1. El documento presenta un examen final de cálculo diferencial con 4 problemas. Se enfatiza la importancia del orden y claridad en las soluciones. No se permiten consultas y los estudiantes pueden corregir errores en los enunciados. 2. El primer problema analiza las derivadas de una función, sus puntos críticos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. Luego determina puntos de inflexión, máximos, mínimos y bosqueja la función. 3. El segundo problema calcula la velocidad con la que se separan un autom

1. Universidad Nacional de Ingenier´ıa
Facultad de Ingenier´ıa de Petr´oleo, Gas Natural y Petroqu´ımica
Ciclo 2019-II
Examen Final de C´alculo Diferencial
(BMA01)
Profesor : Alvaro Naupay Gusukuma. Fecha : 13 de Diciembre de 2019.
Son importantes el orden y claridad en la resoluci´on de los problemas, caso contrario se puede
invalidar completamente la respuesta.
No hay consultas, si considera que alguna pregunta est´a errada o mal propuesta corrija el
enunciado y justifique su proceder.
Tiempo: 120 minutos.
1. Dada la funci´on fpxq “
4|x|
1 ` x2
,
a) Determine f1
pxq, f2
pxq y el dominio de estas derivadas.
Soluci´on: f1
pxq “
4xp1 ´ x2
q
|x|p1 ` x2q2
, @x ‰ 0, note que
ˆ
x
|x|
˙1
“ 0, @x ‰ 0, luego por la derivada
del producto de funciones tenemos que
f2
pxq “ 4
x
|x|
ˆ
p1 ´ x2
q
p1 ` x2q2
˙1
“
4x
|x|
¨
2xpx ´
?
3qpx `
?
3q
p1 ` x2q3
“
8x2
|x|
¨
px ´
?
3qpx `
?
3q
p1 ` x2q3
en ambos casos el dominio es Rzt0u
b) Determine los puntos cr´ıticos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Soluci´on: P.C. “ t´1; 0; 1u.
Intervalos de crecimiento: x´8; ´1y Y x0; 1y
Intervalos de decrecimiento: x´1; 0y Y x1; `8y
c) Determine los puntos de inflexi´on, los puntos m´aximos y/o m´ınimos relativos, si lo hubiese,
tambi´en los valores m´aximo y/o m´ınimos relativos de la funci´on.
Soluci´on:
f1
pxq f2
pxq
@
´8; ´
?
3
D
` `
@
´
?
3; ´1
D
` ´
x´1; 0y ´ ´
x0; 1y ` ´
@
1;
?
3
D
´ ´
@?
3; `8
D
´ `
Puntos de inflexi´on: t´
?
3;
?
3u
Puntos m´aximos globales: t´1; 1u
Punto m´ınimo global: t0u
Valor m´aximo global: 2
Valor m´ınimo global: 0

2. d) Determine todas la as´ıntotas de la funci´on f.
Soluci´on: As´ıntota y “ 0.
e) Bosqueje la funci´on f, en este bosquejo debe resaltar las as´ıntotas, intervalos de monoton´ıa y
concavidad, los puntos de inflexi´on, los puntos y valores m´aximos y/o m´ınimos relativos si lo
hubiese.
Soluci´on: Para el bosquejo es necesario la siguiente tabla
f1
pxq f2
pxq Gr´afica
@
´8; ´
?
3
D
` `
@
´
?
3; ´1
D
` ´
x´1; 0y ´ ´
x0; 1y ` ´
@
1;
?
3
D
´ ´
@?
3; `8
D
´ `
Punto de
inflexión
Punto de
inflexión
Punto
mínimo
Punto
máximo
Punto
máximo
2. Un largo paso a desnivel de una autopista pasa por encima de una v´ıa de ferrocarril que est´a a 100
pies por debajo y forma un ´angulo recto con ´el. Si un autom´ovil que viaja a 45 millas por hora
(66 pies por segundo) est´a directamente por arriba de la parte delantera de un tren que va a 60
millas por hora (88 pies por segundo), ¿qu´e tan r´apido se est´an separando 10 segundos despu´es?
Soluci´on: Luego de un tiempo t tenemos el siguiente gr´afico
donde dptq es la distancia con que se separan en funci´on del tiempo
dptq “
a
1002 ` p3 ¨ 22tq2 ` p4 ¨ 22tq2p “
a
p10 ¨ 10q2 ` p5 ¨ 22tq2p “ 10
a
102 ` p11tq2p

3. entonces la rapidez con que se separan es
dpdptqq
dt
“ d1
ptq, realizando la derivada tenemos
d1
ptq “ 10
2 ¨ 11t ¨ 11
2
a
102 ` p11tq2
p/s “
10 ¨ 112
t
a
102 ` p11tq2
p/s
luego la rapidez con la que se separan 10 segundos despu´es es
d1
p10q “
10 ¨ 112
¨ 10
?
102 ` 112 ¨ 102
p/s “
1210
?
122
p/s « 109,5p/s
3. Sea A un conjunto no vac´ıo acotado de n´umeros reales. Si m “ ´ınf A, M “ sup A y
D “ t|x ´ y| | x, y P Au, entonces demostrar que
M ´ m “ sup D
Soluci´on: Primero demostraremos que sup D ď M ´ m.
Sean x, y P A. Tenemos que
|x ´ y| “
"
x ´ y ; x ě y (Caso 1)
y ´ x ; x ă y (Caso 2)
Caso 1: Si x ě y, |x ´ y| “ x ´ y, adem´as se cumple que x ď sup A e ´ınf A ď y, es decir
´y ď ´´ınf A, luego
|x ´ y| “ x ´ y ď sup A ´´ınf A “ M ´ m ñ |x ´ y| ď M ´ m (α)
Caso 2: Si x ă y, |x ´ y| “ y ´ x, adem´as se cumple que y ď sup A e ´ınf A ď x, es decir
´x ď ´´ınf A, luego
|x ´ y| “ y ´ x ď sup A ´´ınf A “ M ´ m ñ |x ´ y| ď M ´ m (β)
Luego considerando α y β tenemos que
@x, y P A, |x ´ y| ď M ´ m
esto quiere decir que M ´m es una cota superior para D, luego por definici´on de supremo tenemos
que
sup D ď M ´ m (i)
Ahora veamos que tambi´en se cumple M ´ m ď sup D.
Sea ε ą 0, entonces Dx P A e Dy P A tal que
sup A ´
ε
2
ă x ^ y ă ´ınf A `
ε
2
M ´
ε
2
ă x ^ ´m ´
ε
2
ă ´y
luego sumando estas dos ´ultimas inecuaciones tenemos que
M ´ m ´ ε ă x ´ y ď |x ´ y| ď sup D ñ M ´ m ´ ε ă sup D
como ε ą 0 es arbitrario, entonce podemos decir que
@ε ą 0, M ´ m ´ ε ă sup D ñ M ´ m ď sup D . (ii)
Finalmente considerando (i) y (ii) podemos concluir que
M ´ m “ sup D

4. 4. Sean f, g : ra, bs Ñ R dos funciones continuas en ra, bs y derivables en sa, br tales que fpxq ą 0 y
gpxq ą 0 para todo x P ra, bs. Si fpaqgpaq “ fpbqgpbq, entonces demuestre que existe x0 Psa, br tal
que:
f1
px0q
fpx0q
“ ´
g1
px0q
gpx0q
.
Soluci´on: Considere la funci´on h : ra, bs Ñ R definida por
hpxq “ lnpfpxqgpxqq “ lnpfpxqq ` lnpgpxqq
continua en ra, bs y derivable en sa, br. Por el teorema del valor medio, existe x0 Psa, br tal que
h1
px0q “
hpbq ´ hpaq
b ´ a
f1
px0q
fpx0
`
g1
px0q
gpx0q
“
lnpfpbqgpbqq ´ lnpfpaqgpaqq
b ´ a
f1
px0q
fpx0
`
g1
px0q
gpx0q
“ 0
f1
px0q
fpx0
“ ´
g1
px0q
gpx0q