4
+(a+1)x2
−ax3
−ax+1 = 0 , (a ∈ R)
Halle los valores de “ a ” para que sus
cuatro ra´ıces no sean reales.
A) a ∈ −1; 3 B) a ∈ [−1; 1]
C) a ∈ [−3; 1] D) a ∈ R+
E) a ∈ R −1; 3
Dada la ecuación
x4
+ mx3
+ 2x2
+ mx + 1 = 0 ; m ∈ R
halle los valores de “ m ” para que la ecua-
ción rec´ıproca no tenga ra´ıces reales.
A) R B) R+
C) R−
D) −2 : 2 E) R −2; 2
7

Cap´ıtulo 4
INECUACIONES
Si 3x+1 ∈ 4; 7 , determine el menor valor
de k tal que
x + 7
x − 3
< k
A) − 7 B) − 6 C) − 5 D) − 4 E) − 3
Solución: Rpt.- −3
Indique el valor de verdad de cada una de
las siguientes proposiciones:
I. Si a ∈ 1;
√
2019 , entonces 0 < a2
≤
2019.
II. ∀n ∈ N, ∃αn ∈ I tal que
αn ∈ π −
1
n
; π +
1
n
.
III. Una cota superior del conjunto
xy | x > 0, y > 0, x2
+ 4y2
= 1
es
1
π
.
(I es el conjunto de los números irraciona-
les)
A) FFF B) FVF C) VVF
D) VFF E) VVV
Solución: Rpt.- VVV
proposiciones:
I. N es denso en Q.
II. Si a, b ∈ R y a < b, entonces
a < a +
b − a
√
3
< b
III. Para todo a ∈ R, existe n ∈ N tal
que a < n.
A) VVV B) VVF C) FVF
D) FVV E) VFV
Determine el valor de verdad de las si-
guientes afirmaciones:
I. El conjunto solución de
1
x
> 1 es
−∞; 1 .
II. Existe x ∈ R∗
tal que x+
1
x
∈ −2; 2 .
III. Si ab < 0 y −13a > 0, entonces
b
a2
<
b
a(a − b)
Considere R∗
= R {0}
A) FFV B) VFF C) FFF
D) VFV E) VVF
Resuelva la inecuación para x
x
a + 1
+
x
a − 1
<
2bx
a2 − 1
+
a2
− b2
a + 1
con a > 1 > b > 0
A) −∞;
a + b
2
B) 0; ∞
8

C) −∞;
a − 1
2
D) −∞;
(a + b)(a − 1)
2
E)
(a + b)(a − 1)
2
; ∞
Halle la suma de los valores enteros de m
par que la inecuación
(x2
− mx + m)(x − 2)(x + 1) < 0
tenga como conjunto solución al intervalo
−1; 2 m = 4.
A) 0 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
Si el conjunto solución de la inecuación de
variable x
3x − 2
1 − a
< 4x + 5 (a > 1)
es −
3
7
, +∞ , el valor de “ a ” es
A) 9 B) 7 C) 4 D) 3 E) 2
La inecuación cuadrática mx2
−4x+n ≥ 0
tiene por conjunto solución al intervalo
[−1; p]. Si n es negativo, indique el valor
de verdad de las siguientes proposiciones:
I. mn < 0.
II. m + n + p > 0.
III. m + n + p < 0.
A) VVF B) FVF C) FFV
D) VFV E) VFF
Solución: Rpt.- FFV
Determine el conjunto solución “ S ” de
la inecuación
−1 + x +
1
x
x − 3
x − 4
> 0
Si S = a; b ∪ c; +∞ , halle bc + a
A) 0 B) 6 C) 12 D) 24 E) 36
Respecto al conjunto
T =



x ∈ N |
1 +
√
x2 + 2x + 3
3 +
√
15 + 2x − x2
≥ (x − 8)×
×(x4
+ x3
+ x2
+ x + 1)



podemos afirmar que
A) T es un intervalo B) T ⊂ 0; 5
C) T ⊂ 1; 6 D) cardinal de T es 4
E) T ⊂ 0; 6
Considere
∀x ∈ R , ax2
+ bx − c > 0
afirmaciones:
I. ∀x ∈ R, ax2
+ bx + c < 0
II. a(c − 1) > 0
III. Existe m ∈ R, tal que la inecuación
ax2
+mx−1 ≤ 0 tiene como conjunto
solución a un conjunto unitario.
A) VFV B) VFF C) FFF
D) FFV E) FVF
Al resolver la inecuación
(x − 3)21
(x2
− 2x +
√
7)29
(x2 − 5x + 6)27(x2 − 9)
≥ 0
se obtiene como conjunto solución a
a; b ∪ c; +∞ siendo a, b, c ∈ Z. Hallar
a + b + c.
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
Resuelva la inecuación
√
−x2 + 6x − 8(x2
− 5x)
x − 1
≥ 0
9

e indique su conjunto solución
A) ∅ B) R C) [2; 4] D) {2; 4} E) 1; 7
(x2
− 2016x − n)(x2
+ x + 2017) < 0
se obtiene que su conjunto solución es
el intervalo m; 2015 . Halle el valor de
T = m · n.
A) − 2015 B) 2015 C) 2016
D) − 2016 E) 2017
(x − 2)a
(x − 3)b
(x − 4)c
≥ 0
se obtiene como solución al conjunto
−∞; 2] ∪ {3} ∪ 4; +∞ . Indique el m´ıni-
mo valor de T = a + b + c, (a, b, c ∈ N).
A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 10
Solución: Rpt.- 4
Dados los conjuntos
A = {a ∈ R | ∀x ∈ R, x2
+ ax + a > 0},
B = {b ∈ R | ∀x ∈ R, bx2
− x + b < 0}
Calcule M = (A ∪ B)C
.
A) −∞; −
1
2
∪ [4; +∞
B) −
1
2
; 0 ∪ [4; +∞
C) −∞; 0] ∪ [4; +∞
D) −
1
2
; 0 ∪ [3; +∞
E) 0;
1
2
∪ [4; +∞
1
2
; 0 ∪ [4; +∞
Si el conjunto solución de la inecuación:
(4x2
− 12x + 5)7
≤ 0
es [a; b]. Halle a + b
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Un padre dispone de 320 nuevos soles para
ir a un partido de fútbol con sus hijos. Si
compra entradas de 50 soles, le falta dine-
ro, si compra entradas de 40 soles, le sobre
dinero. ¿Cuántos hijos tiene el padre?
A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10
Solución: Rpt.- 6
Halle el máximo valor que puede alcanzar
la variable “ x ” tal que verifique:
(x − 1)10
(x − 2)13
(x2
+ x + 1) ≤ 0
A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2
Solución: Rpt.- 2
Si el conjunto solución de la inecuación
x2
+ bx + a > 0 (ab = 0)
es C.S. = −∞; a ∪ b; +∞ , entonces el
valor de a + b es
A) − 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
Sea S e conjunto solución de la inecuación
cuadrática
mx2
+ (7 + m)x − 8 + m ≥ 0 .
Considere que S es un conjunto unitario,
precise el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
I) m ∈ [−1; 0]
II) m = −1
III) S ∩ {m + 1} = ∅
10

A) VVV B) VVF C) FFV
D) FFF E) VFF
Sea S el conjunto solución de la inecua-
ción:
(1 − x)51
(x + 3)2
(x2
+ x + 3)2
≥ 0 ,
determine S ∩ [−5; +∞
A) −6; 1 B) [−6; 1] C) [−5; 1
D) [−5; 1] E) −5; 1
Si kx2
− 2x + (2k − 1) ≤ 0 tiene solución
única. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. k ∈ [−1; 1]
II. k = 1
III. {k} ∩ Z = ∅
A) VVF B) VVV C) FFF
D) VFF E) FVF
Determine la condición que debe satisfa-
cer “ c ” para que se cumpla:
∀x ∈ R :
c
ab
+(4b−b2
)x+(2a−a2
−6)x2
< 0
y que los coeficientes de los términos
cuadráticos y lineal respectivamente sean
los mayores posibles.
A) c > −1, 6 B) c < −1, 6 C) c > 1, 6
D) c < −3 E) c ≤ −2
Solución: Rpt.- c < −1, 6
Determine la suma de los enteros mayores
que −3, que sean solución de la inecuación
(x − 1)2
(x + 1)3
(x2
+ 1)3
≤ 0
A) − 3 B) − 2 C) − 1 D) 0 E) 1
11

Cap´ıtulo 5
ECUACIONES CON RADICALES
Dado el conjunto
P = {L ∈ R | L =
√
8 − x +
√
x − 4; 4 ≤ x ≤ 8}
Indique el número de elementos del con-
junto P ∩ N.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Indique el número de soluciones reales que
tiene la ecuación
x2
− (x − 1)3 −
√
x − 1 + 2(1 − x) = 0
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Indique la mayor solución de la ecuación
(x + 3)2
+ 2 x2 + 2x − 3 = 4x + 27
A) − 1 + 3
√
2 B) − 1 +
√
13
C) − 1 −
√
13 D) 2
E) 1 + 3
√
2
Sea el conjunto
A = {x ∈ R | 1 + 1 − x4 − x2 = x} .
Determine el valor de verdad de los enun-
ciados siguientes:
I. n(A) = 2
II. ∃x ∈ A | x > 1
III. A = ∅
A) FFF B) VVF C) VVV
D) FVF E) VFF
Sea
A = {x ∈ R |
√
2x + 3 +
√
5x − 1 −
√
7x + 1 = 1}
determine el valor de verdad de las si-
guientes afirmaciones:
I. n(A) = 2, n(A) número de elementos
de A.
II. ∃x ∈ A | x > 1
III. ∃x ∈ S | x ∈ 0; 1
A) FVV B) VFV C) FFV
D) FFF E) VVV
Solución: Rpt.- FFV
№ 7 Admisión UNI 1996-II.
Calcule la solución de la ecuación
1
11 − 2
√
x
=
3
7 − 2
√
10
+
4
8 + 4
√
3
A) 30 B) 5 C) 20 D) 13 E) 10
№ 8 Admisión UNI 2001-II.
Si A es el conjunto solución de la ecuación
2x2
+ 2x − 3 x2 + x + 3 = 3
entonces la suma de los elementos de A es
A) − 3 B) − 1 C) 1 D) 3 E) 4
12

№ 9 Admisión UNI 2003-I.
El número de ra´ıces de la ecuación
1 − 9x2 = 2x 1 − 9x2
es igual a
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Solución: Rpt.- 2
13

Cap´ıtulo 6
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Halle la suma de los valores enteros que
satisface la inecuación.
|x − 2| + 2x ≤
√
−x
A) − 3 B) − 10 C) − 12
D) − 5 E) − 7
proposiciones:
I. Si x, y ∈ R y |x + y| + |y| = |x|, en-
tonces xy ≤ 0.
II. Existe x ∈ R tal que
√
x2 = −x.
III. Si x ∈ R y x2
+ 3x = 4|x|, entonces
x ∈ {1; 3}.
A) FFF B) FVV C) FVF
D) VVF E) VVV
Sea S el conjunto solución de la ecuación
3|x + 1| − 2|x − 2| = 2x − 1. Determine la
verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I. ∃x1 ∈ S; ∃x2 ∈ S | 4x1 + x2 = 0.
II. ∀x ∈ S; x3
≥ 0.
III. S ⊂ {x ∈ R | x2
+ 2x = 0}.
A) VVV B) FFV C) VFV
D) VFF E) VVF
Solución: Rpt.- VFF
14

Cap´ıtulo 7
INECUACIONES CON RADICALES
Determine el valor de verdad de la siguien-
tes proposiciones:
I. El conjunto A = x ∈ R |
1
x2
> 0
es un intervalo.
II. ∃x ∈ R |
√
x2 = −x.
III. El cardinal del conjunto
x ∈ R |
√
x − 2 +
√
6 − x = 2
es 2.
A) FVV B) FFF C) VVF
D) VFV E) FVF
Solución: Rpt.- FVV
Sea S el conjunto solución de
√
5x − 4 − x2(x2
− 3x)
(x + 1)(x2 + πx + 3)
≥ 0
Indique el conjunto S ∩ Z.
A) {3; 4} B) {1; 2; 3}
C) {1} D) {1; 3; 4}
E) {1; 2; 3; 4}
Solución: Rpt.- {1; 3; 4}
Determine el conjunto solución de la
inecuación
√
x − 2(x4
+ x3
+ x2
+ x + 1)
(x − 3)7(x + 1)9
≤ 0
A) [2; 3 B) [2; 4 C) [2; 5
D) [2; 6 E) [2; 7
Sean a, b ∈ R tales que a < 0 < b. Indique
el conjunto solución de
(3x2
+ x + 2)
√
x − 1(x − 8)2017
ab(x − 4)3(x − 5)2
≥ 0
A) [4; 5 ∪ [8; +∞ B) 4; 8] {5}
C) 4; 8] D) ∅
E) {1} ∪ 4; 5 ∪ 5; 8]
Determine el conjunto solución de
√
1 − x +
√
1 + x ≥
√
x
A) 0; +∞ B) [0; 1] C) 0;
1
2
D) ∅ E) R
√
−x2 + 6x − 8(x2
− 5x)
x − 1
≥ 0
e indique su conjunto solución.
A) ∅ B) R C) [2; 4] D) {2; 4} E) 1; 7
(x + 4)
√
x − 1
x
√
x − 1
≥ x − 2
15

e indique la suma de los cuadrado de las
soluciones enteras.
A) 14 B) 24 C) 29 D) 50 E) 77
Si S es el conjunto solución de la inecua-
ción
x2
+
√
4 − x2 − 1
x2 − 1
≥ 1
proposiciones:
I. S ∩ N = {2}
II. S ⊂ [−2; 2]
III. S ∩ [−1; 1] = ∅
A) VVF B) VFV C) VVV
D) FVV E) VFF
Sea S el conjunto solución de la inecua-
ción: √
−x − 1 ≥ x .
Podemos afirmar.
A) S = ∅ B) S ⊂ −∞; −3]
C) S ∩ −1; 0 = ∅ D) Sc
⊂ 0; +∞
E) S ⊂ −∞; −1]
Solución: Rpt.- −∞, −1]
Si A es el conjunto solución de la inecua-
ción
√
2 − x −
√
−x < −
√
2 − x
determine el cardinal (número de elemen-
tos del conjunto) de A ∩ Z ∩ [−5; 2].
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Sean los conjuntos
T = {x ∈ R |
√
−x ≥ x}
S = {x ∈ R |
√
x ≥ −x}
Indicar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
I. T ∩ S = {0}
II. T ⊂ Sc
III. T ∪ S = R
A) VVV B) VVF C) VFV
D) VFF E) FFV
16

Cap´ıtulo 8
INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
№ 2 Sea la inecuación:
|2x + 3| − |x − 8|
|2x − 1| − |7x − 8|
≥ 0
determine uno de los intervalos del con-
junto solución.
A)
1
5
;
7
5
B)
3
5
;
11
3
C) −6; 5
D) −9; 10] E) [−11; 1
Solución: Rpt.- [−11; 1
№ 3 Resolviendo la inecuación:
(|x − 1| − 4)(|x| − |2x + 1|)
|x| + x2 + 2
≤ 0
tenemos que el conjunto solución de esta
inecuación es
S = −∞; a] ∪ [b; c] ∪ [d; +∞
determine a + 9b + c + d
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
Solución: Rpt.- 6
Cuántas soluciones enteras tiene la inecua-
ción ||x| − 1| < 2
A) 3 B) 44 C) 5 D) 6 E) 8
Dados a, b, c ∈ R, indique el valor de ver-
dad de las siguientes afirmaciones
I. Si a = 0, entonces A = {x ∈ R |
|ax + b| > c} = ∅.
II. Si a = 0 y c < 0, entonces B = {x ∈
R | |ax + b| > c} = R.
III. Si a = 0 y c > 0, entonces
C = {x ∈ R | |ax+b| < c} =
−c − b
a
;
c − b
a
A) FVF B) VVF C) VFF
D) VFV E) FVV
Dada la inecuación:
||x2
− 3x + 2| − x2
+ 2x − 10| ≤ 2
√
−x
cuyo conjunto solución es A. Determine el
valor de verdad de las siguientes proposi-
ciones:
I. A ∩ [4; 10] = ∅
II. A ∪ [−16; 0] = A
III. Ac
∩ [−1; 2] = [−1; 2]
A) VVV B) FVV C) FFF
D) VFV E) VFF
Si T es el conjunto solución de la inecua-
ción
x
2
+ 4x2 − 12x + 9 < 3
x
2
+ 2
(x − 2)
|x − 2|
17

Halle la suma de los elementos enteros del
conjunto T.
A) 30 B) 33 C) 39 D) 42 E) 52
18

Cap´ıtulo 9
INECUACIONES CON DOS VARIABLES
Sea D el conjunto solución del sistema



(x − 1)(y − 2) ≤ 0
|x| ≤ 2
y2 ≤ 3
halle el área (en u2
) de la región D.
A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10
Graficar el conjunto
A = {(x, y) ∈ R2
| |x| − y ≤ 1}
A) B)
C) D)
E)
Solución: Clave (E)
afirmaciones:
I. Si x, y ∈ R y |x + y| < |x − y|, enton-
ces xy < 0.
II. Si a ∈ R es solución de la inecuación
|x − 1| < 2, entonces a ≤ 3.
III. Si x + |x| ≤ 0, entonces x ≤ 0.
A) FFF B) FVV C) FVF
D) VFV E) VVV
Solución: Rpt.- VVV
19

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